3. BELİRSİZ İNTEGRAL
TANIM: f:[a,b]→ R tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x) in türevi F(x) veya
diferansiyeli f(x).d(x) olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali
denir ve ∫f(x).d(x)=F(x)+c biçiminde gösterilir.
BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
1) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir. Yani,
( ∫ f ( x).dx) ' =( F ( x) + C )' = f(x) tir.
2) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir. Yani,
d(∫f(x).dx) = f(x).dx
ANA
SAYFA
4. 3) Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon
ile bir C sabitinin toplamına eşittir. Yani,
∫d(f(x)) = f(x) + c dir.
iNTEGRAL ALMA KURALLARI
n +1
1) ∫ x dx= (1/n+1) x
n
+c (n≠ -1)
2) ∫(1/x)dx = ln |x| +c
x
3) ∫e x dx = e +c
x
4) ∫ a dx = (1/lna). a +c
x
5)∫sinxdx = -cosx+c
6)∫ cosx=sinx+c
7) ∫ tanx.secx.dx = secx+c
ANA
SAYFA
5. 8) ∫cotx.cosecx.dx= -cosecx+c
2 2
9)∫sec x.dx = ∫(1/ sin 2 x.dx) = (1+ tan x )dx = tanx+c
10)∫ cosec 2 x .dx = ∫(1/cos 2 x 2
).dx = ∫ (1+ cot x ).dx=-cotx+c
11)∫(1/1+x ).dx =arctanx+ c1 =-arccotx+ c 2
2
1
12)∫ 1 - x 2 dx=arcsinx+ c1 =-arccosx+ c 2
Örnek: ∫ (2x+1)dx belirsiz integralini bulalım.
2 2
Çözüm: ∫ (2x+1).dx= 2∫x.dx+ ∫1.dx=2.( x /2)+1.x+c=x +x+c bulunur.
Örnek: ∫[-[(2x-3x) / x].dx belirsiz integralini bulalım.
Çözüm: ∫[(2x-3x) / x].dx =∫[(2x/x) -(3x/x)].dx=∫2x.dx-∫3/x.dx
=2∫x.dx-3∫(1/x)dx=x-3 ln |x|+c
ANA
SAYFA
6. ANA İNTEGRAL ALMA METOTLARI
SAYFA
DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME METODU
İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak
integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye
dönüştürülür.
'
1) ∫f(x). f (x). .dx= ∫f(x).d(f(x)) integralinde fonksiyon ve türevi
çarpım şeklinde ise, değişken değiştirme metodu kullanılır. Değişken
değiştirme yapılırken hem fonksiyonun hem de diferansiyelin değişimi
yapılmalıdır.
F(x)=u dönüşümü yapılırsa; d(f(x))=d(u) => f ' (x). .dx= du olur.
Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım:
' 2
∫f(x).f (x). dx= ∫u.du=( u /2)+c=1/2 f (x)+c şeklinde çarpım
2
fonksiyonunun integrali alınmış olur.
7. 2) ∫ f ' (x). [f(x)] n . =∫ f n (x).d(f(x)) integralinde genellikle üssü
dx
n
görmeden f(x)=u dönüşümü yapılır. Fakat türev oluşmazsa [f(x)] = u
denilmelidir. Burada f(x) = u dönüşümü yapılırsa;
f(x) = u =>d(f(x))=(du) => f ' (x) .dx=du olur. Bulunan bu değerleri
yerine yazalım:
n
∫[f(x)] .
'
f (x).dx
u n +1
= ∫u n .du = +C
n +1
n +1
[f(x)]
= +C
n +1
ANA
SAYFA
8. f ' (x).dx d ( f ( x))
3) ∫ = integralinde,
f ( x) f ( x)
f(x) dönüşümü yapılırsa ; her iki tarafın diferansiyelini alalım:
f ' (x).
d(f(x))=d(u) => dx=du olur. Bulunan bu değerleri
yerlerine yazalım:
'
f ( x).dx du
∫ f ( x)
=∫
u
= ln u + C = ln f ( x) + C
bulunur.
ANA
SAYFA
9. 4)
∫a
f ( x)
. f ( x).dx(a ∈ R − {1} )
' +
integralinde;
f(x) = u dönüşümü yapılırsa ;d(f(x))=d(u) => f ' ( x) .dx = du olur.
Bulunanları yerlerine yazalım:
1 1
∫a . f ( x).dx = ∫ a .du =a . +C = a . +C
f ( x) ' u u f ( x)
ln a ln a
bulunur.
ANA
SAYFA
5) ∫ f ( g ( x)).g ' ( x).dx integralinde, g(x) = u dönüşümü
yapılırsa ;
g(x)=u => d(g(x))= d(u)=> g’(x).dx=du olur.
10. Bulunanları yerlerine yazalım:
∫ f ( g ( x )).g ' ( x ).dx = ∫ f (u ).du gibi basit fonksiyon integrali
elde edilir.
İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER
İntegrandında a − x , x − a , a + x bulunan integraller,
2 2 2 2 2 2
trigonometrik dönüşümler yardımıyla hesaplanır.
Amaç , yapılacak trigonometrik dönüşümlerle irrasyonel
fonksiyon integralini, rasyonel fonksiyon integraline dönüştürmektedir.
1)İntegrandında a2 − x2 Varsa(a>0)
a 2 − x 2 = a 2 − a 2 . sin 2 t = 1 − sin 2 t = a. cos t olur.
ANA
SAYFA
11. x
>1
2)İntegrandında x2 − a2 varsa; a
x − a = a . sec t − a = a sec t − 1 = a tan t
2 2 2 2 2 2
olur.
3)İntegrandında a + x 2 2
varsa; (a>0)
x = a.tant dönüşümü yapılır.
Buna göre, a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a. 1 + tan 2 t = a. sec t olur.
ANA
SAYFA
12. 2)KISMİ İNTEGRASYON METODU
∫u.du =u.v −∫v.du
YARDIM:
1)dv’nin integrali kolay olmalı.
2) ∫ v.du integrali ilk integral
3) u’yu seçerken genelde aşağıdaki sıra ile seçmek avantajlıdır.
ANA
SAYFA
14. = (-lnx/x)-(1/x)+c
= (-lnx-1/x)+c
3) BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU
x3 + 2 x 2 + x + 2
ÖRNEK:
∫ x +1
.dx
x3 + 2x 2 + x + 2
=x2+x kalan:2
x +1
= ∫ x 2 + x + 2 .dx
x +1
x3 x 2
= + + 2 ln x + 1 + c
3 2
ANA
SAYFA
15. x + 2x + 3
2
Örnek:
∫ x 3 − x .dx
x2 + 2x + 3 A B C
= + +
x( x − 1)( x + 1) x x − 1 x + 1
x + 2 x + 3 = A( x − 1) + Bx( x + 1) + Cx( x − 1)
2 2
B=3 ; C=1 ;A=-3
−3 3 1
∫ x x − 1 x + 1 .dx
+ +
=-3ln|x|+3ln|x-1|+ln|x+1|+c
ANA
SAYFA
16. 4) TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER YARDIMI İLE
sin 2 x + 2 cos 2 x = 1
sin 2 x = 2 sin x cos x
cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x
sec 2 x − tan 2 x = 1
(sina.sinb)= -1/2(cos(a+b)-cos(a-b))
(cosa.cosb)= 1/2(cos(a+b)-cos(a-b))
(sina.cosb)= 1/2(sin(a+b)-sin(a-b))
ANA
SAYFA
17. ÖRNEKLER:
1)
∫ cos 4 x. cos 2 x.dx = ???
2)
∫ sinx .dx=???
2
∫ sin x.cos x.dx = ???
2 3
3)
∫ sec x. tan x.dx = ???
3
4)
∫ tan x.dx = ???
4
5)
ANA
SAYFA
18. 1
= ∫ ( cos 6 x + cos 2 x ).dx
2
1 1
= ( cos 6 x ).dx + ( cos 2 x ).dx
2 2
1 sin 6 x 1 sin 2 x
= + = +c
2 6 2 6
ANA
SAYFA
19. 1 − cos 2 x 1 cos 2 x
∫ sin x.dx = ∫ .dx = −
2
.dx
2 2 2
x sin 2 x
= − +c
2 4
ANA
SAYFA
20. = ∫ sin x.cos x.cosx.dx
2 2
= ∫ sin x(1 − sin x ). cos x.dx
2 2
=> u=sinx du=cosx.dx
= ∫ u 2 (1 − u 2 ).du
= ∫ (u 2 − u 4 ).du
u3 u5
= − +c
3 5
3 5
sin x sin x ANA
= − +c SAYFA
3 5
21. = ∫ tan x. sec x. tan x.dx
2
( )
= ∫ sec x −1 sec x. tan x.dx
2
=> u=secx du=secx.tanx.dx
= (u 2 − ) du
∫ 1.
u3
= − +
u c
3
sec 3 x
= −sec x +c
3 ANA
SAYFA
22. ∫ tan x.dx =>
4
ANA
= ∫ tan .x tan x.dx
2 2 SAYFA
= ∫(sec x −1). tan x.dx
2 2
= ∫sec x. tan x.dx − ∫ tan
2 2 2
x.dx
u=tanx
du=sec2x.dx
> 2
1 1(
= ∫u .du −∫ tan x + − .dx 2
)
3
tan x
= −tan x +x +c
3
23. 5)ÖZEL DÖNÜŞÜMLER
ANA Sadece köklü ifade varsa!!!
SAYFA
a
* a −b x2 2 2
=> x = sin u
b
a
* a +b x2 2 2
=> x = tan u
b
a
* b x −a2 2 2
=> x = sec u
b
24. dx
ÖRNEK1: ∫ = ???
64 − ( x + 6 )
2
dx
ÖRNEK2: ∫ 4 x 2 + 4 x + 17 = ???
ÖRNEK3: ∫ arc sec x.dx = ???
ANA
SAYFA
25. x + =
6 8sinu dx =8cosu.du
= 64 - (x + )
2
6
= 64 - (8sinu )
2
=8 1− sin 2 u = cos u
8
8 cos u.du
∫ 8 cos u =∫du
x+ 6 x+ 6
⇒ u =
sin ⇒ arcsin u =
8 8
x + 6
=arcsin u +c
8
ANA
SAYFA
26. 4 x + 4 x + 17 =(2x+1)2+42
2
dx 4 x 2 +4 x +17
∫4 x 2 +4 x +17 = (2 x + )2 +
1 16
2 x + =4 tan u
1
2 x =4 tan u −1 = (4 tan u )2 +16
2dx =4 +4 tan 2 u =4 tan 2 u +1
dx =2 +2 tan 2 u 2( +tan 2 u )
1 1
= 1 +tan 2 u
dx =2( +tan 2 u )
1 4 1 +tan 2 u 2
ANA DEVAMI
SAYFA
27. 1 1 1
= ∫ sec u = ∫ sec u = ln sec u + tan u + c
2
2 2 2
tanu=2x+1/4 ANA
SAYFA
Secu=1/2 ln| 1 + tan 2 u + tan u |
1 4 x 2 + 4 x + 17 2 x + 1
= ln 1 + +
2 16 4
1
= ln 4 x + 4 x + 17 + 2 x + 1 + c
2
2
28. dx
∫arc sec x.dx =x.arc sec x −∫ x2 −1
u =arc sec x
dx
du = = u =x; du =dx
>
x −
2
1
dx
=xarc sec x − ∫ x2 − x1
1 1 1
x =sec u = x =
> = cos u = cos u =−
> ln
cos u x x
1
xarc sec x − −
ln
+
c
x
1
xarc sec x +ln +c
x ANA
xarc sec x − x +
ln c SAYFA
29. b b
∫ f ( x ).dx = F ( x) = F (b) − F (a) c yok ; c-c=0
a a
ANA
SAYFA
30. 3
2
dx
∫
1 1 − x2
2
ANA
SAYFA
∏
∫ ( cos x + sin x ).dx = ???
0
31. 3
2
3
2
dx 3 1
∫ = Arc sin x Arc sin
2
− Arc sin
2
1 −x
2
1
2 1
2 ANA
SAYFA
∏ ∏ ∏
= − =
3 6 6
32. ∏
sin x − cos x
ANA 0
SAYFA
= ( +1) −( −1) = 2
33. BELİRLİ İNTEGRALİN TÜREVİ
h( x)
F ( x) = ∫ f (u ).du ⇒
g ( x)
F ' ( x) = f (h( x).h' ( x) − f ( g ( x)).g ' ( x)
ÖRNEK:
x
F ( x) = ∫ (2t + 1).dt = ???
ANA
2
SAYFA
34. F ' ( x) = (2 x + 1).(1) − (5).(0)
F ' ( x) = 2 x + 1
ANA
SAYFA
35. ÖZEL FONKSİYONUN İNTEGRALİ
∏
2∏ 2
∫ sgn cos x .dx = ??? −∏
∫ sin x . sin x.dx = ???
∏
2
2
3
X
∫
−2
2
.dx = ???
ANA
SAYFA
37. ∏
1 2
3∏ 2∏
0 ∏ 2
∏
−1
−
2
∏
0 2
∫
−∏
− sin x .dx + ∫ 0. sin x.dx
0
2 0
⇒ cos x =1 ANA
SAYFA
−∏
2
38. 1 1
d = = =2
a 1 ANA
SAYFA
2
0 2 3
∫
−2
− 1.dx + ∫ 0.dx + ∫ 1.dx
0 2
⇒ −1
39. İNTEGRALDE ALAN HESABI
1) A)BİR EĞRİNİN ALTINDA KALAN ALAN
y=f(x) , x=a , x=b ve x ekseni ANA
b SAYFA
A =∫ f ( x ) .dx
a
a b b c
a
a b
b
A = A1 + A2
b
A = ∫ f ( x).dx A = −∫ f ( x).dx
b c
A = ∫ f ( x).dx − ∫ f ( x).dx
a a a
a
40. B ) x=g(y) , y=c , y=d ve y ekseni
d
e
A = ∫ g ( y ) .dy
c
d
d
d
c
C
A = A1 + A2
d e
c c A = ∫ g ( y ).dy − ∫ g ( y ).dy
c c
d d
A = − ∫ g ( y ).dy A = ∫ g ( y ).dy ANA
SAYFA
c c
41. 2) İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN
y=f(x) , y=g(x) , x=a , x=b
d
A = ∫ f ( x) − g ( x) .dx
c
ANA
SAYFA
42. y=x2-x-2 x ekseni ve
x=-2 , x=2 doğrusu
y=2-x2 , y=-x arasındaki alan
ANA
SAYFA
43. x −x−2 =0
2
x=2 ; x = −1
−2 −1 2
+ − +
A = A1 + A2
−1 2
= ∫ ( x 2 − x − 2).dx + ∫ − ( x 2 − x − 2).dx
−2 −1
19 2
= br ANA
3 SAYFA
44. 2-x2=-x
x2-x-2=0 x=2 , x=-1
2
A = ∫ ( 2 − x ) −( −x ).dx
2
−1
9 2
= br
2
ANA
SAYFA
45. DÖNEL CİSİMLERİN HACİMLERİ
X ekseni etrafında;
b 2
a b H = ∏ ∫ [ f ( x)] .dx
a
d ANA
SAYFA
Y ekseni etrafında;
c
d
H = ∏ ∫ [ f ( y )] .dy
2
y2 = g ( x) c
İki eğri arasında x ekseni etrafında;
y1 = f ( x)
H = ∏∫[ f ]
b
2
( x) − g ( x) .dx
2
a
a b
46. x=a , x=b y=f(x) y ekseni etrafında;
b
H = 2 ∏∫ xf ( x ).dx
a
a b
f(x) ve x=c , x=a ,x=b arası
bölge c etrafında
c b
H = ∏ ∫ [ f ( x) − c ] .dx
2
a b
a
ANA
SAYFA
47. Yarıçapı r olan kürenin hacminin 4 ∏r 3 olduğunu
gösteriniz. 3
y = e x , x = 1, x ekseni arsında kalan bölgenin x
ekseni etrafındaki hacmi nedir?
ANA
SAYFA
48. y = r −x 2 2
r
H = ∏ ∫ ( r − x .dx 2 2
−r
r
H = ∏ ∫ ( r 2 − x 2 ).dx
−r
r
3
x
H =∏ r x − )
( 2
3 −r
⇒ 4 ∏r 3
ANA
3 SAYFA
49. 1
H = ∫ e x ) 2 .dx
∏( ANA
0
1 SAYFA
(e 2 x )
H = ∏
2
0
e ∏ ∏ ∏ 2
( )
2
= − = e − br
1 3
2 2 2
