1. MODELOWANIE PROCESÓW
TECHNOLOGICZNYCH
Robert Aranowski
tel.: 347 23 34
e-mail: aran@chem.pg.gda.pl
http://www.technologia.gda.pl/dydaktyka/03-
htt // t h l i d l/d d kt k /03
04/1/modelowanie/modelowanie.html
Katedra Technologii Chemicznej
Wydział Chemiczny
Politechnika Gdańska
2. Szacowanie błędów pomiarowych
Błąd pojedynczego pomiaru:
gdzie: xi – wartość zmierzona
zi – błąd pomiaru
zi = μ − xi
μ – wartość rzeczywista
m ⎛m ⎞
≈ P (a < z < b ) lub ⎜ ⎟ = P (a < z < b )
n ⎝ n ⎠n →∞
Rozkład błędu przypadkowego:
gdzie: P – prawdopodobieństwo znalezienia wartość z w przedziale (a,b)
m – ilość pomiarów w których wartość z znajduje się wewnątrz
p ed a u
przedziału (a,b)
n – ilość pomiarów Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
3. Szacowanie błędów pomiarowych – cd
cd.
Gęstość prawdopodobieństwa p(z)
b
P (a < z < b ) = ∫ p (z ) z
d
a
Gęstość prawdopodobieństwa p(z) musi spełniać następujące
warunki:
−∞
dP (z )
P (− ∞ < z < ∞ ) = ∫ p (z )dz =1 = p (z )
∞ dz
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
4. Szacowanie błędów pomiarowych – cd
cd.
Funkcja rozkładu normalnego (Gauss’a)
(Gauss a)
1 ⎡ (μ − x )2 ⎤ 1 ⎡ (z )2 ⎤
P (z ) = exp ⎢− ⎥= exp ⎢− 2⎥
σ 2π ⎢
⎣ 2σ 2
⎥ σ 2π
⎦ ⎢ 2σ ⎥
⎣ ⎦
Po raz pierwszy wprowadzona przez Moivre’a.
Precyzja pomiaru opisywana jest wielkością σ2 (
P j i i j t i lk ś i (wariancji)
i ji)
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
5. Szacowanie błędów pomiarowych – cd
cd.
Zależność gęstości prawdopodobieństwa od wartości z:
a) dl różnych wartości wariancji
) dla óż h t ś i i ji
b) dla z wyrażonego poprzez wielokrotność σ
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
6. Szacowanie błędów pomiarowych – cd
cd.
Wartość średnia w rozkładzie normalnym:
n
∑xi
μ≈x = i
=1
n
Błąd średniokwadratowy pojedynczego pomiaru:
ą yp j y g p
n
∑ (x − xi )
2
s = n=1
n −1
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
7. Szacowanie błędów pomiarowych – cd
cd.
Odchylenie standardowe wartości średniej:
n
∑ (x − xi )
sx = i =1
n (n − 1)
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
8. Szacowanie błędów pomiarowych
wielkości złożonych
ś
Złożona wielkość zależna od p parametrów
y = f (μ1 ,..., μ p )
y = f (x 1 ,..., x p )
Wartości x ,..., x p obarczone są błędami s x ,..., s x p 1
Wariancję z próby dla wielkości złożonej po uproszczeniach
można przedstawić w postaci
⎡ ∂f (x 1 ,..., x p )⎤ 2 ⎡ ∂f (x 1 ,..., x p )⎤ 2
2 2
s 2
y =⎢ ⎥ s x 1 + ... + ⎢ ⎥ s xp
⎣ ∂μ1 ⎦ ⎢
⎣ ∂μ p ⎥
⎦
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
9. Szacowanie błędów pomiarowych
wielkości złożonych – cd.
ś
Przykłady 1:
Określ wariancję pomiaru stałej szybkości reakcji chemicznej, która jest
opisana następującą zależnością:
1
1
k = ln
τ 1−x
Błąd pomiaru czasu τ jest bliski zeru, natomiast pomiar stopnia przemiany
x jest charakteryzowany wielkością s x1
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
10. Szacowanie błędów pomiarowych
wielkości złożonych – cd.
ś
2
⎛ ∂k ⎞ 2 1 1
sk = ⎜ ⎟ sx = sx
⎝ ∂x ⎠ τ 1−x
Im wyższa jest wartość stopnia przemiany tym wyższa jest wartość s x 1
a więc większą dokładność stałej prędkości reakcji uzyskamy dokonując
pomiarów w początkowym etapie reakcji.
reakcji
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
11. Szacowanie błędów pomiarowych
wielkości złożonych – cd.
ś
Przykłady 2:
Określ błąd pomiaru energii aktywacji jeśli obliczenia dokonuje się zgodnie
z równaniem:
k2
R ln
k1
E =
1 1
−
T1 T2
zakładamy, że pomiar temperatury dokładnym pomiarem
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
12. Szacowanie błędów pomiarowych
wielkości złożonych – cd.
ś
2 2
⎛ const ⎞ 2 ⎛ const ⎞ 2
sE = ⎜
⎜ k
⎟ sk + ⎜
⎟ ⎜ k
⎟ s1
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠
Zakładając, że błąd pomiaru stałej szybkości reakcji jest stały s k / k
to:
sk sE 2 sk
s E = const 2 i =
k E ln k 2 / k 1 k ( )
Zatem błąd względny oceny energii aktywacji jest większy kilkakrotnie od
oceny błędu względnego stałej szybkości reakcji.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
13. Wykorzystanie kryteriów statystycznych do
wyciągania wniosków z badań doświadczalnych
i i i kó b d ńd ś i d l h
Ocena statystyczna wyników doświadczalnych jest
pomocna przy:
1. Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych jeśli
były one wykonane w odmiennych warunkach
2. Podejmowaniu decyzji, które z kilku dopuszczalnych
równań (jaka teoria) opisuje najlepiej dany proces
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
14. Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych
Do porównania wyników doświadczalnych stosuje się metodę
Fisher a.
Fisher’a W pierwszej kolejności należy określić wariancję z
obu serii i stwierdzić czy różnią się statystycznie. Fischer
wprowadził funkcję:
sx 2
Fe = 2 1
sx 2
Z prawdopodobieństwem P wariancje pomiarów są równe
jeśli
Fe ≤ F (p ,v 1 ,v 2 )
Metoda Fisher’a nadaje się również do odrzucenia wyników
grubych pomiarów.
b h i ó Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
15. Porównaniu wyników dwóch serii doświadczalnych
W przypadku sprawdzania zależności teoretycznych można wykorzystać
metodę Fischer’a zastępując wariancję pomiarów wariancją resztową:
n
∑ (y i − y ie )
2
s r2 = i
−1
n −k
k – liczba współczynników równania teoretycznego ocenianych na
podstawie doświadczeń.
Porównanie wariancji rusztowych obliczonych dla różnych zależności
P ó i i ji h bli h dl óż h l ż ś i
teoretycznych pozwala na określenie równania najdokładniejszego o
najmniejszej wartości wariancji rusztowej
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
16. Planowanie doświadczeń – metoda
simpleksów
l k ó
Simpleksem p zmiennych jest
wielościan w p-wymiarowej
przestrzeni o p+1 wierzchołkach
uzyskanych przez przecięcie p-
hiperpłaszczyzn. Przykładem
p p y y
simpleksu w przestrzeni dwu
zmiennych jest trójkąt, a w
przestrzeni trójwymiarowej
czworościan.
Metody planowania simpleksowego
wraz z ich modyfikacjami są oparte na
powszechnie stosowanej
simpleksowej metodzie poszukiwania
ekstremum.
k t
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
17. Planowanie doświadczeń – metoda
simpleksów – cd.
l k ó d
Metoda postępowania jest następująca:
Początkowo określa się wartość y w punktach określonych zbiorami
wartości x1,...,xp, stanowiących wierzchołki simpleksu. Następnie wybiera
się wierzchołek z najniższą wartością y i określa się nowy wierzchołek
p
położony symetrycznie względem przeciwległej ściany. W nowym
y y y gę p g j y y
simpleksie opierającym się na wszystkich wierzchołkach starego simpleksu
z wyjątkiem tego, który został zastąpiony nowym wierzchołkiem, wybiera
się wierzchołek o najniższej wartości y i postępowanie powtarza się W
się.
ten sposób następuje posuwanie się w kierunku optimum. Ponieważ przy
dużej liczbie zmiennych do każdego wierzchołka można zbudować wiele
wierzchołków symetrycznych to jako środek symetrii wybiera się środek
symetrycznych,
ciężkości pozostałych punktów początkowego simpleksu.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
18. Planowanie doświadczeń – metoda
simpleksów – cd.
l k ó d
Współrzędne środka ciężkości można ocenić, posługując się rachunkiem
wektorowym. Wektor rc środka ciężkości c punktów pozostałych po
odrzuceniu wierzchołka j o najniższej wartości y można przedstawić przez
wektory tych punktów rl:
n
∑ rl
rc = l
=1
(l ≠ j)
p
Wektor rj’ punktu j' symetrycznego do punktu j względem środka
ciężkości c można znaleźć na podstawie wektora rj punktu j wektora c
łączącego punkty j i c
ł k
r j ' = r j − 2c
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
19. Planowanie doświadczeń – metoda
simpleksów – cd.
l k ó d
Wektor c jest różnicą wektorów rl i rc
c = r j − rc
p
∑ rl
r j ' = 2rc − r j = 2 l=1
− r j (l ≠ j )
p
Zgodnie z tą zależnością, dla zmiennej xi w punkcie j’ symetrycznym do
punktu j , mamy p
∑ ril
x ij ' = 2 l=1
− x ij (l ≠ j)
p
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
20. Planowanie doświadczeń – metoda
simpleksów – cd.
l k ó d
Przy stosowaniu planów simpleksowych, tak samo jak przy planach
czynnikowych i powtórzeniach ułamkowych, stosuje się zmienne
bezwymiarowe. Pewne trudności sprawia wybór postaci simpleksu
y p y p p
początkowego.
We wczesnych pracach stosowano simpleksy foremne, o równych bokach.
W przypadku trzech zmiennych simpleksem początkowym może być
czworościan równoboczny o krawędzi równej jedności (wysokość
czworościanu jest równa ok. 0,82 długości krawędzi).
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska
21. Planowanie doświadczeń – metoda
simpleksów – cd.
l k ó d
Istotną zaletą planowania simpleksowego jest możliwość dołączenia
w trakcie doświadczenia nowego (p+1)-ego czynnika, który wcześniej
nie był uwzględniony (miał ustaloną wartość). Wprowadzenie tego
czynnika, wymaga przeprowadzenia tylko jednego doświadczenia
uzupełniającego, podczas gdy przy planowaniu czynnikowym należałoby
p ją g , p g yp yp y y y
podwoić liczbę doświadczeń.
Katedra Technologii Chemicznej
Politechnika Gdańska