Fundamentos Algoritmos Turing

Tema V.
Fundamentos de
algoritmos
Objetivo: El alumno explicará la importancia de
llevar un método formal para resolver problemas
en la computadora; asimismo aplicará dicho
método en la resolución de problemas matemáticos
sencillos.

5.1. La computabilidad y concepto
de algoritmo:
Máquina de Turing.
Partes de un programa
Todo programa esta constituido por un conjunto
de órdenes o instrucciones capaces de manipular
un conjunto de datos. Éstas órdenes o
instrucciones pueden ser divididas en tres grandes
bloques claramente diferenciados,
correspondientes cada uno de ellos a una parte
del diseño de un programa.

de algoritmo:
Máquina de Turing.

Es la parte de la
computación que estudia
los problemas de decisión
que pueden ser resueltos
con un algoritmo o
equivalentemente con una
máquina de Turing.
Máquina ENIGMA
Segunda Guerra Mundial
de algoritmo:
Máquina de Turing.
Teoría de la computabilidad

Máquina de Turing
Una máquina de Turing es un dispositivo que manipula
símbolos sobre una tira de cinta de acuerdo a una tabla de
reglas.
La Máquina de Turing se introdujo en 1936 por Alan M. Turing
para resolver problemas computables. Es la base de las
computadoras modernas.
de algoritmo:
Máquina de Turing.

Máquina de Turing
Una máquina de Turing esta formada por tres
componentes: Una Cinta, Un Controlador y
Una Cabeza de lectura/escritura.
de algoritmo:
Máquina de Turing.

Cinta
Aun cuando las computadoras modernas utilizan un dispositivo
de acceso aleatorio con capacidad finita, la memoria de la
máquina de Turing es infinita. La cinta, en cualquier momento
mantiene una secuencia de caracteres del conjunto de
caracteres aceptado por la máquina.
Cinta o Banda de Moebius
August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858
5.1. La computabilidad y
concepto de algoritmo:
Máquina de Turing.

Cabeza de Lectura / Escritura
La cabeza de lectura/escritura en cualquier momento señala a un
símbolo en la cinta. Llamamos a este símbolo el símbolo actual. La
cabeza de lectura/escritura lee y escribe un símbolo a la vez
desde la cinta. Después de leer y escribir se mueve a la izquierda,
a la derecha o permanece en su lugar. La lectura, la escritura y el
desplazamiento, todos se realizan bajo instrucciones del
controlador.
Máquina de Turing.

Controlador
El controlador es la contraparte teórica de la unidad central de proceso
(CPU) en las computadoras modernas. Es un autómata de estado finito,
una máquina que tiene un número finito predeterminado de estados y se
mueve de un estado a otro con base en la entrada. En cualquier momento
puede estar en uno de estos estados.
de algoritmo:
Máquina de Turing.

Máquina de Turing
de algoritmo:
Máquina de Turing.

Uno de los algoritmos más
antiguos conocidos es el algoritmo
de Euclides. El término algoritmo
proviene del matemático
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi,
que vivió aproximadamente entre
los años 780 y 850 D.C. en la
actual nación iraní. Describió la
realización de operaciones
elementales en el sistema de
numeración decimal.
De al-Khwarizmi se obtuvo la
derivación algoritmo.
5.2 Elementos de los algoritmos
y tipos de datos
Fundamentos de Algoritmos

Fundamentos de Algoritmos
Un algoritmo se puede definir como
un conjunto pasos, procedimientos
o acciones que nos permiten
alcanzar un resultado o resolver un
problema de un cierto tipo. Por
tanto debe ser:
 Precisión
 Determinismo
 Finitud
5.2 Elementos de los algoritmos y
tipos de datos

Características de los algoritmos
Precisión:
Los pasos a seguir en el algoritmo deben ser precisados
claramente.
Determinismo:
El algoritmo, dado un conjunto de datos idénticos de entrada,
siempre debe arrojar los mismos resultados.
Finitud:
El algoritmo, independientemente de la complejidad del
mismo, siempre debe ser de longitud finita.
5.2 Elementos de los algoritmos
y tipos de datos

Características de los algoritmos
Conciso y Detallado:
Debe reflejar con el máximo detalle el orden de ejecución de
cada acción u operación que vaya a realizar la computadora.
Claro y Sencillo:
Con el objetivo de facilitar su entendimiento y compresión por
parte del programador.
tipos de datos

Módulos de un algoritmo
tipos de datos

Tipos de algoritmos
 Cualitativos
Son aquellos en los que se describen los pasos utilizando palabras.
 Cuantitativos
Son aquellos en los que se utilizan cálculos numéricos para definir los
pasos del proceso.
 No Gráficos
Representa en forma descriptiva las operaciones que debe realizar
un algoritmo (pseudocodigo).
 Gráficos
Es la representación gráfica de las operaciones que realiza un
algoritmo (diagrama de flujo).
tipos de datos

Pseudocódigo
Se puede definir como el lenguaje intermedio entre el
lenguaje natural y el lenguaje de programación
seleccionado.
Esta notación se encuentra sujeta a unas determinadas
reglas que permiten y facilitan el diseño de algoritmos.
El pseudocódigo surge como método para la representación
de instrucciones en una metodología estructurada y nació
como un lenguaje similar al inglés, que utilizaba palabras
reservadas de este idioma (start, end, stop, while, repeat,
for, if, if-else, etc.) y que posteriormente se fue adaptando
a otros lenguajes de habla hispana.
5.3 Representación de los
algoritmos (diagrama de flujo y
pseudocódigo)

Pseudocódigo
pseudocódigo)

algoritmos (diagrama de flujo
y pseudocódigo)
La estructura general de un algoritmo en pseudocódigo sería:

NOMBRE DEL PROGRAMA

DEFINICIÓN DE CADA MÓDULO

CUERPO DEL PROGRAMA
DATOS: parámetros, constantes, variables, ...

ALGORITMO
descripción detallada de las órdenes y acciones
que se deben ejecutar para resolver el problema
...
FIN DEL ALGORITMO

y pseudocódigo)
Un diagrama de flujo es la representación detallada en forma
gráfica de como deben realizarse los pasos en la computadora
para producir resultados.
Esta representación gráfica se da cuando varios símbolos (que
indican diferentes procesos en la computadora), se relacionan
entre si mediante líneas que indican el orden en que se deben
ejecutar los procesos.
Los símbolos utilizados han sido normalizados por el instituto
norteamericano de normalización (ANSI).

y pseudocódigo)

Todo diagrama debe tener un inicio y un fin.
Se deben se usar solamente líneas de flujo horizontales y/o verticales.
Se debe evitar el cruce de líneas utilizando los conectores.
Se deben usar conectores solo cuando sea necesario.
No deben quedar líneas de flujo sin conectar.
Se deben trazar los símbolos de manera que se puedan leer de arriba
hacia abajo y de izquierda a derecha.
Todo texto escrito dentro de un símbolo deberá ser escrito claramente,
evitando el uso de muchas palabras.
Utilizar comentarios ya sea al margen o mediante el símbolo grafico
comentarios para que este sea entendible por cualquier persona que lo
consulte.
Si el diagrama abarca mas de una hoja es conveniente enumerarlo e
identificar de donde viene y a donde se dirige.

Diagrama de Flujo
Para el diseño de algoritmos se utilizan
técnicas de representación.
Una de estas técnicas son los denominados
Diagramas de Flujo, que se definen como la
representación gráfica que, mediante el uso de
símbolos estándar conectados o unidos
mediante líneas de flujo, muestran la
secuencia lógica de las operaciones o acciones
que deben realizar las computadoras, así como
la corriente o flujo de datos en la resolución de
un programa.
pseudocódigo)

Construcción de los Diagramas de Flujo
Su correcta construcción es sumamente importante porque a partir
del mismo se puede escribir un programa en algún lenguaje de
programación.
Es importante mantener un estándar para la realización de dichos
diagramas, esto con el fin de facilitar el intercambio de algoritmos
mediante su esquematización gráfica. Es por eso que a continuación
se muestran los símbolos a ocupar durante el curso.
pseudocódigo)

Símbolo utilizado para marcar el inicio o fin del
diagrama de flujo.
Símbolo utilizado para representar un proceso. En
su interior se expresan asignaciones,
operaciones aritméticas, cambios de valor de
celdas en memoria, etc.
Símbolo utilizado para representar una decisión. En
su interior se almacena una condición, y
dependiendo del resultado de la evaluación de
la misma se sigue por una de las ramas o
caminos alternativos.
Símbolo utilizado para introducir los datos de
entrada. Expresa lectura.
Símbolo utilizado para representar la impresión de
un resultado. Expresa escritura.
pseudocódigo)
Símbolos para los Diagramas de Flujo

pseudocódigo)

Reglas para la construcción de Diagramas de Flujo
1.Todo diagrama de flujo debe tener un inicio y un fin
2. Las líneas utilizadas para indicar la dirección del flujo del
diagrama deben ser rectas, verticales y horizontales.
pseudocódigo)

3. Todas las líneas utilizadas para indicar la dirección del flujo
del diagrama deben estar conectadas. La conexión puede ser
a un símbolo que exprese lectura, proceso, decisión,
impresión, conexión o fin de diagrama.
pseudocódigo)

4. El diagrama de flujo debe ser construido de arriba hacia abajo y de
izquierda a derecha.
5. La notación utilizada en el diagrama de flujo debe ser independiente
del lenguaje de programación.
6. Es conveniente cuando realizamos una tarea compleja poner
comentarios que expresen o ayuden a entender lo que hicimos.
7. Si el diagrama de flujo requiriera más de una hoja para su
construcción, debemos utilizar los conectores adecuados y enumerar
las páginas convenientemente.
8. No puede llegar más de una línea a un símbolo.
pseudocódigo)

Tipos de Instrucciones
Una instrucción puede ser considerada como un
hecho o suceso de duración limitada que genera
unos cambios previstos en la ejecución de un
programa, por lo que debe ser una acción
previamente estudiada y definida.
y pseudocódigo)

Instrucciones de definición de datos
Son aquellas instrucciones utilizadas para informar al
procesador del espacio que debe reservar en memoria, con la
finalidad de almacenar un dato mediante el uso de variables
simples o estructuras de datos más complejas como, por
ejemplo, tablas.
La definición consiste en indicar un nombre a través del cual
haremos referencia al dato y un tipo a través del cual
informaremos al procesador de las características y espacio
que deberá reservar en memoria.
pseudocódigo)

Instrucciones primitivas
Se consideran como tal las instrucciones de asignación y las
instrucciones de entrada/salida.
Instrucciones de entrada
Son aquellas instrucciones encargadas de recoger el dato de un
dispositivo de entrada, y seguidamente almacenarlo en memoria en
una variable previamente definida, para la cual se ha reservado
suficiente espacio en memoria.
pseudocódigo)

Instrucciones de asignación
Son aquellas instrucciones cuyo cometido es almacenar un dato o
valor simple obtenido como resultado al evaluar una expresión en
una variable previamente definida y declarada.
pseudocódigo)

Instrucciones de salida
Son aquellas instrucciones encargadas de recoger los datos
procedentes de variables evaluadas y depositarlos en un
dispositivo de salida.
pseudocódigo)

Tipos de datos:
Los datos a procesar por una computadora pueden
clasificarse en:
 Simples
 Estructurados
pseudocódigo)

Datos Simples
La principal característica es que solo ocupan sólo una casilla de
memoria, por lo tanto, una variable simple hace referencia a un único
valor a la vez. Dentro de este grupo se encuentran: enteros, reales,
caracteres, booleanos, enumerados y subrangos.
Datos Estructurados
Se caracterizan por el hecho de que con un nombre (identificador de
variable estructurada) se hace referencia a un grupo de casillas de
memoria. Es decir un dato estructurado tiene varios componentes.
pseudocódigo)

Dentro de los tipos de datos
numéricos encontramos los
enteros y los reales.
Los enteros son números que
pueden estar precedidos del
signo + ó -, y que no tienen
parte decimal.
Los reales son números que
pueden ser precedidos del
signo + ó -, y que tienen una
parte decimal.
pseudocódigo)
Datos numéricos

Datos alfanuméricos
Dentro de este tipo de datos encontramos los de tipo caracter
(simple) y cadena de caracteres (estructurado). Son datos cuyo
contenido pueden ser letras del abecedario (a,b,c,…z), dígitos
(0,1,2,…9) o símbolos especiales (#, $, ^, *, %, …, etc). Debemos
remarcar que aunque este tipo de datos puede contener números,
no pueden ser utilizados para realizar operaciones aritméticas. Un
dato tipo cadena de caracteres contiene un conjunto de
caracteres, y se escribe entre comillas. La longitud de una cadena
depende de los lenguajes de programación.
pseudocódigo)

Datos lógicos
Dentro de este tipo de datos encontramos los
booleanos.
Son datos que sólo pueden tomar dos valores:
verdadero (true) y falso (false).
pseudocódigo)

Variables
Las variables son objetos que pueden cambiar su valor
durante la ejecución de un programa. Al igual que las
constantes, pueden existir tipos de variables como
tipos de datos.
pseudocódigo)

Constantes
Las constantes son datos que no cambian
durante la ejecución de un programa. Para
nombrar las constantes utilizamos
identificadores. Existen tipos de constantes
como tipos de datos, por lo tanto, puede haber
constantes de tipo entero, real, carácter,
cadena de caracteres, etc.
pseudocódigo)

Operaciones aritméticas
Los operadores son símbolos que sirven para conectar los datos
facilitando la realización de diversas clases de operaciones.
pseudocódigo)

Prueba de Escritorio
La prueba de escritorio es una herramienta útil para entender que
hace un determinado algoritmo, o para verificar que un algoritmo
cumple con la especificación sin necesidad de ejecutarlo.
Básicamente, una prueba de escritorio es una ejecución ‘a mano’
del algoritmo, por lo tanto se debe llevar registro de los valores
que va tomando cada una de las variables involucradas en el
mismo.
Esta prueba consiste en que dar diferentes datos de entrada al
programa y seguir la secuencia indicada en el diagrama, hasta
obtener los resultados.
pseudocódigo)

pseudocódigo)
letra ‘Z’; letra>=’A’ ; letra - 1
letra
fin
inicio

Máquina de Turing.

Un algoritmo contiene instrucciones elementales seleccionadas
cuidadosamente que pueden ser realizadas por un robot ó un
procesador; el procesador recibe las órdenes y ejecuta lo que
indican, resulta obvio que la disposición de las instrucciones resulta
crucial al momento de llevarlas a cabo. Por tanto, el algoritmo debe
incluir instrucciones de control que modifiquen la ruta que debe
seguir el procesador, además de indicar que debe hacerse en cada
paso, así como el momento en el cual debe detenerse.
Se ha probado que para implementar cualquier algoritmo, son
suficientes tres construcciones básicas para control de flujo
secuencia, condicional y ciclos iterativos (repetitivos). A
continuación se describe cada una de ellas y se muestra su
representación tanto en pseudocódigo como en diagrama de flujo.
5.4 Estructuras básicas
(secuencia, condicional e iteración)

El control de la secuencia se consigue combinando varias
instrucciones, llamadas estructuras de control de flujo, o
simplemente estructuras de control.
Incluso la receta del pastel contiene algunas de ellas, por
ejemplo:
5.4.1. Estructuras de Control.

La ejecución secuencial consiste de
ejecutar una instrucción y al terminar,
realizar lo que indica el siguiente paso
del algoritmo.
5.4.1.1. Ejecución secuencial.

Consiste de ejecutar un grupo de
acciones A ó un grupo de acciones B
(pero no ambos) en función del
resultado de la evaluación de una
condición C (Verdadero ó Falso).
5.4.1.2. Ejecución condicional.

Un algoritmo que solo contiene las estructuras de control
anteriores funciona para tareas de longitud fija, dado que cada
instrucción se ejecuta solamente una vez. Sin embargo,
generalmente se requiere que algunas instrucciones sean
ejecutadas más de una vez (como en el algoritmo de obtención
del mcd); existen estructuras de control que se encargan de la
ejecución repetida de bloques de instrucciones, se conocen de
forma genérica como estructuras iterativas o ciclos.
5.4.1.2. Ejecución condicional.

Sirve para ejecutar un grupo de
instrucciones A exactamente N veces,
donde N es un entero positivo.
5.4.1.3. Iteración definida.

Es importante notar que en el caso de la iteración definida
existe una variable implícita llamada contador, cont en el
ejemplo, y sirve para tener un registro del número de
iteraciones realizadas hasta el momento y para llegar a la
condición de paro. Otra variable muy utilizada cuando se
trabaja con ciclos es conocida como acumulador, y sirve para
almacenar resultados parciales de alguna operación
importante dentro del ciclo; además, al terminar el ciclo,
almacena el resultado final deseado.
5.4.1.3. Iteración definida.

Conocida también como iteración indefinida,
se utiliza para repetir un bloque de acciones A,
mientras una condición c sea verdadera, c es
una condición de paro.
5.4.1.4. Iteración condicional.

En este caso, a diferencia de la iteración definida, la condición de paro C
depende exclusivamente de las operaciones realizadas dentro del cuerpo
del ciclo.
Cuando en un algoritmo se utilizan iteraciones, es necesario tener
cuidado de no crear ciclos infinitos, esto se hace con operaciones dentro
del bloque de instrucciones que garanticen que la condición de paro se
cumplirá.
5.4.1.4. Iteración condicional.

CICLO ITERATIVO Se entiende por ciclo iterativo la unión de símbolos
gráficos que en su conjunto indica cómo repetir cierto proceso; las
estructuras básicas más comunes son:
5.4.1.5. CICLO ITERATIVO

Es conveniente realizar la solución
de problemas con la computadora
de manera conversacional, es
decir, que el programa de
computadora nos vaya indicando
mediante mensajes las opciones y
si se desea repetir el proceso con
otros datos. El bosquejo general de
un diagrama de flujo
conversacional puede ser el
siguiente:

Aplicaciones del Ciclo Iterativo
Calcular el valor de la expresión y
almacenar en la variable indicada
a la izquierda del signo igual, se
genera el concepto de contador o
expresión que permite contar
(que consta de un ciclo iterativo
que ejecuta varias veces la
instrucción de reemplazo: C=C+1):

Aplicaciones del Ciclo Iterativo
Otro de los conceptos de
programación de gran utilidad es la
estructura que nos permite llevar a
cabo sumatorias (en ellas el proceso
que se repite es la acumulación de
expresiones similares, por ejemplo
sumar n dígitos o sumar una y otra
vez el valor de una variable X
elevada a un exponente que crece
en cada ocasión)

Otro elemento útil para el cálculo de fórmulas es el que resulta de aplicar el
concepto de reemplazo del valor de la variable a lo que se llamará una
multiplicación reiterada, la cual permite obtener factoriales de tipo
descendente o ascendente.
Obténganse el factorial de: 5!
Se sabe que su factorial ascendente es: 1 x 2 x 3 x 4 x 5
De dicha multiplicación se observa la presencia del elemento llamado
contador, que multiplica su valor por el de la variable del factorial obtenido
en el paso anterior, en efecto:
F = 1 Valor inicial de la variable del factorial
F = 1 x 2 Valor anterior de F multiplicado por 2, es decir, F = F x 2
F = 1 x 2 x 3 Valor anterior de F multiplicado por 3, es decir, F = F x 3
F = 1 x 2 x 3 x 4 Valor anterior de F multiplicado por 4, es decir, F = F x 4
F = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Valor anterior de F multiplicado por 5, es decir, F = F x 5

Un algoritmo puede contener estructuras de
control de flujo combinadas de forma compleja;
secuencias, condicionales e iteraciones pueden
estar intercaladas y anidadas.
5.4.2. Combinación de
estructuras de control.

Es importante mencionar que para realizar un
buen diseño de pseudocódigos y diagramas de
flujo es necesario realizar las tres fases
mencionadas en el desarrollo de algoritmos:
1. Analizar.
2. Diseñar.
3. Probar.
5.5. Resolución de problemas básicos
de ingeniería.

Ejemplo: Obtener las raíces de una ecuación
cuadrática.
Este ejemplo presenta el pseudocódigo y el diagrama
de flujo que utiliza la fórmula general para obtener las
raíces reales de una ecuación de cuadrática:
5.5.1. Ejemplos.

Aquí se presentan solo algunas de las númerosas historias relacionadas
con errores en el software, varias han terminado incluso con pérdida
de vidas.
Es importante realizar siempre pruebas exhaustivas cuando se diseñan
algoritmos y programas, sin asumir de antemano que son correctos.
 A principios de los años 60’s, una nave espacial de la serie Mariner
enviada a Venus se perdió debido a un error en el programa del
control de vuelo, esto costó varios millones de dólares.
La importancia de las pruebas.

 En una serie de incidentes entre 1986 y 1987, muchos pacientes
recibieron sobredosis masivas de radiación de un sistema de terapia de
radiación Therac-25; tres de ellos fallecieron a causa de
complicaciones relacionadas.
 Un componente de hardware de seguridad que bloqueaba la radiación
fue sustituido por revisiones por software, pero debido a un error en el
programa no realizaba bien la tarea.
 Hace algunos años una anciana danesa recibió, cercano a su
cumpleaños número 107, una carta computarizada de las autoridades
escolares locales con instrucciones sobre como realizar su inscripción a
primer grado de educación primaria. Resulta que el campo “año” en la
base de datos solo almacenaba dos dígitos.

 En el cambio de milenio, los problemas de software se convirtieron en
noticia de primera plana con el llamado problema del año 2000, mejor
conocido como “Y2K bug”. El miedo era que el 1o de enero del año 2000
todo dejaría de funcionar, ya que las computadoras usaban sólo dos
dígitos para almacenar el año y por esto, asumirían que “00” era el año
1900 en lugar del 2000. Esto dio como resultado un gran (existoso) y muy
costoso esfuerzo para corregir programas en todo el mundo.
Estos son solo algunos ejemplos de la importancia que tiene realizar
pruebas a los diseños de software elaborados.

5.5.1. Ejemplos.
Diseña un algoritmo que lea un número natural distinto de 0
desde teclado y muestre por pantalla todos los divisores de dicho
número.

5.5.1. Ejemplos.
algoritmo : Divisores
# Algoritmo que escribe los divisores de un número dado
{numero=X ∧ (X ∈ N) ∧ X>0}
# Declaración de variables
var numero, contador : entero fvar
# Cuerpo del algoritmo
escribe('Introduce un número natural no nulo : ');
lee(numero);
escribe(1);
contador := 2;
mientras (contador < numero) hacer
si (numero resto contador) = 0 entonces
escribe(contador)
fsi;
contador := contador + 1
fmientras;
escribelin(contador)
{numero=X ∧ contador=X}
falgoritmo.

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