2. El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros Esta información podría expresarse de otra forma: Llamamos x al ancho del campo. El doble será 2 · x Y el doble más 10 m: 2 · x + 10 Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol. Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en forma algebraica, son: El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información. Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico Largo Ancho 2x + 10 x
3. El lenguaje algebraico: algunos ejemplos Lenguaje ordinario Un número aumentado en 2 a + 2 Un número disminuido en 5 El número natural siguiente al número n El cuadrado de un número menos el mismo número Lenguaje algebraico c – 5 (Llamamos c al número) El cuadrado de un número x 2 Perímetro del cuadrado de lado x 4x x 2 – x n + 1 Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá x + 12 Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: 13 – x (Llamamos a al número) x x x x
4. Expresiones algebraicas Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son expresiones que contienen letras, o números y letras: Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Observaciones: 1. El factor 1 no se escribe. a b b 1 · x 2 · y 1 2. El exponente 1 tampoco se escribe. 3. El signo de multiplicación no suele ponerse. x 2 · y 1 x 2 · y x 2 y 5abc 3 5 · a · b · c 3 (t = tiempo en horas) Área del triángulo: h Área de un rectángulo: a · b La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t
5. Valor numérico de una expresión algebraica Observa el cuadrado de lado x . Su área es x 2 . Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Ejemplos: 1. El valor numérico de la expresión algebraica 5x – 6 Si queremos hallar el área de un cuadrado concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4: 16 es el valor numérico de la expresión x 2 cuando se sustituye x por 4. para x = 2 , es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4 2 . El valor numérico de la expresión algebraica 5a 2 + b 2 para a = 4 y b = 10 es: x 2 A = x 2 = 4 2 = 16 para x = 10 , es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 4 4 5 · 4 2 + 10 2 = 5 · 16 + 100 = 180 x x
6. Suma y resta de expresiones algebraicas Dos segmentos miden 5x y 3x , respectivamente. Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes. ¿Cómo podríamos expresar su longitud total? x x x x x 5x 3x Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene: 5x + 3x = 8x Suma: ¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes? 2x 5x – 3x = 2x Resta: Observación: Para que dos expresiones puedan sumarse o restarse es necesario que sean semejantes. No se pueden sumar 2x + x 2 Se deja indicado x x x 5x x x x x x x x x 3x x x x x x 5x 3x
7. Ecuaciones de primer grado La balanza está equilibrada. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. 10 + 2 = 4 + 8 Tenemos una igualdad numérica Toda igualdad tiene dos miembros . El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha. Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=). 10 + 2 = 4 + 8 Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4 Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x Esta igualdad se llama ecuación . La letra x es la incógnita. La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce. La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1. 1 er miembro 2º miembro
8. Igualdades y ecuaciones La balanza está equilibrada. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. 10 + 2 = 4 + 8 Tenemos una igualdad numérica Toda igualdad tiene dos miembros . El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha. Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=). 10 + 2 = 4 + 8 Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4 Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x Esta igualdad se llama ecuación . La letra x es la incógnita. La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce. La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1. 1 er miembro 2º miembro
9. La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3 : Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Observa cómo pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: a) 4 + 4x = 25 – 3x Sustituyendo: b) 7x + 4 = 25 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16 7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro Ecuación dada: 8x = 16 Su solución es x = 2 . (¿Es cierto?) 2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18 Le sumamos 2 a cada miembro 3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6x Restamos 6x a cada miembro Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones . Ecuaciones equivalentes
10. Resolución de ecuaciones. Regla de la suma Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. x = 10 Luego: Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante a la dada pero que sea más fácil. Para ello es necesario conocer algunas reglas. Observa : si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene. x + 5 = 10 + 5 Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8 Regla de la suma Primero. Restamos 8: 2x = x + 25 Segundo. Restamos x: x = 25 La solución es x = 25
11. Resolución de ecuaciones. Regla del producto x = 5 Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Luego: Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan: Ejemplo: Para resolver la ecuación 4 x + 3 = 2x + 9 Regla del producto Primero. Restamos 3: 4x = 2x + 6 Segundo. Restamos 2x: 2x = 6 La solución es x = 3 4x = 20 Hemos dividido por 4 Tercero. Dividimos por 2 x = 3 – 3 – 2x :2
12. Resolución de ecuaciones. Ejercicios Ejercicio 1 Ecuación con paréntesis: 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x 1º. Quitar paréntesis: 2º. Operar 5x – 4x: 3º. Restar x 3x – 21 = 5x – 5 – 4x 3x – 21 = x – 5 2x – 21 = – 5 5º. Dividir por 2 4º. Sumar 21 2x = 16 x = 8 Ejercicio 2 Ecuación con denominadores: 1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6): 2º. Restar 30: 3º. Operar 3x – 2x 3x + 30 – 2x = 60 3x – 2x = 30 x = 30
