Propiedades fundamentales de los polígonos, ejemplos y ejercicios

2. PROPIEDAD
Numéricamente: El número lados, número de
vértices, número de ángulos interiores y número de
ángulos exteriores son iguales.
• Lados
• Vértices
• Ángulos interiores
• Ángulos exteriores

3. PROPIEDAD
La suma de las medidas de los ángulos interiores de
un polígono es:
S∠i =180°(n-2)
n: número de lados
Ejemplo:
S∠i = 180º(5-2) = 540º

4. PROPIEDAD
Medida de un ángulo interior de un polígono regular o
polígono equiángulo 180°(n − 2)
m∠ =
i n
Ejemplo:
1
5
4 2
3
m∠i = 180º(5 – 2) = 108º
5

5. PROPIEDAD
Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un
polígono convexo es 360º
S∠e = 360°
α
Ejemplo: β
λ
δ
θ
α + β + δ + θ + λ = 360º

6. PROPIEDAD
Medida de un ángulo exterior de un polígono regular
360°
m∠ e =
n
Ejemplo:
1 2
5
3
4
m∠e = 360º = 75º
5

8. PROPIEDAD
A partir de un vértice de un polígono, se pueden
trazar (n-3 ) diagonales.
Ejemplo:
ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales

9. PROPIEDAD
Al trazar diagonales desde un mismo vértice se
obtiene (n-2) triángulos
Ejemplo:
1 3
2
Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos

10. PROPIEDAD
El número total de diagonales que se puede trazar en
un polígono: n(n − 3)
ND =
2
Ejemplo:
5(5 − 3)
ND = = 5 diagonales
2

11. PROPIEDAD
Número de diagonales trazadas desde “K” vértices consecutivos,
en un polígono de “n” lados.
n.k – 1 (k+1) (k+2)
2
Ejemplo:
1
2 y así sucesivamente

13. Problema Nº 01
En un polígono, la suma de las medidas de los
ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el
total de diagonales de dicho polígono.
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
S∠e + S∠i = 1980°
Luego, reemplazando por las propiedades:
360° + 180°( n - 2 ) = 1980°
Resolviendo: n = 11 lados
Número de diagonales:
n(n − 3) 11 ( 11 − 3 )
ND = ND = ND = 44
2 2

14. Problema Nº 02
¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el
cual la medida de cada uno de su ángulo interno es
igual a 8 veces la medida de un ángulo externo
RESOLUCIÓN Polígono es regular:
Del enunciado:
m∠i = 8(m∠e )
Reemplazando por las propiedades:
180° ( n − 2 ) 360°
= 8 ( )
n n
Resolviendo: n = 18 lados
Luego polígono es regular se denomina:
Polígono de 18 lados

15. Problema Nº 03
Calcule el número de diagonales de un polígono
convexo, sabiendo que el total de las diagonales es
mayor que su número de lados en 75.
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
ND = n + 75
Reemplazando la propiedad:
n(n−3)
= n + 75
2
n2 - 5n - 150 = 0
Resolviendo: n = 15 lados
Luego, el número total de diagonales:
n(n − 3) 15 ( 15 − 3 )
ND = ND = ND = 90
2 2

16. Problema Nº 04
En un polígono regular, se le aumenta un lado, la
medida de su ángulo interno aumenta en 12°;
entonces el número de vértices del polígono es:
RESOLUCIÓN Polígono es regular:
Del enunciado:
Polígono original: n lados
Polígono modificado: (n+1) lados
Reemplazando por la propiedad:
180°( n − 2 ) 180°( n + 1 − 2 )
+ 12 = Resolviendo: n = 5 lados
n n+1
Número de lados = Número de vértices
NV= 5 vértices

17. EJERCICIOS
1) ¿Cómo se llama el polígono en el que la
suma de sus ángulos interiores y externos
es 1800º?
2) ¿Cuánto suman los ángulos del polígono
que tiene catorce diagonales?
3) ¿En qué polígono la suma de ángulos
internos es 540º?

18. 1) Halla el número de lados de un polígono,
sabiendo que en él se pueden trazar 104
diagonales
2) Halla el número de diagonales del
polígono cuya suma de ángulos internos
es 1260º
3) ¿Cuántos vértices tiene un polígono
regular cuyo ángulo interno es ocho veces
su ángulo externo?

19. 1) Cinco ángulos de un hexágono miden
120º, 130º, 140º, 150º y 160º ¿Cuánto
mide el sexto ángulo?
2) Si se quintuplica el número de lados de un
polígono, la suma de sus ángulos internos
se sextuplica ¿Cuál es el polígono?
¡A TRABAJAR!