Este documento presenta ejemplos resueltos de integrales de línea y de contorno de variables reales y complejas, así como ejercicios propuestos sin resolver. Se explican conceptos como la evaluación de integrales de contorno usando el teorema fundamental del cálculo y se resuelven problemas aplicando técnicas como sustituir la parametrización de la curva en la integral.

1. ´
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA
DE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA
GU´ DE VARIABLE COMPLEJA
IA
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Profesor: M.J. Suazo
EJERCICIOS RESUELTOS.
Siguiendo con los ejercicios de Integrales de l´
ınea de variable real, se a˜aden dos ejemplos m´s que
n a
les servir´ de guia, despu´s ejercicios resueltos de integrales de contorno(estudiar el concepto).
a e
1) Eval´e la integral
u y dx − x dy, donde C viene dado por la parametrizaci´n x = 2 cos t,
o
−C
y = 3 sen t, 0 ≤ t ≤ π.
Soluci´n:
o
Sabemos que y dx − x dy = − y dx − x dy, entonces −y dx + x dy.
−C C C
En este y en todos los casos la idea es dejar la integral de l´
ınea como una integral simple, entonces
derivemos y sustituyamos; dejaremos la integral solo en t´rminos de t.
e
Sabemos que x = 2 cos t, dx = −2 sen t, y = 3 sen t entonces dy = 3 cos t, al sustituirlo en la
integral de l´
ınea tenemos,
π π
−y dx + x dy = −3 sen t(−2 sen t) dt + 2 cos t(3 cos t) dt = 6 (sen2 t + cos2 t) dt = 6π.
C 0 0
2) Eval´e la integral
u x2 y 3 dx − xy 2 dy, donde C es la curva de la figura siguiente:
C
Soluci´n:
o
En este caso vemos 4 curvas distintas, por lo que el integral = + + + . Comen-
C C1 C2 C3 C4
zamos con la curva 1, tomemos la curva donde x = 1 constante, mientras que −1 ≤ y ≤ 1, la
1 0 2
integral nos queda x2 y 3 dx − xy 2 dy = x2 y 3 dx − xy 2 dy = 12 y 3 & − 1y 2 dy = − .
dx
b
&
C C1 −1 3
1

2. En la curva 2, tenemos que el valor de y = 1 es constante mientras −1 ≤ x ≤ 1 pero debemos de
tener en cuenta que hay que seguir la l´ ınea.
0 −1 1
2
x2 y 3 dx − xy 2 dy = x2 y 3 dx − xy 2 dy =
x2 13 dx = − x2 dx = −
C C2
1 −1 3
Para C3 vemos claramente que x = −1, −1 ≤ y ≤ 1 (recuerde que hay que seguir el camino),
0 −1 1
2
entonces: x2 y 3 dx − xy 2 dy = x2 y 3 − xy 2 dy =
dx
b
−(−1)y 2 dy = − y 2 dy = −
C C3 1 −1 3
Para C4 claramente y = −1, −1 ≤ x ≤ 1, entonces:
0 1 1
2
2 3 2 2 3 2
x y dx − xy dy = x y dx − xy dy= x2 (−1)3 dy = − x2 dx = −
C C4
−1 −1 3
Por lo tanto, = + + + = −2/3 + (−2/3) + (−2/3) + (−2/3) = −8/3
C C1 C2 C3 C4
2

3. INTEGRALES COMPLEJAS.
Practicamente el caso de las integrales complejas es similar al de las integrales simples y de l´
ınea
de variable real, de hecho cumple con todas las propiedades de variable real incluyendo el Teorema
fundamental del C´lculo(ver el libro de texto). Las integrales de l´
a ınea nos sirven como herramientas
para evaluar integrales de contorno(estudiar el concepto) de variable compleja.
Teorema: Evaluaci´n de integrales de contorno.
o
ınua en una curva suave C dada la parametrizaci´n z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b],
Si f es cont´ o
entonces
b
f (z) dz = f (z(t))z (t) dt
C a
1) Eval´e
u z 2 dz, donde C es z(t) = 3t + 2it, −2 ≤ t ≤ 2.
C
El problema es una aplicaci´n directa del teorema anterior.
o
2 2
2 2 736
z dz = (3t + 2it) (3 + 2i) dt = (3 + 2i) (3t + 2it)2 dt = −48 + i
C −2 −2 3
2) Eval´e
u x2 + iy 3 dz, donde C es la l´
ınea que va desde z = 1 hasta z = i.
C
En este caso, no haremos una sustituci´n en t´rminos de t: z(x) = x + i(1 − x), sabemos que tanto
o e
x como y son variables, la idea siempre es simplificar la integral, adem´s recuerde que a y b son
a
n´meros reales. Observe que, cuando x = 0 tenemos que z = i y cuando x = 1 entonces z = 1. Si
u
hacemos x = y para f (z) = x2 + iy 3 = x2 + ix3 , z (x) = (1 − i)dx adem´s seguiremos la l´
a ınea que
va desde x = 1 hasta x = 0. De modo que la integral nos quedar´ as´
a ı:
0 0
x2 + iy 3 dz = (x2 + x3 ) dz = (x2 + ix3 )(1 − i) dx = (1 − i) (x2 + ix3 ) dx = −7/12 + 1/12i.
C C 1 1
3

4. 3) Eval´e la integral
u z 2 dz donde C es la curva siguiente:
C
Como en el caso de variable real, en este problema empezaremos desde el origen y siguiendo
las manecillas en contra del reloj. Para el caso, es similar al problema 2 de la p´gina 2 de este
a
documento: = + + .
C C1 C2 C3
Para C1 : y = 0 mientras que 0 ≤ x ≤ 1, por lo que z = x, dz = dx y el integral nos queda asi
1
1
z 2 dz = x2 dx = .
C1 0 3
En la curva 2 tenemos la integral z 2 dz, donde x = 1 es constante mientras que y es variable
C2
entre 0 y 1.
1
2
Hagamos entonces z = 1 + iy, dz = idy, entonces (1 + iy)2 i dy = −1 + i
0 3
En la curva 3, el valor de x es el mismo que el de y en cualquier punto de modo que z = x + iy =
x + ix, dz = (1 + i)dx si seguimos el camino que iniciamos en x = 1 y lo terminamos en x = 0 por
lo que el integral nos queda as´ ı:
0 1
2 2
(x + ix)2 (1 + i) dx = −(1 + i) 2ix2 dx = − i.
1 0 3 3
Por lo tanto, z 2 dz = 0
C
4

5. EJERCICIOS PROPUESTOS
Muestre los pasos y caminos a seguir para llegar al resultado en el problema propuesto, respuestas
sin procedimientos pierden validez.
1) Evalu´ la integral
e ırculo |z| = 1
Re(z) dz, donde C es el c´
C
2) Evalu´ la integral
e (3z 2 − 2z) dz, donde C es z(t) = t − 2it3 , −1 ≤ t ≤ 1
C
1
3) Evalu´ la integral
e dz a lo largo de |z| = 1, en el semiplano inferior.
C z
4) Evalu´ la integral
e ez dz donde C es la poligonal que consiste en los segmentos de l´
ınea que
C
va desde z = 0 a z = 2 y de z = 2 hasta z = 1 + πi .
1
5) Evalu´ la integral
e 2 − 2i
ırculo |z| = 6 desde z = −6i hasta z = 6i .
dz donde C es el c´
C z
6) Evalu´ la integral
e z 2 − z + 2 dz desde i a 1 a los largo de C que es la figura siguiente:
C
1
7) Evalu´ la integral
e |z|2 dz, donde C es x(t) = t2 , y(t) = , −1 ≤ t ≤ 2
C t
5