1. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan
masalah.
1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral
tertentu .
1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral
tertentu dari fungsi aljabar dan fungsi
trigonometri yang sederhana.
1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas
daerah di bawah kurva dan volume benda putar.
INTEGRAL TAK TENTU
DEFINISI
Diketahui fungsi F ( x ) dengan F’ ( x ) = f ( x ) , maka : f (x)d x F( x)C
Bentuk f (x)dx dinamakan integral tak tentu karena hasilnya masih mengandung suatu
konstanta C .
A . TEOREMA INTEGRAL TAK TENTU
Teorema-teorema integral tak tentu adalah sebagai berikut :
1. d x x C
2. k d x k d x C k x C , dengan k bilangan riil
x a 1
3. xa d x
a 1
C
4. [ f ( x ) g ( x ) ] d x f ( x ) d x g ( x ) d x
dx
5. x
ln x C
1. 4 dx 4 x C
x 61 x7
2. x 6 dx
6 1
C
7
C
1
1 1 3 3
x2
2 20 2
3. 10 x 2 dx 10 C 10 x 2 . C x C
1 3 3
1
2
2 5
3 3 3 3 3 2
x dx dx x C x5 C x x C
3 3
4. 2
x3
5 5 5
1 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
2. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
(3x
3 6
5. 5
2 x 10 ) dx x x 2 10 x C
6
6. 1 2xx 6
2
dx 1 2 x x 2 12 x 36 dx 36 84 x 25x 2 2 x 3 dx
25 3 1 4
36 x 42 x 2 x x C
3 2
1
x3 x x3 x 3 2 2
x x2
2
dx x x C x 2 C
7.
x2
dx
2 dx
x2 x
2 1 2 x
2
Selesaikan integral berikut :
1. 8 dx 9. x ( x 12 ) dx
2. x dx 10. ( x 1 ) ( x 2 ) ( 1 2 x ) dx
16
x
dx 11. ( x 3 ) ( x 4 ) dx
2
3. 6
( x x ) ( x x ) dx
1 1
12.
4. x dx 5 2
(
1 1
x
dx 13. x x
5. )( ) dx
3 x x
( x2 1)
6. ( 2 x 3 3 x 2 x 10 ) dx 14. dx
3
x2
( x x x ) dx
6 1 1
7.
( 2 x 1)( x 4 )
2
15. dx
x4
8. ( 4 x 5 ) ( x 6 ) dx
B . PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU
Salah satu penerapan dari integral tak tentu adalah untuk menentukan persamaan kurva dari
suatu fungsi yang diketahui turunan atau persamaan gradient garis singgung pada kurva fungsi
tersebut.
Jika diketahui fungsi F ( x ) dengan F ‘ ( x ) = f ( x ) . F ‘ ( x ) = f ( x ) = m adalah persamaan
gradien garis singgung pada kurva fungsi F ( x ) .
Jika F ‘ ( x ) = f ( x ) diketahui , maka persamaan kurva fungsi F ( x ) dapat ditentukan sebagai
berikut :
1. Tentukan y = f (x)d xF ( x)C. Persamaan y = F ( x ) + C adalah persamaan
himpunan kurva-kurva. Letak dari tiap kurva pada sistem koordinat kartesius berbeda- beda
tergantung dari nilai C.
2. Salah satu anggota himpunan kurva tersebut dapat ditentukan jika diketahui ada titik yang
dilalui oleh kurva tersebut. Jika koordinat titik tersebut disubstitusikan pada persamaan y = F
( x ) + C , maka akan diperoleh nilai C.
3. Substitusikan nilai C yang diperoleh pada persamaan y F ( x) C , sehingga diperoleh
persamaan kurva yang dimaksud.
2 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
3. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
dy
1 . Diketahui persamaan gradient garis singgung pada kurva fungsi y adalah 2 x 10 . Jika
dx
kurva tersebut melalui titik ( −4 , 8 ), tentukan persamaan kurva tersebut !
d2 y
2 . Turunan kedua dari fungsi y adalah 10 x 3 . Untuk x = 1 , gradien garis
d x2
singgungnya sama dengan 5. Kurva tersebut melalui titik ( 6 , 12 ). Tentukan persamaan
kurva fungsi tersebut !
dy
1. Persamaan gradien garis singgung pada kurva fungsi y adalah 2 x 10 .
dx
d y ( 2 x 10 ) d x y ( 2 x 10 ) d x y x 2 10 x C
Melalui ( 4 , 8 ) , jadi y x 10 x C 8 (4) 2 10 (4) C C 32
2
Jadi persamaan kurva yang dimaksud adalah : y x 2 10 x 32
2. Persamaan kurva fungsi tersebut dapat ditentukan sebagai berikut :
dy
dx
( 10 x 3 ) d x 5 x 2 3 x C
Untuk x = 1 , gradien garis singgungnya sama dengan 5 , diperoleh :
dy
5 5 .12 3.1 C C 3
dx
dy
Jadi :
dx
5 x 2 3 x 3 , sehingga d y ( 5 x 2 3 x 3 ) d x y ( 5 x 2 3 x 3 ) d x
5 3 3 2
y x x 3x C .
3 2
5 3
Melalui titik ( 6 , 12 ) , sehingga : 12 . 6 3 . 6 2 3 . 6 C C 336
3 2
5 3
Jadi persamaan kurva yang dimaksud adalah y x 3 x 2 3 x 336 .
3 2
Tentukan persamaan kurva y = F ( x ) , jika diketahui :
1. y ' 8 2 x , kurva melalui titik ( 12 , 4 )
d y 1 1
2. 4 2 , kurva melalui titik ( , 1 )
dx x 2
d y
3. x 4 , dan F ( 9 ) = 6
dx
d y
4. 3 x 2 6 x 1 untuk x = 10 , nilai y = 3 .
dx
d2 y
5. 4 , untuk x = 2 gradien garis singgungnya sama dengan 1. Kurva melalui titik
d x2
(7,5)
3 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
4. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
INTEGRAL TERTENTU
b
Notasi dari integral tertentu adalah : f (x)d x .
a
Nilai a dinamakan batas bawah integrasi , sedangkan nilai b dinamakan batas atas integrasi.
C . TEOREMA DASAR KALKULUS INTEGRAL
Jika diketahui fungsi F ( x ) dengan F ‘ ( x ) = f ( x ) , maka :
b
b
f ( x )d x F( x) F(b) F(a)
a
a
D . TEOREMA INTEGRAL TERTENTU
a
1. a
f (x)d x 0
b a
2. a
f (x)dx
b
f (x)dx
b b
3. a
k.f (x)dx k
a
f (x)d x , dengan k R
b b b
4. [ f ( x) g( x )] d x
a a
f (x) dx g( x )
a
dx
b c c
5. a
f (x) d x
b
f( x ) dx
a
f (x) d x
Hitunglah nilai integral berikut :
6 9 4
x 1
1. ( 2x 3) d x 2. x (1 x ) d x 3.
dx
x3
2 1 2
x 6
6
1. ( 2x 3) d x 3x ( 6 2 3. 6 ) ( 2 2 3. 2 ) ( 36 18 ) ( 4 6 ) 18 2 20
2
2
2
9 9 9 1 3 3 5
2 2 2 2 9
2. x (1 x ) d x ( x x x )dx ( .x 2 x 2 ) d x [
3
x x ]
5 1
1 1 1
3 5 3 5
2 2 2 2 2 2 2 2 486 2 2 1192 7
( .9 .9 )( .1 .1 ) 18 79
3 5 3 5 5 3 5 15 15
4
x
4 4 4
x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7
2
3. 3 dx 2 3 dx x 3 dx 2
2 x 2 x x 2 x x 4 16 2 4 16
2
4 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
5. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
Hitunglah integral berikut :
10 81 6
dx
1.
6
12 d x 5.
16
4
x
9. ( x 10 ) ( x 3 ) d x
3
6 4 20
(3x 7 ) d x ( 6 x )( 5 x 1)d x
1
2. dx 6. 10.
2
x3 2 8
3 10 16
(6x
9
3. 2
dx 7. 2
4 x 1)d x 11. x (3x 8)d x
5
x 6 4
32 8 64
( 12 x )
4. 8. (1 5 x ) 12.
2
5
x3 d x dx dx
3
1 3 8
x
PENERAPAN INTEGRAL TERTENTU
E . LUAS DAERAH
1 . Luas Daerah Yang Dibatasi Kurva y = f ( x ) dan Sumbu x
Luas daerah yang dibatasi kurva y = f ( x ) , dan sumbu
x , untuk daerah yang terletak di atas sumbu x , adalah f(x)
:
b
L
a
f (x)dx
x
a b
a b
Luas daerah yang dibatasi kurva y = f ( x ) , dan sumbu x ,
untuk daerah yang terletak di bawah sumbu x , adalah : x
a b
L f (x)dx f (x)dx
b a
f(x)
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh
1 . garis x 2 y 4 , garis x = 5, garis x = 7, dan sumbu x !
2 . kurva y x 2 2 x 15 , garis x = 5 , dan garis x = 2 , dan sumbu x !
3 . kurva y 6 x x 2 , dan sumbu x
4 . kurva y x 2 3x 4 , sumbu y , dan garis x = 4
5 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
6. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
1 . Sketsa :
Untuk menghitung luas daerah yang diarsir,
y persamaan garis x 2 y 4 , diubah dahulu menjadi
x4 x
bentuk : y y 2
2 2
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah :
4 x
7
5 7 x
7
x2
−2
L 2 dx 2 x
5 4
2 5
49 25
14 10 2 SL
4 4
2 . Sketsa daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 2 x 15 , sumbu x , garis x = 5 , dan
garis x = 2 :
y x 2 2 x 15 ( x 5 ) ( x 2 )
Titik potong kurva dengan sumbu x adalah ( 5 , 0 ) dan ( 2 ,
0 ).
Luas daerah :
−2 2 x
3 3
L ( x 2 2 x 15 ) d x (x 2 x 15 ) d x
2
−5 5
5 2
1 3 3 1 3
[ x x 2 15 x ] [ x 3 x 2 15 x ]
3 5 3 2
1 1
{[ (3) 3 (3) 2 15 (3) ] [ (5) 3 (5) 2 15 (5) ]}
3 3
1 1
{[ (3) 3 (3) 2 15 (3) ] [ 2 3 2 2 15. 2 ]}
3 3
1 1 1 8
{[ (27) 9 45 ] [ (125) 25 75 ]} {[ (27) 9 45 ] [ 4 30 ]}
3 3 3 3
125 8
9 9 45 25 75 9 9 45 4 30 77 SL
3 3
3 . Sketsa :
Luas daerah yang diarsir :
y
2
6 x x
2
1 1
L 2
dx 6 x x 2 x 3
2 3
3 3
x
−3 2
8 9 7
12 2 18 27 SL
3 4 12
y
4 . Luas daerah :
4
4
1 3
L x 3x 4 dx x 3 x 2 4 x
2
0 3 2
0
x
64 48 1
16 0 61 SL 0 4
3 2 3
6 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
7. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva berikut :
1. y 6 , sumbu x , garis x = 2 dan garis x = 4
2. x 2 y 4 sumbu x , garis x = 1 dan garis x = 7
3. 3 x 4 y 12 sumbu x , garis x = 3 dan garis x = 6
4. y x 2 sumbu x , dan garis x = 3
5. y x 2 6 x 8 sumbu x dan sumbu y
6. y 6 x x 2 dan sumbu x
7. x 2 y 2 16 , di kuadran pertama y
x2 y2
8. 1 , di atas sumbu x
16 4
7
2
9. y 2 sumbu x , garis x = 1 dan garis x = 4
x
10. y x 3 sumbu x , dan garis x = 3 3
11. y x 4 8 x 2 sumbu x , garis x = 1 dan garis x = 3
12. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di x
samping: −5 −2 1
2 . Luas Daerah Yang Dibatasi Kurva x = f ( y ) dan Sumbu y
y
Luas daerah yang dibatasi kurva x = f ( y ) , dan sumbu y , untuk daerah
b
yang terletak di kanan sumbu y , adalah :
b
y
L f ( y)d y
b
a
Luas daerah yang dibatasi kurva x = f ( y ) , dan
sumbu y , untuk daerah yang terletak di kiri sumbu
a y , adalah :
a b
L f ( y)d y f ( y)d y
a
b a
y
6
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva 3 x y 3 ,
sumbu y , garis y = 2 , dan garis y = 6
3
2 x
y 3
Diketahui : 3 x y 3 x −1
3
7 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
8. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
2 6
1 y2 1 y2
2 6
y3 y3
L d y d y 3y 3y
3 3 3
3 3 2
3 3 2
3
1 22 32 1 6 2 32 5
L 2
3 .2
2
3 . 3
3 2
3 .6
2
3 . 3 SL
3
3
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut :
1. x 4 y 8 , sumbu x , sumbu y , garis y = 4
2. y 2 8 x , sumbu y , garis y = 2 , dan garis y = 1
x2 y2
3. 1 , sumbu x , sumbu y , dan garis y = 6
25 16
4. y x 2 , sumbu y , garis y = 0 , garis y = 3 , di kuadran pertama.
3 . Luas Daerah Yang Dibatasi Dua Kurva
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi f ( x ) dan g ( x ) dengan f ( x ) ≥ g ( x ) , adalah :
f(x) b
L [ f ( x) g ( x)]d x
a
Dengan a dan b adalah absis titik potong antara
kedua kurva.
g(x) x
a b
y
7
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 x 18 , dan y 6 x !
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 x 18 , dan y 6 x adalah : x
Absis titik potong : 7
( x 6 )( x 4 ) 0
4
x 2 x 18 6 x
x 6 atau x 4 7
x 2 2 x 24 0
4 4 4
x3
L
6
[( 6 x ) ( x 2 x 18 )] d x
6
( 24 2 x x 2 ) d x 24 x x 2
3
6
43
24 . (6) (6) 2 (6)
3
166 2 SL
24 . 4 4 2
3 3 3
8 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
9. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut :
1. y x 2 10 x 10 dan y 3 x 20
2. y x 5 x 3 dan
2
y 2x 7
3. y x 6 x 9 dan y x 2 4 x 3
2
4. y 2 x 2 4 x 12 dan y x 2 8 x 20
5. y x 2 dan y 2 x
6. y x 2 4 x 5 dan y x 2 4 x 1
7. y x2 6 x 2 , y x 2 2 x 12 , x = 1 , dan x = 4
8. y x 2 7 x 13 dan y x 2 x 3
Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar berikut :
9. 10.
y x3
y y
yx
x 2 y 1
2x y 8
x
1 3 x
F . VOLUME BENDA PUTAR
1 . Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu x
f(x)
Volume benda putar yang diperoleh jika daerah
yang dibatasi oleh kurva : y = f ( x ) , sumbu x ,
garis x = a dan x = b , diputar mengelilingi sumbu
x sejauh 360 , adalah :
x b
V [ f ( y)]
2
dy
a b a
9 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
10. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
Hitunglah volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x 2 2 x 24 , sumbu x , garis x = 1 dan x = 3 , diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 !
Volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 2 x 24 ,
sumbu x , garis x = 1 dan x = 3 , diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 , sama dengan :
4 2 4
V x 2 2 x 24 d x x 4 4 x 3 44 x 2 96 x 576 d x
1 1
x5 44 x 3 4
x4 48 x 2 576 x
5
3 1
4 5 44 . 4 3 (1 ) 5 44 . (1 ) 3
44 48 . 4 2 576 . 4 (1 ) 4 48 . (1 ) 2 576 . (1 )
5
3 5
3
1024 2816 1 44 1023 2860
256 768 2304 1 48 576 2416
5 3 5 3 5 3
3069 14300 36240 25009 4
1667 SV
15 15 15
Hitunglah volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut
diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 !
1. 4 x 3 y 12 , sumbu x , garis x = 4 , dan x = 7
2. 8 x 5 y 40 , sumbu x , dan x = 1
3. y x 2 , sumbu x , garis x = 1 , dan x = 3
4. y x 2 4 , sumbu x .
5. y x 2 8 x , sumbu x , garis x = 5 , dan x = 0
6. y x 2 4 x 3 , sumbu x , garis x = 2 , dan x = 6
Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang diarsir pada gambar
berikut diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 !
7. 8.
y y
x −7 x
3 4 7
y = 4x2 x2 y2
1
49 16
10 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
11. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
2 . Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu y
Volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh
kurva : x= f ( y ) , sumbu y , garis y = a dan y = b , diputar
mengelilingi sumbu y sejauh 360 , adalah :
b
V [ f ( y)]
2
dy
a
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis x 2y6 ,
sumbu y , garis y = 2 dan y = 6 , diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 !
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh
garis x 2 y 6 , sumbu y , garis y = 2 dan y = 6 , diputar y
mengelilingi sumbu y sejauh 360 , adalah :
6
x 2y6 x 2y6
2 x
2
6
6
V 2 y 6 d y y2 6 y 6
2 −3
62 6 . 6 22 6. 2 72 16 56 SV
Hitunglah volume benda putar yang terjadi , jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva
berikut
diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 !
1. y 4 x , sumbu y , garis y = 2 dan y = 3.
2. y 12 x , sumbu y , garis y = 0 dan y = 4.
3. y x 2 6 , sumbu y , garis y = 1 dan y = 3.
x2 y2
4. 1 , sumbu y , garis y = 0 dan y = 1.
16 4
x2 y 2
5. 1 , sumbu y , garis y = 1 dan y = 6.
25 16
11 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
12. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI
F . DALIL RANTAI
Diketahui fungsi y f g x , turunan fungsi tersebut dapat ditentukan dengan
menggunakan dalil rantai yaitu :
d y d f du
d x du d x
dengan u g x
Tentukan turunan dari fungsi f ( x) sin 4 ( 8x 5 2 x ) !
Misal : u 8x 5 2 x maka y sin 4 u
v sin u maka y v 4 , jadi :
d y d y dv du
4 v 3 . cos u . ( 40 x 4 2 ) 8 ( 20 x 4 1 ) . sin 3 u . cos ( 8 x 5 2 x )
d x dv du d x
8 ( 20 x 4 1 ) . sin 3 ( 8 x 5 2 x ) . cos ( 8 x 5 2 x ) 4 ( 20 x 4 1 ) . sin 2 ( 8 x 5 2 x ) . sin ( 16 x 5 4 x )
1. Tentukan turunan dari fungsi berikut :
a.
f ( x ) 2 x5 3 7
b.
f ( x ) 3 sin 2 6 x 3 2 x
c. f ( x ) cos 4
3x7
d. f ( x ) sin (2 x 6 1 ) . cos 2 4 x 2
3
e. f(x) 5
(4 x 3 1 ) 2 sin x 1
2
2. Hitunglah nilai turunan dari fungsi berikut :
a. f(x)4 x 2
2
3
, untuk x 16
2
b. f(x) sin 3 2 x , untuk x
3
12 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
13. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
TEKNIK PENGINTEGRALAN
F . INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI
Bentuk umum integral dengan substitusi , adalah : f ( u ).u' d x u C
x 2 dx
1 . Tentukan hasil dari : 4
x3 9
4
2 . Hitunglah : x 1
2 x 2 1 d x .....
1
1. Misal : u x 3 9 d u 3 x 2 d x d u x2 d x , jadi :
3
1
du 1 3
x 2 dx
3 1 1 4 4
u 4 d u . .u 4 C 4
x3 9 C
4
x 9
3 4 u 3 3 3 9
4
2. x
1
2 x 2 1 d x .....
CARA I :
1
Misal : u 2 x 2 1 d u 4 x d x du xd x
4
2 x
1 3
1 1 1 2 2 1 3
x 2 x 2 1 d x u. du u2 du . .u C 2
1 C
4 4 4 3 6
4
2 x 2.4 2 .1
4
1 1 1
3 3 3
2 x 2 1 d x 1 1 1
2 2 2
Jadi : x 6
1 6 1 6
31 1
31
6 6
CARA II :
1
Misal : u 2 x 2 1 d u 4 x d x du xd x
4
Perubahan batas : untuk x 1 maka u 2 . 12 1 1
untuk x 4 maka u 2 . 4 2 1 31
Jadi :
4 31 31 1 1 2 3 31 1
31
x
1 1 31 1
2 x 1 d x
2
u . du u2 d u . .u 2 u 3
31
4 4 4 3
1
6 6 6
1 1 1 1
13 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
14. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
Selesaikan integral-integral berikut :
2 3x
64
4x 7 dx
10
1. 7. 8 4 x 3x 2 dx
1
12. dx
3 4 x7
20 x dx
2x 8 dx
5
8
2. 3
8. 9
x6 4
3.
2 x dx
4 x 1 2
13. 6 x 1 dx
6 x 3 dx
4
2 9. 4
9
0
x dx 14. 6 x 1 dx
4. 10 8 x 4
x
2
10. x 1 dx
2 4
x 2 dx
1
5.
x2 4 x 7 3
x2
11. dx
6. x2 x 3 2 dx 0
x3 2
F . INTEGRAL TRIGONOMETRI
Rumus-rumus integral trigonometri :
1. sin x dx cos x C 5. cos a x b dx a sin a x b C
1
2. cos x dx sin x C sin m1 x
6. sin m x . cos x dx
m 1
C
3. tan x dx ln sec x C cos m1 x
7. cos m x . sin x dx C
sin a x b dx a cos a x b C
1
4. m 1
Selesaikan :
3 x 4 sin 2 x d x sin
5 2
1. 4. x dx
cos x 1
2. 1 sin x d x 5.
0
2
sin x
dx
3
cos 2 x
3. sin 4x . cos 2x dx
3 x 4 sin 2 x d x
1 6
1. 5
x 2 cos 2 x C
2
cos x
2. 1 sin x d x ...
Misal : u 1 sin x d u cos x d x , jadi :
14 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
15. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
cos x du
1 sin x d x u
ln u C ln ( 1 sin x ) C
3. sin 4x . cos 2x d x ...
1 1
Ingat rumus : sin . cos sin ( ) sin ( )
2 2
1 1 1 1
Maka : sin 4 x . cos 2 x sin ( 4 x 2 x ) sin ( 4 x 2 x ) sin 6 x sin 2 x
2 2 2 2
1
1 1 1
Jadi : sin 4 x . cos 2 x d x sin 6 x sin 2 x d x cos 6 x cos 2 x C
2 2 12 4
4. sin x d x ...
2
1 cos 2 1 1
Ingat rumus : cos 2 . 1 2 sin 2 sin 2 cos 2
2 2 2
1 1
sin
1 1
2
x d x cos 2 x d x x sin 4 x C
2 2 2 4
1
sin x
5. 0
2
3
cos 2 x
d x ...
1
1 1
2
sin x
2
2 1 2
0
3
cos 2 x
dx
0
cos 3 x . sin x d x
3 cos 3 x
0
0 3 3
Selesaikan integral berikut :
sin x . 1 cos x d x
3
9. 2
4
x cos x d x 1
cos 4 2 x d x
3
1. 15.
10. 3 cos 8 x . cos 4 x d x 0
2. cos 3 x d x 11. cos x 1cos x 1d x
cos
2
16. x dx
3. sin 4 x 1 d x 12. x sin 5 x 1 d x
3 4 1
3
4. cos 10 5 x d x 1
1 sin x d x
cos x
13.
cos
3
sin x . cos x d x
3
5. 5
17. 2
x sin 2 x d x
1 0
6 cos 2 x . sin 2 x d x
5
6. 2
sin
2
14. x . cos x d x
2 cos x
7. sin x d x 5
1
6
sin x d x
3
8.
18. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y sin 2 x , sumbu x , garis x 0 ,
dan x
19. Hitunglah luasdaerah yang dibatasi oleh kurva y sin x , y cos x , garis x 0
1
dan x
4
20. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y cos x
,
1 3
sumbu x , garis x dan x , diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 !
2 2
15 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
16. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
F . INTEGRAL PARSIAL
Rumus integral parsial : u d v u .v v d u
Selesaikan :
x x 1 d x x
2
1. 2. cos x d x
1. x x 1 d x ...
Misal : ux dud x
1
3
x 1 x 1 2
2
d v x 1 d x v x 1 d x 2 dx C
3
3 3
Jadi : x x 1 d x x .
2
x 1 2
2
x 1 2 . dx
3 3
u v v du
5
x x 1 . x 1 2 C
2 2 2
x 1
3 3 5
x x 1 x 1 2 x 1 C
2 4
x 1
3 15
2. x cos x d x ...
2
CARA I :
Misal : u x2 du 2xd x
d v cos x d x v cos x d x sin x C
Jadi : x cos x d x sin x
2
x2 . sin x . 2 x d x
u v v du
x 2 sin x 2 x sin x d x
x sin x d x ...
Misal : ux du d x
d v sin x d x v sin x d x cos x C
Jadi : x sin x dx x . cos x cos x dx
u v v du
16 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com
17. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
x cos x cos x d x x cos x sin x C
Kesimpulan : x cos x d x .x 2 sin x 2 ( x cos x sin x ) C
2
.x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x C
CARA II :
x
2
cos x d x x
2
d sin x
x 2 sin x sin x d x 2
x 2 sin x 2 x sin x d x x 2 sin x 2 x d cos x
x 2 sin x 2 x cos x cos x d x
x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x C
Selesaikan integral berikut :
x 1 x d x
16
1. 2 2
x
4. dx
x 1
x 1 d x
x 4
2. 1
3
4
x sin 2 x d x 5. sin
2
3. 2
x dx
0
17 | hal
http://berbagimedia.wordpress.com