Vectores(colegio)

VECTORES

Por: Marcos Guerrero.

Ing. Marcos Guerrero 1

CANTIDADES FÍSICAS.
¿Qué es una cantidad Física?

Es aquella que está definida por un número que la mide y una
unidad de medición.

¿Cuántos tipos de cantidades Físicas
existen?
Cantidad escalares (o escalares)

Existen dos tipos de
cantidades físicas
Cantidades vectoriales ( o vectores)


CANTIDADES ESCALARES.
¿Qué es una cantidad escalar?:

Es una cantidad física que posee un número que las mide y una unidad de medición.

número + unidad

mide medición
Ejemplos:

La masa 20 kg
La distancia 45 m
El volumen 15 m3
El tiempo 2 s
La rapidez 30 m.s-1


CANTIDADES VECTORIALES.
¿Qué es una cantidad vectorial?:
Es una cantidad física que a más de tener un número que las mide y una
unidad de medición, posee dirección.

número + unidad + dirección

Ejemplos: magnitud o módulo o norma

El desplazamiento 6m, en el eje x (+)
La velocidad 25m.s-1, Sur
La aceleración 5m.s-2, 180°
Fuerza 6,0N, Noreste
Campo eléctrico 200 N.C-1, 45.0° SE


PREGUNTAS CONCEPTUALES.

¿Cuál es la diferencia entre una cantidad
escalar y una cantidad vectorial?:


Indique, ¿cuál de las siguientes alternativas no es una
cantidad vectorial?

A. Velocidad
B. Desplazamiento
C. Posición
D. Rapidez
E. Pienso que existen más de uno que no son cantidades
vectoriales.


Indique, ¿cuál de las siguientes alternatrivas es una cantidad
vectorial?

A. Masa
B. Temperatura
C. Aceleración
D. Tiempo
E. Pienso que mas de uno es una cantidad vectorial


¿Cuáles de los siguientes alternativas tiene solo cantidades
vectoriales?
A. Fuerza, volumen, altura, velocidad, edad.
B. Densidad, aceleración, crecimiento de una persona.
C. Temperatura, luz, campo eléctrico, sonido.
D. Las manecillas del reloj, área, distancia recorrida.
E. Al menos una de las alternativas anteriores contiene por lo
menos una cantidad vectorial.


REPRESENTACIÓN GRÁFICA
DE UN VECTOR
Magnitud o módulo o norma
(tamaño del vector según la cantidad física)

• Flecha
Dirección

• Ángulo


Línea de referencia( se la utiliza para
Punto de aplicación medir un ángulo)
(donde nace el vector)


Adicionalmente, todo vector posee una línea imaginaria llamada
línea de acción.

¿Qué está permitido hacer con el vector con respecto a la línea
de acción?


RESPUESTA:

Todo vector se lo puede mover sobre la línea de acción o paralela a la línea de
acción y no se altera su magnitud y dirección


SIMBOLOGÍA.
Vector. Otra nomenclatura de vector
  B

a A 
AB

Magnitud, módulo o norma. A

 
a A La magnitud de un vector es
SIEMPRE MAYOR O IGUAL A
a A CERO NUNCA NEGATIVA.

Existen 3 maneras de representar un vector:

Representación de un vector en coordenadas polares
 
F  5N  30O o b  20m  60o
Representación de un vector en coordenadas rectangulares (también llamado
coordenadas cartesianas)
(3m,5m)
Representación de un vector en coordenadas cardinales

5m40o NE


Explique ¿cómo se determina por lo general la dirección
de un vector cuando se trabaja en coordenadas polares?

El eje x(+) es la línea de referencia.
El ángulo se lo puede leer a favor del
movimiento de las manecillas del
reloj (ángulo negativo) y en contra
del movimiento de las manecillas del
reloj (ángulo positivo).


ORIENTACIÓN VECTORIAL EN
2 DIMENSIONES.


Plano de orientación vectorial.

N
NO=O del N NE=E del N

N del O N del E
O E
S del O S del E

SO=O del S SE=E del S

S


Explique ¿cómo se determina la dirección de un vector
cuando se trabaja con coordenadas cardinales?

La línea de referencia se la puede
tomar ya sea con respecto al eje
vertical o con respecto al eje
horizontal


USANDO ESCALAS PARA
DIBUJAR UN VECTOR.

Para dibujar un vector necesita una regla y un graduador.


MULTIPLICACIÓN DE UN
ESCALAR POR UN VECTOR.
Vector = escalar x vector 
  a
b  ka
Primero suponemos que k es un número sin unidades para poder comparar
los vectores
 y
 .
b a
Con respecto a k puede haber 7 casos:
k  1 k 0 k 1
k  1  1  k  0 0  k  1 k 1
k
-1 0 1

CASO 1: k  1
 
Si tomamos k=-2, entonces b  2a .


a 
b

Conclusión:
 
b a
 
Los vectores a y b tienen direcciones opuestas (contrarias).


CASO 2:  k  1

Si tomamos k=-1, entonces b  a .

 
a b

Conclusión:
 
b a
 
Los vectores a y b tienen direcciones opuestas.

Vector negativo.
Un vector es negativo si tiene la misma magnitud y
dirección a opuesta a otro vector.

CASO 3: 1  k  0
1 ; entonces  1
Si tomamos k   b  a.
2 2


a 
b

Conclusión:
 
b a
 
Los vectores a y b tienen direcciones opuestas.


CASO 4: k  0
 
Si tomamos k=0, entonces b 0 .


a 
b
Conclusión:
 
b a

Vector cero o vector nulo.
Un vector que tiene una magnitud de cero e infinita direcciones.
Se lo representa con un punto, en donde se encuentra su punto de
aplicación y la flecha.


CASO 5: 0  k  1
1 ; entonces  1
Si tomamos k  b a .
2 2


a 
b

Conclusión:
 
b a 

Los vectores a y b tienen la misma dirección.


CASO 6: k  1
 
Si tomamos k  1 ; entonces b a .

 
a b

Conclusión:
 
b a
 
Vectores iguales.

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la
misma dirección.


CASO 7: k  1
 
Si tomamos k  2 ; entonces b  2a .


a 
b

Conclusión:
 
b a
 

Animación


CONCLUSIÓN.
 
Cuando el escalar es negativo los vectores ay b  
tienen direcciones
opuestas. En cambio, cuando el escalar es positivo los vectores a y b
tienen la misma dirección

¿Qué ocurre si el escalar k tiene 
 unidades, se podrá comparar las
magnitudes de los vectores a y b ?
No se pueden comparar porque ambos vectores son diferentes cantidades
físicas.
  Ambos vectores tienen la
Ejemplo:
W  mg misma dirección pero
representan cantidades
físicas diferentes.

Peso (N) Masa (kg) Aceleración de la gravedad (m/s2)

OPERACIONES ENTRE
VECTORES.

Suma y resta entre vectores:
los vectores deben ser de la
misma cantidad física.

Producto punto o producto escalar:
escalar  vector  vector
Multiplicación: los
vectores pueden ser
de igual o de
diferentes cantidades
físicas. Producto cruz o producto vectorial:
vector  vector  vector


SUMA Y RESTA ENTRE
VECTORES


MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN
DE PROBLEMAS EN LOS QUE SE
INVOLUCRA LA SUMA Y RESTA
ENTRE VECTORES.

Método del paralelogramo.

Métodos gráficos Método del triángulo.

Método del polígono cerrado.

Método del paralelogramo.

Pitágoras y funciones trigonométricas básicas.
Métodos analíticos
Ley seno y ley del coseno.

Método de las componentes. 32
Ing. Marcos Guerrero

MÉTODOS GRÁFICOS.


MÉTODO DEL
PARALELOGRAMO.
Se lo utiliza cuando se tiene suma o resta entre 2 vectores.

El método para suma de 2 vectores consiste en:

•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.

•Trazar paralelas a los 2 vectores formando un paralelogramo.

•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la
unión de los 2 vectores y termina en la intersección de las 2
paralelas .


 
Ejercicio 1: Sean los vectores A y Bque se muestran a continuación
en la siguiente gráfica. Dibujar el vector resultante.


A 
B
Solución:

Cuando se pide la resultante de 2 o más vectores, se asume que es la suma
de todos los vectores que están en el gráfico.


  
R  A B


A

B  
Ejercicio 2: Sean los vectores A y B del ejercicio 1. Dibujar el
  
vector R  A  B
.
Solución:   
Primero disfrazamos la resta de suma, es decir
 R  A  (  B).
Segundo graficamos el vector  B .

 
B B

  
R  A  (  B) 
A

B
 
Ejercicio 3: Sean losvectores A y B
 del ejercicio 1. Dibujar el
Solución:
vector R  B  A.
  
Primero disfrazamos la resta de suma, es decir R  B  ( A) .

Segundo graficamos el vector  A.
 
A A



B

A   
R  B A

Comparando los gráficos de los ejercicios 2 y 3 podemos decir que la
resta de vectores no es conmutativa.  Conclusión:
  
B    
R  A  (  B)   A B  B  A
A A       
R  B A A B  B  A

B
   
Propiedad anticonmutativa de la resta: A  B  B  A .


¿Se podría utilizar el método del paralelogramo cuando se tiene 3 o
más vectores?


MÉTODO DEL
TRIÁNGULO.
Se lo utiliza cuando se tiene resta entre 2 vectores.

El método consiste en:

•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.

•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la
flecha del segundo vector de la operación y termina en la
flecha del primer vector de la operación.


 
Ejercicio 1: Sean los vectores A y B que semuestran a
 
continuación. Dibujar el vector R  A  B .


A 
B
Solución:
     
R  A B  R  A B
A

B
Primer vector de la Segundo vector de
operación la operación

 
Ejercicio 2: Sean los vectoresA y B que semuestran a
 
continuación. Dibujar el vector R  B  A .


A 
B
Solución:
     
R  B A  R  B A
A

B
Primer vector de la Segundo vector de
operación la operación

Comparando los gráficos de los ejercicios 1 y 2 podemos decir que la
resta de vectores no es conmutativa.

  
 R  A B   
 R  B A
A
 A
B 
B

Comparando con el método del paralelogramo.

  
B
R  A  (  B)  
A A   
R  B A

B Ing. Marcos Guerrero 44

MÉTODO DEL POLÍGONO
CERRADO.
Se lo utiliza cuando se tiene 2 o más vectores.
Se lo utiliza en las operaciones de suma y resta entre vectores.
•Colocar el primero vector de la operación.
•Colocar el segundo vector de la operación de tal
manera que su punto de aplicación coincida con la
flecha del primer vector de la operación.
•Colocar el tercer vector de la operación de tal
manera que su punto de aplicación coincida con la
flecha del segundo vector de la operación y así
sucesivamente………..
•El vector resultante se inicia en el punto de
aplicación del primer vector y termina en la flecha Animación.
del último vector de la operación.

Animación.

Conclusión:
   
Propiedad conmutativa de la suma de vectores: A  B  B  A


Animación.

Conclusión:
     
Propiedad asociativa de la suma de vectores: ( A  B)  C  A  ( B  C )

Propiedad distributiva de la suma y resta de vectores:
   
m( A  B)  mA  mB


¿Pueden 2 vectores de diferente magnitud sumar cero?

A. Si.
B. No.

¿Pueden 3 vectores de igual magnitud sumar cero?

A. Si.
B. No.

  
Tres vectores A , B, and C son mostrados a continuación.
   
¿Cuál alternativa representa mejor el vector S  A  B  C

B
A C

A) B) Blue C) Green
Pink D) Yellow
Purple: None of these!
E) Ninguna es correcta

Para cada una de las siguientes afirmaciones indique V si es
verdadero o F si es falso y justifique su respuesta en caso de
ser falso.

1. La magnitud de un vector puede ser positiva, negativa o
cero.

2. El mínimo número de vectores de igual magnitud para que
su resultante sea cero es 3.

3. La magnitud de la suma de los 2 vectores es igual a la
magnitud de la resta de los 2 vectores siempre que los 2
vectores sean perpendiculares entre sí. .


4. Las cantidades escalares pueden ser positivas, negativas o
cero.
5. Son ejemplos de cantidades vectoriales el desplazamiento y
la velocidad.
6. Son ejemplos de cantidades escalares la temperatura y la
presión.
7. Si la ecuación escalar de 2 vectores es C=A+B y su
  
ecuación vectorial es A  B  C ,entonces el ángulo entre
 
los vectores A y B es 00.


MÉTODOS ANALÍTICOS.


MÉTODO DEL
PARALELOGRAMO.
Se lo puede utilizar entre 2 vectores.

Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

 

Sean los vectores A y Bque se muestran a continuación,
y θ el ángulo que forma el vector A con una línea de
referencia.
A

B



Primero grafiquemos el vector resultante.

   
A R  A B

 

B
 
Observemos que θ es el ángulo entre los vectores  A
 y B,
además Φ es el ángulo entre los vectores R y B .


 
Si suponemos que conocemos la magnitud de los vectores Ay B ,
como también el ángulo  entre ellos, entonces podemos determinar 

la magnitud del vector resultante R y el ángulo
  entre los vectores R
y B mediante las ecuaciones:

R  A  B  2 ABCos 
2 2 2

ASen 
Tan 
B  ACos


EJERCICIO.


FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES Y PITÁGORAS.
Las funciones trigonométricas básicas se las aplica en ángulos agudos
que se encuentran en el interior de un triángulo rectángulo.

Las 3 más importantes son:

opuesto
Sen 
hipotenusa
adyacente
Cos 
hipotenusa
opuesto
Tan 
adyacente


 c Sen  a Sen 
b
a c c

Cos  b Cos  a
b
c c
Tan  b
 y  son ángulos agudos
Tan 
a
b a
TEOREMA DE PITÁGORAS.
“La hipotenusa al cuadrado es
igual a la suma del cuadrado de c 2  a 2  b2
los catetos”. Ing. Marcos Guerrero 65

¿Cómo utilizar las funciones trigonométricas básicas y el teorema
de Pitágoras en vectores?
Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la
operación de suma y resta entre vectores.

B   
  R  A B
 A
 A B
A   
R  A B 
 B
C
    
R  A  B  CGuerrero
Ing. Marcos
0
67

EJERCICIO.


LEY DEL COSENO.

La ley deL Coseno permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para
resolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que
quieres conocer. La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas
de triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de
90°.


La ley del Coseno dice así:

“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo
que forman”

B  A
 
Suponiendo que se conoce los Clados A y B, así como también el ángulo  ,
entonces para determinar el lado C con la ecuación:

C  A  B  2 ABCos 
2 2 2


B  A
 
C
Suponiendo que se conoce los lados B y C, así como también el ángulo  ,
entonces para determinar el lado A con la ecuación:

A  B  C  2BCCos
2 2 2


B  A
 
C
Suponiendo que se conoce los lados A y C, así como también el ángulo  ,
entonces para determinar el lado B con la ecuación:

B  A  C  2 ACCos
2 2 2


¿Cómo utilizar la ley del coseno en vectores?


B   
   R  A B
A  A
A B
  
R  A B

 B
  C  
R  A B C  0

EJERCICIO.


LEY DEL SENO.

La ley del Seno es una relación de 3 igualdades que siempre se cumplen
entre los lados y sus ángulos opuestos en un triángulo cualquiera, y que es
útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente los
triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto o
de 90°.


La ley de los Senos dice así:

“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales
a los senos de los ángulos opuestos”.

B  A
 
C

A B C
 
Sen Sen Sen


B  A
 
C
Suponiendo que se conoce los lados A y B, así como también el ángulo  ,
entonces para determinar el ángulo  con la ecuación:

A B

Sen Sen

¿Cómo utilizar la ley del seno en vectores?


B   
   R  A B
A  A
A B
  
R  A B

 B
  C  
R  A B C  0

EJERCICIO.


MÉTODO DE LAS
COMPONENTES.


DIBUJANDO LAS
COMPONENTES DE UN
VECTOR.
Imaginemos que tenemos un vector
 en el primer cuadrante.
a
Y

 Del gráfico podemos
 a observar que:
ay
  
a  ax  a y
0
 X  
ax a x y a y son llamados 
componentes ortogonales del vector a

o proyecciones del vector a a lo largo
de los ejes x e y respectivamente.
Animación

 en el segundo
a
cuadrante.
Y

a

ay

0 X
ax


 en el tercer cuadrante.
a
Y


ax 0
 X
ay

a


 en el cuarto cuadrante.
a
Y


0
ax
 X
ay

a



Imaginemos que tenemos un vector a en el eje x(+).

Y

 
0
a  ax
X



Como el vector a se encuentra en el eje x la componente del
  .
vector a en el eje y es a  0
y


Imaginemos que tenemos un vector a en el eje y(-).

Y

0
X
 
a  ay



Como el vector a se encuentra en el eje y la componente del
  .
vector a en el eje x es
ax  0

MAGNITUDES DE LAS
COMPONENTES DE UN
VECTOR.
Para determinar las magnitudes de las componentes de un vector a lo
largo de los ejes x e y respectivamente, se necesita la magnitud del vector
y el ángulo que forma el vector con el eje horizontal o vertical.
Imaginemos que tenemos el ángulo θ y la magnitud del vector

a
Y


 a Utilizando las funciones
ay trigonométricas Coseno y Seno
para el ángulo θ tenemos:
 ax
Cos   ax  aCos
0
 X
ax a
ay
Sen   a y  aSen
a


Ahora imaginemos que tenemos el ángulo  y la magnitud del
vector a
Y
Utilizando las funciones
 trigonométricas Coseno y Seno
 a para el ángulo  tenemos:
ay ay
 Cos 
a
 a y  aCos
ax
0
 X Sen   ax  aSen
ax a


SIGNO DE LAS
COMPONENTES DE UN
VECTOR.

Y

Cuadrante II
 Cuadrante I

ax  () ax  ()
 
a y  () a y  ()
X
Cuadrante III 0
 Cuadrante IV

ax  () ax  ()
 
a y  () a y  ()


MAGNITUD DE UN VECTOR.
 
Imaginemos que conocemos las componentes a x y a y
 del
vector a .
Y

 Podemos utilizar el teorema de
 a 
Pitágoras para determinar la
ay magnitud del vectora ,
entonces tenemos:

 X
a  ax  a y
2 2
0 ax


DIRECCIÓN DE UN VECTOR.
Recordemos que la dirección de un vector se lo mide con respecto al eje
x(+). Si la dirección se la mide a favor del movimiento de las manecillas
del reloj el ángulo es negativo, pero si la dirección se la mide en contra
del movimiento de las manecillas del reloj el ángulo es positivo.


 y 
Para determinar la dirección de un vector, imaginemos que conocemos

las componentes a
x
a y del vector a .

Y Utilizando la siguiente función
 trigonométrica tenemos:
 a
ay
ay
Tan 
θ ax
0
 X
ax
Cada vez que se utilice esta ecuación
debemos tener presente que el ángulo θ
es el que forma el vector con el eje
horizontal.

 en el primer cuadrante.
a
Y


a

(-)
(+)
X
0


 en el segundo
a
cuadrante.
Y

a
(+)

X
0
(-)


 en el tercer cuadrante.
a
Y

(+)

0
X

(-)

a


 en el cuarto cuadrante.
a
Y

(+)

0
X
(-)


a


MÉTODO DE LAS
COMPONENTES.
Se lo puede utilizar cuando se tiene 2 o más vectores.
Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre
vectores.

•Colocar los vectores de tal manera que sus puntos de aplicación
coincidan con el origen de coordenadas.
•Dibujar las componentes de cada vector, trazando paralelas a los ejes X
y Y respectivamente
•Determinar las magnitudes de las componentes de cada vector
utilizando las funciones trigonométricas básicas seno y coseno.
•Colocar el signo de las componentes de cada vector según el cuadrante
respectivo en el que se encuentre el mismo.

•Determinar las componentes del vector resultante.
•Dibujar el vector resultante en el cuadrante respectivo.
•Determinar la magnitud del vector resultante con ayuda del teorema de
Pitágoras.
•Determinar la dirección del vector resultante, para esto se puede utilizar
la función trigonométrica como herramienta adicional.


Dos vectores A y B se muestran a continuación. Considere el
vector C = A+B. ¿Cuál es la componente del vector C en y?
(cada lado del cuadrado vale 1 u)

A) 3 y

B) 2 x

C) -2
A
D) -4
E) Ninguno de ellos es la respuesta.
B


REPASO DE VECTORES

103 Marcos Guerrero

SISTEMAS DE COORDENADAS ESPACIALES.

x z y

z y x

y x z

Sistema de coordenadas espaciales que contiene:
•3 ejes que son perpendiculares entre sí x, y, z.
•3 planos x-y, x-z, y-z.
•8 octantes :
X(+), y(+),z(+). X(+), y(+),z(-). X(+), y(-),z(+). X(-), y(+),z(+).

X(-), y(-),z(+).
107
X(-), y(+),z(-). X(+), y(-),z(-).
Marcos Guerrero X(-), y(-),z(-).

UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL
SISTEMA DE COORDENADAS
ESPACIALES.
(x,y,z) Triada ordenada
z Cuando el punto de
coordenadas está:
• En el origen, las 3
coordenadas valen cero.
(0,0,c) (0,b,c)
• En el eje, 2 coordenadas
valen cero.
(a,b,c) c
(a,0,c) • En el plano, una
(0,b,0)
y coordenada vale cero.
(0,0,0)
• En el espacio, las 3
a coordenadas son diferente
(a,0,0)
b (a,b,0) de cero.

x

108 Marcos Guerrero

VECTORES EN EL ESPACIO.
z z

 a 
az  a
 ay  
y ax y
ax az

ay
   
x a  ax  a y  az
x    ˆ
ax , a y , az 
son llamados componentes a  axi  a y ˆ  az k
ˆ j
ortogonales vector
del a o proyecciones Representación de un vector utilizando
del vector a a lo largo de los ejes x,y,z
vectores unitarios
respectivamente.

Observar que la proyección del vector en el plano XZ son las componentes del vector en los
ejes x y z respectivamente
109 Marcos Guerrero

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR
UTILIZANDO VECTORES UNITARIOS
(VECTORES BASES).
¿Qué es un vector base?
Es un vector unitario que posee dirección y cuya magnitud es igual a la
unidad. Se localizan en los ejes x, y e z tal como se muestra en la figura

110 Marcos Guerrero

¿Para qué se utiliza los vectores base?
Se lo utiliza para darle dirección a las componentes de un vector

111 Marcos Guerrero

¿Qué ocurre si el vector se encuentra en un plano o en un eje?

Si el vector se encuentra en un plano sólo tiene dos componentes y si
se encuentra en un eje sólo tiene una componente.
z z

Marcos Guerrero

a
 y y
az   
ax a  ax
  
a  ax  az
x x

112

MAGNITUD DE UN VECTOR EN EL
ESPACIO.

a
Conociendo las 3 componentes ortogonales del vector , demostrar que su
magnitud viene dada por la expresión:

a ax  a y  az
2 2 2

113 Marcos Guerrero

DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL
ESPACIO.

z 
α es el ángulo que forma el vector a con el eje x(+)

 β es el ángulo que forma el vector a con el eje y(+)

az a con el eje z(+)
γ es el ángulo que forma el vector

γ a 
β
ay
y
 α
ax

x
α,β,γ se llaman ángulos directores y son los
ángulos que determinan la dirección de un
vector en el espacio.
114 Marcos Guerrero


¿Cómo se determinan los ángulos que forma el vector a
con los ejes negativos?


1800-α es el ángulo que forma el vector a con el eje x(-)

1800 -βes el ángulo que forma el vector a con el eje y(-)

 1800 -γes el ángulo que forma el vector a con el eje z(-)
a
α
1800 -α
x(+) x(-)

115 Marcos Guerrero

z

¿Cómo se determinan los ángulos directores?

Con ayuda de los cosenos directores. 
 a
az 
 ay
a a a ax y

α β γ
ax ay az x

a ay az
Cos  x Cos  Cos 
a a a

a
Conociendo las ángulos directores del vector , demostrar que los 3 ángulos
directores están relacionados por la expresión:

Cos 2  Cos 2   Cos 2  1
116 Marcos Guerrero

GRAFICANDO UN VECTOR EN EL
ESPACIO. ˆ ˆ
a  3i  2 j  4k (m)
Graficar el vector

y


a
x

z

117 Marcos Guerrero


VECTOR UNITARIO ( )


Definición:
Es un vector que posee una dirección y cuya magnitud es igual a la unidad.


z  a
a 
a

  a : vector unitario del vector a

 a
a Todo vector posee su vector unitario.
 
Los vectores a y a tienen la
y misma dirección.

El vector  a es adimensional.

x
121 Marcos Guerrero

 ˆ
a  axi  a y ˆ  az k
ˆ j a ax  a y  az
2 2 2

 ˆ j ˆ
axi  a y ˆ  az k
a 
a
 ax ˆ a y ˆ az ˆ En función de las componentes y
a  i  j k la magnitud
a a a
 ˆ
a  Cosi  Cosˆ  Cosk
ˆ j En función de los cosenos
directores

122 Marcos Guerrero

Dos vectores, uno de velocidad y otro de fuerza, tienen magnitudes diferentes e iguales
direcciones. ¿Tienen el mismo vector unitario? Explique su respuesta.

Ambos tienen el mismo vector unitario.

 
V F Ambos vectores unitarios tienen la misma
magnitud y la misma dirección.

  
V  V   F  1
F

123 Marcos Guerrero

MULTIPLICACIÓN ENTRE
VECTORES.
oPueden ser de igual o de diferentes unidades.
oExisten dos tipos:
•Producto punto o producto escalar.
escalar  vector  vector
 
W  F s
•Producto cruz o producto vectorial.
vector  vector  vector
  
  r F

124 Marcos Guerrero

PRODUCTO PUNTO.

También llamado producto escalar.
Definición:
   
A  B  A B Cos

Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.

 es el ángulo entre los vectores A
y B .

Animación.

125 Marcos Guerrero

PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO.

   
Propiedad Conmutativa: A B  B  A
      
Propiedad Distributiva: A  (B  C)  A  B  A  C
     
Propiedad de m( A  B)  (mA)  B  A  (mB)
Homogenidad:
donde m es un escalar
  2  
Propiedad de Positividad: A  A  A siA  0

126 Marcos Guerrero

PRODUCTO PUNTO ENTRE
VECTORES UNITARIOS iˆ, ˆ, kˆ
j .

Producto punto entre vectores unitarios iguales .
Utilizando la definición de producto punto tenemos:

ˆ ˆ ˆˆ
i  i  i i Cos 00
ˆ  ˆ 1
j j ˆ ˆ
k k 1
ˆ ˆ
i i 1

El producto punto entre dos vectores unitarios iguales siempre es
igual a 1.
En general, el producto punto entre dos vectores unitarios paralelos
y de la misma dirección siempre es igual a 1.

127 Marcos Guerrero

Producto punto entre vectores unitarios perpendiculares.
Utilizando la definición de producto punto tenemos:

i  ˆ  i ˆ Cos900
ˆ j ˆ j
j ˆ
ˆk  0 ˆ ˆ
k i  0
i ˆ0
ˆ j

El producto punto entre dos vectores unitarios perpendiculares
siempre es igual a 0.

128 Marcos Guerrero

PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS
VECTORES.
  
Sean los vectores A y B : ˆ j ˆ
A  AX i  AY ˆ  AZ k

ˆ j ˆ
B  BX i  BY ˆ  BZ k

 
demostrar que: A  B  AX BX  AY BY  AZ BZ

129 Marcos Guerrero

 
A  B  AX BX  AY BY  AZ BZ

Para utilizar esta ecuación se considera el signo de las componentes.

130 Marcos Guerrero

APLICACIONES DEL PRODUCTO
PUNTO.

Se lo puede utilizar para:
•Determinar el ángulo entre dos vectores.
•Determinar proyecciones escalares y vectoriales de un vector
sobre otro vector.
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES UTILIZANDO EL
PRODUCTO PUNTO.
Recordemos que para determinar el ángulo entre dos vectores deben
estar unidos por un mismo punto de aplicación.

131 Marcos Guerrero

Para determinar el ángulo entre dos vectores podemos utilizar la
ecuación:
 
 A B 
  Cos 1    
 AB 
 
 

132 Marcos Guerrero

PROYECCIÓN ESCALAR Y VECTORIAL DE UN
VECTOR SOBRE OTRO VECTOR.

Proyección escalar de un vector sobre otro vector.
 
Imaginemos que tenemos dos vectores A y B unidos por un mismo
punto de aplicación.


A
Vamos a determinar la
proyección escalar del 

vector A sobre el vector B 
que se lo denota como AB . 
B
AB

133 Marcos Guerrero

Del gráfico anterior tenemos:

AB  A Cos

Si comparamos con la definición de producto punto:
   
A  B  A B Cos

La ecuación anterior la podemos expresar como:
  
A  B  B AB
 
A B
Despejando AB : AB  
B

134 Marcos Guerrero

Proyección vectorial de un vector sobre otro vector.
Del gráfico anterior tenemos:

Dibujemosel vector unitario

del vector B (  ).
 B
A 
Donde:   B

B
 B
B 
  Ahora dibujemos la
B 
AB AB proyección vectorial del vector A

sobre el vector B y lo

denotamos AB .

135 Marcos Guerrero

Del gráfico, podemos observar que:
 
AB  AB  B

136 Marcos Guerrero

PRODUCTO CRUZ.

También llamado producto vectorial.
Definición:    
Magnitud A  B  A B Sen

Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.

 es el ángulo entre los vectores A
yB .

137 Marcos Guerrero

 
¿Cómo se determina la dirección del vector A B
?
Con la regla de la mano derecha:
“Consiste en colocar la mano derecha en el primer vector de la operación,
luego rotar y cerrar los dedos hacia el segundo vector de la operación(la menor
rotación), al levantar el pulgar este dará la dirección del vector resultante”

El producto vectorial sólo
 
AC existe en el espacio
  tridimensional.
BC

Animación.

Animación.

138 Marcos Guerrero

 
¿Cómo se determina la dirección del vector B A
?

 
A  C
 
B  C

Animación.

139 Marcos Guerrero

PROPIEDADES DEL
PRODUCTO CRUZ.
   
Propiedad anti-conmutativa A  B  B  A
      
Propiedad distributiva A  (B  C)  A  B  A  C
     
Propiedad homogenidad  ( A  B)  (A)  B  A  (B)
 : escalar
    
A  B  0 si A // B
140 Marcos Guerrero

PRODUCTO CRUZ ENTRE
VECTORES UNITARIOS iˆ, ˆ, kˆ
j .

Producto cruz entre vectores unitarios perpendiculares.
ˆ
j ˆ
j
ˆ j ˆ
iˆk ˆ
ˆ  i  k
j ˆ
 
ˆ ˆ j
k i  ˆ ˆ ˆ
i k   ˆ
j
iˆ iˆ
j ˆ ˆ
ˆk  i ˆ j
k  ˆ  i
ˆ
ˆ
k ˆ
k

141 Marcos Guerrero

Producto cruz entre vectores unitarios iguales.


ˆ ˆ
i i  0 El producto vectorial de dos
 vectores unitarios iguales es el
ˆ ˆ  0
j j
 vector nulo.
ˆk  0
k ˆ

142 Marcos Guerrero

PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS
VECTORES.
  
Sean los vectores A y B : ˆ j ˆ
A  AX i  AY ˆ  AZ k

ˆ j ˆ
B  BX i  BY ˆ  BZ k
ˆ
i ˆ
j kˆ fila
  
C  A  B  AX AY AZ
BX BY BZ

columna

143 Marcos Guerrero

ˆ
i ˆ
j ˆ
k
   AY AZ A AZ A AY ˆ
C  A  B  AX AY AZ  iˆ X ˆ X
j k
BY BZ BX BZ BX BY
BX BY BZ

ˆ j ˆ
C  C11i  C12 ˆ  C13k donde:

C11  AY BZ  AZ BY
C12  AX BZ  AZ BX
C13  AX BY  AY BX

144 Marcos Guerrero

¿Cómo se determina el área del paralelogramo formado por los
 
vectores y A? B


Base  A

B
Altura
Altura Sen  
 B
 
Base A Altura  B Sen

Area  Base  Altura
 
Area  A B Sen

145 Marcos Guerrero

Si la comparamos con la ecuación:
    
C  A  B  A B Sen
 
Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores A y B

viene dada por la magnitud del vector C .

  
Area  C  A  B

146 Marcos Guerrero

¿Cómo se determina el área del triángulo formado por los
  
vectores A , B y A  B ?

  
B A B



A
   
Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores A, B y A  B

viene dada por la mitad de la magnitud del vector C .
  
C A B
Area  
2 2
147 Marcos Guerrero

APLICACIONES DEL PRODUCTO
CRUZ.

Se lo puede utilizar para:
•Determinar un vector perpendicular al plano formado por dos
vectores.
•Determinar el área del paralelogramo formado por dos
vectores.
•Determinar el área del triángulo formado por tres vectores.

148 Marcos Guerrero

TRIPLE PRODUCTO ENTRE
VECTORES .

  
C  A B
Vamos a determinar el producto
 
cruz entre los vectores A y B
  
 ( C  A  B ).

DC D B
Vamos a determinar la 
proyección escalar del vector D

 sobre el vector C ( DC).
A

149 Marcos Guerrero


Podemos observar del gráfico anterior que la proyección escalar del vector D

sobre el vector C es la altura del paralelepípedo.
 
D C
h  DC  
C

h
  

D  A B
 

A B

 
Donde A  B es el área de la base del paralelepípedo.

150 Marcos Guerrero

Ahora si multiplicamos la altura del paralelepípedo por el área de la
base del paralelepípedo obtenemos el volumen del paralelepípedo,
entonces tenemos que:
    
Volumen  h A  B  D  A  B  
  
Volumen  D  A  B 

151 Marcos Guerrero

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