1. [sistemas de ecuaciones
diferenciales]
MIGUEL ANGEL AGUILAR LUIS

2. 1.- Ecuaciones diferenciales exactas:
En donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto
es equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que
Donde y . Dado que F(x,y) es una función
diferenciable entonces las derivadas cruzadas deben ser iguales y esta es la condición
.
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes
pasos:
• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas
parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose
de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función
incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:
• Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable
independiente de g.
• Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y
luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se
encontrará la función g.
• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .

3. 1.1.- Ecuaciones diferenciales exactas factor integrante:
Si una ecuación diferencial no es exacta, pudiera llegar a serlo si se la multiplica
por una función especial llamada factor integrante, tal que:
Sea exacta.
Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe,
pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible facilmente
encontrar un factor integrante:
Factor integrante solo en función de x.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir,
), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Factor integrante solo en función de y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir,
), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

4. Factor integrante solo en función de x+y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir,
), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Con z = x + y
Factor integrante solo en función de x·y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir,
), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Con
Donde M * x = M·x
Cabe mencionar que:
2.- Ecuaciones diferenciales lineales:
Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma
general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:
O usando otra notación frecuente:

5. Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen
productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si
usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior,
entonces la ecuación anterior puede escribirse como:
Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones
tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la
hora de encontrar dichas soluciones.
Ecuación lineal de primer orden
Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:
Donde y son funciones continuas en un intervalo . La solución
de esta ecuación viene dada por:
Resolución detallada:
Es Posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación, la idea
consiste en encontrar una función que nos permita transformar:
en la derivada de un producto.
Para ello necesitamos que . En efecto, si despejamos p(x) e
integramos ambos miembros tenemos dentro de la integral y por resolución de

6. integrales sabemos que es el logaritmo de w(x). Despejar el logaritmo es convertir en
exponencial ambos miembros, y así obtenemos
.
Ahora si multiplicamos la ecuación diferencial por obtenemos:
Lo que equivale a escribir:
Con .
Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas
usando la expresión:
Ecuaciones lineales de orden n:
Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden
podemos definir una ecuación diferencial de orden n como:
Donde la derivada mayor que aparece es de orden n-ésimo.
] Resolución caso general
Esta ecuación se dice que es lineal si la función incógnita o sus derivadas no están
multiplicadas por si mismas o si tampoco aparecen en forma de funciones compuestas
(por ejemplo, sin(y)). Una ecuación diferencial lineal de orden superior puede atacarse

7. convirtiéndola en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Para hacer
esto se definen las n funciones incógnita adicionales dadas por:
Puesto que:
El sistema de ecuaciones diferenciales puede escribirse en forma de ecuación matricial
como:
Resolución con coeficientes constantes
La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales se simplifica
mucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes. En el caso de una ecuación
de primer orden la búsqueda de un factor integrante nos lleva en la mayoría de los
casos a una ecuación en derivadas parciales. Si la ecuación es de orden superior, a no
ser que sea una ecuación de Euler o similar, tendremos que proponer una solución que
no viene dada, en general, por funciones elementales. En estos casos los métodos
preferidos (sin contar el cálculo numérico) son los que emplean series de potencias o
series de Fourier. En el caso de los sistemas, si la matriz del sistema es de coeficientes
constantes podemos resolver el sistema usando el método de los valores propios ya
que en ese caso la matriz resultante de la reducción de la ecuación a un sistema de
primer orden es constante y puede encontrarse fácilmente su solución calculando la ex
ponencia de la matriz del sistema.
Para estudiar otros métodos de encontrar la solución a parte de la exponenciación de
matrices consideraremos una ecuación del tipo:
Donde son coeficientes constantes conocidos. Observemos
que la derivada n-ésima va acompañada por el coeficiente unidad. Definimos el
polinomio característico de la ecuación como

8. que es una ecuación algebraica de orden n. Se demuestra que si hallamos las n raíces
del polinomio característico la solución de la ecuación homogénea:
Al calcular las raíces del polinomio característico pueden darse los siguientes casos:
• Raíces reales distintas: En este caso la solución viene dada directamente por
, donde , siendo Ck constantes
de integración.
• Raíces reales repetidas: Ilustraremos este caso con un ejemplo; sea una
ecuación de segundo orden con coeficientes constantes cuyo polinomio
característico tiene la raíz λi doble. En este caso no podemos expresar la
solución como , ya que si lo hacemos de este modo tenemos una
información redundante. En este caso particular la solución de la ecuación es
. En general, en una ecuación de orden n, si una raíz
aparece repetida q veces la solución parcial asociada a ella es:
• Raíces complejas: Si las raíces son del tipo debemos expresar la
solución como combinación lineal de senos, cosenos y exponenciales en la
forma
.
Si las raíces complejas conjugadas están repetidas, la ecuación es del tipo
.
Una vez resuelto el problema homogéneo podemos atacar el problema completo. Para
tener la solución del problema completo debemos sumar una solución particular a la
solución homogénea ya obtenida:
.

9. Para hallar empleamos el método de la conjetura razonable, consistente en
analizar el término in homogéneo de la ecuación y proponer funciones del mismo tipo
como solución. Nótese que no es necesario que sea un coeficiente constante.
Ejemplos
• Tenemos Proponemos (polinomio de primer orden).
Las constantes y quedan determinadas tras aplicar los requerimientos de la
ecuación a la solución particular (derivar n veces, multiplicar por coeficientes
constantes, etc.).
• Tenemos . Proponemos .
3.- ecuaciones diferenciales por Bernoulli:
Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan
por tener la forma:
Donde y son funciones continuas en un intervalo
Método de resolución
Caso general
Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se
obtiene:
Definiendo:
Lleva inmediatamente a las relaciones:

10. Gracias a esta última relación se puede reescribir como:
Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal
obteniendo como resultado:
Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:
Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la
expresión:
Con .
Particular: α = 0
En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada
por:
Caso particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:

11. Ejemplo
Para resolver la ecuación:
Se hace el cambio de variable , que introducido en da simplemente:
Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:
Si se sustituye en la última expresión y operando:
Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula
el factor integrante típico de la ecuación de Bernoulli:
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :