SymPy在微積分上的應用

1. 1
SymPy 符號運算套件
簡要 python 學習講義

2. 2
國立中央大學數學系
簡要 python 學習講義
 SymPy 簡介請由以下網址下載
http://www.python.math.ncu.edu.tw/files/sympy.pdf

3. SymPy 符號運算套件
 符號運算 Python 套件，始於 2007 年
 為計算機代數系統(Computer Algebra
System)，如 Maple、Mathematica、
MathCad
 套件使用 Python 程式語言開發出來
3
國立中央大學數學系

4. 使用 sympy 套件
 import sympy ：
使用 sympy 套件內定義的名稱之前需加上套件
名稱，即 sympy.
 from sympy import * ：
直接使用 sympy 套件內定義的所有名稱
4
國立中央大學數學系
 為節省列印空間，以下皆使用 from sympy import *

5. 定義符號變數：symbols()
5
國立中央大學數學系
>>> foo = symbols(’t’) # 設定 foo 符號變數代表符號 t
>>> foo
t
>>> a , b = symbols(’x y’) # 設定 a b 分別代表 x 與 y 兩個符號
# ’x y’ 也可加逗號寫成 ’x, y’
>>> a
x
>>> foo , a , b # 輸出 foo , a , b 三個符號變數
(t, x, y)
>>> foo - 2*a + 3*a # 簡單符號運算
t + x
>>> fn = a + 2*sin(foo) # 定義新符號變數 fn
>>> fn # 輸出 fn
x + 2*sin(t)

6. 預設符號變數：var()
6
國立中央大學數學系
>>> x , y = symbols(”x, y”) # 設定 x 與 y 變數代表 x 與 y 兩符號
>>> var(”x y”) # 效果同上
(x, y)
>>> x + 2*y - 3*x
-2*x + 2*y
>>> w , t = var(”a, b”) # 也可如 symbols 一樣設定符號變數
>>> w + 3*t
a + 3*b

7. 設定多個符號變數：使用「:」範圍
7
國立中央大學數學系
>>> var(”x:3”) # 三個符號變數：x0，x1，x2
(x0, x1, x2)
>>> var(”x:z”) # 三個符號變數：x，y，z
(x, y, z)
>>> var(”x:z:2”) # 六個符號變數，以上每個再依次
(x0, x1, y0, y1, z0, z1) 新增 0 1 兩個

8. 展開與取代：展開 expand() 與取代 subs()
8
國立中央大學數學系
>>> var("x,y")
(x, y)
>>> ((x+2*y)**2).expand() # expand() 展開
x**2 + 4*x*y + 4*y**2
>>> expand((x+2*y)**2) # 同上
x**2 + 4*x*y + 4*y**2
>>> (x-y)**2).subs(x,1) # subs() ：x 用 1 取代
(-y + 1)**2
>>> ((x+y)**2).subs(x,-2*y) # x 用 -2y 取代
y**2
>>> ((x-y)**2).subs(x,1).expand() # 先取代再展開
y**2 - 2*y + 1

9. 因式分解：factor()
9
國立中央大學數學系
>>> ((x**2-2*x+1)).factor() # 因式乘積
(x - 1)**2
>>> ((x-1)**2).expand().factor() # 先展開再回復
(x - 1)**2
>>> (x**2-1)/(x-1)
(x**2 - 1)/(x - 1)
>>> fn = x**3 - 4*x - 1 # 定義 fn gn 兩式子
>>> gn = -2*x**2 + x + 5
>>> factor(fn-gn) # 因式分解
(x - 2)*(x + 1)*(x + 3)

10. 簡化運算式：simplify()
10
國立中央大學數學系
>>> ((x**2-1)/(x-1)).simplify() # 簡化
x + 1
>>> simplify((x**2-1)/(x-1)) # 同上
x + 1
>>> fn = cos(x)**2 - sin(x)**2 # 定義 fn gn 兩式子
>>> gn = sin(2*x)
>>> fn/gn # 式子相除
(cos(x)**2 - sin(x)**2)/sin(2*x)
>>> simplify(fn/gn) # 簡化運算
1/tan(2*x)
>>> (gn**2/fn).simplify() # 簡化運算
sin(2*x)**2/cos(2*x)

11. Rational(a,b) ：b/a 分數
11
國立中央大學數學系
>>> 1/3 # 浮點數
0.3333333333333333
>>> Rational(2,6) # 自動約分
1/3
>>> a = Rational(8)/3 # 等同設定 a = Rational(8,3)
>>> a**2
64/9
>>> # y 用 1/3 浮點數取代
>>> ((x-y)**2).subs(y,1/3)
(x - 0.333333333333333)**2
>>> # y 用分數 1/3 取代
>>> ((x-y)**2).subs(y,Rational(1,3))
(x - 1/3)**2
>>> ((x-y)**2).subs(y,Rational(1,3)).expand()
x**2 - 2*x/3 + 1/9

12. π，e，∞
12
國立中央大學數學系
>>> pi # 圓周率符號變數
pi
>>> E # 大寫 E 代表 Euler 數
E
>>> oo # 兩個小 o，無限大符號變數
oo
>> oo * oo # 無限大相乘
oo
>> oo - oo # 無限大相減，無定義
nan # nan 代表 not a number

13. 常用函數
13
國立中央大學數學系

14. evalf ：計算式子數值
14
國立中央大學數學系
>>> pi.evalf()
3.14159265358979
>>> x + Rational(1,2)*pi
x + pi/2
>>> (x + Rational(1,2)*pi).evalf()
x + 1.5707963267949
>>> asin(1)
pi/2
>>> asin(1).evalf()
1.57079632679490

15. 微積分的應用
 limit()：極限
 diff()、Derivative()：微分
 integrate()、Integral()：積分
 series()：級數展開
15
國立中央大學數學系

16.  一般極限：
16
國立中央大學數學系
>>> ((x**2-1)/(x+1)).subs(x,-1)
nan
>>> limit( (x**2-1)/(x+1) , x , -1 )
-2
>>> ((x**2-1)/(x+1)).limit(x,-1) # 同上
-2
limit()：極限 (一)

17.  單邊極限：
17
國立中央大學數學系
>>> limit( floor(x)/x , x , 3 )
1
>>> limit( floor(x)/x , x , 3 , ’+’ ) # 同上
1
>>> limit( floor(x)/x , x , 3 , ’-’ )
2/3
>>> limit( sin(1/x) , x , 0 , ’+’ )
AccumBounds(-1,1) # 在 [-1,1] 之間
>>> limit( sqrt(x)*sin(1/x) , x , 0 , ’+’ )
limit()：極限 (二)

18.  無窮極限：
18
國立中央大學數學系
limit()：極限 (三)
>>> limit( (x**3-4)/(2*abs(x)**3+2) , x , oo )
1/2
>>> limit( (x**3-4)/(2*abs(x)**3+2) , x , -oo )
-1/2
>>> limit( sin(1/x) , x , oo )
0
>>> fn = x*sin(1/x)
>>> limit( fn , x , oo )
1

19.  Limit() 與 limit()
Limit() 為 limit() 的未運算版
在 init_printing() 下，Limit() 可印出漂亮
的輸出內容
Limit() 與 doit() 配合效果等同 limit()
19
國立中央大學數學系
limit()：極限 (四)

20. 20
國立中央大學數學系
limit()：極限 (五)

21.  pprint() 與 pretty() ：漂亮列印，漂亮字串
 在程式中，可使用 pprint() 產生漂亮的輸出
 pretty 可將 pprint() 的漂亮輸出存成字串
 pprint() 或列印 pretty 字串最好由新列起始，
否則會有對齊不良的情況發生
21
國立中央大學數學系
limit()：極限 (六)

22. 22
國立中央大學數學系
limit()：極限 (七)
from sympy import *
init_printing()
var("x")
fn = x + floor(x) # fn = x +
for i in range(2) :
y1 = Limit( fn , x , i , ’-’ )
y2 = Limit( fn , x , i , ’+’ )
pprint(y1) # 漂亮列印 y1
print( ’=’ , y1.doit() , end="nn" )
pprint(y2) # 漂亮列印 y2
print( ’=’ , y2.doit() , end="nn" )
y3 = Limit( fn , x , i+Rational(1,2) )
pprint(y3) # 漂亮列印 y3
print( ’=’ , y3.doit() , end="nn" )

23. 23
國立中央大學數學系
limit()：極限 (八)
 pprint() 函式也產生微分，積分等函式的漂亮輸出

24. diff()：微分 (一)
 單變數函式：
24
國立中央大學數學系
>>> fn = x**3 + 2*x**2 + 1
>>> diff(fn) # 計算一次微分
2
3·x + 4·x
>>> diff(fn,x) # 同上
2
3·x + 4·x
>>> diff(fn,x,1) # 同上，1 代表一次微分
2
3·x + 4·x
>>> diff(fn,x,2) # 函式 fn 對 x 連續執行兩次微分
2·(3·x + 2)
>>> diff(fn,x,x) # 同上
2·(3·x + 2)
>>> diff(fn,x,3) # 三次微分
6
>>> diff(fn,x,x,x) # 同上
6

25. diff()：微分 (二)
 多變數函式：偏微分
25
國立中央大學數學系
>>> var(”x,y”) # 定義兩符號變數
>>> fn = x**3 + y**3 + x*y
>>> fn
3 3
x + x·y + y
>>> diff(fn,x) # fn 對 x 微分
2
3·x + y
>>> diff(fn,x,y) # fn 先對 x 微分，再對 y 微分
2
x + 3·y
>>> diff(fn,x,2,y) # fn 先對 x 兩次微分，再對 y 微分
0
>>> diff(fn,x,x,y) # 同上
0

26. diff()：微分 (三)
 Derivative：顯示漂亮微分式子
Derivative 在互動模式下可將微分式子以漂亮方式
顯示出來
在程式執行中則需使用 pprint() 才能印出漂亮式子
Derivative 僅印出微分式子，並不會如 diff 一樣
計算微分
Derivative 後執行 doit() 等同 diff
26
國立中央大學數學系

27. diff()：微分 (四)
 範例一：計算函式對 x 的前四次偏微分
27
國立中央大學數學系
from sympy import *
init_printing()
var("x,y")
fn = cos(x*y) + sin(y)
# 顯示與計算 fn 函數對 x 的一到四次偏微分
for i in range(4) :
# dfn 儲存微分的漂亮輸出
dfn = Derivative(fn,x,i+1)
# 漂亮列印微分式子
pprint( dfn )
print( ’=’ , dfn.doit() ) # dfn.doit() 等同 diff(fn,x,i)
print()
輸出見次頁。

28. diff()：微分 (五)
28
國立中央大學數學系

29. diff()：微分 (六)
 範例二：計算函數的所有二次偏微分
29
國立中央大學數學系
from sympy import *
init_printing()
var("x,y")
# 定義函數
fn = cos(x*y) + sin(y)
# v1 在 x , y 兩符號變數迭代
for v1 in [ x , y ] :
# v2 在 x , y 兩符號變數迭代
for v2 in [ x , y ] :
# fn 先對 v1 微分，再對 v2 微分
dfn = Derivative(fn,v1,v2)
# 漂亮列印 fn 的微分式子
pprint( dfn )
# 印出 dfn 的微分運算結果
print( ’= ’ , dfn.doit() )
print()

30. integrate()：積分 (一)
 單變數積分
 不定積分
30
國立中央大學數學系

31. integrate()：積分 (二)
 定積分
31
國立中央大學數學系

32. integrate()：積分 (三)
 多變數積分
 不定積分
32
國立中央大學數學系

33. integrate()：積分 (四)
 定積分
33
國立中央大學數學系

34. integrate()：積分 (五)
 Integral：顯示漂亮積分式子
 Integral 在互動模式下可將積分式子以漂亮方式顯示出來
 在程式執行中則需使用 pprint() 才能印出漂亮式子
 Integral 僅印出積分式子，並不會如 integrate 一樣
計算積分
 Integral 後執行 doit() 等同 integrate
34
國立中央大學數學系

35. integrate()：積分 (六)
35
國立中央大學數學系
from sympy import *
init_printing()
var("x")
fn = x**2*cos(x)
# 列印連續三次積分過程
for i in range(3) :
ifn = Integral(fn,x) # 儲存漂亮積分式子
fn = ifn.doit() # 執行積分並變更 fn 為積分後函式
pprint( ifn ) # 列印漂亮積分式子
print( ’=’ )
pprint( fn ) # 列印漂亮 fn 函式
print()

36. integrate()：積分 (七)
輸出：
36
國立中央大學數學系

37. series：級數展開 (一)
 泰勒展開式
37
國立中央大學數學系
>>> sin(x).series() # 預設到 O(x**6) 誤差
x - x**3/6 + x**5/120 + O(x**6)
>>> series(sin(x)) # 同上
x - x**3/6 + x**5/120 + O(x**6)
>>> sin(x).series(x,0,4) # 展開誤差到 O(x**4)
x - x**3/6 + O(x**4)
>>> sin(x).series(x,0,5) # 展開誤差到 O(x**5)
x - x**3/6 + O(x**5)
>>> sin(x).series(x,0,5).removeO() # 去除誤差項
-x**3/6 + x

38. series：級數展開 (二)
 Maclaurin 展開式：對 x = x0 展開
38
國立中央大學數學系
>>> cos(x-2).series(x,x0=2) # 對 x0 展開
1 - (x - 2)**2/2 + (x - 2)**4/24 + O((x - 2)**6, (x, 2))
>>> cos(x-2).series(x,x0=2,n=6).removeO() # 展開誤差到
(x - 2)**4/24 - (x - 2)**2/2 + 1 O(x**6)

39. 習題 1
39
國立中央大學數學系
 不用理會顏色變化
印出來。

40. 40
 撰寫程式驗證函數 x cos(x)sin(y) 對 x 兩次微分與
對 y 兩次微分，不管微分順序如何都可得到一樣的結果,
印出以下的輸出樣式:
國立中央大學數學系
習題 2-1

41. 41
可參考講義第 9 頁範例二程式，修改程式使用四層迴圈如下:
國立中央大學數學系
習題 2-2
var("x,y")
...
for v1 in [ x , y ] :
for v2 in [ x , y ] :
for v3 in [ x , y ] :
for v4 in [ x , y ] :
if v1+v2+v3+v4 == 2*x+2*y :
...