1) El documento trata sobre conceptos fundamentales de capacidad, condensadores, corriente eléctrica y su aplicación. 2) Incluye definiciones de capacidad, condensadores planos, asociaciones de condensadores, dieléctricos y su efecto en la capacidad. 3) También explica conceptos como densidad de corriente, intensidad de corriente, ley de Ohm y resuelve problemas relacionados con condensadores.

1. 1
CAPACIDAD y CONDENSADORES
Definiciones.
Condensador plano. Densidad de carga y campo eléctrico del condensador plano.
Asociaciones de condensadores.
Dieléctricos. Cargas libres y cargas ligadas. Campo en el interior de un dieléctrico.
Carga y descarga de un circuito RC.
Energía almacenada en un condensador.
CORRIENTE ELÉCTRICA
Densidad de corriente.
Flujo de cargas. Intensidad de corriente.
Ley de Ohm.
APLICACIÓN
CAPACIDAD Y CORRIENTE ELÉCTRICA

2. 2
CAPACIDAD y CONDENSADORES
CONCEPTO DE CAPACIDAD DE UN CONDUCTOR
Capacidad = Carga almacenada / Potencial eléctrico
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+ +
Carga Q distribuida en la
superficie del conductor
El conductor es
equipotencial:
potencial V
V
Q
C = Unidades SI faradio1
voltio1
culombio1
=
CONDENSADORES. CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR.
Ejemplo. Determinar la capacidad de una esfera conductora de radio R..
La capacidad de un conductor depende de sus características geométricas.
R
R
Q
R
Q
kV
04
1
επ
==
Si esa esfera estuviese cargada con la
carga Q, el potencial de la misma sería
Capacidad:
V
Q
C =
R
Q
Q
04
1
επ
=
RC 04 επ=
Un condensador (capacitor) es un dispositivo formado por dos elementos conductores entre los
cuales se establece una diferencia de potencial con objeto de separar cargas de distinto signo en
cada uno de dichos elementos.
La carga total de un condensador es nula: cuando decimos que el condensador está cargado a
una cierta diferencia de potencial, lo que se quiere expresar en que en cada parte hay una carga
de distinto signo, separada de la de signo opuesto y que el condensador se mantendrá cargado
mientras dichas cargas no se recombinen.
Definición de
capacidad del
condensador
Capacidad = Carga positiva / Diferencia de potencial eléctrico
V
Q
C =
pF1nF1F1
F1
µ

3. 3
CONDENSADOR PLANO
Formado por dos placas planas y paralelas, cada una de área A, separadas por una distancia d.
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
F/m10·85.8 12
0
−
=ε
Condensador cargado al voltaje V → ddp entre las placas = V
Las placas adquieren carga Q y –Q.
Entre ellas aparece un campo
eléctrico uniforme, al menos en la
zona central alejada de los extremos.
E

V d
V
E =
Aplicación T. Gauss
Las placas adquieren carga Q y –Q.
Entre ellas aparece un campo
eléctrico uniforme, al menos en la
zona central alejada de los extremos.
Densidad superficial de carga AQ /=σ
Densidad superficial de carga AQ /−=−σ 0ε
σ
=E
(Suma de los campos debidos
a las cargas positivas y a las
cargas negativas)
0ε
σ
=
d
V
A
Q
0ε
=Relación entre la d.d.p. y la carga: A
dQ
V
0ε
=
Capacidad del condensador plano:
V
Q
C =
A
dQ
Q
0ε
=
d
A
C 0ε
=
E

bordeslosdeEfectoCaracterísticas geométricas
Ejemplo
Se construye un condensador plano con dos láminas iguales de cobre de 400 cm2
que se colocan a una distancia de 8.85
mm. Cuando el condensador se carga a 177 V, (a) ¿Cuánto vale el campo eléctrico? (b) ¿Cuál es la carga? (c) ¿Cuál es la
densidad superficial de carga?
A
d
A
d
A
C 0ε
= pF40
m10·85.8
m400·10pF·m.858
3
2-4-1
=
⋅
= −
(a) Campo eléctrico
d
V
E = V/m20000
m10·85.8
V177
3
== −
(b) Carga VCQ = C10·08.7V177·F10·40 1012 −−
== (c) Dens. carga
A
Q
=σ 28
24-
10
C/m10·77.1
m400·10
C10·08.7 −
−
==
Permitividad del vacío

4. 4
DIELÉCTRICOS
Un dieléctrico es un material aislante que puede ser polarizado por aplicación de un campo eléctrico.
Cuando un dieléctrico se coloca dentro de un campo eléctrico las cargas eléctricas no pueden fluir a través del
material (a diferencia de lo que sucede en un conductor), sino que sufren un ligero desplazamiento respecto a
sus posiciones de equilibrio en ausencia de dicho campo. Esto da lugar a una polarización dieléctrica,
fenómeno que implica que las cargas positivas sufren ese desplazamiento a favor de las líneas del campo
eléctrico y las negativas en sentido contrario.
El resultado es la creación de un campo eléctrico interno, orientado contrariamente al campo exterior, que
reduce el campo dentro del dieléctrico mismo. Encaso de que un dieléctrico esté formado por moléculas
débilmente ligadas, las moléculas no sólo se polarizan, sino que se reorientan de modo que su eje de simetría
se alinea con el campo externo..
Condensador sin dieléctrico
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
E

V
A
d
A
_______________
+ + + + + + + + + + + + + + +
E′

Condensador con dieléctrico
Campo interno EEEi ′−=

Cargas libres fσ
fσ−Cargas libres
bσ
bσ− Cargas
ligadas
Constante dieléctrica o permitividad
relativa εr (adimensional): es el factor
en que, debido a la aparición de cargas
ligadas, se reduce el campo eléctrico
dentro del dieléctrico con respecto a su
valor en ausencia de dieléctrico.
Permitividad
Dieléctrico relativa εr
Vacío 1,0000
Aire 1,0005
Gasolina 2,35
Aceite 2,8
Vidrio 4,7
Mica 5,6
Glicerina 45
Agua 80,5
Efecto de un dieléctrico en la
capacidad de un condensador
Permitividad de un dieléctrico
r
i
E
E
ε
=
0ε
σ
=E
0εε
σ
ε rr
i
E
E ==
El campo se reduce
La d.d.p. se reduce
La capacidad aumenta
0εεε r=

5. 5
1C 2C 3C
0V
1V
Q+ Q+ Q+Q− Q− Q−
2V 3V
Igual carga en todos los condensadores
La d.d.p. total es la suma de los voltajes
3210 VVVV ++=
Capacidad
equivalente:
...
1111
321
+++=
CCCCS
ASOCIACIONES DE CONDENSADORES
ASOCIACIÓN EN PARALELO
1C
2C
3C
1Q+ 1Q−
2Q+ 2Q−
3Q+ 3Q−
0V
+
+
Igual d.d.p. en todos los condensadores =
La carga total es la suma de las cargas 3210 QQQQ ++=
0V
Capacidad
equivalente:
...321 +++= CCCCS
ASOCIACIÓN EN SERIE
0
1
1
V
Q
C =
0
2
2
V
Q
C =
0
3
3
V
Q
C =
1
1
V
Q
C =
2
2
V
Q
C =
3
3
V
Q
C =

6. 6
ENERGÍA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR
La energía que almacena el campo eléctrico de un condensador es igual al trabajo necesario para
cargarlo.
dQ
C
Q
dQVdU ⋅=⋅=
QVCV
C
Q
dQ
C
Q
U
Q
2
1
2
1
2
1 2
2
0
===⋅= ∫
Q+ Q−
C
+
0V

7. 7
1. Se tienen dos condensadores planos, cuyas características se dan en la tabla. C1 C2
Área (cm
2
) 400 800
Distancia (mm) 2 1
Cte. Diel. εr 8 1
a) Calcular la capacidad de cada condensador.
b) Si se conectan en paralelo y se cargan a 40 V, determinar la densidad
superficial de carga de cada uno en µC/cm2
.
c) Si se conectan en serie y la d.d.p. entre las armaduras del primer condensador es 30 V, determinar el campo
eléctrico en el segundo y su densidad superficial de carga en C/m2
.
2. Las armaduras de un condensador plano de área 500 cm2
cuyo dieléctrico es aire están separadas 0.5 mm.
Cargamos el condensador a 10 V, a continuación lo aislamos e introducimos una fina lámina de un
dieléctrico cuya constante es 4, de forma que ocupa la mitad izquierda del volumen entre las armaduras. Se
pide:
PROBLEMAS CONDENSADORES
a) Determinar en cuanto se incrementa la capacidad del condensador después de introducir el dieléctrico.
b) Calcular el valor de la diferencia de potencial entre las armaduras después de introducir el dieléctrico.
c) Comparar la densidad superficial de carga libre antes y después de introducir el dieléctrico.
Dato. Permitividad del vacío ε0 = 8.85·10-12
pF/m
3. Las armaduras de un condensador plano de área 500 cm2
cuyo dieléctrico es aire están separadas 0.5 mm.
Cargamos el condensador a 10 V, y sin aislarlo, introducimos una fina lámina de un dieléctrico cuya
constante es 4, de forma que ocupa la mitad izquierda del volumen entre las armaduras. Se pide:
a) Determinar en cuanto se incrementa la capacidad del condensador después de introducir el dieléctrico.
b) Calcular el valor de la diferencia de potencial entre las armaduras después de introducir el dieléctrico.
c) Comparar la densidad superficial de carga libre antes y después de introducir el dieléctrico.
d) Calcular el campo eléctrico después de introducir el dieléctrico.
d) Calcular el campo eléctrico después de introducir el dieléctrico.

8. 8
7. Calcular la capacidad por unidad de longitud de un
condensador cilíndrico (esquematizado en la figura)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/capcyl.html http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/capsph.html#c1
8. Calcular la capacidad de un condensador
esférico (radios a y b, esquematizado en la figura)
A
F33 µ=C
F33 µ=C
F33 µ=C
F11 µ=C
F11 µ=C
F11 µ=C
B
4. Determinar la capacidad equivalente
entre los terminales A, B para la
siguiente asociación de condensadores:
5. Suponiendo que entre los terminales A, B del ejercicio anterior
se conecta una fuente de 10 V, calcular:
a) La carga almacenada en el sistema completo.
b) La carga almacenada y la diferencia de potencial en cada uno
de los condensadores C3.
c) ¿Son equivalentes entre si los tres condensadores C1?
Determinar su carga y su diferencia de potencial.
d) Calcular la energía almacenada en el sistema.
e) Si retiramos el condensador C1 situado en medio, ¿cuál es la
nueva capacidad del sistema?
f) Si después de retirar el condensador C1 situado en medio
conectamos de nuevo la fuente de 10 V, ¿cuál será la energía
almacenada?
6. Se tienen tres condensadores iguales. ¿De cuántas formas pueden asociarse para que la capacidad
equivalente sea menor que la de uno de ellos?
PROBLEMAS CONDENSADORES

9. 9
CORRIENTE ELÉCTRICA: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Conductor en equilibrio
Portadores
de carga
Movimientos aleatorios
Sometido a un campo E

V
A

Velocidad promedio de arrastre v

Densidad
portadores
de carga:
V
N
n =
3
m
portadoresnº
=n
Vector densidad de corriente vqnj

=
Significado físico: [ ]
s
m
C
m
portadoresnº
3
××=j
Sea q la carga de cada portador
tiempoArea
Carga
×
→
La densidad de corriente es la carga que
atraviesa por unidad de tiempo un área
perpendicular a la dirección en la que son
arrastrados los portadores de carga.
Intensidad de corriente Es el flujo del vector densidad de corriente a través de una superficie
A

j

∫=
A
AdjI

·
Caso más simple: densidad de corriente uniforme, superficie plana
θ θ·cos·· AjAjI ==

Significado físico: carga que atraviesa una superficie por unidad de tiempo
Unidades: [ ] amperio1
segundo1
culombio1
tiempo
Carga
=→→I [ ] 22
m
amperio
s1m1
culombio1
tiempoArea
Carga
=
×
→
×
→j

10. 10
CORRIENTE ELÉCTRICA: CAMPO Y DENSIDAD DE CORRIENTE
Sometido a un campo E

V
A

Velocidad promedio de arrastre v

El campo aplicado determina el valor de la densidad de
corriente.
La forma de la función f depende del tipo de material.
( )Efj

=
Caso más sencillo: materiales óhmicos → dependencia lineal
Ej

σ=Ley de Ohm
σ es la conductividad. A mayor valor de conductividad corresponde una mayor densidad de corriente cuando
se aplica un campo dado.
Definición: la inversa de la conductividad σ es la resistividad ρ σρ /1=
j
E
j
E
Material óhmico
Material
no óhmico

11. 11
I
R
V
RIV ⋅=Materiales óhmicos: son aquellos en los que la diferencia de potencial
es proporcional a la corriente circulante
La constante de proporcionalidad es la resistencia eléctrica, que depende
de la naturaleza y la geometría del material.
Unidades S.I.: Ohmios (Ω). 1 Ω = 1 V / 1 A
Para un conductor en forma cilíndrica (caso de los cables
conductores de uso general) la relación entre la resistencia
y la geometría es la siguiente:
S
L
R ρ= S
L
ρ
ρ es la resistividad, que tiene un valor bajo en los buenos conductores como el cobre.
Unidades S.I. de la resistividad: Ω⋅m
LEY DE OHM APLICADA A CIRCUITOS
SENTIDO CONVENCIONAL DE LA CORRIENTE: cargas positivas que se mueven a favor del campo
Unidades S.I. de la conductividad: Ω-1
⋅m-1
1 Ω-1
= 1 siemen 1 Ω-1
m-1
= 1 S· m-1

12. 12
I
R
V
RIV ⋅=
POTENCIA DISIPADA EN UNA RESISTENCIA
La corriente que circula por una resistencia disipa energía.
Cálculo de la potencia disipada en una resistencia:
RIIVP ·· 2
==

13. 13
R
+
-
V0
Circuito abierto para
t < t0
CIRCUITO RESISTIVO SIMPLE (RESISTENCIA + FUENTE VOLTAJE)
Diferencia de potencial en la resistencia e intensidad en el circuito
Circuito cerrado
para t ≥ t0
R
+
-
V0
I=V0/R
V0
V0 V0/R
t (s)
0 t0
V (V)
0 0
I (A)
t (s)
0 t0
Ley de Ohm

14. 14
CIRCUITO CAPACITIVO SIMPLE (CONDENSADOR + FUENTE VOLTAJE)
+
-
V0
Circuito abierto para
t < t0
Diferencia de potencial y carga en el condensador e intensidad en el circuito
Circuito cerrado
para t ≥ t0
C
V0 C V0
t (s)
0 t0
V (V)
0 0
Q (C)
t (s)
0 t0
0
I (A)
t (s)
0 t0
V0/R
+
-
V0
C
V0
I
Q = C V0
t = t0 → I = V0/R
t > t0 → I = 0
Definición de
capacidad
+

15. 15
Ahora ni d.d.p.,
ni la carga, ni
la intensidad
varían
abruptamente,
porque la
resistencia se
opone al paso
de las cargas
CIRCUITO RC SERIE (RESISTENCIA + CONDENSADOR + FUENTE VOLTAJE)
+
-
V0
Circuito abierto para
t < t0
C
R
Circuito cerrado
para t ≥ t0
+
-
V0
C
R
V(t)
I(t)
Q(t) = C V(t)
t (s)
0 t0
V (V)
0 0
Q (C)
t (s)
0 t0
0
I (A)
t (s)
0 t0
V0/R
t = t0 → I = V0/R
C V0
V0
Diferencia de potencial y carga en el condensador e intensidad en el circuito

16. 16
CIRCUITO RC SERIE (RESISTENCIA + CONDENSADOR + FUENTE VOLTAJE)
Circuito cerrado
para t ≥ t0
+
-
V0
C
R
V(t)
I(t)
Cálculos detallados
( ) ( ) 0· VtIRtV =+
( ) ( )
dt
tdQ
tI =
( ) ( )
C
tQ
tV =
( ) ( )
0V
dt
tdQ
R
C
tQ
=+
( ) ( )
R
V
tQ
RCdt
tdQ 01
=+
( ) 000 =→= tQtt
( ) 



−+=
RC
t
AVCtQ exp0




−
−=
RC
t
VC
A
0
0
exp
( )




−




−
−=
RC
t
RC
t
VCVCtQ
0
00
exp
exp
( ) ( )











 −
−−=
RC
tt
VCtQ 0
0 exp1
Constante a
determinar
Condición inicial: en t = t0
condensador sin carga
0
Q (C)
t (s)
0 t0
C V0
Cuando t → ∞, Q(t) → C V0
t (s)
0 t0
V (V)
0
V0
( ) ( )











 −
−−=
RC
tt
VtV 0
0 exp1
Cuando t → ∞, V(t) → V0
0
I (A)
t (s)
0 t0
V0/R
t = t0 → I = V0/R
¿Podría justificar
esta gráfica?
Conservación
de la energía
en el circuito
Ecuación del circuito a resolver
Su solución nos da la carga del
condensador en función del tiempo
Solución:

17. 17
DESCARGA CIRCUITO RC
R
OFF
C
+
-
ON
0V
1. Un condensador conectado a una fuente de tensión
2. Una resistencia con un interruptor abierto
C
+
-
R
OFFOFF
3. Se desconecta la fuente de tensión
El condensador queda aislado
y cargado a V0 voltios
0V
)(tV
)(ti
C
R
+
-
ON
Rti
C
tQ
tV )(
)(
)( =−=−
dt
tdQ
ti
)(
)( =
0=+
RC
Q
dt
dQ
RC
dt
Q
dQ
−=
00 =
= t
QQ
( )RCtQtQ /exp)( 0 −=
( )RCtVtV /exp)( 0 −=
Carga y voltaje
son proporcionales
Voltaje inicial
Conservación
energía
¿Qué significado físico tiene el producto RC?
4. Cerramos el interruptor que conecta
el condensador con la resistencia