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m.o2.om.:s.u..ln..o..es..ss..id..g..eu..i8..e..ny..t..e1..s2....ne..ús..:m.....e...r...o...s...:.................................................................................................................................... 12.Aeaa)))p877a722rtyir9d0elades
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orme
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5.m.delossidg)ui1e0n0te,s12n5úmye1r5o0s: 8, −9, 5, 0, −1, 6, −7, 11, −6 15.Es
ribeelsignoque
oresponda(, ) a) entre
adapardenúmerosenteros: +5 m−2 b)
−1 m0
)11 m15 d)
16.Ordenademayoramenorlossiguientesnúmeros:
e) f)
g)
h)
−7 m−4 0 m8 −4 m1 −3 m−5 −5 m−11 11, −16, 5, −2, 13, 3, −9, 0, 18, −10 17.aP)ara
adanúmeroentero,halasunúmeroopuestoyrepreséntaloenunare
ta:
−3 b)
−12
18.Ra)ealizalassiguientesopera
iones
onnúmerosenteros:
)d)9 8 −3 − (−2) + 5 + (−7) − (−3) = b)
−9 − (−5 + 2) − (−4 − 3) + (7 − 10) =
)(5 − 4 − 3) − (−2 + 6 − 8) + (2 − 4) = d)
−15 + (3 − 10 − 7 + 1) − (5 − 8 − 9) = e)6 − (12 + 4 − (7 − 9) − 12) = f)
−[3 − (2 + 3 − 10) + (3 − 4)] + (5 − (−3)) = g)7 − 4(6 − 4) = h)
−4(−2) + (−1) · 2 − (−2) · 3 + 1 = i)1 − 2(7 − 5) − (4 − 5 · 3 + 6) j)
−2(−3(−2) + 1) − 2(2 − 3(1 + 2)) = k)
−3(1 − (−2) · 4) − (−2) − (−1 + 3) = l)1 − (−2(3 + 1) − 1) − (1 − (1 + 4) − 2) = 8
9. m)3 − 2(1 − 3) − (5 − 3(1 − 4) − 2) = n)5 + (7 − 3) − 2(−1 + 3(1 − 8) + 3) + 1 = ñ)2 − (1 − (3 − 2(3 − 5) + 1)) = o)
−1 + (1 − 3(4 − 1) − 2) = p)7 + 9 : (−3) + 5 · 2 − 1 + 7 · 3 − 4 = q)10 : (5 − 7) + 5 − 3 + 6 : (4 − 2) = r)4(10 − 2 · 3) − (−2)(−1) + 4 : 2 = s)3 + 2(1 + 2 · 3) − 2(−3 − 15 : 3) − 2 = t)3(5 − 2) − (8 − 1) : (9 − 2) + 4 = u)
−(5 + 2 · 3 + 9 · 6 : 27) + 2 = v)18 − 5(6 − 2(19.aO)pera: 4 − 7)) + 5 − 3(9 − 11) = 22 − 32 · 2 + 5(−2)3 = b)3 + 2 · 32 − (−2)4 + 42 : 8 =
)2(52 − 32) : 8 − 4 · 5 : 2 − 30(−1)3 = d)
−3(−25 : 42) + 2(−3)2 : 6 − 1 = e)(3 · 5 − 10)2 : (−5)2 + (3 · 7 − 1) : 30 = f)
−3 · 22 : (−6) − 15(−2)2 : (10 + 5) = g)(−1)3 + (−2)3 + (−1)4 − (−2)3 = h)22(−2) − 5 + (−1)0 − 4 − 2(−2) + 23 = 20.aC)ompruebasisonequivalenteslassiguientesfra
iones: 3
5
d)yb)y6
− 4
9
10
11 8
y5
4 21.Ha)alaeltérminoquefaltaparaqueseanequivalenteslassiguientesfra
iones: 10
15
d)7
6 7
y− 12
21
)3
4
22.Sai)mpli
7
18 y14
15
e)− 4
9
y− 20
45
f)4
5
=
2 b)8
=
6
9
)2
5
=
20
=
15
=
75
e)24
=
16
10
f)7
6
=
alassiguientesfra
b)ioneshastaqueseaniredu
ibles: 10
36
6
9
2 24.Oa)rdenademayoramenorlassiguientesfra
15
iones,
al
ulandodenominador
omún: 7
10
)250
175
d)16
56
e)− 45
120 f)196
252
g)240
630
h)− 126
270
i)30
15
j)54
72 23.Ordenademayoramenorlassiguientesfra
iones,
al
ulandosuexpresiónde
imal:
25.Ordenademenoramayorlassiguientesfra
8
5
7
4
1
,
,
,
,
,
5
8
12
ionesyrepreséntalasenlare
3
6
tanuméri
a:
7
9 26.aR)ealizalassiguientesopera
4
3
13
;
;
;
5
4
20
, b)7
12
;
5
6
;
13
18
;
1
2
,
3
4
, − 2
e)3
= 6 − 3 ·
,
1
5
, − 2
5
, − 8
7
iones
onfra
iones:
3
2
+
+ 1
4
5
−
2 −
7
5
= b)
5 −
7
2
−
3 +
1
4
+
2 −
3
8
=
)3
8
5
3 −
1
2
−
4
11
3
4 −
1
5
= d)
9
1
1
3
−
1 +
5 7
4
=
5
2
+ 2
= f)
2 −
4
3
:
3
2 − 1
10. g)6 −
= i)3
k)
3
9
1
:
4
2 − 2 ·
1 −
2
= 2
= h)2
5 −
2
5
1 −
1
2
m) 4
=
6
5 −
2
7
1 +
2
5
= j)3
11 −
1
3
2 −
7
11
2 +
2
7
5
+
3
4
1 −
2
3
2 −
1
5
= l)2 +
1
5 ·
3
2
1 +
1
10
= 1.227..aC)aPl
7
− 2
3 iasdeexponenteentero 1
3
:
+
2
4
b)20 21
3
4
g)4 −
8 ·
3
28.aC)al
r)m)h)s)n)t)i)
ñ)o)u)
j)p)k)e)v)
l)f)
q)w)
−20 (−2)0 −21 (−2)1 (−2)2 −22 (−2)−2 (−2)3 (−2)−3 32 3−1 3−2 30 (−3)2 (−3)1 (−3)−1 (−3)−2 (−3)0 −32 −3−1 −3−2 = n)1 +
5
7
1 +
1
5
:
1 +
1
5
5
1 +
oulta:en
)2−1 d)
ula:
−30 b)33
)3−3 d)52 e)5−1 f)5−2 g)50 h)(−5)2 i)(−5)−1 j)(−5)−2 k)(−5)0 l)
−52 m)
−5−1 n)
−5−2 ñ)
−50 o)53 p)5−3 q)10 r)1−1 s)
−10 t)
−11 u)
−1−1 v)(−1)2 w)
−12 29.aC)al
ula: (−1)−2 b)1128
)(−1)582 d)1−3 e)70 f)
−70 g)
3 m)
−2 r)
30.Ea)xpresa
1
2
−2 0 h)
1
2
1 i)
1
2
−1 j)
1
2
2 k)
1
2
−2 l)
1
2
1
2
−3 n)
−
4
3
0 ñ)
−
4
3
1 o)
−
4
3
−1 p)
−
4
3
2 q)
−
4
3
−
4
3
3 s)
−
4
3
−3 t)
−
4
3
0 u)
1
5
−4 v)
−
3
2
2 w)
−
3
2
omopoten
b)iadeexponentenegativo: )1
1
1
3
4
2
d)1
5
e)1
7
f)1
9 g)1
16
h)1
8
i)1
25
j)1
49
k)1
27
l)1
32 m) 1
125
n)1
81
ñ) 1
343
o) 1
625
p) 1
243
q)1
36 r)1
10
s) 1
100
t) 1
1.000
u) 1
10.000
v) 1
100.000
w) 1
1.000.000 10
11. 31.Ca)al
ula,expresandoelresultado
omopoten
iadeexponentepositivo: 32 · 35 = b)32 · 3−3 =
)3−3 · 34 = d)3−2 · 3−5 = e)32 : 35 = f)32 : 3−3 = g)3−3 : 34 = h)3−2 : 3−5 = i)
= m)
32.Sai)mpli
2
2
2
5
3
·
3
= = j)
2
3
2
·
2
3
−3
= k)
2
3
−3
·
2
3
4
= l)
2
3
−3
·
2
3
−4
2
3
2
:
2
3
5
= n)
2
3
2
:
2
3
−3
= ñ)
2
3
−3
:
2
3
4
= o)
2
3
−3
:
2
3
−4
ay
al
ulautilizandolaspropiedadesdelaspoten
ias: 23 · 2−4
25 = b)3−1 · 34
32 =
)54 · 5−7
d)g)h)e)f)= 5−3 53 · 5−1
x8 · x−3 x
= x2 · x−3 · x−4 = · = 5−4 x−4 a3 · (a2)2
x3 · y−1 · x4 · y3 = a4 = i)(a2)3 · a5 = j)(a2 · b)3 · a2
= m)(a2)−3 · a−1 · (a5)−2 = n)(a−3)−1 · a = ñ)a5 · b−1 · c3
= r)(x2 · y)−2 · x3 · y−2
ab
s)t)32 3−4 3−3
= (a · b)−3 (a2 b)2 = · · (x2 · y)−1 · x2 · y3 · · = k)a4
a ·
a3
a5 ·
a−2
a−3 = l)
a
b
3
·
a2
b3 ·
a2
b3
−2
a−1 · b3 · c2 = o)x4 · y−1 · x2 · y−3
x−1 · y · x2 = p)a−8
a−3 · a3 = q)(5−1)2 · 53
33.Ca)al
5
= 3−7 ula,expresándolotodo
omopoten
iadelamismabase: 22 · 83 = b)3−2 · 93 =
)25 · 125−3 = d)22 · 4−2 · 8−1 = e)9 · 3−5 = f)9−3 · 3−8 = g)2 · 8−1 = h)(22)−3 · 8−2 · 43 = i)5−3 · (−25)−1 · 52 = j)5−1 · (25)−2 · 1253
34.aC)al
k)l)(49)−3 = · (72)−1
= (x2 · x)−3 · (x−4)2 = 5−4 73 ula,respetandolaprioridaddelasopera
iones: 32 − 42 = b)(4 − 7)2 =
)2 · 3 − 33 = d)2 · 32 + 1 = e)2(32 + 1) = f)22 − 7 = g)2(4 − 5)3 = h)
−22 · 4 − 1 = i)(−22 · 4 − 1) = j)3(2 + 1)2 − 22 = k)2 · 32 − 4 = l)(2 − 5 + 4 − 6)2 = m)
o)#
1
2
3
−+ 3
= 2
= n)
−
1
2
+
5
6
2
2
5 −
1
10
−2
= ñ)
− 1
3
−2
11
+ 2−2 ·
=
3
4
−2
2 −
1
3
−2
− 30 = p)4 − 2−2 ·
1
2
−3
= q)
−52 −
2
3 −
5
6
−2
13. ITnetmraod2u
iónalosnúmerosreales
2.11..Ian)Ndi
úamsieelrdeossariorlroad
e
iiomnalaelsepseriódi
oono: 3, 222 . . . b)0, 437537637737 . . .
)0, 4375375375 . . . d)0, 010010001 . . . e)0, 12112111211112 . . . f)34, 56727272 . . . 2.aD)elosnúmeros: 3/5 b)0, 494949 . . .
)p7 d)3, 75 e)0, 141144111444 . . . 3.¾EaC)nu
áaledsasuonnarda
eiolansalseigsuyie
nutáelsespanroe?jaJsudsetin
úamlearorsesipnudei
staa
.uáleselmásgrande: 1, 41421365 y1, 41422365 b)1, 001000100001 . . . y0, 100100001 . . .
)1, 121231234 1, 121231235 d)3, 1415925535 . . . 3, 1415926535 . . . 4.Ea)n
adaunadelassiguientesparejasdenúmerosindi
y
b)
a
uáleselmásgrande:
y
−1, 41421365 − 1, 41422365 −1, 001000100001 . . . )
−1, 121231234 − 1, 121231235 d)
−3, 1415925535 . . . − 3, 1415926535 . . . 5.Es
ribe
in
onúmeros
omprendidosentre0, 005712751 y0, 0057127526.Ea)s
y2
5 78..¾¾nQPalou?déPrdíoainsfeereenjen
− 0, 100100001 . . .
9.Raabz))on¾¾EEass
olloonmmejiiessmmmpoolouusnntnnuúúsmmreeesrrpoourneaas
ttaiuosrn?aallqquueeuunnonúemnteerroo?entero? ? io- 10.¾pCad
ró))am¾¾aoCE
lssoaenrloaolr
amemtsuisasnmnúromedsouepsnruonenssúútqmamuseee.rronosorqasue
p2ribetresnúmeros
yomprendidosentre: b)y)y. 3
4
3
14
20
23
17
17
17
17
27
27
d)1
3
m
oinpatlrohasar.yuennatrferal
a
sióexnporredsiionnaerisadqeu
iemeaxlpersedseeeuxnan
túammeernoterae
lionnúamleyrodeunnúmeroira
eaionsnueamnltaqedurooessirdnraian
frioa0n
?
a¾iloY?nadroiossq?uemultipli
adosdan1?Ponejemplos 11. a)Clasi
alossiguientesnúmeros
omora
ionalesoira
ionales:
12.In
bd))i
a¾OAr
dlugéáunlneasoloddseedleeolslmossaigyeuosireenanttmeesreonn?úomr.erossonra
41
pionalesy
z{
; 49; 53,
7 ; 3, 2; uálessonira
p12; p3 15 ionales:
13
1, 5; − 3
5
; 0,
z{
8 13
z{
3 ; p7; 1, 6666 . . . ; 2, 010010001 . . . ; p25; 2 + p2; 3, 2
14. 2.213..¾a
V))NeTTrdooúdadmdooennreoúúmrmooeefrrasoolserorne?eate¾larPeolsoererssaq
ruiaoé
?nioanl.al. bd))TTooddoonnúúmmeerroonreaatulreaslirersae
niotneraol.. 14.Coab
n)))teTTTsoootdddaooo
nnnieúúúrmmmtoeeerrrooooierranfra
taiel
osrionooanelaasel
rseaesradelara.elua.ln.adelassiguientesproposi
iones,razonandolarespuesta: 15.Rdeel))lenEEaxxiiessltteesnnignnuúúiemmnteeerroo
ssuarqeduareloes:sonquaelnaovseoznrar
ai
oinonalaelseseniiriar
aio
nioanleasl.es.
−3/4 7, 23 p5 1, 1
z{
2 −3 7/5 −9/3 p4 1 + p2 p−4 p3 −1 31 1, 020304 . . .
16.Representagrá
N
Z
Q
amentelossiguientesnúmeros:
R 17.Raebp))reIInnsettneerrtvvaaaelloon
I
alaebrirreear
tdtooaddreeeaeelxxlttorrseemmsiogosusi2enyte3s.intervalos:
; −3; 0; 2/3; 7/5; p27; p5 −32; −2, 17 −3 y
−118.Exd
p))reIInnsattee
rrovvmaalloooqqduueseeig
uooannlttdeeanndggaayaa
ottoomddooossinlltooessrvnnaúúlmmo.eeyrrooressprrreeeaaslléeensstmmaleaonys:oorreessqouiegudaolse.squetres. a)x esmenorque
−5. b)3esmenoroigualquex) . x está
19.Ra)epresentagrá
omprendidoentre
y1. d)estáentre
−5 x −2 amenteyexpresa
omointervalosestasdesigualdadeys:0,ambosin
luidos.
20.Es
d)
a) ribeladesigualdadqueveri
b)e)atodonúmeroquepertene
f)
)−3 x 2 5 x
x −2 −2 x 3/2 4 x 4, 1 −3 x x eaestosintervalos: [−2, 7] b)[13,+1)
)(−1, 0) d)(−3, 0] e)[3/2, 6) f)14 (−1,+1)
15. 2.321..aE)xRpraesdaie
nafolremsadepoten
ia: p3 2 b)p4 3
f))d) e)1
1
ppp35 2
p3 2
j)3 p3 3 22.aE)fe
−1 f)
p3 4
o)k)l)g)m)
h)n)
i)ñ)
j)
−3 41/2 4−1/2 271/3 27−1/3 (−2)2 p(−2)−2 −−22 −22 −41/2 2
4 g)p
2p2 h)p5 78 i) 1
p4 5−7
túa,simpli
andoelresultado: 3−1 b)4−2
)30 d)
23.Oa)perapasandopreviamenteapoten
p)q)r)1
2
s)2 p44 p2−1 p3 8 p3 −8 2 e)
1
2
iayusandolaspropiedadesdelaspoten
ias: p3 · p3 3 b)2 p3 4
)apa d)p8
−
24.aCB)aasl
f)p3 a2 · p6 a 2
3
ado,lasraì
esquesedana
ontinua
iónpueden
al
ularsedire
tamente. p144 b)
f)p3 25.Sai)mpli
4
g)
h)i)j)e)p3 −27 p4 −81 p− 4 81 p0, 04 p3 0, 125 p0, 64 e)p3 a8
a2
áúnldaolasse,esniesxuisstiegnn:i
p144
−
)p−144 d)s
9
49
alossiguientesradi
al: p6 53 b)1p5 212
)1p0 a8 d)1p2 a4b8 e)p3 243 f)1p5 32 26.aE)xtraelosfa
toresquepuedasdelossiguientesradi
ales: p3 625a17b10 b)5 p 128x11y3
)4 p
d)g)e)f)15(a2b3)5 28 315(xy2)8 z33 7 pp5 · · 24 · 35 · 57 216 · 523 · 749 x2y3
p
p
(x3)3 · y2 · z7 h)3 p
(x2y5)4 · z13 · (xz)7 i)4
64x2y7
81 j)5
27.aO)peraysimpli
s
s
a13 · b12
c12
(z3)2 k)x2y3
s
4x7y8
z5
l)3
s
(x2y4)5 · x · y
a: p3 p·
27 ·
p81 = b)p3 8 ·
x4y2 = h)3 p
2 p3 4 · 1p2 8 = 15
p4 · p6 2 =
)p6 5 · p5 5 = d)3 p
3p27 = e)3 p
p2 · p5 4 = f)4
q
a 3 p
a3pa = g)q
xy3 ·
p
xy3 · 3 p
16. i)q
3p4 3 = k)p3
= l)p4 2 · ( p5 2)4 = m)vuut
ñ) p
ab
ab3 p
pab ·
= a4pa2 = j)3 p
3p3 ·
3 p
q
4
9p3 ·
3 p
5
·
pp3
5
·
3 p
2
3p3
p)vuut
s
a2
b3
3
b
a ·
pa2b = vuut
s
a3
b5 = n)3 p
a3p4 a ·
ppa5
3 p
pa7
r)a/b
= p
4 p
a2/b3
= o)3
vuut
a4
b5
s
4
b3
a
t)s
s
4
16
2
2
2
3
12
3
3
·
3
= 3
= q)5 p
x2p3 x5 ·
p3 x7
p
x4p3 x8
28.aH)azlassiguientessumas: xp3 q
y
)ypx3
b)a2
= b5 p2 + 3p2 − 5p2 = p3 5 + 4 p3 5 + p3 5 =
p45 −
4
e)d)p20 = 5p75 8p− 48 + 3p27 = 5p72 − 7p18 −
= s)3 p
4p9 ·
q
4
p
9p2
q
3
9
p
8p3
vuuut
a4
b3 ·
vuut
3
a2
b2 ·
s
a5
b
f)p1
50 = = u)q
(ab)3p4 a2b5 · 4
s
g)i)pph)80 + 180 −
p1
p1
12 +
27 +
p75 = 2
3
5
3 p3 128 + 2 p3 2 + 3 p3 54 − 5 p3 16 = p3 −128 − p3 −54 + p3 −250 = p45 +
2
3
p7 −
1
3
p28 = j)2p8b3 −
p18b3 + 4p128b3 =
16
19. TEexmpare3sionesalgebrai
as
3.11..ExEprleslaeenngleungaujaejeaallggeberabi
roa,ila
sosiguientesexpresionesreferidasalabase,b,ylaaltura,aunab))reLL
taaánablgatusuelroae:sesdolablbeaqsuee
olamaolt7ureas.a3. ,de def
))))LLLEaaaláabbrlaaetssuaeerdayeesellax3r/
eae5
ldttdáeuenreaglnaudl7aoiluteeunsreri2dan6a.ed
nems8aulnaidbaadsees.. 22.EEsinxgnp
uiree
snaatdreaonlda
easd
eaaxdpuarneloseitodrneae:lsosal
gaesborsa,ie
lasp.e
roírmreestproonddeilenret
etsáanglauslos.iguientesmagnitudeseinterpretael 3.Eea
)))xpLEErallesvádaoriealeuagnmodnleeeannlugdndueearuejue
nntaá
lnugugebabuodrl.roaa.id
oo.osimbóli
olossigufdbi)))enLEEtaellspáveerenerloíaum
ndie
detialardod
íodrds
ee:uuulonn.mreó
tváiln.gulo. a
b)))ULEaln
dhuioasttdaerlna
tdiieoan,deedloabsleumnúamdeerotredsenhúambietrao
,re
sio
noenssed
oubtlievsoqs.uesen
ilas. doridaen5horasax def)))ELEalldádroiefbealreednde
euilanpdrtoeridáduno
gstuonlúodmeesedrboosassndeúivpmioderirdoaoslt.uproakrmd5i/.vhid.idoentredos. 3.24..CoMmpolentaolamsiigousieM.ntoOentopambeliaor:a
ionCeoes
iente Parteliteral Grado
2a2b
3
5
xy2z
1
2
ab3
−5x6
2
−
7
v4 19
20. 5.aO)peralossiguientesmonomios: 3x3 − 4x3 + 5x3 = b)2
g)d)e)f)
)4
x2 −
x2 =
4x2y − 8x2y + 3x2y = 3
5
3xy3 · 4x2y = 5x2y · (−2x) = −4x2y3 · (−2xy3) = − 9a3
x3y2 = 6.¾aV)erdaderoofalso? x · x = 2x b)x−1 = −x
3a
d)e)f))3.37..CoPmoplleitnaolPaomtlianbioolmas:io x2 · x3 = x5 (a2)4 = a6 x2 + Coe
x3 ddeel2ogtérramdoino = iente x5 dTeéprmenidnioentien- x3 = 3x Grado
= h)18x3y2
9x2y
= i)12a4b2
9a2b2 = j)(x2)3
x6 = k)24a2(b2)3
6ab5 = l)14a3b2
7a2b
m)n)= 1
3
1
2
5x2y + 4x2 + 3xy2 − 2x2y − xy2 = xy +
x3y2 3
2
−
xy +
6
3
x2 − 3x
−5x6 − x4 − x2 + 1 8.Ca)al
ulaelvalornuméri
−3x4 + 2x3 − odelossiguientespolinomiosparalosvaloresqueseindi
3x2 + 4
2
x3 + 4x 5
− 8
1
an: 2
parab)para2x2 − 3x + 2 x = −1 x3 + 3x2 − 2x x =
)x3 − 3 parax = p3 3 d)2x3 − 3x2 − x + 5 parax = −2 9.DadoslospolinomiosA(x) = 2x4−3x3+2x2−x+1,B(x) = 2x4−3x3−4x2+3x−8 yC(x) = 2x2−3aa)l
ula: , A + B b)A − B
e)f)g))h)d)2
3
(A − B) · C C2 3
2C − 4B (A − B)2 A : C 10.Daiv)ide:d)b))1
A 2
−
C 3
(2x6 − x5 − 6x4 + 6x3 + 23x2 + 11x − 3) : (2x + 3) = (3x4 + 2x2 + 6x − 2) : (x2 + 3x) =
(−2x6 + 5x4 + 10x − 3) : (2x − 3) = 20
(3x4 − 4x3 + 2x − 2) : (2x2 − 3x + 1) = 21. 11.Daiv)ide,apli
andolaregladeRuni: (x4 − 3x3 + 8x2 − 3x + 1) : (x + 1) = b)(2x3 − 2x + 8) : (x − 2) =
)(−3x4 − 5x2 + 3) : (x + 3) = d)(−2x4 + 5x5 − 7x3 + 8x) : (x − 1) = e)(2x3 − 6x − 5) :
12.Daiv)ide:d)b))
1
x −
= 2
(4x4 − 2x3 + 6x − 8) : (2x2 + 2) = (64x5 − 129) : (x + 3) =
x4 : (x2 − x + 1) = (2x4 − x2 + x + 1) :
= 13.aA)pli
alasidentidadesnotables: (4x − 3)2 = b)(3x2 + 5x)2 =
)(3x + 2)2 = d)
g)
x −
f)= (5 − 2x)(5 + 2x) =
1
3
14.aO)pera: h)b)i)= (2a2 − b)(2a2 + b) = (3xy2 + y3)(3xy2 − y3) = (p5 − 2)2 (p3 −
2
e))4
3 − 3x
f)d)(p2 + 3p3)2 = (p3 + 2)(p3 2) =
− (p5 p− 23)(p5 + 2p3) = = e)
x
2
+ 1
2
x −
x2
2
x −
x2
2
15.aSa)
g)h)p7)2
= (4p2 + 3)(4p2 − 3) (−2p5 + p3)2 )d)1
2p3 p−
5
e)f)2
8x3y2 − 2xy2 + 6x4y3 x2(x + 7) − x(x + 7) − (x + 7) x
4(a + 3) − 6(a + 3)2 2
afa
tor
omún: 12x4 − 4x3 + 20x2 b)3a
x3
8 16.Ea)xpresa
+
b
17.Ea)xpresa
f)4x2 − 4x + 1 9a2
b
+
27a3
b
omoprodu
todeunasumaporunadiferen
ia: 9x2 − 4 b)4 − x2
2
d)e))x2 − 2 x2 − 5 x2 −
+
x2
4 −
omo
uadradodeunasumaodeunadiferen
ia: x2 − 4x + 4 b)x2 + 10x + 25
d)e))x2 − 12x + 36 1
2
1
x2 − x +
x2 +
x +
4
3
9
25
16
f)x2 21 − 9
22. 18.aFa)
torizalossiguientespolinomios,sa
andofa
tor
omúnyusandoidentidadesnotables: x3 − 6x2 + 9x b)x4 − 81x2
)3x3 − 27x d)x3 − x e)3x2 + 30x + 75 f)x2 −
o)g)m)j)n)k)h)ñ)l)i)1
16 3.419..Sai)mFprlai
x2 +
p)20x6 + 60x4 + 45x2 q)12x5 − 3x 9x2 + 24x + 16 x4 − 4x2 50x3 − 2x x3 − 16x x3 + 6x2 + 9x 2x3 − 8x 4mn3 − mn 2x3z − 2xy2z 9a3b + 25abx2 − 30a2bx 2x
1
+
3
9
a
ilaosnsiegusienatlegsefrba
r
iaoni
esa:s 15x + 15
10x + 10
b)x + 3
2x + 6
)x2 − x
x2 d) 4x
4x2 − 6x
e)x2 − 1
x + 1
f)x2 − 4
(x + 2)2 g) x2 + x
e)x2 + 2x + 1
= 1
h)x2 + 6x + 9
x4 − 9x2
i)12x4 − 3x2
6x4 20.aO)peraysimpli
a: 1
x −
g) 1
2x −
5
= 6x3 x
(x − 1)2 = h) x2 − 3x
1
3x
= b)1
x2 −
1
x
+
1
2x
=
)1
x −
i)1
x − 1
= 2
= d) 1
x − 2 −
1
x + 2
k) +
6x
= (x − 2)2 3
2
3x2 = f)x − 1
4x
+
1
12x2 −
m) 2
+
:
x(x − 1)
x2 − 4x + 4
= 7
x
x − 2 −
x
x + 2
ñ)3
1
+
+
x
x − 1
x − 1
=
= j)1
5 −
1
x − 2
+
x
p)2
3
x − 1 −
x −
x2 − x
· (x − 1) = 2
= l) 2
x − 1 −
2
x + 1
+
x2
x2 − 1
r)7
x2 + 49
+
+
x − 7
x + 7
x2 − 49
· 2x2 =
= n) 1
x2 − 4 −
1
x2 − 2x
+
1
x2 − 4x + 4
t)3
x
x −
3
= x2 −
:
1
x
+
1
3
= o)
x +
1
x
:
x −
1
x
x ·
1
x
:
1
x − 1
= q)
x − 1
x2 +
3
x −
5
x − 4
1 −
9
x2
4x
x2 − 6x + 9
= s)
22
49
x2 − 2x
1 −
x2
·
x2 − 14x + 49 ·
+ (x − 1) = 3x
x2 − 4
64
x2 = u) 1
x + 3
+
2x − 5
4
23. TEe
muaa
4iones
4.11..aSe)Iñdalaen
utáildesaddeleasssiyguieen
tuesaig
uiaoldnaedess.soSnoidleun
tidióadnesdye
uáulensae
uea
iounaes
:ión 3(x − 2) = 2(x − 3) + x b)
−4(x − 1) = 2x − 2
)(x + 3)(x − 3) = x2 − 9 d)
−6(x − 2) + 5 = −2(3x − 3) + 11 e)x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 f)4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 2.Csao)olum
)piórnuesbeagúsniseel
vaesroi:
paraanlassiguientese
yua
iones
b)onlosvaloresqueseindi
paraaneidenti
yala 3x + 9 = 2x + 11 x = −2 x = 2 x(x − 1) + 2x = 7 x = −1 x = 1
3x−2 =
parax = 0 yx = 1 d)px2 + 16 − 3 = 2 parax = 3 yx = 0 e)x4 − x2 = 2 parax = p2 yx = −2 f)x
= 1 parax = 5 yx = 4 3.¾Cuálesdelassiguientese
ua
ionestieneporsolu
iónx = 5a) ? x2 − 3x − 10 = 0 b)px2 − 9 = 4
1
9
4.24..Ra)eEsu
)2(−x + 2)2 − (4x + 3) = 1 eluveal
asiosingueiesntdesee
upar
iiomnesedregprrimaedrogrado: 2
3 −
3
d))b)e)6x − 3x + 2x = 4x − 5x + x − 5 3x − 2(x + 1) = 5x − 6
4x + 7(x − 2) − 3(x + 1) = 7 6(x + 1) − 2(x + 3) − (−x − 2) = 3(4x − 2) − 4(x + 3) − (x − 4) 2x + 3
x
2 g)t +
43
24 i)
−
k)5 −
= 2 4 − 3x
x + 1
2
f)x
+ 3 − 2x = 1 3
+
x
4
+
x
5 −
x
6
=
7
15 −
1
4
3 −
t
2
+ 1
m)4
2 + x
1 − x 3 +
=
5t
8 −
4t +
1
3
12
h)x − 1
4 −
x − 9
2
=
1
8
x − 5
4 −
7 − x
3
+
5x + 3
2
+
x + 5
3 − 3x + 26 = −
1 − 3x
2
j)30 − x
x
x + 1
=
7
9
l)4 + x
23 =
3 − x
2
3
x
3
2 −
x
4
=
4 +
x
3
3 −
x
4
n)21 − x
23 − x
=
24. 4.35..Ra)eEsu
eluveal
asiosingueiesntdesee
usae
giounensddeoseggurnadodgorado: 5x2 = 0 b)4x2 = −3x
)− x2
+ 8 = 0 d)3x2
omosolu
iones1y3?. 2
(x − 1)(x + 1)
5 − x = 0 e)5x2 + 10x = 0 f)
−2x2 + 7x = 0 g)x2 − 9 = 0 h)5x2 − 6 = 0 i)
−3x2 + 1 = 0 j)x2 + 4 = 0 k)3x2 + 9 = 0 l)
7.Ra)esuelvelassiguientese
6.Lae
m)ua
ióndesegundogradoua
iones: n).¾Puedetener
ñ)−4x2 − 3 = 0 (x − 2)2 − 4 = 0 x2 − 48 = 0 23 = 9x2 − 2 ax2 + bx = 0x + 3
x − 3 e)x2 + 1
g)x 5
2
2 −
− =
6
3
6 3(x2 − 11)
(x + 1) b)4
x
+
x
2
=
12
x
)2(2x + 1)
2x − 1 −
3(2x − 1)
2x + 1
+ 5 = 0 d)x − 3
x + 3 −
x − 2
x + 3
=
3x − 1
1
=
2 −
3
3
b)iónfa
torial = 2 (x − 1)(x + 2)x = 0 x3 − 4x2 + 4x = 0
f)2(x2 + 1)
3 −
5x2 − 2x
4
=
3x − 3x2
5 −
2(x2 − 60)
7
= 36 h) 2x
x + 2
+
x + 2
2x
4.48..Ra)eEsu
eluveal
asiosingueiesntpesoe
ruad
ieonse
s:omposi
)(x2 − 1)(x + 3)(x + 2) = 0 d)x4 − 81x2 = 0 e)8x3 − 2x2 − x = 0 f)x5 − 4x4 + 4x3 = 0 g)(x + 1)(x − 2) = 0 h)(3x − 1)(x − 1)(2x + 5) = 0 i)x4 − 36x2 = 0 4.59..Ra)eEsu
eluveal
asiosingueiesntbesie
uuaa
idonreas:daseirra
b)ionales 9x4 + 16 = 40x2 34 − x2 =
e))f)k)i)g)12
h)d)225
x2
m)x2 =
4x4 5x2 + 1 = 0 x2 + 1
j)− ñ)x4 − 3x2 − 4 = 0 n)l)o)36x4 − 13x2 + 1 = 0 3x4 − 12x2 = 0 7x4 − 112 = 0 p3x − 2 − 4 = 0 p2x + 1 = x − 1 p7 − 3x − x = 7 3p6x + 1 − 5 = 2x p3x + 1 + 1 = 3x 1 + p9x2 − 11 = 3x px2 + x − 1 = 2 − x x −
p169 − x2 = 17 24
25. 4.61110...¾LUCanPuadáribnfeootrotbeen
lll
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adounaparteal5%ylaotraal4%.Laprimeraprodu
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ee2sr1a
.)oynsséep
utitmivaosdeslasbeigenudnodoqsuoenltaamsubmiéandneúmlaer
ousanrtaatuyraqleusin
toanspea
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iba1.000e yéstare
iba2.000 másquelasegunda, e másquelater
era.(Sol.1a:8.000e;2a:7000e y3a:5.000e18.Lmoidseánn:gulosdeuntriángulosonpropor
ionalesalosnúmeros2,3y4.Hálalos..()Sol.Losángulos 40◦,60◦ y80◦1290..Hu.nUaolnladaeloplseorslsaoldanodasosdreeeasulidnzea.t)2riáan3g.u(loSoils.óLs
partesdeunviajeenfero
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aril,losomq.u)elarazóndelabasea 3
7
5
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heylos26km 2
7
22.Smeidhea6nm
oentrsousm.iHdaollaaslalongituddelposte.(Sol.dEellrpeossttoesmumideerg1i4dome.)nagua,ylaparteemergente 8
7
21.Urenstapnotsetseetnienmeobtoa.jo¾Ctiueárnatoskilómetrosre
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ore520dkemlr.)estoen
desulongitud,2
5
8
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eorreersop.o(nSdoel.a1a
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e
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26. 4.728..Ra)eIsnueelv
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daeteutnosm1e1trmoym6á0s eulaas
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)x
3
3(x − 2) e)5x −
2x − 1 g)4x + 9 − 2(3x − 5)
+ 10 i)2x − 5
k)x
x
+
5 6
−
2
x − 2
4 3 − 5x
d)x − 1
2
x + 1
6
7x −
1 − x
2
f)3x − 1
2 −
x − 1
3
x + 1
3 − 1 h)x − 9
5 −
5x − 13
15
6
4x
3
9 −
4x − 1
6
−
5x
18
j)x − 1
2
3 −
1 − 8x
4 −
23 − 10x
12
0 l)(3x + 1)2 − 5x2 + 2x 6 (2x − 1)2
26
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ua
iones
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ua
iones x ey a) sonsolu
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5x + 2y = 6
;−2x + 3y = 9
x = 2 y = −1 x = 0 ;y = 3 b)
5x
2
+ 3y = 1
3x
2 − 3y = 15
3(x − 2) − 5y = 4
2x − 3(y − 1) = 2x
x = 4 ;y = 1 d)
2x − y
5
= x − 1
3x −
2x − y
5
= 5
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ompatibleoin
ompatible):
2x + 3y = 5
2x + 3y = 2
b)
−x + 4y = 8
−2x + 8y = 16
)
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uieólvnedloesssigiusiteenmtesassistdeemaes
puoar
eilomnéetosdloindeeasulsetsitu
ión: −3x + y = 6
4x − 3y = 2
4.Ra)esuelvelossiguientessistemasporelmétododeredu
3x − 2y = 7
x + 3y = −5
= x − y b)
3(x + 1)
4
+
2(x + 1)
5
= y + 1
x + 1
2 −
3(y − 2)
5.Ra)esuelvelossiguientessistemasporelmétododeiguala
2
13
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10x − 9y = 7
−2x + 5y = −
37
15
b)
11 − 2x
5
+
10 + 9y
2
= −
4 − 4x − 81y
10
x
3 −
y
2
= x −
ión:
x + 2y = 19
2x − y = 3
b)
6.aR)esuelvelossiguientessistemasgrá
amente: 25 − 5x = 4y
1 + 3x = 4y
3x − y = 5
x + y = 3
b)
2x + y = 5
x + 3y = 0 7.aR)esuelvelossiguientessistemasporelmétodoque
reas
onveniente:
4y − 5x
6
+
3x − 2y
2
= 1 −
2
9
(x + y)
4y + x − 8
8 − x =
2(y − 2x)
3
b)
15 27
x
3
+
y
4
=
5
6
3x + 20y
5 −
8y + 1
3
=
12x + 16y
28. )
= 3x − 1 e)
x − 1
2
+
y
3
= 1
g)x
−
5x
6 6 − y + 1
2
= 3
d)
x − y = 3
2(x − y) +
x − y
3
x
2
+
2y
3
=
1
2
i)5x
2y
3
+
=
4
3
4
x
3
f)
x
3
+
y
5
+
2x − y
2
= 5
x − y
2
+ 1 =
= 3 k)
x + y
2
+
x − y
3
= 15
x −
2y
5
= 12
h)
2y + 2
8 −
x + 4
2
= y −
x
4
x − 4
6 −
2y − 2
12
= −1 +
x + 1
3 −
y − 1
2
= 1
7x − 4(x + y) = 4
j)
x + y
2 −
x − y
3
= 3
x + 2y
3 −
x − 2y
4
3x − 2y
5 −
2x − 4y
3
=
x − y
2
+ 1
21x − 15 = 13(2x − y) + 45
l)
2x + 3y
4 −
y + x
3
= x
2(x − 3y 5.28..Ra)eSsuiesltveelmosasisguideneteses
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aisonnoelinseanleos.lineales + 5) − (2x + y) = −2y
5x + 7y = 61
x · y = 8
b)
x · y + 2y = 4
3x − y = 5
)
x · y = 2
x − y = 1 d)
2x2 + y2 = 22
x2 − y2 = 5
e)
x2 + y2 = 25
x + y = 1
f)
x2 + y2 = 100
x − 7y = 50 g)
y2 = 4x
x2 + y2 = 32
h)
x2 − y2 = 16
3x − 5y = 0
i)
2x2 − 5y2 = 52
3x2 − 7y2 = 80 5.39..¾UCnPuhárnoottaeblsltheiaembnietaah
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ifiearfrasoasts
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14.Lasedadesdetresniñossumadasdosadosd2a8n6,8y12,respe
mn
e1.er0dSs.oei.LaaHallnap
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nabigezuaasleys1y9e6lpdaitvaisso.rHeaslaeledlonbúlmeedreol tivamente.Halalasedades.
pe5arn.diameHs1iate8lilsv,aotedr.lein
súhymoaenlrúoimnrveeersrout.litraenlteoredsetná 29. 15.Lasumadelasedadesdetrespersonases100años.Halalaedadde
16.m
Ereanepddraueians
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me
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dsnoendllajomuenqedtunaoeodr6h,d0aye
aelqñau1ope0sr.liaamHñameolrslaaaldasrleaeerdáteaidsedaóndledoedeelelladd
oopabbdrlilaeme.duerenaolaesrasabuim4enavdedo
1290..4mCS5eaelzd
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r8ola0rdsmeemypaolradaoaolqtbuutreeanlaeersm32e0/z03
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33. uerposgeométri
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SLUuionlslaaprpserrsi
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PSfragrepla
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2.PirámCidareaBs:laaPsteBeersriasasumlenappeonliteadgroonaqluree
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uadrilát3e3ro,unpentágono,et
.
34. PSfragrepla
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Pirámide
uadrangularre
ta apotemaAdpeotleambaasdeelapirámide Pirámidehexagonalre
ta Tron
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rottorasnaeúerdmdergreoour:o:lfaofdroreermms
a:aadrsdaooosnp.paoHoqraru8ye4lt
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án
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oaasddraaegvvuéérrlattiir
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r
uren IDH
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rfmuobramdoo:adfpooormrpo2ar0do1t2rpiáponregn6utál
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eounnr3uenrae3rna
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aasr.as. PSfragrepla
ements Tetraedro O
taedro Hexaedroo
ubo I
osaedro Dode
aedro SPuripsmeÁrarse
aielasteyraVl:oPleúrmímeetnroesdelabase
Áreatotal:Árealateral altura. +2×
Volumen:Áreadelabase áreadelabase.
PirámÁirdeeaslateral: laaltura. 1
Áreatotal:Árealateral ×
Volumen: Perímetrodelabase
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áreadelabase. (2
×
)+ 1
3
Áreadelabase
×
altura.
34
35. Spelanlaamalare
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duedeorprodeduenreejev.oClu
UióEnRalPosO
uSerpDosEgeoRméEtrVi
oOsqLueUseCgIeÓnerNanha
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gtiorasronun
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dioarednetruenloasdbeassuesslsaedlolas.maaltura.
iendogirarunagura PSfragrepla
ements r
r
h h
2r
base
base
Árealateral:2r × h Áreatotal:Árealateral+2×
áreadelabase= 2rh + 2r2 Volumen:Áreadelabase
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isiteannd
oiagidraelrvuénrttir
ieánaglualobraes
et.áEnlguselogmalernedtoedordeunodelos
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gopurlltaoan)morsoes
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mlonanootmrpobonrre
uodnedpgelaen
nooenrpaoat.rrailze.loalabase,el
atetos. PSfragrepla
ements ×
g uerpo(gheiopmotéetnrui
soaodbetlentriidáongeunltorerelo
s-
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ebase generatriz altura base generatriz g
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Árealateral:h
Áreatotal:Árealateralg g áreadelabaseg r
Volumen:r r
r
r × g + = rg + r2 1
h h
r′
2r
3
Áreadelabase
×
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35
1
r2h 3
36. 3.EsferUUannsa:
sazesoqgnueaneeetresafneésrhfi
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iaardratareuudnneasledameelisa
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PSfragrepla
ements
r
h
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o Zonaesféri
a EsfEEellrÁváaroreeluaam:deenladseuplaeres
feieraesefsérigi
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dileinld
riloinqdureoeqnuveulealveenvaulealvees.fera. 4r2 Volumen:4
CasqÁureetae:esféri
ZonaÁeresafé:ri
(o r3 2rh r a 3
(eselradiodelaesferaquelo
eselradiodelaesferaquelo
ontiene) ontiene)
2rh r 36
49. SAopléun
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lleooisssodddneee1e1785:s::711,d,51,2e4,3,l032,,t146,e5,2m,986,,0a13,857,154,290 bb))DMiúvlitsioprleossddee292::91,,1181,,2272,36,45,54 3.e
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123624eesseessddddiivviiivvissiioossroorrrddeddeee36,12,6241,1.2y2y2y422.44.. 3tii.pfrlaosddea93.o3mesúldtiipvliosibdlee3p.or3. 1162224e..sesdidviivsiibsilbelepopro3ry3,6.6y 5.a
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50. 7.TCTToooadddl
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11o,,m22u,,n33e,,s46d,,e69,,3186,8y,122478yye2s45:.41.2 9.TECMolaúdlml
otuaisplyallooolrssodsddeiedvli4ioes:zso4rdpe,irsv8imi,
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meo,súm2dl0tuei,np22elo44ss,yd2qe8du,2ee435s2e4y,:p351i64d,,ee24ns,0:3e.6n.y.l6o.ssiguientes
asos: 10.MECMlaúúlmll
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deoedmil6eou:zsn6pme,rsú1imd2lt,eiep1r4lo8os,ys2m6
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asos: EMMMlúúúmlllttteiiipppnllloooorsssd
ddeoeeml18ou2:sn:8me,1s2ú1,d6lt2,eip428l,4o3,ys631
,2o24,m8:4,u02n6,40e4,s,847,d825,e,6788,246.y,.4.19,267,2e1,s:08820,4.1.20. 11.a)23 · 32 b)25 · 3 · 5
12.a)m.
e).d.f)b)m.
g)).d.h)d)5 · 13 35 3 · 29 26 · 52 2 · 52 22 · 3 · 5 (72, 90) = 18 (100, 120) = 20
13.a)m.
)m.
.d..m.b)m.
d)m.
.m..d.(45, 60, 75) = 15 (80, 180, 200) = 20 (30, 40) = 120 (660, 120) = 20
14.
)m.
.m.d)m.
.m.(25, 50, 75) = 150 (100, 125, 150) = 1500 15.a)b)
)d)
−9 −7 −6 −1 0 5 6 8 11 5 −2 −1 0
11 15 16.17.a)
e)f)
g)
h)
−7 −4 0 8 −4 1 −3 −5 −5 −11 18 13 11 5 3 0 −2 −9 −10 −16 −3 0 3 b)
−12 0 12
)
−9 0 9 d)
−8 0 8 50
51. 18.a)0 b)
−16 e)0 f)1 g)
−1 h)13 i)2 j)0 k)
−27 l)16 m)
e)−2
f)
)
d)−5 8 21 )0 d)
−5 n)48 ñ)9 o)
−11 p)30 q)0 r)16 s)31 t)12 u)
−11 v)
−31 19.a)
−54 b)7
−2 g)0 h)
−4 20.a)Si b)Si
2212..aa))3 b)12
b)))8Noy15 dd))3N5o ee))1S5i ff))2N1o 5
12
3
24.a)5
1
6 4
)10
7
d)2
7
e)− 3
8 f)7
25.9
7
12 − 8
g)8
21
h)− 14
45
i)2 j)3
4 23.9
26.a)8
4
5
7
2
5
3
8
12
3
7
13
5
4
10
20
3
4 31
b)5
6
7
9
13
18
g)
7
m)h)n)ñ)i)
j)o)e)k)
p)l)
q)
f)
−1 1 −2 −2 4 −4 1/4 −8 −1/8 9 1/3 1/9 1 9 − 2
3
− 2
5
1
5
1
2
20
b)− 1
8
)19
80
d)1
10
e)− 15
2 f)4
3
g)29
6
h)1
5
i)3
5
j)1
11 k)1
g)4
h)i)
)d)e)f)1/27 25 1/5 1/25 1 25 l)23
11
m)17
42
n)250
27.a)b))d)
217 1 2
1/2 −3 r)
−1/3 s)1/9 t)1 u)
−9 v)
−1/3 w)
−1/9 28.a)
−1 b)27
−1/5 j)1/25 k)1 l)
−25 m)
−1/5 n)
−1/25 ñ)
−1 o)125 p)1/125 q)1 r)1 s)
29.a)b)t)
)u)
d)e)v)f)
w)
−1 −1 −1 1 −1 1 1
1 1 1 −1 g)1 h)1/2 i)2 j)1/4 k)4 l)1/8 m)8 n)1 ñ)
−4/3 o)
−3/4 p)16/9 q)9/16 r)
−64/27 s)
−27/64 t)1 u)625 v)
−9/4 w)
−4/9 30.a)3−1 b)2−2
)2−1 d)5−1 e)7−1 f)3−2 g)2−4 h)2−3 i)5−2 j)7−2 k)3−3 l)2−5 m)5−3 n)3−4 ñ)7−3 o)5−4 p)3−5 q)6−2 r)10−1 s)10−2 t)10−3 u)10−4 v)10−5 w)10−51 6
52. 31.a)37 b)3−1 =
h)33 i)
m)1
3
7
)3 d)3−7 =
1
37 e)3−3 =
1
33
f)35 g)3−7 =
1
37
g)2
3
m)h)n)ñ)i)j)o)k)p)l)q)1 f)33.a)r) s)t)x10 x7 · y2 b)a3 a11 a7 · b2 a2 a a−17 a4 a6b−4c x5y−5 a−2 x−1y−6 a · b−1 32 211 34
7 j)
2
3
−1
=
3
2
k)2
3
l)
2
3
−7
=
3
2
2
3
−3
=
3
2
3 n)
2
3
5 ñ)
2
3
−7
=
3
2
7 o)2
3 32.a)2−6 =
g)1
26
h)i)
)d)e)f)5−7 2−5 3−3 3−14 2−2 2−6 b)3
)1 d)56 e)x−5 =
1
x5
−5−3 j)58 k)7−11 l)x−17 34.a)
g)
m)h)
n)b)i)
ñ))
o)
j)d)k)e)f)
l)−7 9
−21 19 20 −3 −2 −17 −17 23 14 25 4/81 100/81 85/9 A.212...aad)))SPRNeoaor
ilpióuoednr
iai
ólio:doif
rnao
e
sióndeltemabe))2NNooppeerriióóddii
oob)Ra
p)q)
−16/ional:perifó
25 )d)iP
doeer
2 −61 o 3.
ea)))IIrrrraa
iiómdai
loperiódi
)iioonnaall::rdaeí
zimnoalenxoa
etxaa
toniperiódi
o d)b)d)Ra
ional:de
imalexa
to 4.a)
1, 41421365 1, 41422365 1, 001000100001 0, 100100001 . . .
1, 121231234 1, 121231235 3, 1415925535 . . . 3, 1415926535 . . . −1, 41421365 −1, 41422365 b)
−1, 001000100001 . . . −0, 100100001 . . .
)
−1, 121231234 −1, 121231235 d)
−3, 1415925535 . . . −3, 1415926535 . . . 5.Hayinnitosnúmeros
omprendidosentre0, 005712751 y0, 005712752Porejemplo: .
6.aPEE)osn
rtrreiebjedemotspulno
ú:inm
0, 0057127512; 0, 0057127513; 0, 00571275123; 0, 00571275155; 0, 00571275146 eorodsiferare
niotnesalaeséhstaoys.innitosnúmerosreales. 32
270
Es
ribetutresdiferentesaéstos. 33
35
23
,
,
270
270
52
60 b)5
17
,
6
17
,
7
17
)41
54
,
42
54
,
43
54
d)21
60
,
22
60
,
53. 7.PmLaoierneextNjrpeaúmrsempsqielóuornoe:sldareae
xiimopnraealslideósen:udne
nimúmaledroeuran
inoúnmalersoieimrpar
eioensalutniednee
iinmanliteaxsa
itforaosndoe
pimeraióldpie
raisó.di
o, 3
4
8.No,puestoque Númerosira
ionales: (de
imalexa
to);(de
(de
imalperiódi
o) 2
z{
= 0, 75 6 p2 = 1, 4142135623 . . . imalnoexa
toniperiódi
o) p2 9. a)No, esunnúmeroira
ionalylasfra
ionessonnúmerosra
ionales.
10.Ddos)nNirúroma,
b)No, )Si,losnúemseraro
euirononsnaúqlmutieeernsouemriana
esunnúmeroenteroynoesnatural. sioinraral
yionnoaleess.ePntoerroe.jemplo:,= 0,
3
−2 nino
niteaarlsot
iseiefnrelalassmudeae
xnipmorpaesuleieóssntsoidnse.
pPiemorir.ao.led.ejoex.ma
ptlao:o5pyeri-ó5d;i
3/2 p3a,mientrasqueunnúmero y2
− 2
5
11.a) Dosnúmerosquemultipli
Ra
adosdan1selamaninversos.Porejemplo;2yy5 1
7
4 12. Ra
ionales:2
p3 15 3
1, 5; − ; 4
7
ionales:41
z{
7 ; 3, 2 Ira
ionales:p12; p3 15 b)Si,p49 = 7
; p49 = 7; 53,
13.a)Falso,Ira
ionales:esrealperonoesra
13
z{
8 p7; 2, 010010001 . . . ; 2 + p2 p3 )53,
ional. b)Verdadero,puesN Z)Verdadero,pues . Z Q14.a)Cierto,pues . d)Falso,2esrealperonoesira
z{
41
7 p49 p12 3, 2
13
)Cierto,puesz{
; 0,
3 ; 1, 666 . . . b)Cierto,pues; p25 = 5; 32,
ional. d)Falso,porlapropiaexpresiónde
5
R = Q [ I =) Q R R = Q [ I =) I R
Z Q R imalde1lo5s.númerosra
ionaleseira
ionales.
−3/4 7, 23 p5 1, 1
z{
2 −3 7/5 −9/3 p4 1 + p2 p−4 p3 −1 31 1, 020304 . . .
N × ×
Z × × × × ×
Q × × × × × × × × ×
I × × × ×
R × × × × × × × × × × × × × 16.
−2,17 −7/5 2/3 53
5√32
√27
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 54. 17.a)18. a)b))d)[2, 3] (−3,−1)
(−2,+1) (−1, 3] x −5; (−1,−5) e
−1 −5 0 +1 b)3 x; [3,+1) u
−1 0 3 +1
)
−5 x 1; (−5, 1)) e e
−1 −5 0 1 +1 d)
−2 x 0; [−2, 0] u u
−1 −2 0 +1 19. a)[−3, 2] u u
−3 0 2 b)(5,+1) e
0 5 +1
)[−2,+1) u
−2 0 +1 d)[−2, 3/2] u e
−2 0 3/2 e)(4, 4′1) e e
4 4, 1 5 f)[−3,+1) u
20.a)
21.a)d)
b)e)b)f)
)−3 0 +1 −2 x 7 x 13
x 0 −3 x 0 3/2 x 6 −1 x +1 21/3 31/4
)2−1/2 d)2−2/3 e)35/4 f)24/3 g)23/4 h)78/5 i)57/4 j)34/3 22.a)1
e)2 f)− 27
o)p)q)ñ)
3
s
−2 2 16 b)1
16
)1 d)1
4
8
g)2 h)1
2
i)3 j)1
3 k)4 l)1
4
m)
n)−4 − 1
4
1
2
r)2 s)
23.a)24.a)b)b)
)d)e)f)−2 35/6 25/3
a3/2 25/6 a2/3 a5/6 12 −12
)Noesunnoreal. d)3/7 e)
−3 f)Noesunnoreal. g)
−3 h)0, 2 i)0, 5 j)0, 8 25.a)p5 b)p5 24
)p5 a4 d)p3 ab2 e)32 f)54 p3 2
55. 26.a)5a5b3p3 5a2b b)2x2 5 p
22xy3
)a2b3p4 15a2b3 d)2 · 32xy2z4 7 p
2 · 3xy2z5 e)22 · 32 · 53p3 · 5 f)23 · 54 · 79p5 2 · 53 · 74 g)x6y4z3pxz h)x5y6z6 3 p
z2y2 i)2y
p3 x2 27.a)81 b)22p6 2
e)2 i))d)p
3
f)m)j)g)k)h)3pl)0 511 p6 35 2p0 217 2p4 a13 x2y2 1xy11 3p6 229 a 2p4 a17b21 3 4p8 311 34p4 33 2 2p0 2 a
4x2y3 j)a2b2
4 p
c2
s
5
a3b2
c2
k)2x5y7
z2
s
x
z
l)x3y7
z2
p)t)s)a8
b9 2
2 2p4 27 · 32 a
s
a7
12
b
b3
28.a)
u)a2p8 a2b7 n)a p6 a ñ)12
s
b5
a2
o)a
b
s
24
s
f)23
12
3
32
g)h)
e)pp−83 42 p3 13 p3 2 q) 1
1p5 x4
r)24
s
x3
y2
b
s
18
a15
b5
−
d))b − a = 8 p = 16 + 4a b =
p2 b)6 p3 5
)3p5 d)
−6 p3 2 i)3p5 j)33bp2b A.31..a)Solu
ionesdeltema3 b = 2a p = 8a b)a
+ 2b 2.a)a · b (a:altura,b:base) b)2a + 2b (a:altura,b) :base) d = p2 · l (d:diagonal,l:ladodel
=
b
3.a) (:hab.dobles,:hab.sen
io,:tiempo) tx = 2y xy7
3
p =
20
3
b
3
5
a p =
16
5
a e)a = b + 7 p = 4b + 14 f)a · b = 26 p =
52
b
uad.) d) · r2 (re) :radiodel
(:aristadel
ubo) f)ir
ulo) l3 lv =
e) e
(:base,:altura) t
bhx − y
(v:velo
idad,e:espa
ilas) b)x3 (x:unno,x − 1:noanterior,x + 1) :noposterior) d = 5x d)A =
b · h
2
2
(x ey losdosnúmeros) f)2xy (x ey losdosnúmeros)
55
56. 4. Monomio Coe
iente Parteliteral Grado
2a2b 2 a2b 3
3
5
5.a) v4 4 4x3 b)
3
xy2z
g)
h)5
i))
d)e)
f)−x2y 12x3y4 −10x3y 8x3y6 4
−3a2 2xy xy2z 4
1
1
ab3 76..a)FPaolslionomio 2
b)Falso 2
dC
de2ogrado e)oleVe
tréiedrnmatdeienroo j)d)Falso e)Falso k)f)Falso l)a2 1 dTeéprmenidnioentien- 4ab Grado
2ab ab3 4
6
−5x6 −5 x6 2
2
−
v4 7
−
7
−
2
15
x2
-3 3
4 4
−3x4 + 2x3 − 3x2 + 4 2
5
x3 + 4x − 8 0 -8 3
1
2
x2 − 3x 1/2 0 2
−5x6 − x4 − x2 + 1 8.a) -1 1 6 p(−1) = 7 b)p(
)p(p3) = 0 d)p(−2) = −15 9.a)4x4 − 6x3 − 2x2 + 2x − 7 b)6x2 − 4x + 9
)12x4 − 8x3 + 12x − 27 d)4x4 − 12x2 + 9 e)
g)Co
iente:2
f)3
−8x4 + 12x3 + 20x2 − 12x + 26 36x4 − 48x3 + 124x2 − 72x + 81 x2 −
10.a)Co
) =
b)Co
)Co
iente:iente:
iente:;Resto:
;Resto:5
2 x5 − 2x4 + 3x2 + 7x − 512 3x2 − 9x + 29−81x − 2
8
27
3
2
x +
5
2
; Resto:− 11
2
x +
17
2
h)3x4 −
9
2
x3 +
7
2
x2 −
3
2
x +
13
8 11.a)Co
iente:x3 − 4x2 + 12x − 15; Resto:16 b)Co
iente:2x2 + 4x + 6)Co
iente: ;Resto:20
e)Co
iente: 3
1
3
9
187
−x5 −
x4 +
x3 +
x;Resto:-285d)Co
2 +
x +
2
4
8
16
32
iente:;Resto:4 −3x3 + 9x2 − 32x + 965x4 + 3x3 − 4x2 − 4x + 42x2 + x −
;Resto:465
32 d)Co
iente:3
2
x2 +
1
4
x −
3
8
;Resto:5
8
x −
11
2
;Resto:− 31
4 12.a)Co
iente:2x2 − x − 2;Resto:8x − 4 b)Co
iente:64x4 − 192x3 + 576x2 − 1728x + 518456 ;Resto:-15.681
57. )Co
iente:x2 + x;Resto:
−x d)Co
iente:2x3 +
+ x + 1 f)25 − 4x2 g)x2 −
2
7
2 14.a)b)h)i)x3
−
9
4a4 − b2 9x2y4 − y6 9 4p− 5 10 p− 221
x +
20
27
;Resto:101
81 13.a)16x2 − 24x + 9 b)9x4 + 30x3 + 25x2
)9x2 + 12x + 4 d)16
9 − 8x + 9x2 e)x2
)29 + 6p6 d)
−1 e)
−7 f)53
15.a)g)4
x4
4
b)h)2p15 4 − 23 23 p− 415 3a
4x2(3x2 − x + 5) )2xy2(4x2 − 1 + 3x3y) d)(x + 7)(x2 − x − 1) e)2(a + 3)(−7 − 3a) f)x
16.a)(x − 2)2 b)(x + 5)2
17.a)b)(1 + 3a + 9a2)
b
f)2 (2x − 1)2 (3x + 2)(3x − 2) (2 + x)(2 − x)
2
18.a)b)f) (x + 3)(x − 3) x(x − 3)2 x2(x + 9)(x − 9)
1 +
x
2 −
x2
4
)(x − 6)2 d)
d)1
x −
2
e)f))3x(x + 3)(x − 3)
x(x + 1)(x − 1) 3(x + 5)2 2 e)
x +
1
3
)(x + p2)(x −
d)e)p2)
(x + p5)(x p−
5) x +
g)h)
j)k)5
5
x m)4
−
4
19.a)o)l)i)
1
1
x +
x 4
−
4
p)n)ñ)2 5x2(2x2 + 3)2 q)3x(2x2 + 1)(2x2 − 1 (3x + 4)2 x2(x + 2)(x − 2) 2x(5x + 1)(5x − 1) x(x − 4)(x + 4) x(x + 3)2 2x(x − 2)(x + 2) mn(2n − 1)(2n + 1) 2xz(x + y)(x − y) ab(3a − 5x)2 3
1
f)x +
3
b))d) e)1
x − 1
2
x 1 2
2
x
2x − 3
− x − 2
x + 2
g) x
x + 1
h) x + 3
x3 − 3x2
i)4x2 − 1
2x2 20.a)1
6x
b)2 − x
2x2
) − 1
x2 − x
d) 4
x2 − 4 e)x + 4
6x2
f)3x3 − 3x2 + x − 10
12x3
g) x + 1
(x − 1)2
h)(x − 3)(x + 2)
4(x − 2) i) 6x − 2
x(x − 1)
j)x2 − 4x + 14
5(x − 2)2
k)1
x
l)x2 + 4
x2 − 1 m)x2 + 14x + 49
x2 − 49
n) x2 + 4
x(x + 2)(x − 2)2
ñ)3 − x o)x2 + 1
x + 1 57
58. p)2x − 2
A.421...ad))aS)IIddoPeennalttruiiadd
u)x2
6x2 + 9x − 23
q)− 2x2 − 34x + 8
x − 4
r)4x + 12
x2 − 3x
s) 3x + 21
(x − 7)(x + 2) t)x4 − 64
x2
b)Para )Para ynoseveri
a;solu
ióndelae
ua
ión. x = 2x = −1 x = 1 aaiddo..nesdeltem4axeb))+4EId1
noseveri
a;para2eunat
idióand.. siseveri
f
))IIddeennttiiddaadd.. x = −2 x = 2 alae
ua
ión. x = 1 noseveri
d)Para noseveri
a;parasiseveri
a;solu
ióndelae
ua
ión. x = 0 x = 0x = 0 e)Para noseveri
a;parasiseveri
a;solu
ióndelae
ua
ión. x = 3 x = 3x = −2 f)Para noseveri
a;parasiseveri
a;solu
ióndelae
ua
ión. x = p2 x = p2x = 4 a;solu
ióndelae
ua
iónx = 534..aa))Siessolu
ión. b)a;parab)Siessolu
siseveri
ión.
)Noessolu
ión.. x = 5 x = −1 x = 1
)x = 3 d)x = 8 e)x = 1 f)x = 28/67 g)t = −5/3 h)x = 9 i)x = 4 j)x = 10 k)x = 29/34 l)x = −1/2 m)x = −12/7 n)x = 17 5.a)x = 0 b)x = 0 y x = −3/4
)x = ±4 d)x = 0 y x = 5/3 e)x = 0 y x = −2 f)x = 0 x = 7/2 g)x = ±3 h)x = ±
p
1/3 m) j)Notiene. k)Notiene. l)Notiene. x = 0 y x = 4 n)x = ±4p3 ñ)x = ±5/3 6.No,puestoqueax2 + bx = 0 ) x(ax + b) = 0 )
p
6/5 i)x = ±
obienx = 0 oax + b = 0e
ua
ionesin
ompletasde2ogradosiempretienenunasolu
ióniguala0ylaotr.aPortanto,estas x = −b/a7.a) . x = 2 yx = −1/3 b)x = 4 y x = −4
)x = 1/4 yx = −3/2 d)x = 1 y x = −1 e)x = 1 f)x = ±2p2 g)x = ±9 h)x = 2 8.a)x1 = 0; x2 = 1; x3 = −2b)x1 = 0; x2 = 2
)x1 = 1; x2 = −1; x3 = −3; x4 = −2 d)x1 = 0; x2 = 9; x3 = −9e)x1 = 0; x2 = 1/2; x3 = −1/4f)x1 = 0; x2 = 2 g)x1 = −1; x2 = 2 h)x1 = 1/3; x2 = 1; x3 = −5/2i)x1 = 0; x2 = 6; x3 = −6 9.a)x1 = 2; x2 = −2; x3 = 2/3; x4 = −2/3 b)x1 = 5; x2 = −5; x3 = 3; x4 = −3
)x1 = p3; x2 = −
p3 d)x1 = 1; x2 = −1; x3 = 1/2; x4 = −1/2 e)x1 = 2; x2 = −2 f)x1 = 1/2; x2 = −1/2; x3 = 1/3; x4 = −1/3 g)x1 = 2; x2 = −2; x3 = 0 h)x1 = 2; x2 = −2 i)x = 6 j)x = 4 k)x = −3 l)x1 = 8; x2 = 1/2 m)x = 1 n)x = 2 ñ)x = 1 28.a) o)Notienesolu
iones. x 1 b)x 2
)x 5 d)11/5 x e)x 1/8 f)(1,+1) g)(−1, 59/7] h)[−82/11,+1) i)(−7/3,+1) j)x 0 k)(−1, 1) l)58 (−1, 0)
59. A.512...aa))SSInio
eolsmuspo
lauito
ibinólenesdelb)teSmiesabso)5luC
oiómnpatible
4.a)3.a)b)b))Noessolu
ión
)Compda)tibSlieessolu
ión 5.a)b)x = 1; y = −2 x = 137/43; y = 164/43 e6m.ean)ts x = 2/5; y = −1/3 x = 2; y = 5/3 x = 5; y = 7 x = 3; y = 5/2 PSfragrepla
1
7.a)8.a)i)e)1
)f)j)b)b)k)g))(l)h)d)3,−1) d)i)e)g)x = 4/7; y = −31/7x = 1; y = 2
h)f)x = 23/7; y = −3/7x = 8/3; y = −1/3 x = 1/3; y = 1/2 x = 6; y = 10 x = x = 16; y = 10 x = x = 8; y = 5 1119012....EEHHllaaybdniúit2vma4is
x = 8; eoigroraonlvleeiasnsleas3se54ny.6
−y = 5 x = 8; y = 2 x = 365; y = 145 x = 1; y = 2 x1 = 1 y1 = 8; x2 = 56/5 y2 = 5/7 x1 = 2 y1 = 1; x2 = −7/3 y2 = −12
x1 = 2 y1 = 1; x2 = −1 y2 = −2 x1 = 3 y1 = 2; x2 = 3 y2 = −2; x3 = −3 y3 = 2; x4 = −3 y4 = −2 x1 = −3 y1 = 4; x2 = 4 y2 = −3 x1 = −6 y1 = −8; x2 = 8 y2 = −6 x1 = 4 y1 = 4; x2 = 4 y2 = −4 x1 = 5 y1 = 3; x2 = −5 y2 = −3 x1 = 6 y1 = 2; x2 = 6 y2 = −2; x3 = −6 y3 = −2; x4 = −6 y4 = 2 (2, 1) PSfragrepla
emebn)ts 1
1
.i3l7as
:o1n3ejyosh.abita
ionesdobles:37 11218907....1LBM0aaa0ssdelpr:iete2r:ro4s4so0
11116534....HLLEaalassynúee2ddm4aaedd
reeeorssdessosoosnn1,3121680,.,5to3yr0o7ysay5ñ01o2as.ñ
namaa0sñ;,oat5sil5et;unhreianjo:71m06ay
oasb.alos. ymo2r5.:a1ñ5oes.hijomenor:5. e/ly200litrosa0,4e/l.
59
61. AGpeéonmdie
terBía PSfragrepla
ements RECTASYÁNGULOSENELPLANO TiPpuonstodeánRgeu
tlaos SemireP
tSafragSreegpmlae
netmoents Re
tasse
antes Re
tasparalelas PSfragrepla
ements
ÁtánngaulilnoLelaaldlnaoons,o(:susladosCeos-nvexo Cón
avo Re
to Agudo Obtuso 180◦dÁi
nugluarleos,re(
ionesang).ulares uÁÁren
to:lado)s.perpen- 90◦PSfragreplaCC
OeoóAmnRnLbgv
tleeRuaaeu
nndxvtsteoooooosla
nnotggoluu.lallnooo
a.ognuvdeox:om:emneonroqruqeueel euÁÁlnnnroegg
luultallonoooy
)om.óbnet
nuaosvrooq::ummeaaeylyoolrlranqqouu.ee
PSfragreplaCC
eoóAmnRnLgv
leeuaae
nndxvttooooos omplementarios:suman ; Obtuso Ángulos
onse
utivos Ángulosadya
Ángulos
omplementarios:suman;Ángulossuplementarios:suman;b b + Bb = B= AAb
+ 90◦A b + B b ◦b b ◦
= 90◦ 180A + B = 18061
entes Opuestosporelvérti
e 62. PSfragreplaCC
eoóAmnRnLgv
leeuaae
nndxvttooooos omplementarios:suman ; Obtuso Ángulossuplementarios:suman b OpÁuÁnegnsutgoluoslsops
ooarndesyela
v
uéetrnitvti
oeess
PSfragreplaCC
eoóAmnRnLgv
leeuaae
nndxvttooooos Ángulos
omplementarios:suman ; Obtuso Ángulossuplementarios:sumOanpÁuÁnegnsutgolu;oslsops
ooarndesyela
v
uéetrnitvtio
eess
Mediatrizybise
triz
r t
LMruoelesmadrpoiuasalntdtrmeoilzsissmddegeeomuleaennnmstseoueg:dmpiauetnnrtitzooemeqseudliadioir.set
P
A B
P
R
S s
atnadpeerlpoesnedxi-- PA = PB. vLBdieodilsseeápn
autlgnruátilnzoogs:dudeloeulenanábdniosgesu
látorniegzsueulqonsuaiidgsiuesmtaalienrsr.de
etaloqsulaeddois- PR = PS.
62
63. LospoSlíegolnaomsasepo
llaígsion
aonaselagúrnegeiólnnú
emreardoaPddeeOllpaLldaonÍosGelinmO:itNadaOpoSrvariossegmentos.
PSfragrepla
ementsTriángulo:3lados Cuadrilátero:4lados Pentágono:5lados Hexágono:6lados Heptágono:7lados
SeO
l
atsóigPo
Snafonr:asg8eglraúedpnolassu
esmáenngtusElonseeáng:ono:9lados De
ágono:10ladosEnde
ágono:1ladosDode
ágono:12lados TodossusánPgoullíogsonsoon
omnevneoxroesque180 Polígono
ón
avo ◦ Almenosunodesusángulosesmayorque180◦ PoSLlíoognsoelolnesmopesonlítrgoeosngdouesluqanurePpetoSsilfeírngaoegnnorteorpedlgaou
selasmuresslnaotádnsnolgouslsoigsuyienlatedso:siguales. Lado:
adaunodelosseágnmguenloto
vseérnqratutdrie
aioelformanel
aádepninagogtutroeloonmaialnterior vRVapoo
aésluí.rdgatioiloqn
:euos:.ieeprgaumndetenotlodoseqvuuéneritóvina
edds.eeld
A
upaloqtueimeral:adsoegamle
netnotrqoudeevlapdoleílgopnuon.toSimemedpiroedees
oesntlarododsel
íugaolqnuoieryponlíúgomnoesDsree
opnosleíg
ountio- pÁÁooennnnrpssggeeeuu
oiauogtbdiotvienoensa.del:imsaeugglmtoiepnnlita
nlluudoottiii
vviuneooltssnae..rtrraiaoldr::i
ááhnnoggulualoldoofof.orrmmaaddooppoorrddoossraladdiooss SumLaadsuemlaodseálonsgánugluolossdineteruionrespdoel
oalnqedusoeunedosvérti
esno
on- 180◦ ladosmenosdos,esde
ir,sielpolígonotiene porelnúmerode n lados,lasumadelosángulosinterioresvienedadapor:
180◦(n − 2)Lasumade.losángulos
entralesde
ualquierpolígonoregularesde360◦ángulo
entraldividiendo .Portanto,podemos
al
ularel 360◦ Elnúmerodediagonalesde
uaelnqturieerelponlúígmoenrooedselados. n(n − 3)
2
63 .
64. Clasi
a
iónsegúnsusTladRoIsÁNGULOCSlasi
a
iónsegúnsusángulos PSfragrepla
ements(3lEaqduosiláigteuraoles) (2laIdsóoss
iegluesales)(3PlaSEdfsro
asagdlerenesopiglau
aelems)ents(3Aá
nugtuálnogsualgoudo)(1Ráe
ntgáunlgourleo
to) (1obátnugsuálnogsuolobtuso) Sumadelosángulos TeoremadePitágoras
PSfragrepla
ements
PSfragrepla
ements
C
a2 = b2 + c2 b A + b B + b C = 180◦ PSfragrepla
ements a
A B
c
b
puEPMunluenonbdttadooiroaim
dbneeleaend
:tqioroeuorsteddeeeeilldvlieloedaltledraososae.got
B
G A
C
c
b
a
ma
mc
mb
PSfragrepla
ements
rmpaeudseeanmsttmooe.deqdiauianenavas:aebndaedroiu
snesnevtgérmrotei.
netoas,l
dPAeulstnduteoruadn:eev
B
ha
c
séorrettlie
esdeeaglmlalaesndttoroeosqpauuleetsutvroaa,so:paOersrputeopn
a
O hc
rdeoinl
outnlragora.m
hb
A
C
b
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PSfragrepla
ements
A
B
C
c
b
a
qEPMruluieet
naditpr.oi
aausdtnaer
O ip
ezoonrrtdtreeeolduepesnuelnsaltes
ogetmnmretersenodmtiodoee.delsiaatl
ariir
r
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n:tfaCeriperne
PSfragrepla
ements
r
upianen
deirin
uturnlaosr-.
EPBánluigsniunetl
I A
ooetdnreteinzro
odoteerrstouesenlddeá
oenslngatiusgrloutoradeelseessbul.ainsae
irst
erumi
neifrsee:r
eItnna
qieauneitndrsoi
v.riditeau.n
64
B
C
c
b
a
65. Paralelogramos:losladosopuestosCsoUnpAaraDleloRs.ILÁTEROS Propiedades:
Susángulosopuestossoniguales. Susladosopuestossoniguales.
Susángulos
• • •ontiguossonsuplementarios.
•Lasdosdiagonalesse
ortanensuspuntosmedios.
PSfragrepla
ements(ángRuel
otsBánargesu
eltoos)Altura (ladoRsoimgubaoles) (y22ánlagduolRososdmdebseiosgiiugduealaelse)s Trape
ios:esun
u(a(yd4r4iálánlatCgdeuuroolasod
sirogainugduaodlaoelsse)sladosparalelosyotrosdosnoparalelos. PSfragrepla
ements Trape
ioes
aleno Trape
ioisós
eles Trape
iore
tángulo (distintosloslaBdaossenoparalelos) (igualeslosladosnoparalelos) (dosángulosre
tos) Altura Base
Trapezoides:esun
uadriláteroquenotieneningúnpardeladosparalelos.
PSfragrepla
ements Trapezoides
65
66. CirP
SCCufraiínrrg
fruueelnprofle:ea
rEneesm
sió
laCnírldíIn
eeRupalla
ConuorvUean
nli
eaaniapt:soyre
NeerrrraFaddaaEyeRnpleaElnianNt
euriyCoorsIdpeAuunntoaYs
eiqr
uCuidnifÍsetRraennC
diae.UotrLolOlamado
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pCRueanndttoiorso:d:eeselesales
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Dquiioiáemnrpeeustnrotro:esdleeagtmlaiev
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PoPsiS
friaognreeplsa
remeelnattsivaEsxdteeriodreoss
ir
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ntieass Se
antes PSfragrepla
ementsExteriores Tangentes Tangentesinteriores Se
antes Interiores Con
éntri
as PSfragreÁplan
gemuelnotssenla
ir
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ia Ángulo
entral Ánguloins
fieqnerunsee
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itoeiinedqneeueeelleavalébmvraétirirt
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n.otMoqidudeee Re
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ír
ulo raETerol
arituonsaquseemabi
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iiasmeos A A
rito PSfragrepla
ementsSe
O
B C
tor
ir
ularSegmento
B
laÁÁloabnnam
ggri
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amllu.oono
doátoonss.golunolsoigáunqguauelelosas.bianrs
ir
ular Zona
ir
ular Corona
ir
ular Trape
io
ir
ular 66
67. ÁREASCUYADPREADROÍMETROSDEFIGURARSECPTÁLNAGUNLOAS
PSfragrepla
ements l
Área=base× altura
S = a · b
P = 2a + 2b PSfragrepla
ements ROMBO ROMBOIDE l
l
TRAPECIO TRIÁNGULO
Área=basealtura
PSfragrepla
ements × S = b · h
P = 2a + 2b Área=lado× lado
S = l2
P = 4l
PSfragrepla
ements
a
b
d
tÁbraresee2a=mpoabryaolsareadmlitvueirndaoidromenas-
b
D
POLÍGONOREGULAR CÍRCULOdoslosladossumadeto-
Perímetrob PSfragrepla
ements · h
2 = L
Área=diagonalmenor× edniatgreon2almayordividido
doslosladPosSsfuramgaredpelato
PerímetroD · d
S =
2
P = 4l
2 = PSfragrepla
ements
h
b
a
h
B
(B + b) · h
S =
ir
unfe- SECTORCIRCULAR
l = 2r -ements h
b
Área=base× vididoentre2alturadi-
S =
A
aÁproeate=maPdeivriídmidetoroentrpeo2r
S Longituddelar
=
o· =
2r
360
Perímetro× a
2 dPoesrímlosetlraod=PosSsfurmagardepelato
-ements r
S = r2 rLeonn
giait:uddela
PSfragrepla
ements
r
S =
r2
360
·
67
