O documento descreve os conceitos fundamentais da álgebra de Boole, incluindo operações lógicas como negação, E, OU e XOR. Também apresenta como circuitos lógicos implementados com contatos mecânicos, como chaves e relés, podem representar expressões booleanas.

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ELT502
2. ÁLGEBRA DE BOOLE
Em 1854 o matemático Britânico George Boole criou um sistema algébrico de dois
valores, atualmente chamada de álgebra Booleana, para analisar expressões lingüísticas. Em
1938, o pesquisador dos laboratórios Bell (EUA) mostrou como adaptar a álgebra Booleana
para circuitos baseados em relés, que eram os circuitos “digitais” da época.
A álgebra de Boole é baseada em dois valores lógicos; 0 e 1. Estes valores podem
representar condições com as quais estão associadas, tais como verdadeiro e falso, ligado e
desligado, aberto e fechado, energizado e desenergizado, etc. Em particular, poderia haver a
relação 0 para falso e 1 para verdadeiro (ou vice-versa), 0 para aberto e 1 para fechado (ou
vice versa) e assim sucessivamente.
2.1 Operações Básicas
As três operações básicas da álgebra de Boole são:
2.1.1 Inversão (Não, Negação ou Complemento)
A operação de inversão, também chamada de Não (NOT em Inglês), Negação ou
Complemento, executa a inversão lógica do sinal de entrada. A inversão do sinal A, é
representado por 'AAF == . A representação gráfica e a sua tabela de operação são:
1 2
A F 'AAF ==
A F
0 1
1 0
2.1.2 E
Pela operação E (AND em Inglês) uma expressão, composta por duas ou mais
variáveis, só é verdadeira se todas as variáveis forem verdadeiras ao mesmo tempo.
1
2
3A
F
B
ABBAF == .
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Exemplo:
Uma certa empresa necessita contratar um funcionário que seja engenheiro e que
tenha pelo menos de 3 anos de experiência.
Pode-se usar a seguinte notação:
E = Engenheiro

2. UNIFEI - NOTAS DE AULA DE ELT502 10
K = Pelo menos de 3 anos de experiência
C = Contratatação
Assim: C = E.K
2.1.3 OU
Pela operação OU (OR em Inglês) uma expressão, composta por duas ou mais
variáveis, é verdadeira se pelo menos uma variável for verdadeira.
B
A
F
1
2
3 BAF +=
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Exemplo:
Uma certa empresa necessita contratar um funcionário que seja engenheiro civil ou
arquiteto.
Pode-se usar a seguinte notação:
E = Engenheiro civil
A = Arquiteto
C = Contratação
Assim: C = E+A
2.2 Expressões Booleanas e Tabela Verdade
A partir de uma expressão pode-se montar um circuito lógico que a implemente
usando-se os blocos básicos já apresentados. Neste caso, a montagem é feita seguindo a
mesma seqüência de prioridades tradicional da matemática, isto é, operação Não, operação E
e depois operação OU. Quando houver necessidade de se alterar prioridades, faz-se o uso de
parêntesis.
Também a partir da expressão pode-se montar a tabela que reflete a operação lógica
do circuito. Nesta tabela, chamada de TabelaVerdade, devem-se incluir todas as combinações
possíveis das variáveis de entrada. Para facilitar a obtenção da lógica final, fazem-se colunas
com lógicas intermediarias. A Tabela Verdade apresenta, portanto, as condições de entrada
para as quais a saída vale 0, e as condições para as quais a saída vale 1.
Exemplos:
1. CBAF +=
B
1
2
3A 1
2
3
C
F
1 2
A B C B BA. CBA +.

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0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1
2. )).(( CBBAF ++=
1
2
3
B
F
1
2
3
1 2
1
2
3
C
A
A B C C CB + BA + )).(( CBBA ++
0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1
2.3 Outros blocos lógicos
Outros blocos lógicos podem ser compostos a partir dos blocos já apresentados. Os
principais blocos são:
2.3.1 Não-E (NAND)
Formado a partir de uma porta lógica E e de uma porta lógica Não.
F
1
2
3A 1 2
B
A
B
F
1
2
3
ABBAF == .
A B F
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

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2.3.2 Não-Ou (NOR)
Formado a partir de uma porta lógica OU e de uma porta lógica Não.
1
2
3
F
1 2A
B
B
F
A 2
3
1
BAF +=
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
2.3.3 Ou-Exclusivo (XOR)
A operação do Ou-exclusivo é similar à do Ou, sendo que se as duas entradas forem 1
ao mesmo tempo, a saída tem valor 0. Isto reflete o fato que se pode ter apenas uma das
entradas em 1 por vez!
1
2
3
F
B
A BAF ⊕=
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Exemplo:
Uma pessoa tem um carro e uma mota Essa pessoa pode viajar de carro de carro ou de
moto, mas nunca nos dois ao mesmo tempo.
Pode-se usar a seguinte notação:
C = Carro
M = Moto
V = Viajar
Assim: MCV ⊕=
2.3.4 Coincidência ou Não-Ou-Exclusivo (XNOR)
Formado a partir de uma porta lógica Ou-Exclusivo e de uma porta lógica Não.
A
F
1
2
3 1 2
B
1
2
3A
B
F
BAF ⊕= =A B
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
2.4 Simbologia IEEE/ANSI
Além da simbologia tradicional apresentada, existe a simbologia IEEE/ANSI
(American National Standard Institute / Institute of Electrical and Electronic Engineers), que

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apesar de pouco usada, ainda aparece em algumas publicações. Essa simbologia é
apresentada a seguir, ao lado da simbologia antiga.
Função Lógica Simbologia Tradicional Simbologia IEEE/ANSI
Não 1 2
E
1
2
3
&
Não-E
1
2
3
&
Ou
1
2
3
1
Não-Ou
2
3
1 1
Ou-Exclusivo
1
2
3
=1
Não-Ou-Exclusivo
(Coincidência)
1
2
3
=1
ou
=
2.5 Circuitos a contatos
Circuitos a contacto podem ser implementados usando-se chaves mecânicas simples,
chaves mecânicas complexas e relés. A estrutura básica dos relés é apresentada na Figura 1,
sendo que a Figura 1.a apresenta um relé do tipo Normalmente Aberto – NA e a Figura 1.b
apresenta um relé do tipo Normalmente Fechado – NF.
No caso do relé NA, quando a bobina não está energizada (que pode ser associada
com a variável A = 0), não há circulação de corrente e o eletroímã não funciona. Desta
forma, os contactos estão abertos (que pode ser associado com a variável B = 0) em função
da força mecânica da mola. Ao se energizar a bobina, a circulação de corrente (que pode ser
associada com a variável A = 1) faz com que o eletroímã funcione e vença a forca da mola,
fechando assim os contactos, o que por sua vez permite a circulação de corrente (que pode
ser associado com a variável B = 1).

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Figura 1- Estrutura de relé; (a) tipo NA e (b) NF.
O relé NF funciona de forma parecida, só que quando não está energizado, os
contactos estão fechados por força da mola. Ao ser energizado, os contactos fecham-se.
A seguinte notação lógica pode ser adotada para os relés:
Variável Condição Estado
Não energizada 0
Bobina
Energizada 1
Abertos 0Contactos
Fechados 1
Com base nesta notação, para os relés anteriores pode-se ter:
NA → AB =
NF → DC =
Pode-se observar então que o relé NA não altera a função lógica e o relé NF atua
como um inversor lógico.
As principais funções lógicas podem ser implementadas usando contactos, quer sejam
simples ou com o uso de relés. As principais funções são:
2.5.1 Função E
A operação E pode ser implementada colocando-se chaves em série, como indicado
no circuito da Figura 2. Por simplicidade, este mesmo circuito será representado como
indicado na Figura 3. Observe que a luz só acende se as chaves A e B estiverem ligadas ao
mesmo tempo (operação E).
Figura 2- Circuito elétrico para implementar operação E.

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A B
Figura 3 - Operação E com chaves.
2.5.2 Função OU
A operação Ou pode ser implementada com chaves em paralelo, como indicado na
Figura 4. Basta que uma das chaves esteja fechada para que a luz acenda.
A
B
Figura 4 - Operação OU com chaves.
2.5.3 Função Ou-Exclusivo
A função Ou-Exclusivo pode ser implementada usando-se chaves de dois pólos, como
representada na Figura 5. Estando as duas chaves na condição 0 (posição superior), ou na
condição 1 (posição inferior), a luz não acende, porém acende nas demais condições.
A
A
B
B
Figura 5 - Operação Ou-Exclusivo com chaves.
2.5.4 Função Inversão
Pode ser implementada usando-se um relé NF, como já visto anteriormente.
2.5.5 Outras Funções
Outras funções podem ser implementadas a partir das funções anteriores. Considere
como exemplo a função composta ilustrada na Figura 6. Que função ela implementa?
A
B B
A
Figura 6 - Função composta.