J3009 Unit 10

TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /1

UNIT 10

TEGASAN LENTUR

OBJEKTIF

Objektif am : Memahami hubungkait antara kedudukan
paksi neutral dan momen luas kedua bagi
keratan piawai dalam persamaan lenturan.

Objektif Khusus : Di akhir unit ini, pelajar akan dapat :-

 Memahami jenis-jenis keratan piawai
 Mengira kedudukan paksi neutral (PN) bagi keratan
piawai
 Mengira momen luas kedua (I) bagi keratan piawai
 Menggunakan persamaan lenturan untuk menyelesaikan
masalah-masalah yang melibatkan kekuatan dan
lenturan rasuk yang disokong mudah dan rasuk julur


10.0 PENGENALAN

Di dalam unit ini, persamaan lenturan akan digunakan bagi menentukan tegasan
lentur bagi bentuk-bentuk piawai. Untuk mendapatkan tegasan lentur, kedudukan
paksi neutral (P.N) dan momen luas kedua bagi bentuk-bentuk piawai (I) perlu
dikira.

10.1 MOMEN LUAS KEDUA

Dalam merekabentuk sebatang rasuk atau aci, dimensi dan bentuk keratan yang
paling sesuai dari segi kekuatan dan ekonomi perlu diberi perhatian. Nilai tegasan
yang berlaku dalam sesuatu rasuk boleh ditentukan melalui persamaan-persamaan
yang diterbitkan. Salah satu elemen dalam persamaan ini ialah momen luas kedua
(I) atau momen Inersia .

Berikut adalah kaedah bagaimana mendapatkan momen luas kedua bagi bentuk-
bentuk :-

i. Keratan Segi Empat

Rajah 10.1 di bawah menunjukkan satu rasuk yang mempunyai keratan rentas
berbentuk segiempat tepat. Perhatikan satu rasuk julur luas dA, tebal dy, lebar b
dan jarak y dari P.N. Oleh sebab keratan rentas rasuk adalah simetri, P.N. adalah
terletak dipertengahan ukuran dalam rasuk.

b dA
A B
dy

y
d P.N.

C D

Rajah 10.1: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat


Momen luas kedua di takrifkan sebagai

I   y2 dA
Oleh itu bagi keratan segiempat tepat, momen luas kedua pada P.N., ialah
d/2
I P.N.  
d / 2
y 2 dy

d/2
 b y 2 dy
- d/2

d/2
 y3 
 b 
 3 d / 2

Untuk Momen Luas Kedua
bd 3
 pada paksi P.N.
12

Dengan cara yang sama, momen luas kedua keratan segiempat tepat melalui tepi
bahagian bawah keratan diperolehi dengan kamiran dari 0 hingga d.

d Untuk mendapatkan Momen
 y3  bd 3 Luas Kedua dari bahagian
Oleh itu ICD  b  
 3 0 3 bawah tapak bagi sebuah
segiempat atau dari paksi x - x

Bentuk piawai di atas terbukti memudahkan pengiraan IP.N. bagi keratan terbentuk.
Ini ialah dengan cara membahagikan keratan tersebut kepada beberapa segiempat
tepat. Sebagai contoh, nilai IP.N. untuk keratan simetri seperti dalam Rajah 10.2 di
bawah.
B

b b
A C

P.N.
d D

E F
Rajah 10.2: Rasuk Berkeratan Rentas I


IP.N. = IACEF – Ib.b ; b.b = bahagian berlorek.

BD3 2 (bd3 ) Untuk mendapatkan momen luas
 - kedua dengan menggunakan
12 12 kaedah potong.

ii. Keratan bulat

Rajah 10.3 menunjukkan satu bulatan yang berjejari r. Unsur berlorek yang
ditunjukkan dalam rajah tersebut mempunyai keluasan dA dan oleh itu persamaan
berikut terbentuk:-

dA = rd  dr

dr
r

ro d

Rajah 10.3: Rasuk Berkeratan Rentas Bulat

Daripada sistem kordinat kutub

y = r sin 

Momen luas kedua pada P.N. untuk keratan bulat diberikan oleh :-

I P.N.   y 2 dA

2π ro
  
0 0
r 2 sin 2 θ rd θdr

r0
2π  r4 
 
0
sinθ dθ  
 4 0

4
r0 2π

4 0
sin 2 θdθ

πr 4

4


10.2 TEOREM PAKSI SELARI

Teorem paksi selari menyatakan momen luas kedua pada mana-mana paksi yang
selari dengan P.N. ( paksi X – X ) adalah bersamaan dengan momen luas kedua
keliling paksi yang melalui sentroid keratan itu ( P.N. ) campur hasil darab luas
keratan dan ganda dua jarak antara paksi yang selari dengan P.N.

Perhatikan keratan bagi sebuah segiempat tepat seperti Rajah 10.4 . Jika sekiranya
satu unsur daripada keratan itu yang mempunyai jarak y darp paksi x – x, maka
momen luas kedua keratan ini pada paksi x – x boleh didapati dari persamaan :-

I xx  y
2
dA

dA

y’
P N
y
h

x x

Rajah 10.4: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat

Jika garisan P.N. dilakarkan juga selari dengan garisan x – x , maka rumusan di
atas boleh dihuraikan seperti berikut:-

y  y'  h

I xx   ( y'  h )
2

  (y') 
 2y'h  h 2 dA
2

  (y') dA  2h  y' dA  h 2  dA
2

Kamiran pertama merupakan momen luas kedua keratan pada paksi yang melalui
pusat bentuknya. Kamiran kedua merupakan momen luas pertama pada paksi
yang melalui pusat bentuk, oleh itu  y' dA adalah bersamaan dengan sifar.


Kamiran terakhir adalah untuk jumlah luas keratan. Seterusnya persamaan diatas
boleh ditulis sebagai :-

Rumus ini penting dalam mencari nilai
momen luas kedua sesuatu keratan yang
Ixx = IP.N. + Ah2 terdiri daripada beberapa gabungan
bentuk asas.

10.3 JADUAL KERATAN PIAWAI

Dari persamaan yang telah dibuat, kita boleh ringkaskannya seperti jadual
dibawah:-

Jadual 10.1: Ringkasan Momen Luas Kedua untuk bentuk piawai
BENTUK SENTROID MOMEN LUAS KEDUA

b x
bd 3
I P.N. 
x  b/2 12
P.N. d
y  d/2 bd 3
I xx 
y

x 3

d

x  d/2
P.N.  d4  r4
I P.N.  
> 64 4
y  d/2
y

IP.N  0.11 r 4
c 4r
r y
x
P.N
x 3  r4
I xx 
y 8


BENTUK SENTROID MOMEN LUAS KEDUA

bh 3
I P.N. 
36

P.N. bh 3
c y  h/3 I xx 
y 12
x x
hb3
I yy 
48

10.4 SENTROID

Seperti pusat gravity yang dianggap sebagai titik dimana semua jisim sesuatu
jasad itu terpumpun, sentroid pula adalah titik dimana luasan sesuatu bentuk itu
terpumpun.
Berikut adalah contoh bagaimana sentroid sesuatu bentuk itu ditentukan.

i. Bentuk Gabungan

Bentuk gambarajah boleh dihasilkan dengan menggabungkan beberapa bentuk
asas atau memotong gambarajah asal (Rajah 10.5(a)).
P

A D

B C
Rajah 10.5(a)

Bentuk dalam Rajah 10.5(a) dihasilkan dengan menggabungkan segiempat tepat
ABCD dengan separuh bulatan ADP.


Tinggi Sentroid dari tapak, y

Bagi Rajah 10.5(a) tinggi sentroid tiap-tiap bentuk asas dari BC tidak sama iaitu
y1  y2 (Rajah 10.5(b)).
p P

A D
A D
A DD C
y2
y
y1 
C
B C B
Rajah 10.5(b)

Oleh yang demikian,

y
 Ay
A
(A 1 y 1  A 2 y 2 )

(A 1  A 2 )

ii. Bentuk Terpotong

Dalam Rajah C10.6(a) bahagian segiempat DEFG dipotong dan ditanggalkan
daripada bentuk segiempat asal ABCH.

A H

G
F

E
D

B C
Rajah 10.6(a)


Bagi Rajah 10.6(a) tinggi sentroid bagi setiap bentuk asas dari garisan BC adalah
sama (Rajah 10.6(b)). Jadi,

y  y1  y2

A H
A H

F G
G
F

E
y1 y2 D y
E D

B
B C C

Rajah 10.6(b)

Merujuk kepada Rajah 10.7 pula bentuk L itu boleh dihasilkan dengan menggabungkan
dua segiempat atau dengan kaedah memotong dan memisahkan segiempat EDGF
daripada ABCG.

A G F G A F

y2
E D
y1 y
E D
B C B C

Rajah 10.7


Jika menggunakan kaedah potong dan pisah, gunakan formula berikut:

y
 Ay
A
(A 1 y 1  A 2 y 2 )

(A 1  A 2 )

Contoh 10.1

Sebatang rasuk mempunyai keratan rentas berbentuk segiempat tepat, 30 mm
lebar dan tebalnya 50 mm (Rajah C10.1). Tentukan momen luas kedua bagi rasuk
tersebut.
30 mm
Penyelesaian.

P.N. 50 mm

Rajah C10.1: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat

b = 30 mm
d = 50 mm

bd 3 Ini adalah kerana kita ingin mendapatkan momen
Gunakan Formula IP.N. = luas kedua pada paksi neutral ( IP.N. )
12


bd 3
I P.N. 
12

30 x 503

12

 3.125 x 105 mm 4

 3.125 x 10- 7 mm 4

Contoh 10.2

Kirakan momen luas kedua untuk keratan – I seperti Rajah C10.2 pada paksi x – x yang
melalui pusat graviti keratan itu.
60 mm
A B
20 mm

20 mm 100 mm

20 mm
X X
120 mm

Contoh C10.2: Rasuk Berkeratan Rentas I
Penyelesaian.

Langkah 1. Pecahkan keratan kepada 3 bahagian dan dapatkan nilai luas dan y dari
permukaan x – x.

A B

B1
h1
h2
P.N.
y1
B2 y3
h3 y2
y
B3
x x


y dari x – x
Bahagian Luas, A ( mm2 ) h (mm)
( mm )

20 yy
20 x 60 20/2 + 120
= 1200 = 130 = 130 – 57.1
60 = 72.9

100
yy
100 x 20 100/2 + 20
= 2000 = 70 = 70 – 57.1
= 12.9
20

y-y
20 x 120 20/2
20 = 2400 = 10 = 57.1 – 10
= 47.1
120

Langkah 2 Dapatkan pusat graviti bagi keratan – I tersebut ( y ) . Katakan jarak
pusat graviti keratan itu ialah y dari permukaan atas ( A – B ).

Ay
y 
A

A1y1  A 2 y 2  A 3 y3

A1  A 2  A 3

( 60 x 20 )(130 )  ( 100 x 20 )( 70 )  ( 120 x 20 )(10 )

( 60 x 20 )  ( 100 x 20 )  ( 120 x 20 )

y  57.1 mm


Langkah 3 Dapatkan nilai momen luas kedua dari pusat graviti bagi setiap bahagian.
Gunakan formula dibawah :-

3 Formula ini digunakan kerana
bd
IG  bentuk piawai bagi keratan ini
12 adalah segiempat tepat.

Bahagian 1 Bahagian 2 Bahagian 3

3 3 3
b1d1 b1d1 b1d1
IG1  IG1  IG1 
12 12 12

60 x 203 20 x 1003 120 x 203
  
12 12 12

 40,000 mm 4  1,666,666.67 mm 4  80,000 mm 4

Langkah 4 Dapatkan momen luas kedua untuk keseluruhan keratan tersebut. Gunakan
Formula :-

Nilai h di perolehi setelah y keseluruhan
I PN   ( IG  A h 2 )
di tolak dengan y untuk setiap bahagian

 IG1  A1 h1  IG2  A 2 h 2  IG3  A 3 h 3
2 2 2

 40,000  ( 1200 x 72.9 2)  1,666,666.67  ( 2000 x 12.92 )  80,000  ( 2400 x 47.12 )
= 13,820962.67 mm4

= 13.8 x 10-6 m4


10.5 PERSAMAAN LENTURAN

Persamaan lenturan membolehkan kita menentukan nilai tegasan yang berlaku di
jarak y daripada paksi neutral. Anggapan momen lentur ini malar biasanya tidak
dapat di penuhi kerana momen lentur berubah dari keratan ke keratan di
keseluruhan panjang rasuk. Dalam merekabentuk rasuk, tujuan kita adalah untuk
menentukan nilai tegasan lentur maksimum yang berlaku. Oleh itu amalan biasa
ialah untuk menggunakan nilai momen lentur maksimum yang didapati daripada
gambarajah momen lentur bagi rsuk tersebut. Jadi tegasan yang ditentukan dengan
menggunakan nilai ini adalah yang maksimum dan jika kita merekabentuk
sebatang rasuk berdasarkan kepada nilai ini, maka sudah tentu ia akan dapat
menentang momen lentur yang dikenakan.

10.6 MODULUS KERATAN

Kita telah pun melihat bahawa tegasan lentur berkadar terus dengan jarak
daripada paksi neutral PN dan nilai tegasan ini boleh ditentukan dengan
menggunakan persamaan:

M
 y
I

Jika m ialah tegasan lentur maksimum yang berlaku dan ym ialah jarak
maksimum daripada paksi neutral, maka:

M m

I ym

I
 M m x
ym

Persamaan ini memberi hubungan terus di antara momen lentur (M) dengan
tegasan lentur () dan momen luas kedua (I).

σ M E Persamaan lenturan, dari
  unit 9
y I R


Contoh 10.3

60 mm

20 mm
16 kN 16 kN

15 mm 80 mm
1m 1m

6m

Rajah C10.3 (a): Rasuk Disokong Mudah Dan Rajah C10.3 (b): Rasuk Berkeratan
Dikenakan Beban Tumpu Rentas T

Sebatang bar – T yang panjangnya 6 meter menanggung beban terpumpun. Tiap-tiap satu
beban itu ialah 16 kN pada jarak 1 m dari kedua-dua hujung rasuk tersebut. Bar itu
disangga mudah pada kedua-dua hujungnya, Rajah C10.3(a). Keratan rentas bar
ditunjukkan pada Rajah C10.3 (b). Kirakan yang berikut :-

i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah rasuk.
ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral.
iii. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk.
iv. Tegasan lentur maksimum mampatan dan tegangan yang terhasil dalam rasuk.

Diberi: E bagi rasuk = 200 GN / m2


Penyelesaian.

Bahagikan keratan tersebut kepada dua bahagian. Kirakan luas dan jarak
sentroid bagi setiap bahagian dari bahagian tapak keratan.

Bahagian Luas ( mm2 ) y ( mm )

60
20 1 60 x 20 = 1200 80 + 20/2 = 90

15

2 80 x 15 = 1200 80/2 = 40
80

i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah keratan rentas.

A1y1  A 2 y 2 Oleh kerana kita menggunakan
y  kaedah keratan terpotong, gunakan
A1  A 2
Formula ini.

(1200 x 90 )  (1200 x 40 )

(1200  1200)

 65 mm



Kirakan momen luas kedua dan jarak h untuk setiap bahagian

Bahagian IC (Momen luas kedua setiap bahagian) h (mm )

bd3 60 x 203
1   40,000 mm 4 y - y = 90 – 65 = 25 mm
12 12

bd 3 15 x 803
2   640,000 mm 4 y - y = 65 – 40 = 25 mm
12 12

Momen luas kedua pada paksi neutral ialah

IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h22 )

= ( 40,000 + ( 1200 x 252 ) ) + ( 640,000 + ( 1200 x 252 ) )

= 2.18 x 106 mm4

= 2.18 x 10-6 m4

iii. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk.

M  E EI
Gunakan formula    R 
I y R M

Dari pembebanan yang ditunjukkan, 16 kN 16 kN
kita dapati bahawa susunan
1m 1m
pembebanan itu adalah simetri, oleh
itu tindakbalas :- 6m
R1 R2
R1 = R2 = 16 kN (+)

(-)

Dari G.M.L. pula, momen lentur G.D.R
dipertengahan rentang :-
(+)

G.M.L.


M = 16 kNm ( meleding )
iv. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk.

200 x 109 x 2.18 x 10-6
 R 
16 x 103
EI
R  nilai E telah diberi iaitu 200 GN/m2
 27.25 m M

v. Tegasan lentur maksimum mampatan dan tegangan yang terhasil dalam rasuk.

Merujuk kepada rajah keratan rasuk, kita dapati :-

ybawah > yatas

 maksimum terhasil pada permukaan bawah iaitu,

ymax = 65 mm = 0.065 m

M maks y maks 16 x 103 x 0.065
σ  
I 2.18 x 10- 6

 477 x 106 N/mm 2 ( tegangan )

 maksimum terhasil pada permukaan atas iaitu,

ymaks = 35 mm = 0.035 m

M maks y maks 16 x 103 x 0.035
σ  
I 2.18 x 10- 6
 256.8 x 106 N/m 2 ( mampatan )


Contoh 10.4
120 mm
20 kN/m
E E
40 mm

1m 60 mm 80 mm
y

Rajah C10.4: Rasuk JulurBerkeratan Rentas T Yang Dikenakan Beban Teragih Seragam

Satu rasuk julur sepanjang 10 m menanggung beban teragih seragam disepanjang rentang
rasuk itu. Keratan rentas rasuk adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah C10.4.
dimana EE adalah permukaan atas bagi rasuk. Tentukan yang berikut :-

i. kedudukan paksi neutral bagi keratan rentas.
iii. Tegasan tegangan maksimum dan tegasan mampatan maksimum didalam
rasuk hasil dari lendutan.

Penyelesaian.

Bahagikan keratan tersebut kepada 2 bahagian. Dapatkan luas dan jarak
sentroid bagi setiap bahagian dari bahagian tapak keratan.


120
40 1 120 x 40 = 4800 80 + 40/2 = 100

60

80 2 80 x 60 = 4800 80/2 = 40


i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah keratan rentas.

A1 y1  A 2 y2 Oleh kerana kita menggunakan
y  kaedah keratan terpotong, gunakan
A1  A2
Formula ini.

(4800 x 100 )  ( 4800 x 40 )

(4800  4800)

 70 mm


Dapatkan momen luas kedua dan jarak h untuk setiap bahagian

Bahagian IC (Momen luas kedua setiap bahagian) h ( mm)

bd 3 120 x 403
1   640 x 103 mm 4 y  y = 100 – 70 = 30
12 12

bd 3 60 x 803
2   2560 x 103 mm 4 y - y = 70 – 40 = 30
12 12

Momen luas kedua pada paksi neutral ialah

IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h22 )

= ( 640 x 103 + ( 4800 x 302 ) ) + ( 2560 x 103 + ( 4800 x 302 ) )

= 11.84 x 106 mm4

= 1.184 x 10-5 m4

iii. Momen lentur maksimum berlaku pada bahagian bar yang bertemu tembok iaitu :

Mmaks = ( - 20 x 103)( 1 )(0.5) = 10,000 Nm = 10 kNm

Oleh kerana rasuk ini meleding, permukaan atas akan mengalami tegangan dan
permukaan bawah mengalami mampatan.


ybawah maksimum = 70 mm

yatas maksimum = 120 – 70 = 50 mm

M σ M maks y maks
  σ maks 
I y I

10,000 x 50 x 10 -3
σ maks tegangan   42.23 M N/m2
1.184 x 10 -5

10,000 x 70 x 10 -3
σ maks mampatan   59.12 M N/m2
1.184 x 10 -5

10.7 AGIHAN TEGASAN

Jika nilai  bagi tiap-tiap lapisan dari permukaan atas ke permukaan sebelah
bawah rasuk ditentukan, nilai-nilai itu boleh diplotkan pada satu graf seperti
dibawah. Graf menunjukkan agihan tegasan lentur.

Perhatikan yang nilai  tidak bergantung kepada lebar keratan rentas sesuatu jalur.
Pada lapisan P.N.,  = 0.

+ 42.23 MN/m2

5 cm

P.N.
=0

7 cm

- 59.12 MN/m2

Rajah 10.8: Agihan Tegasan Bagi Rasuk Berkeratan Rentas T


Contoh 10.5

Rajah C10.5 menunjukkan keratan rentas bagi sebatang rasuk.

a) Kirakan :-
i) jarak y
ii) momen luas kedua keliling paksi neutral.

b) Jika rasuk itu yang disokong mudah pada kedua-dua hujungnya membawa
beban teragih seragam 30 kN/m pada keseluruhan rentangnya yang
panjangnya 3m, kirakan tegasan lentur dalam rasuk itu pada:-
i) permukaan atas
ii) permukaan bawah

80 mm

20 mm

10 mm
20 mm

P.N.
100 mm
100 mm

10 mm

40 mm

Rajah C10.5


Penyelesaian

a) Keratan itu boleh dianggap berbentuk T hasil cantuman bahagian 1 dan bahagian
2. Sementara dibahagian tengahnya pula ditebuk satu lubang berbentuk segiempat
tepat (bahagian 3).

1

P.N.

3

2

Rajah C10.5 (a)

Dapatkan luas bagi setiap bahagian yang terlibat :-

Bahagian 1 A1 = 80 x 20 = 1600 mm2
Bahagian 2 A2 = 40 x 100 = 4000 mm2
Bahagian 3 A3 = 20 x 100 = 2000 mm2

Kirakan jarak y dari bahagian tapak keratan T tersebut.

y1 = 100 + 10 = 110 mm ; y2 = 50 mm ; y3 = 10 + 50 = 60 mm

i) Dapatkan nilai y dengan menggunaka n formula y 
 Ay
A

A1 y1  A 2 y 2 - A 3 y3
y 
A1  A 2  A 3

(1600 x 110)  (4000 x 50) - (2000 x 60)

(1600  4000 - 2000)

 71.1 mm


ii) Dapatkan momen luas kedua keliling paksi neutral.

h1 = y1 - y = 110 – 65.3 = 44.7 mm

h2 = y - y2 = 65.3 – 50 = 15.3 mm

h3 = y - y3 = 65.3 – 60 = 5.3 mm

Dapatkan nilai Ah2 bagi setiap bahagian.

A1h12 = 1600 x ( 44.7 )2 = 3.2 x 106 mm4
A2h22 = 4000 x ( 15.3 )2 = 936 x 103 mm4
A3h32 = 2000 x ( 5.30 )2 = 56 x 103 mm4

bd 3
Gunakan formula Ic = untuk mendapatkan momen luas kedua bagi setiap
12
bahagian.
80 x 203
IC1 =  53 x 103 mm 4
12
40 x 1003
IC2 =  3.33 x 103 mm 4
12
20 x 1003
IC3 =  1.67 x 106 mm 4
12
IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h22 ) - ( IC3 + A3h32 )
= 5.8 x 106 mm4
= 5.8 x 10-6 m4


b) Dapatkan daya yang bertindak balas pada kedua-dua hujung A dan B.

30 kN/m

3m
RA RB

Rajah C10.5 (b)

Kita tahu bahawa rasuk tersebut dibebankan teragih seragam. Oleh yang
demikian, dapatkan dahulu jumlah daya yang terlibat.
Jumlah daya pada A = Jumlah daya pada B
RA = R B
30  3
Oleh yang demikian, RA = RB = kN  45 kN
2
Mmaks akan berlaku dipertengahan rentang, oleh itu,
Mmaks = (+45 ) x 1.5 + (- 30 x 1.5) x 0.75
= 33.75 kNm

ybawah = 65.3 mm Oleh itu, yatas = 120 – 65.3 = 54.7 mm

M σ M maks y maks
  σ maks 
I y I
33.75 x 10 3 x 0.0547
σ atas  -6
 318 MN/m2
5.8 x10

33.75 x 10 3 x 0.0653
σ bawah   380 MN/m2
5.8 x10 -6


AKTIVITI 10

UJI KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA.
SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DIHALAMAN
BERIKUTNYA.

Kirakan momen luas kedua bagi keratan rentas rasuk dibawah:-

Semua ukuran dalam mm
10.1 200

90 90
A B

P.N.
260 300

C D

10.2 200

100

200 300
ø 120


10.3 80

20

10
20

P.N.
100

100

10

40

10.4 Sebatang aci bulat padu ABCD disokong mudah dan dibebankan seperti Rajah
10.4 di bawah. Kirakan diameter aci jika tegasan lentur maksimum yang
dibenarkan ialah 100 MN/m2.

50 kN

0.1 m 0.2 m 0.2 m 0.1 m

A B C D E

RA 20 kN 10 kN RE

Rajah 10.4 d


10.5
Bentuk keratan rentas sebatang rasuk yang disokong mudah dikedua-dua
hujungnya ditunjukkan dalam Rajah 10.5. Rasuk itu menanggung beban teragih
seragam sebanyak 6 kN/m disepanjang rasuk. Jika tegasan lentur maksimum
dalam rasuk itu tidak boleh melebihi 35 MN/m2, tentukan,

a) Panjang rasuk
b) Tegasan tegangan maksimum

150 mm

25 mm

25 mm 250 mm

25 mm

200 mm

Rajah 10.5


MAKLUM BALAS 10

TAHNIAH KERANA ANDA TELAH MENCUBA.!!!!!!!!!

Jawapan :-

10.1
B

A B

b

d P.N. D

C D

Oleh kerana keratan ini adalah simetri, maka pusat bentuk adalah berada di tengah-
tengah keratan.

BD3  bd 3 
Gunakan persamaan I P.N.  - 2 
12  12 
 200 x 3003   90 x 2603 
I P.N.  
  - 2
  

 12   12 

= 1.86 x 108 mm4

= 1.86 x 10-4 m4


10.2 Sebelum nilai momen luas kedua ini diperolehi, kedudukan pusat bentuknya perlu
ditentukan dahulu.

Bentuk keratan ini terdiri daripada dua komponen iaitu segiempat tepat dan
bulatan. Sufiks 1 dipilih untuk segiempat tepat dan sufiks 2 untuk bulatan.
Sekiranya tapak segiempat tepat dipilih sebagai paksi rujukan, maka persamaan
berikut digunakan:-

2

1

x x

A y i i
y  i

A i
i

A1 y1 - A 2 y2

A1 - A 2

 (120) 2
200 (300)(150) - (200)
 4
 (120) 2
(200)(300) -
4

 138.4 mm

Setelah kedudukan P.N. diketahui, maka nilai momen luas kedua untuk
keseluruhan keratan dapat dicari. Ini dilakukan dengan menggunakan teorem
paksi selari.


I P. N .  (I1  A1h1 ) - ( I 2  A 2 h2 )
2 2

 (200 )(300)3   (120) 4  (120) 2 
   (200)(300)(150  138.4)    (200  138.4)
 12   64 4 

 405 x 106 mm 4

10.3 Keratan itu boleh dianggap berbentuk T hasil cantuman bahagian 1 dan bahagian
2. Sementara dibahagian tengahnya pula ditebuk satu lubang berbentuk segiempat
tepat (bahagian 3).

1

P.N.

3

2

Dapatkan luas bagi setiap bahagian yang terlibat :-

Bahagian 1 A1 = 80 x 20 = 1600 mm2
Bahagian 2 A2 = 40 x 100 = 4000 mm2
Bahagian 3 A3 = 20 x 100 = 2000 mm2

Dapatkan jarak y dari bahagian tapak keratan T tersebut.

y1 = 100 + 10 = 110 mm ; y2 = 50 mm ; y3 = 10 + 50 = 60 mm

Dapatkan nilai y dengan menggunaka n formula y 
 Ay
A


A1 y1  A 2 y 2 - A 3 y3
y 
A1  A 2  A 3

(1600 x 110)  (4000 x 50) - (2000 x 60)

(1600  4000 - 2000)

 71.1 mm

Kirakan nilai momen luas kedua

h1  y1 - y  110 - 65.3  44.7 mm

h 2  y - y2  65.3 - 50  15.3 mm

h 3  y - y3  65.3 - 60  5.3 mm

bd 3 80 x 203
IC1    53 x 103 mm 4 ; A1h1  3.2 x 106 mm 4
2

12 12

bd 3 40 x 1003
IC2    3.33 x 103 mm 4 ; A 2 h 2  936 x 103 mm 4
2

12 12

bd 3 20 x 1003
IC3    1.67 x 106 mm 4 ; A 3h 3  56 x 103 mm 4
2

12 12

I P. N.  (IC1  A1 h1 )  (IC2  A 2 h 2 )  (IC3  A 3 h 3 )
2 2 2

 5.3 x 106 mm 4

 5.3 x 10- 6 m 4

10.4 Dengan mengambil momen pada A, kita akan dapat:

Momen ikut jam = Momen lawan jam
MA = 0
0.1 x 50 – 0.3 x 20 – 0.5 x 10 – 0.6 x RE = 0
5 – 6 – 5 – 0.6RE = 0


 RE = - 10 kN (menunjukkan arah sebenar RE adalah ke bawah)

Dengan mengambil momen pada E, ia akan memberikan,

Momen ikut jam = Momen lawan jam
ME = 0
0.6 x RA – 0.5 x 50 + 0.3 x 20 + 0.1 x 10 = 0
0.6RA – 25 + 6 + 1 = 0
 RA = 30 kN

Semakan,

Jumlah daya keatas = Jumlah daya ke bawah
RA + RE + 20 kN + 10 kN = 50 kN
 (30 – 10 + 20 + 10) kN = 50 kN (kiraan adalah betul)

Jika jumlah daya ke atas tidak sama dengan jumlah daya kebawah, ini
menunjukkan pengiraan tersebut tidak tepat.

Gambarajah momen lentur ditunjukkan seperti di bawah:

50 kN RE = 10 kN

0.1 m 0.2 m 0.2 m 0.1 m

RA = 30 kN 20 kN 10 kN

3 kNm

G.M.L

1 kNm


Dari G.M.L, momen lentur maksimum berlaku pada x = 0.1 m, dalam persamaan
M = 30x, iaitu:
Mm = 30 x 0.1
= 3 kNm

 M
Menggunakan  dengan
y I
m = 100 x 106 N/m2
d
ym =
2
Mm = 3 kNm
d 4
I =
64

Kita dapati,

100 x 106 3 x 103

d  x d4
2 64

100 x 106 x 2 3 x 103 x 64

d  x d4

3 x 103 x 64
d3 
 x 100 x 106 x 2

dan d  67.36 mm

10.5
Langkah 1. Pecahkan keratan kepada 3 bahagian dan dapatkan nilai luas dan y
dari tapak
B1

h1
P.N. h2 y1
B2 y3
y y2
h3
B3
x x

Rajah 10.5(a)



25
25 x 150 = 3750 300 – 25/2 = 387.5
150

250
25 x 250 = 6250 25 + 125 = 150 mm

25

25
200 x 25 = 5000 12.5 mm
200

Langkah 2 Kirakan pusat graviti bagi keratan – I tersebut ( y ) . Katakan jarak pusat
graviti keratan itu ialah y dari tapak.

Ay
y 
A

A 1 y1  A 2 y 2  A 3 y 3

A1  A 2  A 3

( 3750 )(287.5 )  ( 6250 )( 150 )  ( 5000 )(12.5 )

( 3750)  ( 6250)  ( 5000 )

y  138.5 mm

Langkah 3 Kirakan nilai momen luas kedua dari pusat graviti bagi setiap bahagian.
Gunakan formula dibawah :-

3 Formula ini digunakan kerana
bd
IG  bentuk piawai bagi keratan ini
12 adalah segiempat tepat.


Bahagian 1 Bahagian 2 Bahagian 3

3 3 3
b1d1 b1d1 b1d1
IG1  IG1  IG1 
12 12 12

150 x 253 25 x 2503 200 x 253
  
12 12 12

 195 x 103 mm 4  32.55 x 106 mm 4  260.4 x 103 mm 4

Langkah 4 Dapatkan momen luas kedua untuk keseluruhan keratan tersebut. Gunakan
Formula :-

Nilai h di perolehi setelah y keseluruhan
I xx   ( I G  A h 2 ) di tolak dengan y untuk setiap bahagian

 I G1  A 1 h 1  I G2  A 2 h 2  I G3  A 3 h 3
2 2 2

 195 x 10 3  ( 3750 x 287.5 2 )  32.55 x 10 6  ( 6250 x 150 2 )  260.4 x 10 3 
( 5000 x 12.5 2 )

= 196.5 x 106 mm4

= 196.5 x 10-6 m4

a) ybawah = 138.5 mm  yatas = 300 – 138.5 mm = 161.5 mm

yatas  ybawah  max terhasil pada permukaan atas.


M  σ max I
   max 
I y y atas

35 x 106 x 196.5 x 10- 6
 Nm
0.01615

 425.85 kNm

6 kN/m

6L
Tindakbalas, R =
2
Lm
= 3L R R

Mmax berlaku pada pertengahan rentang, iaitu:

L  L  L 
Mmaks = 3L   (-6)   kNm = 0.75L2 kNm = 750 Nm
2  2  4 

 750L2 = 425.85 x 103  L = 23.8 m

b) Oleh kerana rasuk itu melendut, maka permukaan bawah mengalami tegasan
lentur tegangan.
- 35 MN/m2

161.5 mm

P.N.
=0

138.5 mm

+ bawah

Keratan rentas Agihan tegasan

Rajah 10.5(b)


y bawah
tegangan = x σ maks
y atas

138.5
= x 35 MN/m2
161.5

= 30 MN/m2


PENILAIAN KENDIRI

Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba soalan dalam penilaian
kendiri ini dan semak jawapan dari pensyarah modul anda.

Selamat mencuba dan semoga berjaya !!!!!!!!!!!!!

1.
150 mm
A B
25 mm

25 mm 250 mm

25 mm

200 mm

2.
90 mm

20 mm

40 mm

30 mm


3. 20 cm

1 cm
1 cm

4 cm 5 cm 20 cm

1 cm
1 cm

4.
70 mm

30 mm
100 mm

5. Sebatang rasuk berbentuk keratan ‘T’ dibebankan seperti Rajah 5. Kirakan
tegasan-tegasan lentur maksimum yang berlaku dalam rasuk ini.

120 mm
20 kN
750 mm 20 mm

A B 160 mm
20 mm
3m

Rajah 5: Rasuk Keratan T Disokong Mudah Dan Dikenakan Beban Tumpu


6. Sebatang rasuk dibebankan seperti Rajah 6. Jika tegasan lentur maksimum
dihadkan kepada 35 kN/m2, kirakan nilai b.

5 kN
1m
3b

A B

2m

b

Rajah 6: Rasuk Disokong Mudah Keratan Segiempat Yang Dikenakan Beban Tumpu

7. Sebatang rasuk berkeratan rentas bulat dibebankan seperti Rajah 7. Kirakan
tegasan lentur maksimum yang berlaku.

600 kN 100 kN

250 mm 50 mm

A B

600 mm

200 mm

Rajah 7: Rasuk Disokong Mudah Keratan Bulat Yang Dikenakan Beban Tumpu

8. Tentukan nilai b bagi sebatang rasuk disokong secara mudah seoerti Rajah 8
dibawah dengan syarat tegasan lentur maksimum tidak melebihi 150 MN/m2.

2 kN/m

100 mm

5m

RA RB
b b

Rajah 8: Rasuk Disokong Mudah Keratan Segiempat Yang Dikenakan Beban
Teragih Seragam


9. Sebatang rasuk julur dibebankan seperti Rajah 9. Jika tegasan lentur tidak boleh
melebihi 60 MN/m2, tentukan W

W

40 mm

10 mm

100 mm
240 mm

Rajah 9: Rasuk Julur Bergeronggang Yang Dikenakan Beban Tumpu


MAKLUMBALAS
KENDIRI
Adakah anda telah mencuba ?

Jika “Ya”, sila semak jawapan anda.

Jawapan

1. 196.5 x 10-6 m4

2. 868 x 10-9 m4

3. 5742.7 cm4

4. 5.2 x 10-6 m4

5. Tegasan lentur maksimum = 38.35 MN/m2, 74.02 MN/m2

6. b = 47.6 mm

7. Tegasan lentur maksimum = 114.06 MN/m2

8. b = 25 mm

9. W = 17.39 kN

J3009 Unit 10

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Plus de mechestud

Plus de mechestud (20)

Dernier

Dernier (11)

J3009 Unit 10