Contenu connexe
Similaire à Introducción a los límites con geogebra
Similaire à Introducción a los límites con geogebra (20)
Plus de Mario Suárez (20)
Introducción a los límites con geogebra
- 2. b) Enter
c) En Entrada, escribir las primeras letras de límite, se despliega algunas opciones.
- 3. d) Escoger la opción
e) En Función, escribir f(x). En Valor numérico escribir 3
- 4. f) Enter
g) Clic derecho en a=4 (el cual representa el límite de la función cuando x tiende a 3)
- 5. h) Clic en Propiedades de Objeto
i) En Nombre, escribir límite
- 6. j) Clic en Cerrar ventana de Preferencias
2)
xx
xxx
x 9
214
lim 3
23
3
Factorando, simplificando y evaluando.
lim
𝑥→3
𝑥(𝑥2
+ 4𝑥 − 21)
𝑥(𝑥2 − 9)
= lim
𝑥→3
𝑥(𝑥 + 7)(𝑥 − 3)
𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
= lim
𝑥→3
(𝑥 + 7)
(𝑥 + 3)
=
3 + 7
3 + 3
=
10
6
=
5
3
= 1,67
- 7. 3)
122072
128
lim 234
23
2
xxxx
xxx
x
Factorando
1 -2 -7 20 -12 1 ±1,±2,±3,±4,±6,±12
1 -1 -8 12
1 -1 -8 12 0
(𝑥 − 1)(𝑥3
− 𝑥2
− 8𝑥 + 12)
Remplazando valores, simplificando y evaluando.
lim
𝑥→2
𝑥3
− 𝑥2
− 8𝑥 + 12
(𝑥 − 1)(𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12)
= lim
𝑥→2
1
𝑥 − 1
=
1
2 − 1
=
1
1
= 1
- 8. 4)
1
23
lim
2
1
x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim
𝑥→1
√𝑥2 + 3 − 2
𝑥 − 1
∙
√𝑥2 + 3 + 2
√𝑥2 + 3 + 2
= lim
𝑥→1
𝑥2
+ 3 − 4
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)
Factorando
lim
𝑥→1
𝑥2
− 1
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)
Simplificando y evaluando
lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)
(√𝑥2 + 3 + 2)
=
1 + 1
√12 + 3 + 2
=
2
√4 + 2
=
2
2 + 2
=
2
4
=
1
2
= 0,5
5)
x
xx
x
11
lim
0
Multiplicando por la conjugada
lim
𝑥→0
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
𝑥
∙
√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥
√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥
Realizando las operaciones
lim
𝑥→0
1 + 𝑥 − (1 − 𝑥)
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
= lim
𝑥→0
1 + 𝑥 − 1 + 𝑥
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
= lim
𝑥→0
2𝑥
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
- 9. lim
𝑥→0
2
(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
=
2
(√1 + 0 + √1 − 0)
=
2
√1 + √1
=
2
1 + 1
=
2
2
= 1
6)
741
63
lim
2
x
x
x
lim
𝑥→2
3𝑥 − 6
1 − √4𝑥 − 7
= lim
𝑥→2
3𝑥 − 6
1 − √4𝑥 − 7
∙
1 + √4𝑥 − 7
1 + √4𝑥 − 7
= lim
𝑥→2
(3𝑥 − 6)(1 + √4𝑥 − 7)
1 − (4𝑥 − 7)
lim
𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
1 − 4𝑥 + 7
= lim
𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
8 − 4𝑥
lim
𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
−4(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→2
3(1 + √4𝑥 − 7)
−4
=
3(1 + √4 ∙ 2 − 7)
−4
=
3(1 + √1)
−4
6
−4
= −
3
2
- 10. 7)
123
2
lim
4
x
x
x
lim
𝑥→4
2 − √ 𝑥
3 − √2𝑥 + 1
= lim
𝑥→4
2 − √ 𝑥
3 − √2𝑥 + 1
∙
2 + √ 𝑥
2 + √ 𝑥
∙
3 + √2𝑥 + 1
3 + √2𝑥 + 1
lim
𝑥→4
(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)
(2 + √ 𝑥)(9 − 2𝑥 − 1)
= lim
𝑥→4
(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)
(2 + √ 𝑥)2(4 − 𝑥)
= lim
𝑥→4
(3 + √2𝑥 + 1)
2(2 + √ 𝑥)
(3 + √2 ∙ 4 + 1)
2(2 + √ 𝑥)
=
3 + √9
2(2 + √4)
=
3 + 3
2(2 + 2)
=
6
2(4)
=
3
4
= 0,75
- 11. 8)
11
11
lim 30
x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim
𝑥→0
√1 + 𝑥 − 1
√1 + 𝑥
3
− 1
∙
(√1 + 𝑥
3
)
2
+ √1 + 𝑥
3
∙ 1 + 12
(√1 + 𝑥
3
)
2
+ √1 + 𝑥
3
∙ 1 + 12
∙
√1 + 𝑥 + 1
√1 + 𝑥 + 1
lim
𝑥→0
(1 + 𝑥 − 1) ((√1 + 𝑥
3
)
2
+ √1 + 𝑥
3
+ 1)
(1 + 𝑥 − 1)(√1 + 𝑥 + 1)
lim
𝑥→0
(√1 + 𝑥
3
)
2
+ √1 + 𝑥
3
+ 1
√1 + 𝑥 + 1
=
(√1 + 0
3
)
2
+ √1 + 0
3
+ 1
√1 + 0 + 1
(√1
3
)
2
+ √1
3
+ 1
√1 + 1
=
1 + 1 + 1
1 + 1
=
3
2
= 1,5
- 12. 9)
1
3
lim
34
1
x
xxx
x
Cambiando la variable
𝑥 = 𝑎12
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎 𝑚𝑛
8
1
3 = √813
= 2
lim
𝑎12→1
√𝑎124
+ √𝑎123
+ √𝑎122
− 3
𝑎12 − 1
= lim
𝑎12→1
𝑎
12
4 + 𝑎
12
3 + 𝑎
12
2 − 3
𝑎12 − 1
Factorando
lim
𝑎12→1
𝑎3
+ 𝑎4
+ 𝑎6
− 3
𝑎12 − 1
= lim
𝑎12→1
𝑎6
+ 𝑎4
+ 𝑎3
− 3
𝑎12 − 1
1 0 1 1 0 0 -3 1 ±1,±3
1 1 2 3 3 3
1 1 2 3 3 3 0
(𝑎 − 1)(𝑎5
+ 𝑎4
+ 2𝑎3
+ 3𝑎2
+ 3𝑎 + 3)
𝑎12
− 1 = (𝑎6
+ 1)(𝑎6
− 1) = (𝑎2
+ 1)(𝑎4
− 𝑎2
+ 1)(𝑎3
+ 1)(𝑎3
− 1)
𝑎12
− 1 = (𝑎2
+ 1)(𝑎4
− 𝑎2
+ 1)( 𝑎 + 1)( 𝑎2
− 𝑎 + 1)( 𝑎 − 1)( 𝑎2
+ 𝑎 + 1)
Remplazando
lim
𝑎12→1
(𝑎 − 1)( 𝑎5
+ 𝑎4
+ 2𝑎3
+ 3𝑎2
+ 3𝑎 + 3)
(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)( 𝑎 + 1)( 𝑎2 − 𝑎 + 1)( 𝑎 − 1)( 𝑎2 + 𝑎 + 1)
Simplificando
lim
𝑎12→1
𝑎5
+ 𝑎4
+ 2𝑎3
+ 3𝑎2
+ 3𝑎 + 3
(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)( 𝑎 + 1)( 𝑎2 − 𝑎 + 1)( 𝑎2 + 𝑎 + 1)
Remplazando
𝑎12
= 1
√ 𝑎1212
= √12
12
⇒ 𝑎 = 1
15
+ 14
+ 2 ∙ 13
+ 3 ∙ 12
+ 3 ∙ 1 + 3
(12 + 1)(14 − 12 + 1)(1 + 1)(12
− 1 + 1)(12
+ 1 + 1)
=
1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 3
(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1 + 1)
=
13
(2)(1)(2)(1)(3)
=
13
12
= 1,08
- 13. 10)
1
1523
lim
1
x
xxx
x
Evaluando y restando la evaluación
lim
𝑥→1
√ 𝑥 + √3𝑥 − 2 − √5𝑥 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(√ 𝑥 − 1) + (√3𝑥 − 2 − 1) − (√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
Distribuyendo
lim
𝑥→1
(√ 𝑥 − 1)
𝑥 − 1
+ lim
𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1
− lim
𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
Resolviendo el primer límite
lim
𝑥→1
(√ 𝑥 − 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
√ 𝑥 − 1
𝑥 − 1
∙
√ 𝑥 + 1
√ 𝑥 + 1
= lim
𝑥→1
𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(√ 𝑥 + 1)
= lim
𝑥→1
1
√ 𝑥 + 1
=
1
√1 + 1
lim
𝑥→1
(√ 𝑥 − 1)
𝑥 − 1
=
1
2
Resolviendo el segundo límite
lim
𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
√3𝑥 − 2 − 1
𝑥 − 1
∙
√3𝑥 − 2 + 1
√3𝑥 − 2 + 1
= lim
𝑥→1
3𝑥 − 2 − 1
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)
- 14. lim
𝑥→1
3𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)
= lim
𝑥→1
3(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)
= lim
𝑥→1
3
√3𝑥 − 2 + 1
3
√3 ∙ 1 − 2 + 1
=
3
√1 + 1
=
3
2
Resolviendo el tercer límite
lim
𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
√5𝑥 − 1 − 2
𝑥 − 1
∙
√5𝑥 − 1 + 2
√5𝑥 − 1 + 2
= lim
𝑥→1
5𝑥 − 1 − 4
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)
lim
𝑥→1
5𝑥 − 5
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)
= lim
𝑥→1
5(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)
= lim
𝑥→1
5
√5𝑥 − 1 + 2
5
√5 ∙ 1 − 1 + 2
=
5
√4 + 2
=
5
4
Sumando las tres respuestas
lim
𝑥→1
(√ 𝑥 − 1)
𝑥 − 1
+ lim
𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1
− lim
𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
1
2
+
3
2
−
5
4
=
2 + 6 − 5
4
=
3
4