1. ID.Eep.Sa.rtLaAmeBnAtoHdÍAe.Matemáti
as
CMonadote
eimmCiáieetnni
taoiasssdpdereeBvlaiao
sShapillaluerdraatlaos yCien
iasSo
iales
SFMMruaaasnaIFn
seiaasrb
nSoeaelnmFVdepairlneaBrárearnubdPbieéaízrnVeoDzáíÁzaqzlvuaerzezdelosCorales

2. 2

3. Índi
egeneral
111..12...N111...ú112m...112PC...eoortonejsnu
nitIRDaonseestpenrrn.uveis.
ameilo.onénsrt.iae
s
..oisó...n....g....rá........
a.............................................................................................................................................................................. 555566 1.3.11111.....23333.....12234R.....aí
esSPPRD.urrae.oom
ppin.aoiiieen.
dddaióe.aalinddzr.eeaadss.d
eiid..ó
renaa..líledzo..ses:n..dr-...aéesdn...iimo
...maa...liens....a:d....o.....re.....s:....................................................................................................................................................................... 677777 2.21..Á2222....l1111g....e1234bP....roalinomFFDOiraoepa
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ilna..inso..olom...gií...oas...:.......................................................................................................................................................... 11901999 2.2.22222.....22222.....12345E.....
ua
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rrii..iioommnn..eeee..ssrrln..ggirron..aaeldda..inoole..es
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oiió.anonden.sees.sex...dpe...osn...eeg...nu
...nia...dloe...sg...ra....d....o...................en.....e.....l.....de.....n.....om.....i.....na.....d.....or..................................................................................................... 111111777765 3.31..G233...e115o...124mT...reitgroínaoEÁMm
neeugdtauri
dílaioaos.ndoee.rsi.áelonn.ggtaa.udrl.oíotssm....i
a...s....................................................................................................................................... 1111199899 3.1.3. Ángulosmayoresde2 33..11..45.. SRiagznoondesetlraisgoranzoomnéetsrit
raigsroa.ndo.iam.née.tsr.i
..as................................................................................ 222001 3

4. 3.1.6. Rela
ionesentrelasrazonestrigonométri
as...................... 3.1.7. Razonestrigonométri
asdelosángulos: 21 0◦,90◦,180◦,270◦ y360◦3.1.8. .......... 30◦60◦ y45◦33..23..3.3.1RR.eadzoun
eisótnriaglopnroimméetrri
uaasddreanátnegu.lo.s.
o.m.p.le.m.en.ta.r.io.s.......................................................... 222222 3.3.2. estáenelter
er
uadrante.............................. 23 3344...145....Fun
CRRiooeansnzoeo
lsneupe
stioótnerdsigetdáoefnuetonnrmi
áeiéónltng
r.uui
lTaoaresstrordmee
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roeiiiioooos
nnnnodeeeererssssifdrrapuaaoont
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iiiooni
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s....as................................................................................................................................................................................................................. 222223607789 44444.....45678..... FFFCOuuuopnnnme
rpiiiaooóo
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ssnnieóvleosnxegrp
adsooarennítef.fmunun.
in
i
.aaiiolso.ennse..ess....................................................................................................................................................................................... 3333310123 A.Ejer
i
ios 35
4

5. TNeúmmae1ros 1.1. CoNnújmuenrtoossNantuurmaleésr.iS
irovesnpara
ontarloselementosdeun
onjunto.SedesignaporN.
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . . . .} NúmerosEnteros.Constadelosnaturalesysusopuestos(enterosnegativos).SedesignaporZ.
Z = {. . . . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . . .} N
oú
imenetreodseRdoas
ieonntearloess..SSeirdveesnigpnaarpaoerxpresarpartesnoenterasdelaunidad.Seexpresa
omoel Q.
oEUnjpeenmrúiópmdleoi
rsoo:.ra
ionaltambiénsepuedeexpresarmedianteunnúmerode
imal:entero,de
imalexa
to
Setieneque:
p
Q =
x / x =
, p ∈ Z, q ∈ Z, q= 60
q
'z{
= 3, 3333 . . . = 33 Ejemplos: Ndeú
immearlotisenIrerian
inointaasle
−10
si.frEasstdoes
nimúmaleersonsonopepruieóddei
9
naesx.pSreesraeprsreesmenetdaiapnoterunafra
20
.
iónysuexpresión = 5
= 0, 45
2
−20
3
N ⊂ Z ⊂ Q I√2, 2 + √5, = 3, 1415926535 . . . e = 2, 718281 . . . 0, 010010001 . . . NúmerosReales.Estáformadoportodoslosnúmerosra
ionaleseira
ionales.Sedesignapor
R.
R = Q ∪ I PSfr1a.g1r.e1p.la
eRmeenptrsesenta
ióngrá
a
0 1 2 −2 −1 1.1.2. Intervalos
erado abierto
1
−5
2 4
PSfragrepla
ements
x ≤ p a ≤ x ≤ b c x d x q 5
(−∞, p] [a, b] (c, d) (q,+∞)
p a b c d q

6. 11..22..1.PDoPteoetnnen
i
iiiaaossndeesexponentenatural:
an = a · a · . . .n) . . . · a Ejemplos:
23 = 2 · 2 · 2 · 2 = 8; (−3)2 = −3 · (−3) = 9; −32 = −9 Poten
iasdeexponenteentero:
1
an Ejemplos:
Silabaseesunafra
iónnosqueda:
a−n =
125 Ejemplos:
2 1
1
2−=
=
5)−3 =
22 4
(−n 1
(−5)3 = − 1
Poten
iasdeexponentera
ional:
a
−n
b
=
b
a
1
−2
2
−3
3
42 3
27
= = 16
=
=
4
3
2
8 ap/q = q√ap Ejemplos:
1.2.2. PropiedadesPropiedad 21/2 √= 2 (−3)2/3 1
1
= (−3)2 Ejemplos
√= 3 9 4−1/3 =
=
41/3 √3 4 3 p
an · am = an+m x2 · x4 = x6 a3 · a−4 = a−1 =
1
a
an
am = an−m 36
34 = 32 = 9
x4
x6 = x−2 =
1
x2
(an)m = an·m
23
4
= 212
y−2
3
= y−6 =
1
y6
(a · b)n = an · bn (2x)3 = 23x3 6
(3x2)−3 =
a0 = 1 20 = 1 (−3)0 = 1 − 50 = −1 x0 = 1 1
(3x2)3 =
1
33x6
a
b
n
=
an
bn
2x
3
4
=
16x4
81
3y2
x2
−2
=
3−2y−4
x−4 =
x4
32y4

7. 11..33..1.RDaeí
ensi
iónderaízn-ésima
Si Sinesimpar esúni
índi
e;radi
ando √na = r ⇐⇒ rn = a; n a =⇒ r a n espar=⇒
Ejemplos: parapara,notieneraízreal.
,existendosraí
es.( a 0(±r) a 01.3.2.1.Propiedadesdelosradi
normalmentesedenotaalaraízpositivay
alaraíznegativa√√√4 = ±2 (4 −
4 ) ales: n√a · b = n√a · n√b √2√2 = √6 2.Sa
arfa
toresfueradelradi
al:√18 = √32 · 2 = 3√2 3.n
n√b 4.( n√a)r = n√ar 5.n p
1.3.3eE.ljmeLmSiasumpslmeooxsrpa:ardedis
6.s
a
√na
=
b
p
√3 3 = √6 3 √ap √√4 √= a 9 = 4 n·pn32 = √3 = ieaonnrdeaso,d
ouinn
aaralveíe
sze:squsóelosephuaendesnimsupmlia
rasdeos.isonsemejantes,esde
√a = √mn·ma
IMPORTANTE: nopuedensumarse. ir,tienenelmismoíndi
ey 1.3.4. aR)a
ionaliza
√2 + 3√2 ióndedenominadores: = 4√2 √2 + √3 √nan + bn= 6a + b a
b) √√a nan−p
3
3 3 22
√3 3 22
√=
√=
√√=
nbp
b
3 2
3 2 3 22
2 c
√a ± √b
=
c(√a ∓
√b)
a − b
2
√2 + √3
=
2(√2 − √3)
(√2 + √3)(√2 − √3)
=
2(√2 + −√3)
2 − 3
= −2(√2 −
√3)
7

8. 8

9. TÁelmgeab2ra 22..11..1.PDoaMlepianornnoeo
im
emnioiisonooneesnslateymrotu:eltErimpsluii
nnaao
ileóoxnpgríyeasliaónpoatlgeenb
riaai
aióenndlaeqeuxepolanseúnntei
ansaotuperraal
iones
onletrasque -Ejemplos:2x3; −3x4y2; 3a2bc4 -CEojeemp
iloesn:te:eslapartenuméri
adelmonomio. 2x3
oe
iente2; −3x4y2
oe
iente
P-Eajremteplloitse:ral:esla
M-Ejoenmopmloiso:ssemejantes:
parteliteralonstituidaporlasletrasylosexponentes. parteliteral− 3 2x3 x3; −3x4y2 x4y2 uandotienenlamismaparteliteral. 2x2 y
−3x2 G-Erjeamdop:loEs:slasumadetosdoonssleomseejxapnotnese.ntesdelasvariables. 2x3 grado3; −3x4y2 P-Eojelimnpolmo:io:esunaexpresiónalgebrai
afogrrmaaddoa6porlasumaodiferen
iadedosomásmonomios. p(x) = 2x3 − 4x2 + 3x − 2 G-Erjeamdoplod:eunpolinomio:Eselmayordelosgradosdelosmonomiosqueloforman. p(x) = 2x3 − 4x2 + 3x − 2 2.1.2. OSpuemraa:
Eionneels
a
soondepmoolnionmoimos,iosósl:otiseenesugmraadnolo3s.queseansemejantes:
axn + bxn = (a + b)xn 3x2 − 5x2 = −2x2 P-Eajreamppololisn:omiossesumanlosmonomiosqueseansemejantes. (3x4−2x3−x2+2x−3)−(3x3+4x2−5x+1) = 3x4−2x3−x2+2x−3−3x3−4x2+5x−1 =
3x4 − 5x3 − 5x2 + 7x − 4 Produ
to:Paradosmonomiossetiene:
axn · bxn = (a · b)xn+m − 2x3 · 5x4 = −10x7 m-sPEeaomjrenaemojmampnliuotoelsts:di.pelli
parrimdeorsppoolliinnoommiioosposer
uatdilaizamloanopmroipoieddealdsedgiusntrdibouptiovlain,oemsiodey
irseseremduu
letinplti
éarm
iandoas
(2x2 + 3)(x3 + 2x − 3) = 2x5 + 4x3 − 6x2 + 3x3 + 6x − 9 = 2x5 + 7x3 − 6x2 + +6x − 9 9

10. Divisiónenteradepolinomiosenunavariable:Paradosmonomiossetiene:
•
IMPORTANTE:(A + B)n6= An + Bn Identidadesnotables
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(x + 2y)2 = x2 + 4y2 + 4xy
(2x3 − 6x)2 = 4x6 + 36x2 − 24x4 = 4x6 − 24x43 + 6x2
(2a + b)(2a − 3b) = 4a2 − 9b2
Enel
•
asodepolinomiosvamosaverlo
onunejemplo:
− 4x8
4
axn/bxn = (a/b)xn−m = −
x4 3x4 3
eder
om.oen x − a, a ∈ R-Ejemplo:Dividimos ,podemosapli
2 + 3x + 2Sieldivisoresdelaforma lAospaapratirrtaddeosaq2uyív3o.lvemosapro
6x4 + 5x3 − 7x2 + 3x + 2 2x2 + 3x − 1
−6x4 + 9x3 − 3x2
−4x3 − 4x2 + 3x + 2
+4x3 + 6x2 + 2x
arlaRegladeRuni: x3 + x2 − x − 1 = 0 entrex − 1
+2x2 + x + 2
−2x2 − 3x + 1
−2x + 3
3x2 − 2x + 1
vv2n1..iiosdsDEoernqni:vudeieodlifdmpaiolvotrisadeneel.lnmmdooo,nndoomemjaiiomododesemhmuaaeyy
ooorrsggerrnaadldooosddtéeerllmddiii--- (6x
4d.eEsilgpnroi,mseer
3.Elprodu
toderoelsot
oaebsajopeolrdeivliddievnisdoor,y
4 : 2x
2) 3x
2 saemsbuimadao. −4x
2 = 3x
3
− 4x
1 1 1 1
2.1.3. FVa
El
-Ejemplo:Sivalorqueseobtieneefe
atloorrinzuam
o
ienteesiéórni
odeunpyoellinreosmtoioes:E0.lvalornuméri
−−1
1
2
1
tuandolasopera
1
,enton
iones
2
uandoledamosa 1
odeunpolinomio,0 x2 + 2x + 1 elvalor.Sedenotapor,paraesel p(x)x = a x ap(a) p(x) = 2x3 − 4x2 + 3x − 2esp(−2) = 2(−2)3 − 4(−2)2 + 3(−2) − 2 = −16 − 16 − 6 − 2 = −40 Raízdeunpolinomio:Unnúmeroa esraízdeunpolinomiop(x) sip(a) = 0delae
ua
ión .Sonlassolu
iones p(x) = 0 -Ejemplo:Dadoelpolinomiop(x) = x4 + 2x3 − 7x2 − 8x + 12,setieneque2esraíz,yaque
p(2) = 24 + 2 · 23 − 7 · 22 − 8 · 2 + 12 = 16 + 16 − 28 − 16 + 12 = 0 d-iLeanstera.í
esenterasdeunpolinomioseen
1u0entranentrelosdivisoresdeltérminoindepen-

11. Teoremadelresto:.Elvalordeunpolinomio,onelrestodedividir p(x),
Como
onse
uen
ia,siunnúmero entreesraízde. ,enton
uandoha
emos,esde
ir,,
oin
ide x = ap(a)p(x) x − aa p(x)esp(a) = 0 yportantoladivision
fFpaoa
-Ejemplo:Enelejemploanterior,hemosviesstounqudeiv2iseosrrdaeízpd(xe).portantotenemosque tiotborlierz.iazPraap
roiaólinenlolodmeuiotusil.nizaproemlinosomlosios:igeusiednetse
esexa
ta,yportantoy p(x) s
esdivisorde: (x − a) x − a somprpoo
nederimloieenntopsr:odu
p(x) = x4 + 2x3 − 7x2 − 8x + 12 x − 2 p(x) = x4 + 2x3 − 7x2 − 8x + 12todepolin.oEmstioosndoeslvmaeanoprergmraitdior 1.-SEaj
eamrpfalo
:tor
omún. x2 + 3x = x(x + 3) 2.-UEtjielimzaprlola:sidentidadesnotables. x2 − 4 = (x + 2)(x − 2) 3.-BEujse
maprlloa:sVraamí
eossdaelfap
otolirniozamrioe.lpolinomiop(x) = x3 + x2 − x − 1genraedsot,eb
uass
oasmoonsprimerolasraí
esenterasentrelosdivisoresdel.téArmluinnopinoldinepomenidoiednetet,erq
ueer 1 y
−1.
Dividimos entreesraízdelpolinomioyloha
emosapli
andoRuni.
esdivisordep(x) 13 + 12 − 1 − 1 = 0 =⇒ x = 1 . =⇒ x − 1 x3 + x2 − x − 1 x − 1 0 Portantolasotrasraí
eslasobtenemosderesolverx2 + 2x + 1 = 0
1
(raízdoble) 2.1.4. FFrPrearagar
Portanto laa
= −1 p(x) = x3 + x2 − x − 1 = (x − 1)(x + 1)2 1 1 −1 −1
1
1
2
2
1
1
x = −2 ± √4 − 4
2
= −2
2
s
oiipoqouennreeaepsrsa
aroaalnlggnefrúebambr
a
eriirao
onias
e,ssapUasalrngaaeb
vraealz
i
uaqlasureutesilleimzsaíanrbeimemofoas
ltoaomsrimúznaisrmmpúaolsltiirnpeolgomladisoeqs,duoepsoudosaemmmáoosssppaoaplrliian
oalamrsilfoarssa.
m
iiosnmeas denúmeros.
•
-aEIsjiMemmpPpllioO:
aRrTtiAenNeqTueEm:uElntipulni
aafrraa
toiódno,sótalontsoepenueedlennusmimerpaldio
ra
rofma
otoernese,ledsedneo
miri,nlaodqoure.sevaya
x4 − 1
x3 + x
=
x 11
(x2 + 1)(x + 1)(x − 1)
(x(x2 + 1)
=
(x + 1)(x − 1)
x
=
x2 − 1

12. 2.2.l-laEEmjUea
mnrueapmlaeoo
:
suiiaon
nióógennsietsasu)n.aigualdadalgebrai
aquees
iertaparaalgunosvaloresdelasletras(alasque 2x + 3 = 5,esunae
ua
iónpuessóloseveri
alaigualdadparax = 1llEPlaealgervaa
aurlroaaer
silooóalnvvs.eaorllouer
eiuósand
.eiLolnaaessinsit
geóungienemnittoaesspqrauergealailross
aa
yluu
audllaeansnsdaeoohbea
t
euenae
riioeern
teausale
aqioiugniuveaaslldeeqnautdeivsloaelnlelnautmensaa.raesmelaroiedsadsdoealp:ua
sioosnheassdtae mSuiemmabrroosredsetalTarrliaagunmaslifdsomardmaeax
piórensiónenlosdos Reglaprá
ti
a =⇒
mMiuslmtioplni
úamreorodidviisdtiirntloosddeo
sermoiembrosporel tLaonqduoeaelsotátrsoummiaenmdboroen.Yunvmi
eievmerbsraopasares- =⇒
2.2.1. E
ua
ionesdeprimergrado vuLenorsqmau.ieemesbtráompualstaipdlii
vainddieondaotoadlootlorod.eYmávsi
dee- ResLolaveinr
lóagsniigtuaieanptaeree
euae
leióvna:daauno.Veamosunejemplo:
4x + 2
15 − 5 1.Ha
emoslasmultipli
a
iones:
2.Multipli
denominadores. amoslosdosmiembrosdelae
3x − 1
2(20 −
ua
x + iónporel3)
=
5
ysimpli
4x + 2
5 15 − m.c.m.(20, 5, 15) = 60 nuImMerPadOorR.TANTE:Operarbienelsignomenosdelantedelafra
3x − 1
2x + 6
−
=
20 5
•
amoslos
9x − 3
60 −
24x + 72
60
=
16x + 8
60 − 300
ión,
ambiandoelsignoal
9x − 3 − 24x − 72 = 16x + 8 − 300 3.Pasamoslostérminosenx aunmiembroylosnúmerosaotroyoperamos.
9x − 24x − 16x = 8 − 300 + 3 + 72 =⇒ −31x = −217 4.Porúltimo,despejamosx.
2.2.2. Lassolu
LEa
inu
ionesvienendadasporlaexpresión: aóg
nioitnaeesstádeelevsaedgauanddoso.Pgarraahdaolarlassolu
ionesdebxe=m7ostenerlaenlaforma217
x = − = 7 − 31
=⇒
.
ax2+bx+c = 02a 12
x = −b ± √b2 − 4ac

13. Elnúmerodesolu
ionesdelae
ua
ióndependedelsignodeb2 − 4ac:
•
Sib2 − 4ac 0 =⇒
Lae
ua
ióntienedossolu
ionesreales
-Ejemplo:Resolverlae
Siua
ión Lae
•
b2 − 4ac = 0 =⇒
b2 − 4ac 0 =⇒
ióntieneunasolu
iónreal
•
ua
iónnotienesolu
ionesreales (x + 2)2
5 −
x2 − 9
4
=
(x + 3)2
2
+
1
5
VeamoSsiel
x2 + 4 + 4x
x2 − 9
x2 + 9 + 6x
1
4x2 + 16 + 16x
5x2 45
10x2 + 90 + 60x
−
=
+
− =
5 4
2
5
=⇒
20 −
20
20
x1 = −1
x2 = −3 +
4
20
=⇒ 4x2 + 16 + 16x − 5x2 + 45 = 10x2 + 90 + 60x + 4 =⇒ 11x2 + 44x + 33 = 0 =⇒ simpli
amospor11=⇒ x2 + 4x + 3 = 0 =⇒ x = −4 ± √16 − 12
-Ejemplo:2
a 3x2 − 75 = 0 =⇒ x2 =
= −4 ± 2
2
=


asodee
ua
ionesin
ompletas: b = 0 =⇒
nosquedaax2 + c = 0 =⇒ x2 = − c
Si=⇒ x = a
±
x1 = −5
x2 = 5 c = 0 =⇒ ax2 + bx = 0 =⇒ x(ax + b) = 0 =⇒
s
− c
-Ejemplo:75
√x = 25 =
3
=⇒ ±
a 7x2 − 5x = 0 =⇒ x(7x − 5) = 0 =⇒




7
5 2.2.3. TEie
nuena
laiofonremsabi
uadradas ax4 +bx2 +c = 0.Pararesolverlasseha
x = 0
eel
ambiox2 = z =⇒ x4 = z2nosqueda ,lae
b
.Seresuelvelae
ax + b = 0 =⇒ x = − ua
ión az2 + bz + c = 0ua
ióndesegundogradoenz.Parahalarlosvaloresdex sesustituyeenx2 = z =⇒ x = ±√z-Ejemplo:Resolverlae
ua
ión . x4 − x2 − 12 = 0.Ha
emosel
ambio . x2 = z =⇒ x4 = z2 =⇒ z2 − z − 12 = 0


x = 0
7x − 5 = 0 =⇒ x =
z1 = 4
z2 = −3 Desha
emosel
ambio:
z1 = 4 =⇒ x2 = 4 =⇒ x = ±√4 = ±2
z2 = −3 =⇒ x2 = −3 =⇒ x = ±√−3 2.2.4. SEon
ue
au
ai
oionneesseinrrlaas
qiuoenlaaliens
ógnita Eneste
1 ± √1 + 48
1 ruaaddoraadmabeonsumniemmibermobs.ro.apare
z =
=
± 7
=
sigu12..ienAEtlieessvlaaprralsaaolsr
:auízad
2
2
asonoseobtienensolu
(
ionesreales. (
x ebajounsignoderaíz.Pararesolverlasseha
enlos 13

14. -E3je.mIppMuleod:PeRnOeasRoplaTvreeAr
elNarseTo
luEua
:
ioiEónnsesobfalilgsaatso.rio
omprobartodaslassolu
iones,yaquealelevaral
uadrado √2x − 3 + √x + 7 = 4.
• Aislamosunradi
al. √2x − 3 = 4 − √x + 7
• Elevamosal
uadradoambosmiembros. √2x − 3
• Operamos. 2x − 3 = 16 + (x + 7) − 8√x + 7
• Aislamoselradi
alyoperamos. 2x − 3 − 16 − x − 7 = −8√x + 7 → x − 26 = −8√x + 7
Operamos.
2
=
4 − √x + 7
• x2 − 52x + 676 = 64(x + 7)
2
• Volvemosaelevaral
uadrado. √x − 26
2
=
−8√x + 7
2
x2 − 52x + 676 − 64x − 448 = 0
x2 − 116x + 228 = 0
• Resolvemoslae
ua
ión. x =
2.2.5. -soEluje
Portanto,√HEa
yuqau
ei
oonmepsreos
boalarnúlanlsai
116 ± 13456 − 912
=
2
miopnleos:fRalessaosl.verlae
x1 ua
= saoilnsuo
2 ión =⇒ liuóo
ngieónsn,itdpaeueleasnael
√2 · 2 − 3 + eusaler
√2 dióeelnn.ominador + 7 = 4 =⇒ unaexpresiónalgebrai
1 + 3 = 4 =⇒ 4 = 4
x2 = 114 =⇒ √2 · 114 − 3 + √114 + 7 = 4 =⇒ 15 + 11= 64 x = 2 m.c.m. 116 ± 112
2
=
(
x1 = 2
x2 = 114
• Comprobamoslassolu
iones
(
a,podemosobtener 6
+
x
x + 1
x − 2
= 6
4
5 22..33..1C.oSmiSpsirtsoetbeammmoaasssladsdeseoleue
iuounae
asi
osoinboerneslealsien
euaa
lieósnini
6(x − 2)
(x + 1)x
6x(x − 2)
+
=
x(x − 2)
x(x − 2)
x(x − 2)
6(x − 2) + x(x + 1) = 6x(x − 2) =⇒ ialyvemosqueambassonválidas. 6x − 12 + x2 + x = 6x2 − 12x
Re
ordemoslostresmétodospararesolversistemasdelaforma:
19 √361 240
19 11
5x2 − 19x + 12 = 0 =⇒ x =
± − =
± =
10
10


x1 = 3
x2 =
Mlaéottroad,oobdteensiéunsdtoitsue
uinóan:e
Suead
eiósnpe
joanuunnaains
oólagninit
aógennituanaqudeesleasredsouselev
eu.aV
ieoanmesosyusneesujesmtiptuloy:een
ax + by = c
a′x + b′y = c′
−11y = −44 =⇒ y = 4 =⇒ x = 15 − 2 · 4 = 7 =⇒ x = 4 14
3x − 5y = 1
x + 2y = 15
=⇒ x = 15 − 2y =⇒ 3(15 − 2y) − 5y = 1 =⇒ 45 − 6y − 5y = 1

15. rMeséutltoaddoosd.eiguala
ión:Sedespejalamismain
ógnitaenlasdose
ua
ionesyseigualanlos
5y + 1 = 45 − 6y =⇒ 11y = 44 =⇒ y = 4 =⇒ x = 15 − 2 · 4 = 7 =⇒ x = 4 vMAelnésgtuaom)daporaldarasedqreuesedapuuan
ra
ei
dóeene:lsaSaseiinnp
róóegpgnnairittaaan.sltaesndgaoseel


3x − 5y = 1 =⇒ x =
5y + 1
3
x + 2y = 15 =⇒ x = 15 − 2y
=⇒
muais
5y + mioone
1
soe(m
5y + 1
45 6y
= 15 3
uieltnitpeli
− 2y =⇒
aonndsoigpnoorsl
=
− 3
oosnntrúamrieorsosenquaem
3
boans-.
2.3.2u.otErSlaismsetésettomrdatoaegmsiaádss.euVteeila
3x izmuaoadso
+ 5y 4x − 2y uieonsneeljeedsmepnsluoos:tliitnu
= 76
4) 3x + 5y = 76
= 6
=⇒
−3) 4x − 2y = 6
=⇒
=⇒ y = 11 =⇒ 3x + 5 · 11 = 76 =⇒ x = 7 

12x + 20y = 304
−12x + 6y = −18
26y = 286
y =
286
26
eióanle,saunqueave
espuedenutilizarselosotrosdosmétodos
x1 = −2
x2 = 1 Parax1 = −2 setieney1 = −1 x2 = 1 y2 = 2
y − x = 1
x2 + y2 = 5
=⇒ y = 1 + x =⇒ x2 + (1 + x)2 = 5 =⇒ x2 + 1 + x2 + 2x = 5
22..44..1d.ivIinPdIainemrea
usruelaosaos
2x2 lvdiieooorsnnlameseisessemdbperroops
(
1 √1 + 8
1 3
+ 2x − 4 = 0 =⇒ x2 + x − 2 = 0 =⇒ x = −± = −± =
2
2
o
erddieemla
eodrmesogigreuanadlldaoasdep
uoar
uionnnesúmdeeroprnimegeartigvroa,déos,tasa
x1 = −2 y1 = −1
x2 = 1 y2 = lavmobqiuaedseismenutlitdiop.li
2 -Ejemplo:Resolver:
=⇒
amoso 2.4.2. Ine
ua
ionesdeprimergrado
x
−2x + 7 ≥
3
2 − -EjeVmepamlo:osRuesnoelvjeemrlpaloin:e
lasolu
ioneselintervalox
−2x + ua
7 ≥
ión − 3 =⇒ −4x on+ 14 ≥ eneldenominador x − 6 =⇒ −4x − x ≥ −6 − 14
2 20
−5x ≥ −20 =⇒ x ≤ − =⇒ x 4 − 5
≤ =⇒
(−∞, 4] x x2 − 5x + 4
x − 5 ≥ 0 15

16. eldenominador: Estudiamoselsignode,paraelovemosparaquevaloresdeseha
x2 − 5x + 4
x x − 5
e
eroelnumeradory
x2 − 5x + 4 = 0 =⇒ x =
5 ± √25 − 16
2
=
5 ± 3
2
=


5 + 3
2
=
8
2
= 4
5 − 3
2
=
2
2
= 1
x − 5 = 0 =⇒ x = 5 eRenlespigrensoensetammaonstieesntoes
voanlsotraensteen.Plaarrae
vtearreelasli,gqnuoe,dbaansdtao
éostnatdoimviadriduanepnuvnatoriodsei
natderavianltoesr.vEanlo
yadseasiuntsetirtvuayloe x2 − 5x + 4
x − 5
.
−∞ 1 4 5 +∞
− + − +
x = 0; f(0) = −4
qIMuePpaOraRTANTE:Observarqueen5hemospuestoelintervaloabierto,no
Portanto,lasolu
iónanuestraine
5
ua
iónes= 10 0 [1, 4] ∪ (5,+∞) • 0
22 5 2 + 4
x ,estaexpresión= 2; f(2) =
− · erado,elosedebea x2 − 5x + 4
x = 52 − 5
2.4.3. losvaloresde -Ejemplo:Resolverlaine
VIenaem
ousau
nieojnemepslod:esegundogradnooestádenida(eldenominadorseharía0). ua
ión.Estudiamoselsignode,paraelo
3x2+2x−1 03x2+2x−1=
4 − 10 + 4
−3
=
2
3
0
x = 4, 5; f(4, 5) =
(4, 5)2 − 5 · 4, 5 + 4
4, 5 − 5
=
20, 25 − 22, 5 + 4
−0, 5
=
1, 75
−0, 5
0
x = 6; f(6) =
62 − 5 · 6 + 4
6 donde− 5
.
al
ulamos x 3x2 + 2x − 1 = 0=
36 − 30 + 4
1
x − 5
= −1 eRenlespigrensoensetammaonstieesntoes
.
voanlsotraensteen.Plaarrae
vtearreelasli,gqnuoe,dbaansdtao
3x2 2 √4 + 12
éostnatdoimviadriduanepnuvnatoriodsei
2 4
natderavianltoesr.vEanlo
yadseasiuntsetirtvuayloe + 2x − 1 = 0 =⇒ x = −± = −± =
6
6
3x2 + 2x − 1

−2 + 4
6
=
2
6
=
1
3
−2 − 4
6
= −6
6
+ − + Portantolasolu
iónanuestraine
ua
iónes:(−∞,−1) ∪
1
3
,+∞
16
−∞ −1 1/3 +∞

17. 22..55..1.LDohEgealaylonrqgiuiat
ermieiótlenmovaordlaebuansenpúamraeorbotebn,eproeslitniúvom,eernobbadsaedoa:positivaydistintade1,eselnúmeroalque
loga b = c ⇐⇒ b = ac Ejemplos:
log3 9 = 2 ⇐⇒ 9 = 32 log2 16 = 4 ⇐⇒ 16 = 24 Lnoespelorgiaanriotmso
usymaábsasuesaesdoelsnoúnmleorsologaritmosde
imales
uyabasees10,yloslogaritmos e = 2, 71828182 . . . . . ..Sedenotan:
log10 b = log b loge b = ln b 2.5.2.1.PErlolpogiearditamdoedse1en
ualquierbasees0.
loga 1 = 0 ⇐⇒ 1 = a0 2.Ellogaritmodelabasees1.
loga a = 1 ⇐⇒ a = a1 3.Ellogaritmodelabaseelevadaaunapoten
iaeselexponente.
loga ax = x ⇐⇒ ax = ax 4.Ellogaritmodeunprodu
toesigualalasumadeloslogaritmos.
loga(x · y) = loga x + loga y 5.Ellogaritmodeun
o
ienteesigualaladiferen
iadeloslogaritmos.
= loga x − loga y 6.Epoltleong
airai.tmodeunapoten
iaesigualalexponentemultipli
adoporellogaritmodelabasedela
7.Fórmuladel
ambiodebase.
x
loga
y
loga(xy) = y · loga x logb x
logb a 2.5.3E.jeUmEnp
aluoeas
:u
1.Resolveriao
nióenseesxepxpononeenn
iiaallessilain
ógnitaapare
loga x =
eenelexponentedeunapoten
ia. 4 · 23x = 2,048
4 · 23x = 2,048 ⇒ 23x = 512 ⇒ 23x = 29 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3 17

18. 2.Resolver:3x + 3x−1 + 3x−2 = 13
3x
32 = 13 Ha
iendoel
ambio3x = z,obtenemos:
3.Resolver3x
3x + 3x−1 + 3x−2 = 13 ⇒ 3x +
+
3
z
= 13 9z + 3z + z = 13 9 z = 9 3x = 9 3x = 32 x = 2 32 ⇒ · ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 9x+1 − 28 · 3x + 3 = 0
Ha
iendoel
z
z +
ambio+
3
,obtenemos:
9x+1 − 28 · 3x + 3 = 0 ⇒ 9x · 9 − 28 · 3x + 3 = 0 ⇒ (3x)2 · 9 − 28 · 3x + 3 = 0 3x = z9z2 − 28z + 3 = 0 Seresuelveyseobtienenlassolu
ionesz1 = 3 yz2 =
1
9
Ejem-sEpoPnllourls
-Igualdaddelogaritmos:tadaporunlogaritmo. oa:ipsoRineeeed
ssauodaelvxe
sietorrdnaleeñasaslosls.soiggloaugrieíatnrmtiteims
aeos
su.haa
x=−2loga b = yioqnuees:
c ⇐⇒ b = ac logam = loga n =⇒ m = n .Desha
emosel
ambio:
z1 = 3 =⇒ 3x = 3 =⇒ x = 1
z2 =
1
9
=⇒ 3x =
1
9
2.5.4. E-EU
Dnnuaealae
n
riieuo
sianoó
lneuiós
dineólnoleogsdgeaalroreigí
ttmuamaro
í:tiiom
naie
ssalosgialraítimn
ió
agsniutatilaizpa=arree3m
−eo2sa:=fe⇒
omprobarsiemprelosresultados,puesave
es,apare
en 1.2 log x − log(x − 16) = 2
= 100 2.Resolviendoestae
5x − 13
x − 3 Resolviendoestae
ua
sustituirlaenlae
2 log x − log(x − 16) iónqueda: iónseobtienenlassolu
= 2 ⇒ log x2 − log(x − iones5y2.Lasolu
16) = 2 ⇒ log
iónnoesválida,puesal
x = 2
x2
x2 − 16
= 2 ⇒
x2
x2 − 16
ua
iónseobtienenlassolu
iones80y20. log(x + 1) = log(5x − 13) − log(x − 3)
3.
5x 13
log(x + 1) = log
− x − 3
log 3 = log(−3) − log(−1) log 2 + log(11 − x2)
⇒ x + 1 =
Seresuelvelae
ua
iónúltimayseobtienenlassolu
iones3y,ambasválidas.
= 2
log(5 − x)
log 2 + log(11 − x2) = 2 log(5 − x) ⇒ log(2(18 11 − x2)) = log(5 − x)2 ⇒ 2(11 − x2) = (5 − x)2 1/3

19. TGeemoam3etría 33..11..1.TPMrairgaedomineddoairmduneeátánrngíugaloulsoueslenusarsetressistemas: Sexagesimal:elgradosexagesimalseobtienedividiendoen360 ungradosexagesimalsedivideen partesigualesunángulo
ompleto; 60 minutosyunminutoen60 segundos(1◦ = 60′ y1′ = 60′′Centesimal:Elgrado
entesimalseobtienedividiendoelángulo
ompletoen ). 400 grado
entesimalsedivideen partesiguales;un 100 minutosyunminutoen100 segundos(1◦ = 100′ y1′ = 100′′Radianes:Eselánguloqueinter
eptasobrela
ir
unferen
iaunar
odelongitudigualalradio.).
obtienela
oresponden
iaentregradosyradianes. r
ymediantereglasdetressimplese
= 2 r
Un radian
r
l
lr
Medida en radianes: Segúnloanterior,unángulode360◦ mideenradianes2r
rad. 3.1.2. AÁpnagrtuirlodseaohroirean
toandsidoesraremossiempreunsistemasdeejesde
oordenadasperpendi
ulares,OX yOY ,ytodoslosánguloslosituaremosdemodoqueunodesuslados
positivo.
r
360◦ ≡ 2 rad., 180◦ ≡ rad., 90◦ ≡
2
oin
idan
onelsemiejeOX Y
origen de ángulos
O X
X
1111 19

20. Cualquiersemire
ta sentido
ontrarioala
soanguojraigsednel=reOlojdleosn
iroánsdidoesráanregmulooss:pos1ityivos2.
oLmosoáensgulosobtenidosgirandoenel 1.Losángulos
omo2 3.1.3s.eobÁtinengeunlgoirsanmdoayenorelessendtiedoalasagujasdelrelojseránlosnegativos. que 2 Aunqueunángulo
ompletomideradianes 360◦ o2 Sseep
ounedsiedeerxaprqeusear
udaelqlauifeorrnmúamerorealrepresenrtaadliaamneesd,ipdoaddeemuons
áonngsuildoerteanriáenngduoloesnd
euemnatayoqruaemsipelmitupdre. + k · 2,donde esunángulo
omprendidoentre0 y2Ejemplo:Elángulo . 2,835◦ = 315◦ + 360◦ · 7,esde
3.1.4. girardespués Razonestriqguoenpoermteénet
rei
aalsIV
ir,eselresultadodedarvueltas
ompletasy 7 315◦ uadrante. Consideremosla
ir
unferen
iaderadior yunánguloir
unferen
iaenunpunto .Elsegundoladodelángulo
ortaráala P = (x, y).
y Vánagmuolos
audaelquniierralalsorhaazroenmesostruigsaonndomoélatsri
aosorpdaernaadáansgudleolspaugnutdoosenuntriángulore
P(x,y)
Razóntrsigenonoométri
tánguloyparaun Pa Enuntriángulore
x
tángul.o Ángulo
ualquiera sen =
tangente cateto opuesto
y
sen =
hipotenusa
r
x
r tg =
oseno cos =
se
ante cateto contiguo
cos =
hipotenusa
cateto opuesto
y
tg =
cateto contiguo
r
x
y sec =
otangente cotg =
cateto contiguo
cateto opuesto
r
y dLeasraradzioonestrigonométri
asnodependendelradiodela
ir
unferen
ia.Podemostomaruna
cotg =
.Tampo
hipotenusa
r
sec =
cateto contiguo
x
ir
unferen
ia 1ose
ante cosec =
hipotenusa
cateto opuesto
cosec =
odependedeltriángulore
táng2u0loquesetome.

21. 3.1.5. ESlisgignnooddeelalsarsazroanzeosntreigsontormigétorni
oasmdéepternid
eansdelsignodelaab
isa”x” signodelaordenada (signodel
oseno)ydel ”y” (sigIn
ouadderlasnetneo).I
uadrante I
uadrante IV
uadrante
0 /2 /2 3/2 3/2 2 seno + + − −
oseno + − − + tangente + − + −
otangente + − + − se
ante + − − +
ose
ante + + − − 3.1.6.1.Rela
ionesentrelasrazonestrigonométri
as sen2 +cos2 = 1.Deestarela
2. quesea . iónsededu
eque:
y
par
ualquiera −1 ≤ sen ≤ 1 −1 ≤ cos ≤ 1 tg =
4. sen
cos
= cosec 1
y 1
tg
= cotg y
omo
onse
uen
iacotg =
cos
sen 3. 1
3.1.7. 5.ordeLnaasdraasz.onestrigonométri
6.sen
Razonestrigonométri
= sec cos
1 + tg2 = sec2 asdelosángulos:,,,y1 + cotg2 = cosec2 0◦90◦180◦270◦ 360◦asdeestosángulosseobtieneinmediatamente,observando.susab
isasy
otangente tangente oseno seno se
ante noestádenida
3
0◦ ≡ 0 rad. noestádenida
noestádenida 90◦ ≡
rad. noestádenida 180◦ ≡ rad. noestádenida 270◦ ≡
rad. 2
2
0 1 0 −1
1 0 −1 0 0 0 0 0 1 −1 ose
ante noestádenida noestádenida 1 noestádenida
−1 21

22. 3.1.8. Razonestrigonométri
asdelosángulos:30◦,60◦ y45◦.
rad. seno 1
tangente
30◦ ≡
rad. 60◦ ≡
rad. 45◦ 6
3
≡
4
√2
√2 3
se
ante 2
1 2√3
√3
2
√2
2
oseno √3
2
1
2
3.2. RDaoszáonnguelosstseridgi
oenn
oommpéletmrein
taarisosd
3
ueanádonsguumlaons
√3 1
otangente √3
omplem√e2ntarios 90◦ o
√3
3
rad.Siunángulomide mentarioserá su
o2 √2
3
omple-
90◦ − ose
ante 2
2√3
3
2
2 − .
Se
umplenlassiguientesrela
iones:
x'
y'
y
x
x=y'
y=x' sen(90◦ − ) = cos cos(90◦ − ) = sen tg(90◦ − ) = cotg Ejemplo:sen 30◦ = cos 60◦ ycos 30◦ = sen 60◦ 3.3. RSeedpuued
e
nidóanrloaslsigpurieinmtese
raso
su:adrante
eSsitáenelsegundo
uadrante 90◦ 180◦ enton
eselángulo180◦− pertene
ealprimer
uadrante.Losángulosquesuman
180◦
omoson y180◦ − selamansuplementarios.
y' x' 22
y x
x=-x'
y=y'

23. Severi
aenton
es:
sen = sen(180◦ − ) cos = −cos(180◦ − ) tg 3.3.1. Siestáenelter
er
uadrante = −tg(180◦ − ) 180◦ 270◦ enton
eselángulo − 180◦ pertene
ealprimer
uadrante.
Sededu
eque:
y
x'
x
y'
x=-x'
y=-y' sen = −sen( − 180◦) cos = −cos( − 180◦) tg = tg( − 180◦) 3.3.2. Siestáenel
uarto
uadrante 270◦ 360◦ enton
eselángulo360◦ − pertene
ealprimer
uadrante.
Severi
aenton
es:
x
x'
x=x'
y=-y' y
y'
sen = −sen(360◦ − ) cos = cos(360◦ − ) tg = −tg(360◦ − ) 3.4. RSeaazonestrigonométri
unángulo
ualquierapositivoy
asdeunángulonegativo − el
orespondientenegativo.
x
x'
y
y'
x=x'
y=-y' Severi
aenton
es:
sen = −sen(−) cos = cos(−) tg = −tg(−) 23

24. 3.5.haRlRaeresslooolsvlteurreu
sniáóntrgniuálnodgsu:elotrer
itáánngguluoelsohsalrlaer
totdáonssgusuelloemsentosdes
ono
idos.Enuntriángulohayque A,B yC ylostreslados:a,b yc.
c PararLeasoplvreorpiuendatdriáqnugeuliondrie
atáqnugeulloasseumpuaeddeenloustiltirzeasr:ángulosdeuntriánguloes180◦triángulosre
tángulos,sielángulo .Enel
asode A esre
PararLEeaslostledvoeerrenumin
aitodrnieáensPgidtueálgolaorsrea
rsta.áznognueslothriagyonqoumeé
C b
A
torni
to,a
B
qdueleá
nognuol
oerreu
ntoo,dteeneilelonsdoeqeuniv
auleenata
oqnuoe
eerstloossddooss.elementosnopuedenserlosdosángulosagudos,ya
oa
se.runmínimod.edoselementosdeltriángulo,además B + C = 90◦24

25. TFeumna
i4ones 4.1. COobEEnsller
pvoreaenp
sliouotsmodsoiegdduueineeagnatlfesluaosmleninjaea
dmaidópetlenoulsen.:fó
Tnoi
eharemedsetipáneenondleofudgneí
saiuóndudrea
laióvne.lo
idaddelmismo. dlEleanmlAataodoLdlaataorssyafdull(ooeaesrslzdvpaeuajrre
reamoi
a
nibipoóqllneodusseedqealsuaneleatlaelratmrermilaoiaseram
endisoaadn)hod,aasedmypmeoeuatsnnasdlalaaesmsrdealdlelnaaeeml
parieaaódnrnquedumreeaeno
dtlsiroeó:esnlav)d.aodlsoisrtmeasangd
iTnedneLUdparneeanmrdefouliaesnn
Variabledependienteo Variableindependienteonieaiutdunedaesvusasorriaevsbaplreei
datebivploeesns(d
eeelnntprdroees
liodosedvmaealousranesas. iiunnngdaeeLnpgaieersnarfdínuain,e
obteniendolosvaloresde grá
aounaexpresiónanalíti
eaittone
pi
tóeoinórlnetqa
nt.)
iedosyamqddoueedllaeamdváseiisdtpunae.aon
uenosetruorsneeqsapueroeset:nlaadb
elieóu
nneeúnenntrtier
:eodsoulvassasmlvodaarolgodsnreeimtsluaaddgevenpasiretoinuavddbaeelrensiadpdbeuelpeelesdon,esddveiveaemnlnotiorered.soddaqdeuae:eslaquesejapreviamente. laamv
eaadrdiiaaabnvlteaelaounrntdaeeritloaarb.vlaar,iaubnlae n
sdoioivteniandnetisaeandtaioen.mtUelaartnseilsiv
aenlaque,atravésdeunafórmula,dándolevaloresalavariablexyazairaelrnoeenr
meiaMsosnsauetpexmumpeéesárritli
iamo
asse,isngptsuauoilneeenssatt(oqeufqníesuolietl
aaaes
,sietóqnenutlípaimpasoir
auade,aexlbefpusiro,nelt
soaiagonríntauoe,nsleaad
efovusan
vamos nror
imiaibóbíenalne:,
x yx −→ y = f(x) Leremos:sealafun
iónf denidaenA ⊂ R(
onjuntooriginal)yquetomavaloresenRa
ada (
le
orespondeunúni
o;designael
onjuntonal); f : A ⊂ R −→ R
x ∈ A y ∈ Rf riterioquenospermite
al
ularelvalorde
y(imagendex),
ono
idoxEjemplo:Seaflafun
i(óonridgeinanli)d.a:
x −→ y = 2x Sees
ribetambiénf(x) = 2x.Estaeslafun
iónquea
adavalordex leha
f : R −→ R
emos
orespondersudoble.
•
Podemosformarunatabla
onalgunosvalor-x01e1sde-y022lafun
ión: 23 46
•
enLealspfulann
oio.nLeastgarmáb
iéanlalasfoprmodaermánostoredporsesleonstparungtroás
daemlepnlatenomdedeialantfeorumnasistemadeejes
fun
iónanteriorsería: .Lagrá
oordenados 25 adela
(x, f(x))

26. 3
2
4.2. DSeomlaminaidoomyinrioe
doerdreidnoi
1
devaloresde ióndeunafun
iónfysedesignaporo,al
D(f) Dom(f)onjunto x paralosqueexistelafun
onjuntooriginal. -2 ión,esde
-1 1 2
-1
ir,paralosqueexiste.Esunsub
f(x)onjuntodel
Dom(f) = {x ∈ R/∃y = f(x)} 1E.jCemal
pulloasr:eldominiodelafun
iónf(x) =
Eneste
aso,al
al
ular . f(x) denominadorsea0,esde
ir,
unaonsdeon
ontramos
onun
o
iente,quenoestarádenido
uandoel x − 3 = 0 =⇒ x = 3.Paraelvalorx = 3 noexistef(x) tantonoestaráeneldominiodelafun
ión. ypor
Dom(f) = R/{3} 2.SEeladominiodelafun
iónestáformadoportodoslosnúmerosreales,ex
eptoel3. f(x) = 3x − 1,parax ∈ [2, 5]dominio.Portanto: .Eneste
asoesladeni
ióndelafun
iónlaquerestringeel
2
x − 3
Dom(f) = [2, 5] 3.Cal
ulareldominiodef(x) = √x + 1 parax ∈ [−∞, 5)realsielradi
andoespositivo,portantopertene
eránal.dEonmeisntieo
loassov,aulonraesradíez
uadradasóloes paralos
uales
x x + 1 ≥ 0 =⇒ x ≥ −1,
omoademásx ∈ [−∞, 5),tendremosque:
Dom(f) = [−1, 5) Selamare
oridoalsub
onjuntodeR sub
onjuntodel
onjuntonal. formadoporlasimágenesdelosvaloresdeldominio.Esun
Rec(f) = {y ∈ R/∃x ∈ Dom(f)conf(x) = y} Gderáor
daemnaednat,e
eolmdoommiuneiostdraeelalsfiugnu
ieiónnteseejemmirpaloe:nelejedeabs
isayelre
oridodelafun
ióneneleje
2
26
1
-2 -1 1 2

27. Dom(f) 44..33..1.A1C.FlaEguraxnu
p
tnreieroosíisnóstnie
tsaalsigppeboorlasiin
daó:meif
uans
iones= R Rec(f) = dondelos
[0, 1] f(x) = a0+a1x+a2x2+. . . . . .+anxn oe
ientesa0, a1, a2, . . . . . . , an 2.sonnúmerosreales. Dom(f) = R Ejemplos:f(x) = 2x3 − 4x + 5 f(x) = x4 − 2 f(x) = x2 + 3x HaFCyuatrnrae
sitoetnripíesotssi
daoesnfsutna
niotneess(ppoolilninóómmi
ia
sa
sudyaergerpardesoen
tear
oió)nesinmediataqueson: 1.Expresiónalgebrai
a:f(x) = k, k ∈ R2.Surepresenta
ióngrá
aesunare
ta.paralelaalejeOX Ejemplo: (ejedeab
isas). f(x) = 2
4
3
CFua1rn.a
Eitoxenrpíersetssi
ilóainnseaalgleesbr(api
oal:inómi
asdeprimergrado) 2
1
Ej2e.mSpulore:presenta
,yf(x) = ax + ba b ∈ Rióngrá
aesunare
taobli
ua.. f(x) = x + 1 27
-3 -2 -1 1 2 3

28. 3
2
1
-2 -1 1 2
-1
Ejemplo: iaariba. a 0FCua1rn.a
Eitoxenpríersetssi
i
óaunsaadlgráebtir
aai
sa:(polinómi
asdesegundogradogrado) f(x) = ax2 + bx + c,ab yc ∈ R32..ESulvréerptrie
seednteal
aiópnargárbáo
laaseesauln
aanpzaarpábaroala. . x = − b
2a 4.Sia 05.Si ,lasramasdelaparábolaseextiendenha
iaabajo. f(x) = x2 − 5x + 6
1 2 3 4 5
6
5
4
3
2
1
4.3.2v.ariLaFabuslenfu
ni
oionneessdaetnridoazsoastrozosposenunaexpresiónalgebrai
adistintaparadiferentesvaloresdela xEjemplo:.Sealafun
ióndenidapor:
f(x) =


2 six ≤ 1
x + 1 1 x ≤ 3
−x six 3
uyarepresenta
iónes: 28

29. 4
2
-2 -1 1 2 3 4 5
-2
siesnegativo.Sedesignapor Elvalorabsolutodeunnúmero-4
,eselpropionúmerosiesmayoroigualque
xCFuomn
oió
nasovaplaorrti
aublsaorlduetounafun
iónatrozos,vamosaverlafun
iónvalorabsoluto.
•
ero,ysuopuesto
|x|
Lafun
iónsedene
omo: .
f(x) =
−x six 0
x x ≥ 0
3
2
4.3.3.1C.FaLuraan
e
txeirpoírsnetsie
iósansraan
ailoítin
aalveiesnedadaporel
1
o
ientededospolinomios
-3 -2 -1 1 2 3
23..EdLealnsdodommelinitnaiipdooolro(fdoirvmidainrptoodro
p(x)
f(x) =
q(x) serloosnnoúemsteárodserenaildeos)s.alvolosqueanulanal f(x) =
k
x
Ejemtpelroa:.Representemoslasfeunl
aimónandepropor
ionalidadinversaysugrá
aunahipérbolaequilá- f(x) =
1
x 29

30. y
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
4.3.4.1C.FaAurapn
treiero
ísenteie
nsassruaedxpi
reaslieónsalgebrai
-1
-2
Eje2m.nApúllomd:eeRtreoerspmrreienasaelenrstee
a
lmudaoonsmdlioaniefoul,nrh
aaidóyin
alavariableindependientex -3
.Sudominioes:esbdaejoínudni
seigpnaorrsaódloi
pael.rtene
enalos f(x) = √xDom(f) = [0,+∞)
qaunedoteenserpoesnit
iuvoenota
-4
eqruoe.lasraí
2 4 6 8
y
4
3
2
1
-1
4.4.moOdDope:eunraam
iaonenraensat
uoranlsefudenn
eiolanseumsa,resta,multipli
a
iónydivisióndefun
ionesdelsiguiente
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x);Dom(f ± g) = Dom(f) ∩ Dom(g)
(f · g)(x) = f(x) · g(x);Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g)
(f/g)(x) = f(x)/g(x);Dom(f/g) = Dom(f) ∩ Dom(g) − {x ∈ R/g(x) = 0} Ejemplo:Seaf(x) =
1
x − 1
yg(x) = √x tenemos:30

31. En
1
(f uantoalosdominiostenemos:
+ g)(x) =
+ √x
x − 1
1
√x
(f · g)(x) =
· √x =
x − 1 x − 1
√x(x − 1) 4.5. Composi
(f/g)(x) =
ióndefun
iones
Dom(f + g) = Dom(f · g) = [0, 1) ∪ (1,+∞) yDom(f/g) = (0, 1) ∪ (1,+∞) 1
x − 1
: √x =
1
ión fun
iónquetransforma
Dom(f) = R − {1}, Dom(g) = [0,+∞) =⇒
•
Dadasdosfun
iones,f yg,selamafun
ompuestadef yg,ysedesignaporg ◦ f,ala x eng(f(x)):
f g
x −→ f(x) −→ g(f(x)
4.6. •
FuSne
lilaómnafiunnv
ieórnsainversade(f ◦ g)(x) = f(g(x)) aotrafun
= f(√x) = (√x)2 − 25√x = x − 25√x f Engeneralf ◦ g esdistintadeg ◦ f Ejemplo:Cal
ularlafun
ión
ompuestadef(x) = x2 − 25x y
g(x) = √x.Cal
ulartambiéng
ompuesta
onf.
iónquesedesignaporf−1 ondi
ión: Si que
umplelasiguiente f(a) = b,enton
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2 − 25x) =
p
x2 − 25x
esf−1(b) = a Paraqueunafun
ióntengainversahadeserinye
tiva,esde
ir,
adavalordey aunúni
ovalorde hade
oresponder xLasgrá
asdedosfu.n
ionesinversassonsimétri
asrespe
toalare
tay = xSeveri
aque . f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = id siendoid lafun
iónidentidadid(x) = x. Parahalarlainversadelafun
ióny = f(x),seinter
ambialax porlay,x = f(y) ysedespejala
y Ejempleon:lCaaúl
ltuilmaraleaxfpurne
siióónn.inversadef(x) =
Sustituimos porydespejamos:
y
omprobarque. x + 2
f f−1 = id2x + 1
◦ x y x =
2 − x
2x − 1 31
y + 2
2y + 1 ⇒ x(2y + 1) = y + 2 ⇒ 2xy + x = y + 2 ⇒
2xy − y = 2 − x ⇒ y(2x − 1) = 2 − x ⇒ y =

32. 4.7.CaFr1a.u
Etnexr
písirtoeis
niaósnesalgeebxrpai
oan:en
iales f(x) = ax, a 0, a6= 1 2.Dom(f) = R 3.Re
orido:R+ 4.Elpunto(0, 1) 5.Es
re
ientesipertene
esiemprealagrá
a. a 1 yesde
re
ienteparaa 16.Es
ontinuaen . REjemplo1: . f(x) = 2x
4
3
2
1
-2 -1 1 2 3
Ejemplo2P:Sfragrepla
ements f(x) =
1
2
x
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
PSfragrepla
ements
y = 1/2x
32

33. 4.8. F1C.uaEnrax
ptireoersínisótnei
saaslgleobgraai
ra:ítmi
as f(x) = loga x, a 0, a6= 1 2.Dom(f) = R+ 3.Re
orido:R 4.Elpunto(1, 0) 5.Es
re
ientesipertene
esiemprealagrá
a. a 1 yesde
re
ienteparaa 16.Es
ontinuaen . R+Ejemplo1: . f(x) = log2 x
y = log2 x
2 4 6 8 10
4
3
PSfragrepla
ements
2
1
-1
-2
-3
-4
Ejemplo2:f(x) = log1/2 x
y = log1/2 x
2 4 6 8 10
4
3
PSfragrepla
ements
2
1
-1
-2
-3
-4
33

34. 34

35. AEpjeérn
dii
ieoAs 1.Ea)s
ribegrá
amentey
omointervalolassiguientesdesigualdades:
−2x ≤ 7, 5 b)
−∞ x ≤ −3
)
|x| 1, 3 d)
−3 x +∞ e)
−x ≥ −3 f)
−∞ x +∞
g)2, 5 ≤ x 2, 6 h)x ≤ 2 2.aSi)mpli
a: 44 · 8−1/3 · 162
1
2
3
· 86
b) 72 · 5−1
32
= 5−2 · 3−1
7
=
)
3
2
5
·
2
3
4
3
2
3
:
2
3
2
d)(a2b)3 · (b2a)−3
(a2b2)2 e)3−2 · 43 · 4−2
9−2 · 2−2 · 3−3
5.Ea)fe
g)√2 √3
√− 2 + √3 f)
1
5 − 2
−2 (−3)2 · 50 · 5−2
− 3−4
g)1−8 − 2−2 + 8
22 + 2−2 3.Ea)xpresaelresultado
omounaúni
araíz: √3 4 · √4 8 · √8 = b)√3 6 · √4 9
√6 8
=
)√4 8 · √3 9 p√18
= 4.Ra)a
ionalizaysimpli
b) a: 5
p− 9 √5 − 5
√3
) √3 2
√3 24
d)4
√6
e) 3
√3 34
f) 4
6.Ca)al
23/5
√3 24 = túaysimpli
a: 4√27 − 5√12 + √3 = b)1
7.Sabiendoquea) ys
√√2
8 − 4 .Cal
4 + 10
=
2
25
1
√32 log 2 = 0, 3010 log 3 = 0, 3010)2 √3 81 +
1
3
√3 3 −
2
5
ula,utilizandoladeni
ióndelogaritmo,lasexpresiones: log5
8.aSi)mpli
1
√5
0, 062 · 5−2 b)log4 √64
)log3 √27 d)log2 8 + log3 27 + log5 125 e)log2 16 − log2
1
4 − log2
b)ula: s
log √4 8 log
0, 04−3 · 18
6, 4
)log(0, 3 · √0, 5) d)log
s
1
a: x2 + 2xy + y2
x2 − y2
b)x2 − 4x + 4
2x − 4
)x2 − 1
x4 − 1
d) x4 − 24
(x + 2)2(x − 2)2 35

36. 9.aE)fe
túalassiguientesopera
iones: x
x − 2
10.aR)esuelvelassiguientese
x
x
+
+
x − 1
= )x2 − 3x + 2
f)d)g)e)h)x4 − 10x2 + 9 = 0 x3 − x2 − 4 = 0 x6 + 7x3 − 8 = 0 √x2 − 1 + 1 = x √x + 5 + √2x + 8 = 7 x − √x =
= b)1 + x
1 − x
+
x − 1
1 + x
+
x2
1 − x2 =
)
a
b −
b
a
·
a
b
+
b
a
·
ab
a2 + b2
= d) 3x + 3
12 − 12x
:
(x + 1)2
x2 − 1
ua
iones: 5(x − 4)
x
√x 11.aR)esuelvelassiguientese
4 −
e)g)f))d)12.aR)esuelvelassiguientese
−4x−2
h)16x−2 = (0, 5)3x+1 2x = 3 3x+2 + 3x+1 + 3x + 3x−1 = 120 2x+1 − 3 · 2x−1 = 4 52x+1 − 24 · 5x+1 = 125 9x − 2 · 3 = −5
x
3 −
7
5
=
3x
5 − x − 5 b)3 − x
1 − x2 −
1
1 − x
=
2 + x
x + 1
ua
ionesexponen
iales: 5x = 125 b)3x−1 =
ua
ioneslogarítmi
b)
1
3
as: log2 8 = x logx 3 =
)4 log2(x2 + 1) = log2 81 d)2 log2(x − 1) = 3 + log2 x e)log(5x − 4) − log 2 =
2 f)4 log5(x + 2) = 3 + log5(x + 2) g)log 2 + log(11 − x2)
= 2 13.aR)esuelvelossiguientessistemasdee
ua
iones: 

1
2
log(x + 4)
d)log(5 − x)
x
2 − y = 3
11
2x − 4y = 12
4
b)

x =
2
3
y
2y = 3x − 5
)

3x + y
2 −
x − 2y
3
=
7
6
2x + y
3 −
y − 3x
j)4
4x − 4−1 · y = 40
=
2x + y = 3
x2 + y2 = 2
e)
y + 3 = x2 − 2x
x + 1 = y
f)
x − 1 = 2y √x + y = 2 + √x − y g)
2x + 5y = 9
2x+2 − 5y+1 = −9
h)
2x + 2y = 24
2x+y = 128
i)

2x =
433
4y
g)3 log x − log y = 1
log x + 2 log y = 5
1 3x −
k)
i)
| − 5x + 1| ≤ 2 36
log x − log y = 1
x2 − y2 = 4
l)

log(x + y) − log(x − y) = log 5
2x
2y = 2 14.aR)esuelvelassiguientesine
ua
iones: x2 − 6x + 8 0 b)(2x − 3)2 1
)x2 − 8x + 1 ≥ x − 19 d)3x − 6
x + 1
0 e)x − 3
x + 5 ≥ 4 f)2x + 3
x − 1
2x − 5
6
3 −
3 − 6x
4
h)x − 4
4
+ 1 ≤
4 + x
8

37. 15.aH)alasin
al
uladora: sen(−135◦) b)cos 120◦
)tg(−60◦) d)sen 3630◦ e)sen 210◦ 16.Sicos x = −1/2 ytg x 0,
al
ulasen x17.Si . tg x = −2 yx estáenelsegundo
uadrante,
al
ulacos x18.aR)esuelvelassiguientese
ua
iones: . cos x =
)tg x = 1 d)tg x = −√ 19. a)Demuestra: cos x
1 + sen x
cos x b)Simpli
alaexpresión: sen x
1 + cos x
sen x 20.aR)epresentagrá
1
2
amentelassiguientesre
b)tasyparábolas: y = 3x y = −7
b)sen x = 0
x + 2 d)y = x2 − 4x + 7 e)y = −x2 + 5 21.Halalae
ua
ióndelare
taquepasaporlospuntosP(1, 7) yQ(−2, 4)22.aH)alaeldominiodelassiguientesfun
=
1 − sen x
b)iones: +
1 + cos x
. f(x) = x2 − 3x + 4 f(x) =
)y =
1
2
x2 − 4
x3 − 9x
)f(x) = √x2 − 3x + 2 d)f(x) =
s
x2 − 1
x + 2
37