2. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Metodología para la Solución de Problemas
Por medio de un Computador
1. Definición del Problema (Requerimientos)
2. Análisis del Problema (Datos e entrada, salida. con lo que se cuenta)
3. Diseño (Algoritmos, BD, Topologías)
4. Codificación (Lenguaje de Programación)
5. Pruebas (Depuración)
6. Liberación (Entrega)
3. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Aspectos básicos
1. Algoritmo
Es un procedimiento “Paso a Paso”
2. Caracterización de un problema Algorítmico
- Conjunto de todos los datos de entrada.
- El objetivo del problema.
3. Resolución de un problema
Se resuelve cuando se aplica el algoritmo a una entrada de datos (instancia) y
se obtiene una salida que responde al objetivo.
4. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Representación de problemas
Un problema se representa por:
- Un dominio Ω que contiene las posibles soluciones.
- Una pregunta cuya respuesta genera la solución al problema п.
Ejemplo: PROBLEMA DEL VENDEDOR VIAJERO (PVV)
1 2
43
10
1520
12
4
3
Dominio: {
1-2-4-3-1
1-2-3-4-1
1-3-4-2-1
1-3-2-4-1
1-4-2-3-1
1-4-3-2-1
}
= 57
= 29
= 57
= 42
= 42
= 29
5. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Variantes de un problema Π
1. Problemas de Decisión
¿Existe una estructura S que satisface las propiedades de п?
Respuesta : SI o NO
2. Problemas de Localización
Encontrar una estructura S que satisface las propiedades de п
Respuesta : S
3. Problemas de Optimización
Encontrar estructura S que satisface las propiedades de п y criterios de
optimización
Respuesta : S* = optimo (S) , ∀ S ∈ Ω
6. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Complejidad Computacional
1. NONO se refiere a:
- Dificultad de diseño.
- Rebuscado de un algoritmo.
2. SISI se refiere a:
- Medidas de desempeño
- Tiempo Complejidad Temporal
- Espacio Complejidad Espacial
7. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Complejidad Temporal
1. Se utiliza el tamaño de entrada para definir al tiempo de ejecución.
Sea n tamaño de entrada, se define T(n) como tiempo de ejecución
No se considera los datos de entrada, sino el tamaño del conjunto de ellos.
Ejemplo : Ordenamiento de una lista de números.
Casos :
- Mejor caso
- Caso Medio
- Peor Caso
8. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Ejemplo 1 : Para el siguiente algoritmo, su T(n) = 4n+3
Algoritmo :
(1) suma = 0;
(2) for(i=1;i<=n;i++)
(3) suma = suma + i;
TOTAL 4n+34n+3
Instrucción (1) Ocupa 1 unidad de tiempo. 1
Instrucción (3) Ocupa 2 unidades de tiempo y es ejecutada n veces. 2n
Instrucción (2) Ocupa 1 unidad de tiempo en la asignación, n+1 en las
comparaciones y n en los incrementos. 2n+2
1
n
i
i
=
∑
9. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Ejemplo 2 : Para el siguiente algoritmo, su T(n) = 7n2
+8n+5
Algoritmo :
(1) suma = 0;
(2) for(i=1;i<=n;i++)
(3) for(j=1;j<=n;j++)
(4) suma = suma + i*j;
Instrucción (2)(3) Ocupan 2n+2 unidades de tiempo cada una y se
ejecutan anidadas. (2n+2)* (2n+2) = 4n2
+8n+4
Instrucción (4) Ocupa 1 unidad de tiempo en la asignación, 2 en la
suma y multiplicación y se repite n * n veces 3n2
TOTAL 7n7n22
+8n+5+8n+5
Instrucción (1) Ocupa 1 unidad de tiempo. 1
1 1
*
n n
i j
i j
= =
∑∑
10. Orden de un Algoritmo
1. Para simplificar el estudio de la complejidad computacional, se adoptan ciertas
convenciones en su notación.
COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
2. Se define el orden de un algoritmo como el termino de mayor grado.
Tiempo de ejecución T(n)= 4n+3 Orden O(n)O(n) Orden Polinomial Lineal.
Tiempo de ejecución T(n)= 7n2
+8n+5 Orden O(nO(n22
)) Orden Polinomial Cuadrático.
Tiempo de ejecución T(n)= 2n
+3 Orden O(O(2n
)) Orden Exponencial.
O(nO(nxx
)) Tiempo PolinomialTiempo Polinomial Algoritmos Eficientes Problemas Tratables
O(xO(xnn
)) Tiempo ExponencialTiempo Exponencial Algoritmos Ineficientes Problemas Intratables
11. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Ejemplo 3 : El siguiente algoritmo tiene tiempo exponencial de O(2n
)
Algoritmo :
(1) void Hanoi( int n, int A, int B, int C)
(2) {
(3) if(n==1)
(4) MueveAnillo(A,B);
(5) else {
(6) Hanoi(n-1, A, C, B);
(7) MueveAnillo(A,B);
(8) Hanoi(n-1, C, B, A);
(9) }
(10) }
A B C
H(2,A,B,C)
A B C
H(1,A,C,B)
A B C
M(A,B)
H(1,C,B,A)
A B C
12. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Algoritmo :
(1) void Hanoi( int n, int A, int B, int C)
(2) {
(3) if(n==1)
(4) MueveAnillo(A,B);
(5) else {
(6) Hanoi(n-1, A, C, B);
(7) MueveAnillo(A,B);
(8) Hanoi(n-1, C, B, A);
(9) }
(10) }
H(3,A,B,C)
H(2,A,C,B)
M(A,B)
H(2,C,B,A)
A B C
A B C
A B C
A B C
13. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Recordemos que el orden de este algoritmo es 2n
luego su tiempo de ejecución es
exponencial y por lo tanto es un problema intratable.
Supongamos que el tiempo de ejecución en una máquina determinada es 10-9
Seg. Por
operación.
Supongamos además que deseamos jugar con 1000 Aros.
T(n=1000) = 10-9 *
21000
= 5-9 *
2991
Seg.
9 991 1
5 *2 *
60*60*24*30*12*100
Siglos−
=
T(n=1000) = 10282
Siglos.
14. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Recordemos las Variantes de un problema Π
1. Problemas de Decisión
¿Existe una estructura S que satisface las propiedades de п?
Respuesta : SI o NO
2. Problemas de Localización
Encontrar una estructura S que satisface las propiedades de п
Respuesta : S
3. Problemas de Optimización
Encontrar estructura S que satisface las propiedades de п y criterios de
optimización
Respuesta : S* = optimo (S) , ∀ S ∈ Ω
15. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Π de optimización tratado como Π de decisión
- Valor objetivo K para la instancia n
- ¿ Existe una solución factible en el conjunto Ω ?
Ejemplo : Problema de cobertura de Vértice.
( Conjunto U de vértices de G, tales que cualquier arco de G inicia y/o
termina en un vértice de U)
z v
xy
w
u
s
U = { w, s, y, z}
16. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
PD de cobertura de vértices :
Existe para el grafo G una cobertura S de tamaño K tal que no exista otra menor.
1. Instancia : Un grafo G y un valor K.
2. Respuesta :
SI : Si hay una cobertura de vértices de tamaño menor o igual a K.
NO : Si no existe.
PO de cobertura de vértices :
Encontrar el subconjunto de vértices menor que sea una cobertura de vértices.
Instancia : Un grafo G.
Respuesta : Una cobertura de vértices de tamaño mínimo.
LUEGO UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN PUEDE SER TRATADO COMO
UNO DE DECISIÓN
17. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Modelo de Cómputo
Los podemos Agrupar en dos grandes conjuntos:
Deterministicos.
NO Deterministicos.
DETERMINISTICO :
Modelo matemático estándar, Siempre lo mismo.
SI NO
NO DETERMINISTICO :
Modelo compuesto de dos fases: Adivinación, Verificación.
SI NO
18. COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL
Clases de Problemas de Decisión
Clases P de problemas
Conjunto de problemas, para los cuales se conoce un algoritmo Polinomial en una
maquina Determinista.
Clases NP de problemas
Conjunto de problemas, para los cuales se toma aleatoria mente una posible solución, y
se prueba su factibilidad con un algoritmo Polinomial en una maquina
Determinista.
Clases NP-Completo de problemas
Se dice que un problema se decisión A pertenece a NP-Completo cuando:
1. A ∈ NP.
2. Cada Problema en NP se puede reducir polinomialmente a A.
