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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECN...
DERIVACIÓN IMPLICITA
Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita
cuando no apa...
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación.
El problema es que sino se logra despejar y,...
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a
continuación claramente en el segundo paréntesis,
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Derivar las funciones:
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Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla
para facilitar el cálculo:
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Derivacion implicita

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Derivacion implicita

  1. 1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE DERIVACIÓN IMPLICITA INTEGRANTE: Miguel Colmenarez C.I: 24667969 Sección: 1
  2. 2. DERIVACIÓN IMPLICITA Funciones implícitas Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero . Estrategia para la Derivación Implícitas 1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x 2. Agrupar todos los términos en que aparezca en el lado izquierdo de la ecuación y pasar todos los demás a la derecha. 3. Sacar factor común en la izquierda. 4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda Funciones explícitas y funciones implícitas En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1. Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1 , obteniendo su derivada fácilmente: .
  3. 3. El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x? El método de regla de la cadena para funciones implícitas Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena. Ejemplo 1: Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente. Ejemplo 2: Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena. Ejemplo 3: Hallar , de la función implícita: Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes; . En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término. .
  4. 4. La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis, quitando paréntesis y ordenando los términos, , pasando algunos términos al lado derecho, extrayendo el factor común , y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida: Derivadas de funciones implícitas Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
  5. 5. Derivar las funciones: 1. 2. Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo: Ejemplo:

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