Derivadas

1. Derivadas
Definição:
f’(p) = px
pfxf
px −
−
→
)()(
lim
Exercícios. Calcule f'(p), pela definição, sendo dados:
(a) f(x) = x2
+ x e p = 1 (b) f(x) = x e p = 4
(c) f(x) = 5x - 3 e p = -3 (d) f(x) = 1/x e p = 1
(e) f(x) = x1/2
e p = 3 (f) f(x) = x2
+ 1 e p = 0
(g) f(x) = 5 e p = -2 (h) f(x) = -7 e p = 1
Regras de Derivação
1. f(x) = c ⇒ f’(x) = 0
2. f(x) = xn
⇒ f’(x) = n xn-1
3. f(x) = c g(x) ⇒ f’(x) = c g’(x)
4. (f ± g)’ = f’ ± g’
5. f(x) = ex
⇒ f’(x) = ex
6. f(x) = ln x ⇒ f’(x) = 1/x
7. f(x) = sen x ⇒ f’(x) = cos x
8. f(x) = cos x ⇒ f’(x) = - sen x
9. f(x) = tg x ⇒ f´(x) = sec2
x
10. f(x) = sec x ⇒ f´(x) = sec x tg x
11. f(x) = cotg x ⇒ f´(x) = - cossec2
x
12. f(x) = cossec x ⇒ f´(x) = - cossec x cotg x
13.(f g)’ = f’ g + f g’
14.
'






g
f
= 2
''
g
gfgf −
Exercícios. Calcular f’(x), onde:
(a) f(x) = 3x2
+ 5x (b) f(x) = x3
+ x2
+ 1
(c) f(x) = 3x3
- 2x2
+ 4 (d) f(x) = 3x + x1/2
(e) f(x) = 5 + 3x-2
(f) f(x) = 2x1/3
(g) f(x) = 3x + 1/x (h) f(x) = 4/x + 5/x2
(i) f(x) = x/(x2
+1) (j) f(x) = (x2
-1)/(x+1)
(k) f(x) = (x1/3
+x)/(x2
+x1/4
) (l) f(x) = 3x2
+ 5 cos x
(m) f(x) = x senx (n) f(x) = cosx +(x2
+1) senx
(o) f(x) = (x+1)/(x lnx) (p) f(x) = x2
senx + cos x
(q) f(x) = ex
cos x
1

2. Regra da Cadeia para Derivação de Função Composta
Sejam y = f(x) e x = g(t) duas funções deriváveis, com Im(g) ⊂ D(f). Então a
composta h(t) = f(g(t)) é derivável e h'(t) = f'(g(t)) g'(t).
Regras de Derivação
1. (k)’ = 0;
2. (un
)’ = n un-1
u’;
3. [k u]’ = k u’;
4. [u ± v]’ = u’ ± v’;
5. (eu
)’ = eu
u’;
6. (ln u)’ =
u
1
u’;
7. (sen u)’ = cos u u';
8. (cos u)’ = - sen u u’;
9. (tg u)’ = sec2
u u’;
10. (sec u)’ = sec u tg u u’;
11. (cotg u)’ = - cossec2
u u’;
12.(cossec u)’ = -cossec u cotg u u’;
13. [u v]’ = u’ v + u v’;
14.
'






g
f
= 2
''
g
gfgf −
;
Exercícios. Calcule f'(x) onde:
a) f(x) = 13 +x b) f(x) = (x2
+ 3)4
c) f(x) = sen(cos x)
d) f(x) = x
x
2sen
5cos
e) f(x) = e-x
+ ln(2x+1) f) f(x) = 3 2
3+x
g) f(x) = x3
e-3x
h) f(x) = ex
cos 2x i) f(x) = (3x2
+1)3
Derivada de f(x)g(x)
Fórmula: [f(x)g(x)
]’ = f(x)g(x)
[g(x) ln f(x)]’
Exercícios. Calcule as seguintes derivadas.
a) y = (2 + sen x)cos 3x
b) y = (2x + 1)x
c) y = (1 + 1/x)x
d) y = (x2
+ 1)π
e) y = ln(1 + xx
) f) y = x2
g) y = xx
h) y = 3x
d) y = (1 – cos x)sen x
2

3. Derivação de Função dada Implicitamente
Consideremos uma equação nas variáveis x e y. Dizemos que uma função y = f(x) é
dada implicitamente por tal equação se, para todo x no domínio de f, o ponto (x,f(x)) for
solução da equação.
Exercícios.
1. Expresse y’ = f’(x) em termos de x e y, onde y = f(x) é uma função diferenciável dada
implicitamente pela equação:
a) x2
- y2
= 4 b) y3
+ x2
y = x + 4
c) 5y + cos y = xy d) xey
+ xy = 3
e) y + ln (x2
+ y2
) = 4
2. Uma escada de 8m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada
for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 m/s, com que velocidade a
extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede?
ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES.
Teorema1. Seja f contínua no intervalo I.
a) Se f'(x) > 0 para todo x interior a I, então f será estritamente crescente em I;
b) Se f'(x) < 0 para todo x interior a I, então f será estritamente decrescente em I.
Teorema2. Seja f uma função que admite derivada até 2ª ordem no intervalo I.
a) Se f''(x) > 0 em I, então f terá a concavidade para cima em I;
b) Se f''(x) < 0 em I, então f terá a concavidade para baixo em I.
Gráficos.
Para o esboço do gráfico de uma função f, sugerimos o roteiro:
a) explicitar o domínio;
b) determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento;
c) estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexão;
d) calcular os limites laterais de f, em p, nos casos:
(i) p ∉ D(f), mas p é extremo de um dos intervalos que compõem D(f)
(ii) p ∈ D(f), mas f não é contínua em p;
e) calcular os limites para x → +∞ e x → -∞;
f) determinar ou localizar as raízes de f.
3

4. Exercícios. Esboce os gráficos das seguintes funções:
a) f(x) = x3
- x2
- x + 1;
b) f(x) = x3
- 2x2
+ x + 2;
c) f(x) = 2
2
31 x
xx
+
−
;
Máximos e Mínimos:
Definição1. Sejam f uma função, A ⊂ D(f) e p ∈ A. Dizemos que f(p) é o valor máximo
de f em A ou que p é um ponto de máximo de f em A se f(x) ≤ f(p) para todo x em A. Se
f(x) ≥ f(p) para todo x em A, dizemos então que f(p) é o valor mínimo de f em A ou que p
é um ponto de mínimo de f em A.
Definição2. Sejam f uma função e p ∈ D(f). Dizemos que f(p) é o valor máximo global de
f ou que p é um ponto de máximo global de f se, para todo x em D(f), f(x) ≤ f(p). Se, para
todo x em D(f), f(x) ≥ f(p), diremos então que f(p) é o valor mínimo global de f ou que p é
um ponto de mínimo global de f.
Definição3. Sejam f uma função e p ∈ D(f). Dizemos que p é ponto de máximo local de f
se existir r > 0 tal que f(x) ≤ f(p) para todo x em ]p-r,p+r[ ∩ D(f). Por outro lado, dizemos
que p é ponto de mínimo local de f se existir r > 0 tal que f(x) ≥ f(p) para todo x em ]p-
r,p+r[ ∩ D(f).
Exercícios.
1. Determine dois números positivos cuja soma seja 4 e tal que a soma do cubo do menor com o
quadrado do maior seja mínima?
2. Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja mínima.
3. Um corpo é lançado obliquamente a partir da superfície da terra, com velocidade inicial. Desse modo,
descreve-se uma trajetória parabólica, que representa a função y = x – 0,1 x2
(x e y em metros)
a) calcule a altura máxima atingida por esse corpo;
b) obtenha o alcance desse corpo, ou seja, a distância horizontal que o corpo percorre até encontrar
novamente o solo.
4. Em uma partida de futebol, a cobrança de uma falta lança a bola em uma trajetória tal, que a altura h,
em metros, varia com o tempo t, em segundos, de acordo com a fórmula h(t) = -t2
+ 10 t. Em que instante
a bola atinge a altura máxima? De quantos metros é essa altura?
5. Um carpinteiro vai construir um galinheiro retangular. Ele vai usar L m de tela e, para um dos lados,
pretende aproveitar uma parede já existente. Expresse a área desse galinheiro em função da medida de um
4

5. dos lados. A seguir, descubra quais são as medidas dos lados desse retângulo para que a área seja
máxima.
6. Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de batimentos
cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente (em graus Celsius) segundo a função N(t)
= 0.1 t2
– 4 t + 90. Nessas condições, em qual temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto é
mínimo? Qual é esse número?
7. Para uma excursão foi fretado um avião de 100 lugares. Cada pessoa deve pagar para a companhia de
avião R$ 2000,00 e mais uma taxa de R$ 40,00 para cada lugar não ocupado do avião. Qual é a quantia
máxima que a companhia pode receber?
8. Quais as dimensões de um retângulo de perímetro P dado que maximizam sua área?
9. Um campo petrolífero tem 20 poços e vem produzindo 4.000 barris/dia de petróleo. Para cada novo
poço perfurado, a produção diária de cada poço decai de 5 barris. Determine o número de poços que
devem ser perfurados para maximizar a produção diária do campo petrolífero.
10. Suponha que uma caixa retangular tenha 324 cm3
de volume e base quadrada de lado x cm. O material
da base custa 2 centavos por cm2
e o material para a tampa e para os quatro lados custa 1 centavo por cm2
.
Determine as dimensões da caixa que minimizam seu custo.
5

6. dos lados. A seguir, descubra quais são as medidas dos lados desse retângulo para que a área seja
máxima.
6. Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de batimentos
cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente (em graus Celsius) segundo a função N(t)
= 0.1 t2
– 4 t + 90. Nessas condições, em qual temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto é
mínimo? Qual é esse número?
7. Para uma excursão foi fretado um avião de 100 lugares. Cada pessoa deve pagar para a companhia de
avião R$ 2000,00 e mais uma taxa de R$ 40,00 para cada lugar não ocupado do avião. Qual é a quantia
máxima que a companhia pode receber?
8. Quais as dimensões de um retângulo de perímetro P dado que maximizam sua área?
9. Um campo petrolífero tem 20 poços e vem produzindo 4.000 barris/dia de petróleo. Para cada novo
poço perfurado, a produção diária de cada poço decai de 5 barris. Determine o número de poços que
devem ser perfurados para maximizar a produção diária do campo petrolífero.
10. Suponha que uma caixa retangular tenha 324 cm3
de volume e base quadrada de lado x cm. O material
da base custa 2 centavos por cm2
e o material para a tampa e para os quatro lados custa 1 centavo por cm2
.
Determine as dimensões da caixa que minimizam seu custo.
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