Eksperimen Davisson dan Germer menunjukkan bukti langsung hipotesis de Broglie tentang sifat gelombang partikel bergerak. Mereka menemukan pola difraksi elektron yang mengindikasikan elektron berperilaku seperti gelombang saat berinteraksi dengan kisi kristal nikel. Partikel yang terperangkap dalam kotak hanya dapat memiliki energi tertentu yang ditentukan oleh ukuran kotak, menunjukkan sifat kuantis

1. Kegiatan Belajar 5
DIFRAKSI,PARTIKEL DALAM KOTAK DAN PRINSIP
KETAKTENTUAN
5.5 Difraksi Partikel
Manifestasi gelombang yang tidak mempunyai analogi dalam kelakuan partikel
newtonian ialah gejala difraksi. Dalam tahun 1927 Davisson dan Germer di Amerika
Serikat dan G.P Thomson di Inggris secara bebas meyakinkan hipotesis de Broglie
dengan menunjukkan berkas elektron terdifraksi bila berkas itu dihamburkan oleh kisi
atom yang teratur dari suatu kristal. Kita akan membahas eksperimen Davisson dan
Germer karena tafsirannya lebih langsung.
Davisson dan Germer mempelajari elektron yang terhambur oleh zat padat yang memakai
peralatan seperti pada Gb.5.1. Energi elektron dalam berkas primer, sudut jatuhnya pada
target, dan kedudukan detektor dapat diubah-ubah. Fisika klasik meramalkan bahwa
elektron yang terhambur akan muncul dalam berbagai arah dengan hanya sedikit
kebergantungan dari itensitas terhadap sudut hambur dan lebih sedikit lagi dari energi
elektron primer. Dengan memakai blok nikel sebagai target, Davisson dan Germer
membuktikan ramalannya.
Ditengah-tengah pekerjaan tersebut terjadi suatu peristiwa yang memungkinkan udara
masuk kedalam peralatannya dan mengoksidasi permukaan logam. Untuk menguasai
oksida nikel murni, target itu dipanggang dalam oven bertemperatur tinggi. Setelah
perlakuan tersebut, targetnya dikembalikan kedalam peralatan dan pengukurannya
dilakukan lagi. Sekarang ternyata hasilnya sangat berbeda dari sebelum peristiwa itu
terjadi: sebagai ganti dari variasi yang malar (kontinu) dari intensitas elektron yang
terhambur terhadap sudut timbul maksimum minimum yang jelas teramati yang
kedudukannya bergantung daripada eneri elektron. Grafik polar yang bisa digambarkan
untuk intensitas elektron setelah peristiwa itu ditunjukkan dalam Gb.5.2, metoda plotnya
dilakukan sedemikian sehingga itensitas pada setiap sudut berbanding lurus denga jarak
kurva (likuan) pada sudut itu dari titik hambatanya. Jika intensitas sama untuk semua
sudut hambur, kurvanya akan berbentuk lingkaran dengan titik hambur sebagai pusat.

2. GAMBAR 5.1 Eksperimen Davisson Germer
GAMBAR 5.2 Hasil Eksperimen Davisson Germer
Dua pernyataan segera timbul dalam pikiran: apakah yang menjadi penyebab efek baru
ini dan mengapa tidak muncul sebelum target nikel itu dipanggang?
Hipotesis de Broglie mendorong tafsiran bahwa gelombang elektron didifraksikan oleh
target sama seperti sinar-x didifraksikan oleh bidang-bidang atom dalam kristal. Tafsiran
ini mendapat dukungan setelah disadari bahwa efek pemanasan sebuah blok nikel pada
temperatur tinggi menyebabkan banyak kristal individual kecil yang membangun blok
tersebut bergabung menjadi kristal tunggal yang besar yang atom-atonnya tesusun dalam
kisi yang teratur.
Bedil elektron
detektor elektron
Berkas datang
(jatuh)
Berkas hambur

3. Marilah kita tinjau apakah kita dapat membuktikan bahwa gelombang de Broglie
merupakan penyebab dari hasil Davisson dan Germer. Pada suatu percobaan tertentu
berkas elektron 54eV diarahkan tegak lurus pada target nikel, dan maksimum yang tajam
dalam distribusi elektron terjadi pada sudut 50o
dari berkas semula. Sudut datang dan
sudut hambur relatif terhadap suatu keluarga bidang Bragg digambarkan dalam Gb.3-7
keduanya sudut 65o
. Jarak antara bidang dalam keluarga itu yang bisa diukur melalui
difraksi sinar-x ialah 0,91Å Persamaan Bragg untuk maksimum dalam pola difraksi ialah
(5.1)  sin2dn 
Disini d= 0,91Å dan  =65o
; dengan menganggap n =1, panjang gelombang de Broglie 
dari elektron yang terdifraksi ialah
1,65Å65sin0,91Å2sin2 o
  d
Dari rumus  sin2dn  didapatkan
mv
h
d





sin
sehingga
p
h
d
mv
h
d


sin
sin


karena     2/12/1
22 meVmEp k  sehingga
(5.2)
2211
2211
sin
1
sin
1
sinsin
tan,
2sin
vv
meV
h
meV
h
makakonsd
meV
h
d







GAMBAR 5.3 Gelombang de Broglie oleh target merupakan penyebab dari hasil Davisson dan Germer

4. Sekarang kita pakai rumus de Broglie


m
h

Untuk menghitung panjang gelombang elektron yang diharapkan. Energi kinetik 54eV
kecil dibandingkan dengan energi dian moC2
yaitu sebesar 5,1x105
eV, sehingga kita dapat
mengabaikan efek relativistik. Karena
2
2
1
mvK 
Maka momentum elektron itu mv ialah
mKmv 2
     eVJeVkg /106,154101,92 1931 

skgm/100,4 24

Jadi panjang gelombang elektron itu ialah
Å66,11066,1
/100,4
.1063,6
m
10
24
34



 


skgm
sJh


besarnya sesuai dengan panjang gelombang yang diamati. Jadi eksperimen Davisson dan
Germer menunjukkan bukti langsung dari hipotesis de Broglie mengenai sifat gelombang
benda yang bergerak.
Analisis eksperimen Davisson-Germer sebenarnya tidak langsung seperti yang
ditunjukkan diatas, karea energi elektron bertambah ketika elektron itu masuk ke dalam
kristal dengan besar yang sama dengan besar fungsi kerja (work funcsion) permukaan itu.
Jadi kelajuan elektron dalam eksperimen lenih besar didalam kristal dan panjang
gelombang de Broglie yang bersangkutan menjadi lebih kecil dari pada garga diluar
kristal.
Seperti dalam kasus gelombang elektromagnetik, aspek gelombang dan partikel benda
yang bergerak tidak dapat secara serentak teramati sehingga kita tidak dapat menetapkan
yang mana gambaran yang ”benar”. Yang dapat kita katakan adalah dalam situasi
tertentu benda yang bergerak menunjukkan sifat gelombang dalam situasi lain
menunjukkan sifat partikel. Kumpulan sifat apakah yang jelah terlihat bergantung pada
besar panjang gelombang de Broglienya dibandingkan dengan dimensi benda yang
50O

5. terlibat: panjang gelombang Å66,1 dari elektron 54 eV orde besarnya sama dengan jarak
kisi dalam kristal nikel, tetapi panjang gelombang bola golf bergerak dengan 30 m/s,
seperti terlihat dalam pasal 4.1 hanya m104,8x -34
, terlalu kecil untuk menapakkan
dirinya.
4.6 Partikel Dalam Kotak
Sifat gelombang partikel bergerak mengarahkan pada konsekuensi yang jelas jika partikel
itu di batasi pada suatu daerah tertentu dalam ruang alih-alih dapat bergerak bebas.
Khusus yang tersederhana adalah suatu partikel yang terpantul bolak-balik antara dinding
kotak, seperti dalam gambar 4-8. kita akan menganggap bahwa dinding kotak itu keras
sekali, sehingga partikelnya tidak kehilangan energi setiap kali partikel itu menumbuk
dinding dan kecepatannya cukup kecil sehingga kita dapat mengabaikan konsiderasi
relativisti.
GAMBAR 5.4 Partikel tertangkap dalam kotak yang
lebarnya L
Dari pandangan gelombang, sebuah partikel yang terperangkap dalam kotak adalah
analog dengan gelombang berdiri pada tali yang dipentang antara dinding kotak itu.
Dalam kedua kasus itu variabel gelombang (pergeseran transevesal dari tali, fungsi
gelombang  dari partikel bergerak) harus nol pada dinding, karena gelombangnya
berhentidi tempat itu. Panjang gelombang de Broglie yang mungkin dari pertikel dalam
kotak ditentukan oleh lebar kotak L, seperti dalam gambar 5.5.
GAMBAR 5.5 Fungsi gelombang partikel yang
tertangkap dalam kotak yang lebarnya L
L
3
2
1
3
2L

L2
L

6. Panjang gelombang yang terbesar ditentukan oleh L2 , berikutnya oleh L ,
kemudian 3/2L , dan seterusnya. Rumusan yang umum untuk gelombang yang
diperbolehkan ialah
(5.3)
n
L
n
2
 n = 1, 2, 3,......  de Broglie partikel yang tertangkap
Karena mvh/ , pembatasan pada panjang gelombang de Broglie yang datang dari
lebar ekuivalen (setera) dengan pembatasan pada momentum partikel, atau pembatasan
pada energi kinetik. Sebuah partikel bermomentum mv ialah :
 
m
mv
mvK
22
1
2
2

Karena mvh/ , /hmv  dan
(5.4) 2
2
2 m
h
K 
Panjang gelombang yang diijinkan ialah nLn /2 , dan karena partikel itu tidak
memiliki energi potensial dalam model ini, maka energi yang bisa dimilikinya ialah:
(5.5) 2
22
8mL
hn
En  n = 1, 2, 3,...... Partikel dalam kotak
Setiap energi yang diijinkan disebut tingkat energi, dan bilangan bulat n yang memberi
spesifikasi tingkat energi nE disebut bilangan kuantum. Sebuah partikel yang
terperangkap dalam kotak tidak dapat memiliki energi yang sembarang seperti yang
dimiliki partikel bebas ; kenyataan terperangkapnya menyebabkan pembatasan pada
panjang gelombangnya yang hanya mengijinkan energi yang ditentukanoleh Pers. 3.18.
Sebuah partikel dalamkptak berdinding tegar merupakan suatu contoh yang dibuat-buat,
tetapi kuantitasi energi yang didapatkam di situ berlaku umum : sebuah partikel yang
terperangkap dalam suatu daerah ruang (walaupun daerah itu tidak memiliki batas yang
terdefinisikan secara baik, hanya dapat memiliki energi tertentu saja. Secara eksak berapa
besar energi ini, bergantung dari pada massa partikel dan perincian bagaimana
terperangkapnya. Dalam bab yang akan datang kita akan melihat bagai mana kuantisasi
energi muncul untuk elektron dalam atom, molekul, dan zat padat dan untuk proton dan
neutron dalam inti atomik.
Aspek penting dari Pres. 3.18 ialah pernyatan bahwa partikel yang terperangkap tidak
boleh memiliki energi nol. Jika E=0, maka 0 disetiap tempat dalam kotak itu, ini
berarti kerapatan peluang 0
2
 yang berarti partikel tidak terdapat dalam kotak itu.
Eksklusi (peniadaan) E=0 sebagai harga yang diijinkan untuk energi partikel yang
terperangkap, seperti juga pembatasan energi E menjadi sekelompok harga yang diskrit
merupakan suatu hasil yang tidak kita dapatkan dalam mekanika klasik : di sini setiap
energi termasuk nol diijinkan.

7. Mengapa tidak kita sadari adanya kuantitasi energi dalam dunia pengalaman kita? Kita
yakin bahwa sebuah kelereng yang menggelinding bolak-balik antara dinding sebuah
kotak dengan lantai licin dapat memiliki kecepatan berapa saja, sehingga energinya dapat
berharga berapasaja sekehendak yang kita berikan, termasuk nol. Supaya kita dapat
meyakinkan diri bahwa Pers. 3.18 tidak bertentangan dengan hasil pengamatan kita yang
langsung disamping memberikan pandangan yang unik dalam skala mikroskopik, kita
akan menghitung tingkat energi yang diijinkan untuk sebuah partikel dalam kotak yang
berdimensi atomik dan kemudian sebuah partikel dalam kotak dengan dimensi
makroskopik.
Soal: Carilah tingkat energi sebuah elektron dalam kotak yang lebarnya 1Å.
Pemecahan: Disini m = 9,1x10-31
kg dan L= 1Å = 10-10
m, sehingga energi elektron yang
diijinkan ialah
 
  
Jn
mkg
sJn
En
218
21031
2342
100,8
10101,98
.10626,6 






GAMBAR 4-10 Tingkat elektron yang terdapat dalam sebuah kotak yang lebarnya 1 Å.
Energi minimum yang di miliki elektron ialah 38 eV, yang bersesuaian dengan harga
n=1. Deretan tingkat energi diteruskan dengan E2=152eV, E3=342eV, E4=608 eV dan
sebagainya (Gambar 3-10). Tingkat energi ini cukup berjauhan, sehingga kuantisasi
energi elektron dalam kotak seperti itu jelas tampak bila kotak semacam itu betul ada.
Soal: Hitung tingkat energi kelereng yang bermassa 10 kg dalam kotak yang lebarnya 10
cm.
Jawab: Dengan m =10g = 10-2
kg dan L= 10 m =10-1
m
 
   
Jn
mkg
sJn
En
264
212
2342
105,5
10108
.10626,6 






n = 4
n = 3
n = 2
n = 1
0
100
200
300
400
500
600
700

8. Energi minimum yang dapat dimiliki kelereng itu ialah Jn264
105,5 
 , yang bersesuaian
dengan harga n=1. Sebuah kelereng yang memiliki energi kinetik sebesar ini memiliki
kecepatan hanya sebesar 3,3x10-31
m/s, sehingga secara eksperimental tidak bisa
dibedakan dari kelereng yang diam. Kelajuan yang nalar yang dapat dimiliki kelereng
itu, katakan 1/3 m/s yang bersesuain dengan tingkat energi yang berbilangan kuantum n=
10-30
! Tingkat energi yang diijinkan sangat berdekatan, sehingga tidak ada cara untuk
menentukan apakah kelereng tersebut dapat memiliki energi tertentu seperti yang
diramalkan oleh Pers.3.8 atau energi lainnya. Jadi dalam daerah pengalaman sehari-hari
efek kuantum tidak teramati; hal ini menerangkan susksesnya mekanika newton dalam
daerah ini.
4.7 Prinsip Ketaktentuan
Kenyataan bahwa sebuah partikel bergerak harus dipandang sebagai group gelombang de
Broglie dalam keadaan tertentu alih-alih sebagai suatu kuantitas yang terlokalisasi
menimbulkan batas dasar pada ketapata pengukuran sifat partikel yang dapat kita ukur
misalnya kedudukan momentum. Marilah kita tinjau group gelombang dalam gambar 3-
3, mula-mula dari sudut pandang intuitif. Lebih lebar group gelombangnya, lebih banyak
jumlah gelombangnya yang terkandung, dan lebih baik kesempatan kita untuk
mendapatkan panjang gelonbangnya serta momentum partikel itu. Namun, karena
partikel itu terdapat di suatu tempat dalam group gelombang itu, kita tidak dapat
menemukan kedudukannya secara tepat. Jika group gelombang itu sempit, kedudukan
partikel itu terdevinisikan lebih baik, tetapi sekarang panjang gelombangnya sukar
ditentukan. Terdapat hubunga timbal balikantara ketaktentuan (ketakpastian) kedudukan
yang inheren x dari partikel itu dan ketaktentuan (ketakpastian) momentumnya yang
inheren p : bertambah kecil x , maka p harus bertambah besar dan sebaliknya.
Analisis yang formal mendukung kesimpulan tersebut dan membuat kita mampu untuk
menyatakannya secara kuantitatif. Contoh yang paling sederhana dari pembentukan
group gelombang diberikan dalam pasal 3.4, di situ dua gelombang berjalan dengan dua
prekuensi sudut yang sedikit berbeda dan bilangan gelombang k disuperposisikan
menghasilkan sederet group gelombang seperti dalam gambar 3-4. sebuah benda
bergerak yang bersesuaian dengan suatu group gelombang tunggal, bukan barisan dari
group gelombang, tetapi group gelombang tunggal dapat juga dipikirkan sebagai
superposisi dari gelombang harmonik. Namun, sejumlah tak berhingga gelombang
dengan frekuensi bilangan gelombang dan amplitude yang berbeda-beda diperlukan
untuk menyatakan suatu group gelombang terisolasi dengan bentuk sembarang (gambar
3-11).

9. GAMBAR 3-11 Suatu group gelombang terisolasi ialah hasil dari sejumlah tak terhingga gelombang
dengan panjang gelombang yang berbeda-beda. Lebih sempit group gelombang itu, lebih besar selang
panjang gelombang yang tersangkut. Jadi suatu group gelombang de broglie yang sempit berarti
kedudukannya terbefinisikan dengan baik ( x kecil) tetapi panjang gelombang masing-masing tidak
terdefinisi dengan baik, sehingga ketakpastian p yang besar dalam momentum partikel yang dinyatakan
oleh group gelombang itu. Suatu group gelombang yang lebar berarti momentumnya lebih tertentu tetapi
kedudukannya lebih tak tertentu.
Pada suatu waktu tertentu t group gelombang  x dapat dinyatakan dengan integral
Fourier
(5.6)     dkkxkgx cos
0



Dengan fungsi  kg menggambarka maplitude gelombang yang memberi sumbangan
(kontribusi) pada  x ;  kg berubah terhadap bilangan gelombang k. Fungsi ini disebur
transform Fourier dari  x dan memberi spesifikasi pada gruop gelombang. Sebagai
bahan pembanding transform Fourier dari gelombang harmonik yang melebar ke tak
terhingga juga ditunjukkan, dalam hal hanya satu bilangan gelombang saja yang muncul.

10. GAMBAR 3-12 Fungsi gelombang dan tranform Fourier untuk (a) denyut , (b)group gelombnag ,
(c)gelombang yang melebar tak terhingga. Suatu gangguan yang singkat memerlukan selang frekuensi yang
lebih lebar untuk menggambarkannya dibandingkan dengan gangguan yang memakan waktu lebih panjang.
Tepatnya, bilangan gelombang yang diperlukan untuk menyatakan suatu group
gelombang melebar dari k = 0 hingga k = , tetapi untuk group yang panjang x -nya
berhingga, gelombang yang amplitude  kg -nya besar, memiliki bilangan gelombang
yang terletak dalam selang yang berhingga k Seperti pada Gb.3-12, lebih sempit group
itu, lebih lebar selang bilangan gelombang yang diperlukan untuk menyatakannya, dan
sebaliknya. Hubungan antara jarak x dan pelebaran bilangan gelombang k
bergantung dari bentuk bilangan gelombang dan bergantung dari cara
x dan k didefinisikan. Harga perkalian x k yang minimum terjadi jika group
gelombang berbentuk fungsi gaussian, dalam hal ini ternyata transform Fouriernya juga
merupakan fungsi gaussian juga. Jika x dan k diambil deviasi standar dari fungsi
 x dan  kg , maka harga minimum x k =1/2 karena pada umumnya group
gelombang tidak memiliki bentuk gaussian (bentuk lonceng), maka lebih realistik jika
hubungan antara x dan k dinyatakan sebagai berikut:
(5.7)
2
1
 kx
Panjang gelombang de Broglie untuk sebuah partikel bermomentum p ialah:
p
h

Bilangan gelombang yang bersesuaian dengannya ialah:

11. h
p
k


 22

Oleh karena itu suatu ketidakpastian k dalam jumlah gelombang pada gelombang-
gelombang Broglie berhubungan denga hasil-hasil partikel dalam suatu ketidak-pastian
p dalam momentum partikel menurut rumus
2
kh
p


Karena
2
1
 kx , maka  xk  2/1 dan
(5.8)
4
h
px  Prinsip ketaktentuan
Persamaan ini merupakan salah satu bentuk prinsip ketaktentuan (ketidakpastian)
kedudukan benda yang diperoleh Weiner Heisenberg dalam tahun 1927. Persamaan ini
menyatakan perkalian ketaktentuan kedudukan benda x pada suatu saat dan
ketaktentuan momentum dalam arah x yaitu p pada saat yang sama lebih besar atau
sama dengan h/ 4 . Kita tidak mungkin menentukan secara serentak kedudukan dan
momentum suatu benda. Jika kita atur supaya x kecil yang bersesuaian dengan group
gelombang yang sempit, maka p akan menjadi besar. Jika kita reduksi p dengan
suatu cara tertentu, maka group gelombangnya akan melebar dan x menjadi besar.
Ketaktentuan ini bukan ditimbulkan oleh alat yang kurang baik tetapi ditimbulkan oleh
sifat ketaktentuan ilmiah dari kuantitas yang tersangkut. Setiap ketaktentuan
instrumental atau statik yang timbul hanya menambah besar perkalian x p .
Kuantitas h/ 2 sering muncul dalam fisika modern, karena ternyata kuantitas itu
merupakan satuan dasar dari momentum sudut. Biasanya orang menyingkat h/ 2
dengan lambang  :
iksJ
h
det
34
.10054,1
2





Selanjutnya dalam buku ini kita akan memakai  sebagai pengganti dari h/ 2 .
Dinyatakan dalam  prinsip ketaktentuan menjadi:
(5.9)
2

 px Prinsip ketaktentuan
Prinsip ketaktentuan dapat didekati dari berbagai jalan. Marilah kita dapatkan dari
berdasarkan sifat partikel seperti yang telah kita lakukan diatas.
Misalnya kita akan mengukur kedudukan dan momentum dari suatu pada suatu saat
tertentu. Untuk melaksanakannya, kita harus mengganggunya dengan sesuatu yang dapat
membawa infosmasi kembali pada kita; ini berarti kita harus menyentuhnya dengan jari
tangan, meneranginya dengan cahaya atau menginteraksikannya dengan suatu cara lain.
Kita bisa memeriksa elektron dengan pertolongan cahaya perpanjangan gelombang 
seperti pada Gb.3-13. Dalam proses ini foton cahaya menumbuk elektron yang terpantul
kearah lain. Setiap foton memiliki momentum /h , dan bila foton itu bertumbukkan
dengan elektron, momentum elektron semula p berubah. Perubahan yang tepat tidak bisa

12. diramalkan, tetapi perubahan berorde besar sama dengan momentum foton /h . Jadi
pengukuran telah menimbulkan ketaktentuan pada momentum elektron. Lebih besar
panjang gelombang cahaya yang kita pakai untuk ”melihat” elektron, lebih kecil
ketaktentuan momentumnya.
GAMBAR 3-13 Elektron tak dapat diamati tanpa mengubah momentumnya.
(5.10)

h
p 
Karena cahaya memiliki sifat gelombang, kita tidak dapat mengharapkan untuk
menentukan kedudukan elektron dengan ketepatan tak berhingga dalam segala keadaan,
tetapi kita dapat mengharapkan secara nalar untuk mempertahankan ketaktentuan tak
tereduksi x dari kedudukannya sepanjang, panjang gelombang dari cahaya yang
dipakai. Ini berarti
(5.11) hpx 
Hal ini konsisten dengan Pers.3.22.
Penalaran seperti diatas, walaupun kelihatanya menarik, tetapi harus diperlakukan dengan
hati-hati. Penalaran seperti itu menyatakan bahwa elektron dapat memiliki kedudukan
dan momentum tertentu pada setiap saat, dan proses pengukuranya saja yang
menimbulkan ketaktentuan x p . Sebenarnya ialah kebalikanya, ketaktentuan ini
merupakan suatu yang inheren dalam alam sebuah benda bergerak. Pembenaran dari
”penurunan” serupa ialah, pertama, penurunan itu menunjukkan bahwa tak mungkin
untuk membayangkan suatu cara untuk menghindari prinsip ketaktentuan, dan kedua,

13. penurunan itu mengemukakanpandangan yang dapat lebih diterima dalam konteks yang
lebih dikenal dari pada pandangan group gelombang.
4.8 Pemakaian Prinsip Ketaktentuan
Tetapan Planck h berharga sangat kecil hanya 6,63x10-34
J.s sehingga pembatasan yang
ditimbulkan prinsip ketaktentuan hanya penting dalam dunia atom. Dalam skala itu
prinsip ini sangat menolong untuk mengetikan banyak gejala. Perlu diingat bahwa batas
bawah 2/ untuk x p sangat jarang dicapai: lebih biasa x p  , atau (seperti
baru kita lihat) hpx  .
Soal: Suatu inti atomik berjari-jari sekitar m15
105 
 . Gunakan prinsip ketaktentuan
untuk mendapatkan batas bawah energi elektron yang harus dimiliki supaya bisa menjadi
partikel penyusunan inti atomik.
Pemecahan: Ambil mx 15
105 
 kita dapatkan:
smkg
m
sJ
x
p /.101,1
105
.1063,6
2
20
15
34










Jika besaran itu merupakan ketaktentuand dari momentum elektron dalam inti,
momentumnya p harus berorde besara paling sedikit sama deangan itu. Elektron dengan
momentum besar itu memiliki energi kinetik banyak kali lebih besar dari energi diam
moc2
, sehingga Pers.1.23 kita lihat bahwa kita dapat mengambil K=pc
Untuk maksud terrsebut dengan ketelitian yang cukup. Jadi
)/103()/.101,1( 820
smsmkgpcK  
J12
103,3 

Karena 1eV= J19
106,1 
 , energi kinetik elektron harus melebihi 20MeV supaya elektron
menjadi partikel dalam inti. Eksperimen menunjukkan bahwa biar pun untuk elektron
yang berkaitan dengan atom tak mantap tidak pernah memiliki energi sebagian dari
energi tersebut, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa tidak terdapat elektron dalam
inti.
Soal: Atom hidrogen berjejari m11
103,5 
 . Gunakan prinsip ketaktentuan untuk
memperkirakan energi elektron yang dapat dimilikinya dalam atom itu.
Pemecahan: Disini kita dapatkan untuk mx 11
103,5 

smkg
x
p /.109,9
2
25




Elektron yang momentunya sebesar itu berkelakuan sebagai partikel klasik, dan energi
kinetiknya ialah:
J
kg
smkg
m
p
K 19
31
252
104,5
)101,9(2
/.109,9
2







Yang sama dengan 3,4 eV. Besarnya energi kinetik elektron pada tingkat energi terendah
dalam atom hidrogen ialah 13,6eV.

14. Bentuk lain dari prinsip ketaktentuan kadang-kadang berguna. Mungkin kita ingin
mengukur energi E yang dipancarkan pada suatu waktu selama selang waktu t dalam
suatu proses atomik. Jika energi ini berbentuk gelombang elektromagnetik, batas waktu
yang tersedia membatasi ketepatan kita untuk menentukan frekuensi v dari gelombang
itu. Marilah kita anggap dari group gelombang itu sebagai sati gelombang. Karena
frekuensi gelombang yang sedang dipelajari sama dengan bilangan yang kita hitung
dibagi dengan selang waktu, ketaktentuan frekuensi v dalam pengukuran kita ialah:
t
v


1
Ketaktentuan energi yang bersesuaian ialah:
vhE 
Sehingga
t
h
E


atau
htE 
Perhitungan yang lebih teliti yang berdasarka sifat gruop gelombang mengubah hasil
tersebut menjadi:
(5.12)
2

 tE Ketaktentuan energi dan waktu
Pers.3.26 menyatakan bahwa perkalian ketaktentuan pengukuran energi E dan
ketaktentuan waktu t pada selama pengukuran itu dilakukan harus sama atau lebih
beasra dari 2/ . Hasil ini bisa diperoleh dengan cara lain dan pada umumnya kasusnya
tidak dibatasi hanya kasus gelombang elektromagnetik.
Soal: Sebuah atom yang ”tereksitasi” mengeluarkan kelebihan energinya dengan
memancarkan sebuah foton yang memiliki frekuensi karakteristik tertentu, seperti yang
diterangkan dalam Bab.4. Periode rata-rata yang berlangsung antar eksitasi atom dan saat
memancarkannya ialah s8
10
. Cari ketaktentuan energi dan frekuensi foton itu.
Pemecahan: Energi foton tak tentu dengan besar:
J
m
sJ
t
E 27
8
34
103,5
102
.10054,1
2










Ketaktentuan frekuensi cahaya diberikan dalam bentuk:
Hz
h
E
v 6
108


Ini merupakan batas tak tereduksi dari ketelitian yang dapat diperoleh untuk frekuensi
radiasi yang dipancarkan oleh sebuah atom. Sebagai hasil radiasi sebuah atom yang
terksitasi tidak muncul dalam bentuk suatu frekuensi tertentu v melainkan dalam selang
antara vv  hingga vv  . Untuk foton yang berfrekuensi Hz14
105 ,
8
106,1/ 
 vv . Dalam praktek ada gejala lain seperti efek doppler memberi kontribusi
lebih besar dari itu pada pelebaran garis spektral.
SOAL
1. Energi terendah yang mungkin dimiliki sebuah partikel yang tertangkap dalam

15. sebuah kotak ialah 1 eV. Berapakah energi dua tingkat berikutnya yang dapat
memiliki partikel itu?
1. Carilah bentuk tingkat energi (dalam MeV) sebuah newtron dalam kotak 1 dimensi
yang lebarnya 10-14
m. Berapakah energi minimum newtron? (diameter inti atomik
berorde besar sama dengan lebar tersebut).