BELİRLİ İNTEGRAL

2. KONUNUN
KONUNUN
AŞAMALARI
AŞAMALARI
KAPALI ARALIĞIN
KAPALI ARALIĞIN
PARÇALANMASI
PARÇALANMASI
BELİRLİ İNTEGRAL VE
BELİRLİ İNTEGRAL VE
İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON
İNTEGRALLENEBİLİR FONKSİYON
BELİRLİ İNTEGRALİN
BELİRLİ İNTEGRALİN
ÖZELLİKLERİ
ÖZELLİKLERİ

3. KAPALI ARALIĞIN
PARÇALANMASI
a b
• • • • • • • •
x0 < x1<x2<x3<......<xk-1<xk<.......<xn-1<xn
P={x0 ,x1,x2,x3,......,xk-1,xk, ......., xn-1,xn }
[a,b] aralığının bir parçalanması
[a,b] aralığının bir parçalanması
(bölüntüsü)
(bölüntüsü)

4. Her bir [x k-1 ,, x kk]] kapalı alt aralığı için;
Her bir [x k-1 x kapalı alt aralığı için;
∆x kk= x kk –x k-1 sayısı
∆x = x –x k-1 sayısı
[x k-1 ,, x kk]] kapalı alt aralığının uzunluğu
[x k-1 x kapalı alt aralığının uzunluğu

5. ∆x 11= x 11 –x 00
∆x = x –x
∆x 22= x 22 –x 11
∆x = x –x Alt aralıkların
Alt aralıkların
∆x 33= x 33 –x 22
∆x = x –x uzunlukları olmak
uzunlukları olmak
üzere
üzere
....................
∆x nn= x nn –x n-1
∆x = x –x n-1
[a.b] aralığının
[a.b] aralığının
uzunluğu
uzunluğu
b-a = ∆x 11+ ∆x 22+ ∆x 33+..........+ ∆x nn
b-a = ∆x + ∆x + ∆x +..........+ ∆x

6. ∆x 11= x 11 –x 00
∆x = x –x
∆x 22= x 22 –x 11
∆x = x –x Alt aralıklarının
Alt aralıklarının
∆x 33= x 33 –x 22
∆x = x –x uzunlukları
uzunlukları
birbirine eşitse
birbirine eşitse
....................
∆x nn= x nn –x n-1
∆x = x –x n-1
P
P bölüntüsüne
bölüntüsüne
[a,b] aralığının
[a,b] aralığının DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ
DÜZGÜN BÖLÜNTÜSÜ
denir.
denir.

7. P düzgün bir bölüntü ise;
[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P
[a,b] aralığını, n eşit parçaya bölen P
bölüntüsü-nün
bölüntüsü-nün herhangi
herhangi bir
bir alt
alt aralığının
aralığının
uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık
uzunluğu, P bölün- tüsünün normunu (aralık
genişliğini) verir.
genişliğini) verir.
b−a
∆x k = = P
n

8. ÖRNEK [2,7] ARALIĞI
[2,7] ARALIĞI
İÇİN
İÇİN
:
P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir
P={2,11/3,16/3,7} bölüntüsü, düzgün bir
bölüntüdür.
bölüntüdür.
11 5 16 11 5 16 5
∆x 1 = −2= ∆x 2 = − = ∆x 3 = 7 − =
3 3 3 3 3 3 3
7−2 5
P = =
3 3

9. y
y=f(x)
m3 mn
m4
m1 m2
∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆xk ∆xn
0 a=x 0 x 1 x 2 x 3....... x k-1 x k .......... x n-1 x n =b x
ALT TOPLAM
n
A(f , P ) =∑ m k .Δxk = m1 .Δx1 + m 2 .Δx 2 + ...... + m n .Δxn
k =1

10. y
y=f(x)
M3 MK Mn
M1 M2
∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆xk ∆xn
0 a=x 0 x 1 x 2 x 3....... x k-1 x k .......... x n-1 x n =b x
ÜST TOPLAM
n
Ü(f , P ) =∑ M k .Δxk = M1 .Δx1 + M 2 .Δx 2 + ...... + M n .Δxn
k =1

11. y
y=f(x)
f(t1) f(t2) f(tk) f(tn)
0 a=x0 t1 x1 t2 x2 xk-1 tk xk xn-1 tn xn x
∆x1 ∆x2 ∆xk ∆xn
RİEMANN TOPLAMI
n
R(f , P ) =∑ f (t k ).Δxk = f (t1 ).Δx1 + f (t 2 ).Δx 2 + ...... + f (t n ).Δxn
k =1

12. Bu toplamlar arasındaki
sıralama
n n
∑M
n
∑ mk .Δxk ≤ ∑ f (t
k =1
k ).Δxk ≤
k =1
k .Δxk
k =1
Alt Toplam Rieman Üst
Toplamı Toplam

13. ÖRNEK f:[0,2]→ R, f(x)=x 22 fonksiyonu
f:[0,2]→ R, f(x)=x fonksiyonu
için;
için;
:
[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya
[0,2] aralığını, 4 eşit parçaya
bölerek;
bölerek;
Alt toplamını
Alt toplamını
Üst toplamını
Üst toplamını
Riemann toplamını
Riemann toplamını
bulalım:
bulalım:

14. P, düzgün bir bölüntü olduğundan
b−a 2−0 1
∆x 1 = ∆x 2 = ∆x 3 = ∆x 4 = = =
4 4 2
P={0, 1/2 , 1 , 3/2 , 2}

15. Alt toplamı
Alt toplamı n
y A(f , P ) = ∑m
k =1
k .Δxk
y=x2
m11=f(0)=0
m =f(0)=0 m22=f(1/2)=1/4
m =f(1/2)=1/4
m33=f(1)=1
m =f(1)=1 m44=f(3/2)=9/4
m =f(3/2)=9/4
0 1/2 1 3/2 2 x
n
A(f , P ) = ∑ mk .Δxk = m1 .Δx1 + m 2 .Δx 2 + m 3 .Δx 3 + m 4 .Δx4
k =1
1 1 1 1 9 1 7
= 0⋅ + ⋅ +1⋅ + ⋅ =
2 4 2 2 4 2 4

16. Üst toplamı
Üst toplamı n
y Ü( f , P) =∑ M k . Δx k
k =1
y=x2
M11=f(1/2)=1/4
M =f(1/2)=1/4 M22=f(1)=1/4
M =f(1)=1/4
M33=f(3/2)=9/4
M =f(3/2)=9/4 M44=f(2)=4
M =f(2)=4
0 1/2 1 3/2 2 x
n
Ü( f , P) =∑M k . Δx k = M 1 .Δx 1 + M 2 .Δx 2 + M 3 .Δx 3 + M 4 .Δx 4
k =1
1 1 1 9 1 1 15
= ⋅ +1 ⋅ + ⋅ + 4 ⋅ =
4 2 2 4 2 2 4

17. Riemann toplamı:
Riemann toplamı: n
y R ( f , P) = ∑ f ( t k ). Δx k
k =1
y=x2
x k −1 + x k
1/2 1 3/2 2
x f(t k ) =
0 2
1 3 5 7
4 4 4 4
1 1 3 3
0+ +1 1+ +2
t1 = 2 = 1 t2 = 2 =
3
t3 = 2 = 5 t4 = 2 =
7
2 4 2 4 2 4 2 4

18. n
Ü( f , P) = ∑M k . Δx k = M 1 .Δx 1 + M 2 .Δx 2 + M 3 .Δx 3 + M 4 .Δx 4
k =1
1 3 5 7
Ü( f , P) = f ( ). Δ 1 + f ( ). Δx 2 + f ( ). Δx 3 + f ( ). Δx 4 =
4 4 4 4
1 1 9 1 25 1 49 1
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
16 2 16 2 16 2 16 2
21
8

19. f:[a,b] → R sınırlı bir fonksiyon ve [a,b] aralığının
bir bölüntüsü P olsun.
lim A ( f , P) = lim Ü( f , P) = s
P →0 P →0
ise, f fonksiyonu, [a,b] aralığında
İNTEGRALLENEBİ-LİR FONKSİYONDUR. Bu “s”
sayısına da, f fonksiyo- nunun [a,b] aralığındaki
BELİRLİ İNTEGRALİ denir.
b
∫ f ( x ). d x
a
=s

20. P → 0 olması ne demektir?
[a,b] aralığının, [x k-1 ,x k ] alt aralıklarının
uzunlukla-rının SIFIRA yaklaşması demektir.
Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen
Bu durumda, alt ve üst toplamlarda elde edilen
dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve
dik- dörtgenlerin taban uzunlukları küçülecek ve
dolayısı
dolayısı ile,
ile, alt
alt ve
ve üst
üst toplam
toplam birbirine
birbirine
yaklaşacaktır.
yaklaşacaktır.

21. P parçalanması, düzgün
bir parçalanma
olduğundan;
P →0 ⇔n→∞
b
 n

lim  ∑ f ( t k ). Δx k  = ∫ f ( x ). dx
n →∞  
 k =1  a

22. ÖRNEK
:3
∫
0
x 2 dx belirli integralini, tanıma göre
hesaplayalım:
[0,3] aralığını, n eşit parçaya
[0,3] aralığını, n eşit parçaya
bölersek;
bölersek;
b−a 3−0 3
k∈{0,1,2,....,n}
k∈{0,1,2,....,n} P = Δx k = = =
n n n
için,
için,
t k = a + k . Δx k olarak seçilirse;

23. 3 3k
tk = 0 +k. =
n n
3
 n 3k 3 
∫ x dx = lim∞ k∑ f ( n ). n  =
2
P→  
0  =1 
 n 9k 2 3   27 n 2 
lim  ∑ 2 ⋅  = lim  3 ⋅ ∑k 
P →∞
 k =1 n n  P →∞ n
  k =1


 27 n .( n + 1 ).( 2 n + 1 ) 
lim  3 ⋅ =
P →0 n
 6 

24.  27 .(2 n 3 + 3 n 2 + n ) 
lim  =
n →∞  6n 3 
 
27 . 2
=9
6
3
∫x
2
dx = 9
0

25. İNTEGRAL HESABIN TEMEL
İNTEGRAL HESABIN TEMEL
TEOREMİ
TEOREMİ
f: [a,b] → R fonksiyonu, [a,b] aralığında integralle-
nebilen bir fonksiyon olsun. F:[a,b] → R fonksiyonu
(a,b) aralığında türevli ve ∀ x∈(a,b) için, F’(x)=f(x)
ise,
b b
∫ f ( x)dx = F( x)
a a
= F(b ) − F(a ) dır .

26. ÖRNEK
: 2
∫ (3x + 4)dx belirli integralini bulalım :
1
3x 2
∫ (3x + 4)dx = 2 + 4x + c
3.2 2 3.1 2 11
F( 2) = + 4.2 = 14 F(1) = + 4.1 =
2 2 2
2
11 17
∫ (3x + 4)dx = F(2) − F(1) = 14 − 2 = 2
1

27. f ve g fonksiyonları, [a,b] aralığında
integralle-nebilir iki fonksiyon ve a,b,c R ise;
∈
b b b
∫[f ( x)  g( x )]dx = ∫f ( x)dx  ∫g( x)dx
a a a
π π π
∫ ( 3 . sin x + cos x ) dx = ∫ 3 . sin xdx + ∫ cos xdx
π/ 2 π/ 2 π/ 2
π π
= 3(- + sinx
cosx) π/ π/
2 2

28. π π
3(- + sinx
cosx) π/ π/
2 2
-3.[(cosπ - cos(π/2)] + [sin π - sin (π/2)]
[-3.((-1)+3.0)] + (0-1)
2

29. b b
∫c. f ( x)dx = c. ∫f ( x )dx
a a
8 8
∫ − 4 . ln x .dx = − 4 .∫ ln x .dx
3 3
5 5
∫
−1
5 . x 3 .dx = 5 . ∫ x 3 .dx
−1
6 6
3 .dx dx
∫
2
x
= 3 .∫
2
x

30. a
∫f ( x )dx
a
=0
3
∫ ln x .dx = 0
3
−1
∫
−1
x 3 .dx = 0
2
dx
∫ x =0
2

31. b a
∫f ( x )dx
a
= ∫ ( x )dx
− f
b
5 1
∫
1
3 x 2 dx = −∫ 3 x 2 dx
5
x3 5
3. = 5 3 − 1 3 = 125 − 1 = 124
3 1
x3 1
− 3. = − ( 1 3 − 5 3 ) = − ( 1 − 125 ) = − ( − 124 ) = 124
3 5

32. [a,c] aralığında integrallenebilir bir f
fonksiyonu için, a<b<c ise;
c b c
∫ f ( x) dx
a
=∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
a b