1. UNIDAD 6
DESIGUALDADES
En unidades anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solución
de ecuaciones lineales y cuadráticas. El estudio de las DESIGUALDADES es útil, cuando el valor
aproximado de una cantidad, interesa más que su valor exacto.
La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello
utilizamos los símbolos:
>: Mayor que.  : Mayor o igual que.
<: Menor que.  : Menor o igual que.
Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos
de desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “  ”, “mayor o igual que”; “  ”, “menor o igual
que”.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:
1. Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva)
Si a < b y b < c, entonces a < c
2. Si a > b, entonces (a  c) > (b  c)
Si a < b, entonces (a  c) < (b  c).
3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc
Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.
a b
4. Si a > b y c > 0, entonces 
c c
a b
Si a > b y c < 0, entonces 
c c

2. [Escribir texto]
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5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva)
6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd
7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces an > bn
1 1
8. Si a > b, entonces 
a b
a  0  b  0 a  0  b  0
 
9. a  b  0, si   a  b  0, si  
a  0  b  0 a  0  b  0
 
10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.
Ejemplo 36  63
Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales
a. Desigualdades absolutas: o incondicionales, son semejantes a las identidades.
Son satisfechas por todos los números Reales
2ab
Ejemplo:  ab
ab
Su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las
desigualdades).
b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos
números Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidos
Ejemplo: 2x  6  0
INTERVALOS
Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que
se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las
operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las
diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.
CLASES DE INTERVALOS
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3. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Ejemplo
Sean los intervalos A = [–5, 5], B = (–  , 8] y C = (2,  ); hallar en las diferentes notaciones:
1. AC 2. B C 3.  AC  B
Solución:
1. A  C = [–5,  ] Notación intervalo AC = x / x   5 Notación de conjunto
2. B C =  2, 8  Notación intervalo B C = x / 2  x  8  Notación de conjunto
3.  A  C   B =  2, 5    , 8 =  , 8 Notación intervalo
 A  C   B = x / x  8  Notación de conjunto
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas
(incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las
inecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó
anteriormente.
La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y
sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría
en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.
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4. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la
inecuación.
La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades
anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a
una inecuación se da mediante un intervalo).
Solución de inecuaciones
Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes
expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una
inecuación recibe el nombre de conjunto solución y puede expresarse de tres formas diferentes:
en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases de
intervalos”)
CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES
Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión
algebraica que aparece en ellas.
Ejemplo:
INECUACIÓN TIPO
2x-3 > x-5 1º grado; 1 incógnita
x-3 ≥ y 1º grado; 2 incógnita
x2-5x ≤ 4 2º grado; 1 incógnita
xy-3 > 0 2º grado; 2 incógnita
INECUACIONES DE UNA VARIABLE
1. Inecuaciones Lineales o de Primer Grado
Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas
básicas:
ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0
En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:
1. Quitar los paréntesis, si los hay.
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5. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
2. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación
por el m.c.m. de los denominadores.
3. Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro.
4. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica.
5. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el
sentido de la desigualdad.
6. Despejar la x (la incógnita).
7. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.
x  2 5( x  7) 7  x
Ejemplo 1: Resolver  
3 4 2
4( x  2)  3(5 x  35) 6(7  x)

12 12
4 x  8 15x  105  42  6 x   5x  55
5x  55  x  11 S= x  (-, 11)
Ejemplo 2: Resolver 2x  3  x  5
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:
2x  x  3  5
Reduciendo términos: x  8
S  8,    x  R / x  8
 (
8 
x 5x
Ejemplo 3: Dada la siguiente inecuación 7    6 . Halle el conjunto solución y
2 3
grafíquelo.
Suprimiendo denominadores (m.c.m. = 6) se tiene: 42  3x  10x  36
Trasponiendo términos: 3x 10x   36  36
13x  78
Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:
13x  78
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6. [Escribir texto]
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78
Dividiendo por 13: x < o sea, x<6
13
S   ,6   x  R / x<6
 )

6
 x  3 x 1   x 1  3x
2
Ejemplo 4: Resolver
Efectuando las operaciones indicadas:
x 2  2 x  3  x 2  2 x  1  3x
Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo:
2 x  2 x  3x  1  3
x4 S   , 4  x  R / x<4

 )
4
x  2 2x 2  1 1
Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación    x 2 . Halle el conjunto solución y
3 2 4
grafíquelo.
Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para
obtener:
4  x  2   6  2 x 2  1  3  12 x 2
4 x  8 12 x2  6  3  12 x2
Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:
4x  6  3  8
Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene:
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7. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
5  5  5
x S   ,    x  R / x  
4  4  4
 
5/4
 Solución de inecuaciones simultáneas de primer grado
Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x >a
 x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:
S  x / x  a  x / x  b
Ejemplo: Hallar el conjunto solución de 6  4x  2  7
Separando en dos desigualdades:
4x  2  6  4x  2  7
4x  6  2  4x  7  2
8 9
x  x
4 4
9  9
x2  x Sol: x  2,
 
4  4
2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las
siguientes formas básicas:
ax2  bx  c  0, ax2  bx  c  0, ax 2  bx  c  0, ax 2  bx  c  0
Procedimiento
Primer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la
ecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.
Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.
Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso
seleccionado.
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8. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.
Ejemplo
Dada la siguiente inecuación x2  5x  6  0 . Halle el conjunto solución y grafíquelo.
Primer paso: Factorizar el polinomio dado x 2  5x  6   x  3 x  2  , quedando una inecuación
de la forma:
 x  3 x  2  0
Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:
Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:
 x  3  0 y  x  2  0
Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:
 x  3  0 y  x  2  0
Solución Caso I:
Sea SA el conjunto solución de la inecuación  x  3  0 y SB al conjunto solución de la
inecuación  x  2   0 , la solución del Caso I viene dada por: SI  SA  SB
Solución para SA
x3 0
S A   3,    x  R / x  3
x  3
Solución para SB
x20
SB   2,    x  R / x  2
x  2
La solución para SI es entonces:
SI  SA  SB   3,     2,     2,  
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9. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
SI   2,    x  R / x  2
 ( 
(
–3 –2
Solución Caso II:
Si llamamos SC al conjunto solución de la inecuación  x  3  0 y SD al conjunto solución de la
inecuación  x  2   0 , la solución del Caso II viene dada por: SII  SC  SD
Solución para SC :
x 3  0
Sc   , 3  x  R / x  3
x  3
Solución para SD :
x20
Sd   , 2   x  R / x  2
x  2
La solución para SII es entonces:
SII  Sc  Sd   , 3   , 2    , 3
SII   , 3  x  R / x  3
 ) 
)
-3 -2
Solución General:
La solución general será la unión de SI y SII , es decir:
SG  SI  SII   2,     , 3
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10. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método
analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el
método del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones
cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático,
encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a
intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar
el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada
intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para
los cuales se cumple la desigualdad.
Ejemplo 1
Dada la siguiente inecuación x2  5x  6  0 , halle el conjunto solución y grafique.
Se factoriza el polinomio x 2  5x  6   x  3 x  2  , quedando la inecuación de la forma:
 x  3 x  2  0
Las raíces que anulan  x  3 x  2  son x  3 y x  2 . (Valores críticos) Se ubican sobre la
recta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan
los signos.
Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real.
Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el
producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene
dada por:
ING. EDGAR VARGAS RUIZ 10 2011

11. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
SG   , 3   2,  
Ejemplo 2
 x  1  x  1
2 2
8
Dada la siguiente inecuación   , halle el conjunto solución y grafique.
2 3 3
Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se
reducen términos semejantes, obteniendo:
x2  2 x  15  0
Factorizando el polinomio resultante, se tiene x2  2 x  15   x  5 x  3 , resultando una
inecuación de la forma:
 x  5 x  3  0
Las raíces de  x  5 x  3 son x  5 y x  3 (valores críticos), las cuales se ubican sobre la
recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la
desigualdad.
Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el
producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por:
SG   3,5  x  R / 3  x  5
Gráficamente:
ING. EDGAR VARGAS RUIZ 11 2011

12. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
 ) 
)
-3 5
Casos especiales
1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma:
Solución
(ax + b)2 ≥ 0
(ax + b)2 > 0   valor critico
(ax + b)2 ≤ 0 x = − b/a
(ax + b)2 < 0
Ejemplo:
x2  2 x  1  0
2  22  4 2  0
x  2x  1  0
2
 Usando la fórmula cuadrática : x   1
2 2
 x  1 0
2
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es 
2. Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al
polinomio cualquier valor si:
 El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es 
 El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución
(vacio).
Solución
x  x 1  0
2

x  x 1  0
2

x  x 1  0
2

x2  x  1  0 
 INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
ING. EDGAR VARGAS RUIZ 12 2011

13. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Pasos:
1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado.
2. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas.
3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.
4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.
5. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación .
Ejemplo:
Resolver la inecuación x 3  4x  0
Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo
(<0).
El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar
factor común x)
x  x 2  4   0 , o lo que es lo mismo x  x  2  x  2   0
Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes
valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo.
El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que
hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para
ver el signo de la operación. Observa la gráfica:
_ + _ +
-2 0 2
Los valores de la x que hacen negativo el producto son  ,2  0,2 .
ING. EDGAR VARGAS RUIZ 13 2011

14. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
3. INECUACIONES RACIONALES
Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son
inecuaciones polinómicas.
ax  b ax  b ax  b
Expresión general: son del tipo  0 , o todas sus equivalentes  0, o  0,
cx  d cx  d cx  d
etc.… y de grados mayores que uno.
Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener
presente que el denominador no puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden ser
resueltos usando el método analítico o el método gráfico.
Pasos:
1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces
del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser
abiertas.
3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo
4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el
mismo signo que la fracción polinómica.
Ejemplo:
x 2  3x  10
1. Dada la siguiente inecuación  0 halle el conjunto solución y grafique.
x2  x  2
Factorizando los polinomios dados:
x2  3x  10   x  5 x  2  , x2  x  2   x  2 x  1
Resultando una inecuación de la forma:
 x  5 x  2   0
 x  2  x  1
ING. EDGAR VARGAS RUIZ 14 2011

15. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Las raíces que anulan el numerador son x  5 y x  2 , y las que anulan el denominador son
x  2 y x  1 , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en
cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.
Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el
cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la
solución viene dada por:
SG   5, 2   1, 2 
Gráficamente:

 ( ) ( )
-5 -2 1 2
x 1
2. Resolver 1
x 1
x 1
 1  0 , ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos
x 1
cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x  1  x  1 y compara los resultados.
ING. EDGAR VARGAS RUIZ 15 2011

16. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
x 1 x 1 x 1 2
Para nuestro caso, operando 1  0    0 , y todo se reduce a
x 1 x 1 x 1
averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en  ,1 .
4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
RECORDEMOS:
El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Su
definición formal es:
 a para a  0
a  , a  R
a para a  0
y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.
Ejemplo:  5  5  5
Propiedades del valor absoluto
La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio
de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las
propiedades que serán usadas en el tema en cuestión.
Sean a, b  R.
1. a 0
2. a2  a
3. a  a
4. a 2
 a2
5. a b  a  b
a a
6.  , si b  0
b b
7. a  b  a  b Desigualdad triangular
8. a b  b0  a  b  a  b
Desigualdades con valor absoluto
ING. EDGAR VARGAS RUIZ 16 2011

17. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Sea x, y, a  R . Se tiene entonces:
1. x  a sii a  0  x  a  x  a ó  a  x  a
 [ ] 
-a a
2. x  a sii x  a  x  a
 ] [ 
-a a
3. x  y sii x 2  y 2
Inecuaciones de primer grado con valor absoluto
Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de
la misma.
Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los
teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de
inecuaciones.
Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:
Sean x, a, b, c  R .
ax  b  c 
 
1) ax  b  c   y  ó  c  ax  b  c
ax  b  c 
 
Ejemplos:
ING. EDGAR VARGAS RUIZ 17 2011

18. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 x  10  15 y grafique.
Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:
 15  5 x  10  15
 [ ] 
15  10  5 x  10  10  15  10
-5 1
 25  5 x  5
25 5 x 5
 
5 5 5 S   5,1  x  R /  5  x  1
5  x 1
x
b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:  2 < 1 y grafique.
3
x
1 <  2< 1
3  ( ) 
x
3 < <  1 -9 -3
3
x
3  3 <  3<  1 3
3 S   9, 3  x  R /  9 < x <  3
9 < x <  3
ax  b  c 
 
2) ax  b  c   ó  ó ax  b  c  ax  b  c
ax  b  c 
 
Ejemplos:
a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3x  8  2 y grafique.
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19. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
3x  8  2  3 x  8  2 
3x  2  8 3 x  2  8 10 3 -2
-
3 x  6 
3 x  10 2
x
6
3
x
10
3
  , 10 3   2, 

x  2
b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 x  3 < 7 y grafique.
5 x  3>7  5 x  3<  7 
) (
4
5 x >7+3 5 x <  7+3 5 2
5 x >10 5x<  4
x >10 5 x < 4 5
 4
x >2   ,     2,  
 5
Otro ejemplo
2x 1
Resolvamos la desigualdad 3
x3
Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades
equivalentes:
2x 1
3
x3
2x 1  3 x  3
 2 x 1   3x  9 
2 2
 2 x 1   3x  9   0
2 2
 2 x  1   3x  9   2 x  1   3x  9   0
  
  x 10  5x  8  0
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20. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
Elaborando un diagrama de signos tenemos
Signo de   x  10 + ─ ─
Signo de  5 x  8 ─ ─ +
Signo de   x  10  5 x  8 ─ + ─
 8
Vemos que la solución de la desigualdad es  10,  
 5 
Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones
Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el
peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no
debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar,
como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella?
En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón
y planteamos la siguiente inecuación:
Peso de la furgoneta − peso de 4 cajones no es menor que 415 kg
ING. EDGAR VARGAS RUIZ 20 2011

21. [Escribir texto]
UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
875 − 4. X  415
Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:
 Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4. x  415 - 875
 Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4. x  - 460
1
 Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por 
4
(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,
 1
debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x       460
 4
 Hacemos el cálculo x  115
Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de
un peso, x > 0.
Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo
(0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:
ING. EDGAR VARGAS RUIZ 21 2011