Derivacion implicita

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
ANTONIO JOSÉ DE SUCRE
DERIVACIÓN IMPLICITA
INTEGRANTE:
Miguel Colmenarez
C.I: 24667969
Sección: 1

2. DERIVACIÓN IMPLICITA
Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita
cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene
dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero .
Estrategia para la Derivación Implícitas
1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x
2. Agrupar todos los términos en que aparezca en el lado izquierdo de la ecuación y
pasar todos los demás a la derecha.
3. Sacar factor común en la izquierda.
4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están
expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo,
muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x,
viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos
despejando y, así, y = 1 / x = x -1
, obteniendo su derivada fácilmente: .

3. El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación.
El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo
hallar dy/dx para la ecuación x2
- 2y3
+ 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como
función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación
será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la
y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo
término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el
tercer término.
.

4. La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a
continuación claramente en el segundo paréntesis,
quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar
y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta
ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

5. Derivar las funciones:
1.
2.
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla
para facilitar el cálculo:
Ejemplo: