El documento describe diferentes tipos de superficies cuádricas representadas por ecuaciones de segundo grado. Explica que una esfera, elipsoide, hiperboloide de una hoja y cilindro elíptico son ejemplos de superficies cuádricas y analiza las propiedades geométricas de cada una. También analiza cómo estas superficies se intersectan con los planos coordenados.
Novena de Pentecostés con textos de san Juan Eudes
Superficies cuátricas
1. DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe – mitagi@gmail.com
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938
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TEMA: SUPERFICIES CUÁDRICAS SEMANA: 02
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II
SUPERFICIES CUÁDRICAS
INTRODUCCIÓN
Analíticamente la ecuación 𝑬(𝒙, 𝒚) = 𝟎 , nos
representa un lugar geométrico en el plano 𝒙𝒚, a la
ecuación 𝑬(𝒙, 𝒚) = 𝟎 , extenderemos al espacio
tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres
variables representadas por:
𝒙𝒚𝒛
También se conoce que todo se representa
analíticamente por una única ecuación lineal de la
forma
𝑷: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎
De una manera más general, veremos si existe una
representación analítica de una figura geométrica, la
cual denominaremos superficie, tal representación
consistirá en una única ecuación rectangular de la
forma:
𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎
Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos
puntos se puede demostrar que la superficie esférica
de radio r con centro en el origen se representa
analíticamente por la ecuación.
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝒛 𝟐
= 𝒓 𝟐
SUPERFICIES CUÁDRICAS
La ecuación de la esfera, es solo un caso particular de
la ecuación de segundo grado.
𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒚 𝟐
+ 𝑪𝒛 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭𝒛 + 𝑮 = 𝟎
Cuando A, B, y C no son todos nulos, se dice que la
gráfica de una ecuación de la forma
𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒚 𝟐
+ 𝑪𝒛 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭𝒛 + 𝑮 = 𝟎
es una superficie cuádrica, si describe un lugar
geométrico real.
Por ejemplo
Ejm.
𝑥2
9
+
𝑦2
16
+
𝑧2
25
= 1
Al hacer un estudio de esta superficie se tiene que:
I. Intersección con los ejes:
a. Eje x: 𝑥2
= 9 ⇒ 𝑥 = ±3 ⇒ (3, 0, 0) 𝑦 (−3, 0, 0)
son puntos de la superficie.
b. Eje y: 𝑦2
= 16 ⇒ 𝑥 = ±4 ⇒ (0, 4, 0) 𝑦 (0, − 4, 0)
son puntos de la superficie.
c. Eje z: 𝑧2
= 25 ⇒ 𝑥 = ±5 ⇒ (0, 0, 5) 𝑦 (0, 0, −5)
son puntos de la superficie.
II. Trazas sobre los ejes:
a. plano yz: 𝑥 = 0 ⟹
𝑦2
16
+
𝑧2
25
= 1,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒.
b. plano xz: 𝑦 = 0 ⟹
𝑥2
9
+
𝑧2
25
= 1,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒.
c. plano xy: 𝑧 = 0 ⟹
𝑥2
9
+
𝑦2
16
= 1,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒.
III. Simetría con respecto a los planos coordenados,
ejes coordenados y al origen
Relaciones Simetría
F(-x, y, z)=F(x, y, z) Plano yz
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F(x, -y, z)=F(x, y ,z) Plano xz
F(x, y, -z)=F(x, y, z) Plano xy
F(-x, -y, z)=F(x, y, z) Eje z
F(-x, y ,-z)=F(x, y, z) Eje y
F(x, -y, -z)=F(x, y, z) Eje x
F(-x, -y, -z)=F(x, y, z) Origen
IV. Secciones por planos paralelos a los planos
coordenados
Los planos paralelos al plano 𝑥𝑦 tienen ecuación 𝑧 =
𝑘. La curva intersección entre la superficie y este plano
se obtiene sustituyendo 𝑧 = 𝑘 en la ecuación
elipsoide, resultando
𝑥2
9
+
𝑦2
16
= 1 −
𝑘2
25
.
Si 1 −
𝑘2
25
> 0, es decir |𝑘| < 5, la curva es una elipse
en el plano 𝑧 = 𝑘.
V. Extensión de la superficie de
𝑥2
9
+
𝑦2
16
+
𝑧2
25
= 1 se
tiene 𝑧 = |5|√1 −
𝑥2
9
−
𝑦2
16
de donde
𝑥2
9
+
𝑦2
16
≤ 1
VI. Gráfico de la superficie
El cilindro elíptico:
2 2
1
4 9
x y
Como el cilíndrico parabólico
2
z y
Son superficies cuádricas, Concluiremos este informe
considerando seis superficies cuádricas adicionales y
bien definidas.
ELIPSOIDE. - Se dice que la gráfica de cualquier
ecuación de la forma
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
, donde 𝑎 > 𝑜, 𝑏 > 0 𝑦 𝑐 > 0
Es un elipsoide. Para 0y b , la ecuación
22 2
0
2 2 2
1
yx z
a c b
Representa una familia de elipses (o circunferencia si
𝑎 = 𝑐) paralelas al plano que se forman cortando la
superficie mediante planos 𝑦 = 𝑦0 . Eligiendo, cada
uno a su vez, 𝑥 = 𝑥0 , 𝑦 = 𝑦0 , encontrarías que los
cortes de la superficie son elipse (o circunferencias)
paralelas a los planos 𝑦𝑧 𝑦 𝑥𝑦, respectivamente.
Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) Elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑥𝑧(𝑦 = 0) Elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑧2
𝑐2
= 1
𝑦𝑧(𝑥 = 0) Elipse:
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1
(a)
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HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
La grafica de una ecuación de la forma
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
, donde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑦 𝑐 > 0
Se llama hiperboloide de una hoja. En este caso, un
plano 𝑧 = 𝑥0, paralelo al plano 𝑥𝑦, corta la superficie
en secciones transversales elípticas (o circulares, si
𝑎 = 0). Las ecuaciones de estas elipses son
22 2
0
2 2 2
1
yx z
a b c
, donde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑦 𝑐 > 0
La elipse más pequeña, 𝑧0 = 0 , corresponde a las
trazas en el plano 𝑥𝑦.
Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) Elipse:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑥𝑧(𝑦 = 0) hipérbola:
𝑥2
𝑎2
−
𝑧2
𝑐2
= 1
𝑦𝑧(𝑥 = 0) hipérbola:
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1
(a)
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Como se ve en la figura, una gráfica de
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
, donde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑦 𝑐 > 0
Es llamada apropiadamente hiperboloide de dos hojas.
Para 0y b la ecuación
22 2
0
2 2 2
1
yx z
a c b
Describe la curva elíptica de intersección de la
superficie con el plano 𝑦 = 𝑦0
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Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) hipérbola:
−
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑥𝑧(𝑦 = 0) ninguna
𝑦𝑧(𝑥 = 0) hipérbola:
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1
(a)
PARABOLOIDE
La grafica de una ecuación de la forma
2 2
2 2
x y
cz
a b
Se llama paraboloide. En la Figura vemos que
para 𝑐 > 0, los planos 𝑧 = 𝑧0 > 0, paralelos al plano,
cortan las superficies en elipses cuyas ecuaciones son
2 2
02 2
x y
cz
a b
Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) punto: (0; 0)
𝑥𝑧(𝑦 = 0) parábola:
𝑥2
𝑎2
= 𝑐𝑧
𝑦𝑧(𝑥 = 0) parábola:
𝑦2
𝑏2
= 𝑐𝑧
(a)
CONO
Las gráficas de una ecuación de la forma
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑦 𝑐 > 0
Son llamados conos elípticos (o circular, si 𝑎 = 𝑏). Para
𝑧0 arbitrario, los planos paralelos al plano 𝑥𝑦 cortan la
superficie en elipses cuyas ecuaciones son
22 2
0
2 2 2
zx y
a b c
En la siguiente figura se muestra una gráfica
característica
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Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) punto: (0; 0)
𝑥𝑧(𝑦 = 0) rectas:
𝑧 = ∓
𝑐
𝑎
𝑥
𝑦𝑧(𝑥 = 0) rectas:
𝑧 = ∓
𝑐
𝑏
𝑦
(a)
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
La última superficie cuádrica que consideraremos se
conoce como paraboloide hiperbólico y es la gráfica de
toda ecuación de la forma
2 2
2 2
y x
cz
a b
, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0
Observe que para 𝑐 > 0 los planos, 𝑧 = 𝑧0, paralelo al
plano 𝑥𝑦, cortan la superficie en hipérbolas cuyas
ecuaciones son
2 2
02 2
y x
cz
a b
En la figura, se muestra la forma característica de la silla
de montar de un paraboloide hiperbólico.
Plano
coordenado
traza
𝑥𝑦(𝑧 = 0) rectas:
𝑦 = ∓
𝑎
𝑏
𝑥
𝑥𝑧(𝑦 = 0) parábola:
−
𝑥2
𝑏2
= 𝑐𝑧
𝑦𝑧(𝑥 = 0) parábola:
𝑦2
𝑎2
= 𝑐𝑧
(a)
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio
completo: trazas, cortes con los ejes, identificar la
superficie y hacer un gráfico aproximado.
1. 2 2 2
4 8 2 2 3 0x y z x y z
(Hiperboloide de una hoja con centro en
𝑝 = (1, 1, −1))
2. 2 2 2
8 8 6 24 0x y z y z (esfera)
3. 2 2 2
2 4 8x y z (cono elíptico de 2 hojas)
4. 2 2 2
10 25 0x y z z (cono circular)
5. 2 2
36 36 9y x z (paraboloide elíptico)
6. 2 2
5x z y (paraboloide hiperbólico)
7. 2 2 2
4 4 6 16 16 5 0x y z x y z
(Hiperboloide de una hoja)
8. 2 2
2 0y z x (paraboloide circular recto)
9. 2 2
3 2 11z x y (paraboloide)
10.
2 2 2
1
4 9 9
z y x
(hiperboloide de dos hojas)
12. 2 2
1x z 13. 2
1x z
14. 2 2
4 1x y 15. 2 2
4 36x y
16. 2
4x y
17. 2 2
4 16x z (cilindros)
Bibliografías
Dennis G. Zill. Cálculo con Geometría Analítica
Eduardo Espinoza Ramos. Análisis Matemático III
G. Fuller y D. Tarwater. Geometría Analítica
Johnson, Glenn, Norton y García. Explorando la
matemática. Tomo II. New York. McGraw-Hill, 1967.
Referencias
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-
superficiescuadraticas/
http://utecmat.blogspot.pe/2014/07/superficies-
cuadricas.html
http://www.essl.edu.pt/Dep/Mat/ano%2011/funcoes
/historia.pdf
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http://www.monografias.com/trabajos-
pdf5/superficies-cuadraticas/superficies-
cuadraticas.shtml
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Cu
adricas/marco_cuadricas.htm
https://algebraunq.wikispaces.com/file/view/Las+6+Su
perficies-Cuadricas.pdf
http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/12852466
26_1262616935.pdf
http://orientacionuniversitaria.weebly.com/uploads/4/0
/0/1/40018067/resumen_superficiescuadricas_parcial1
_ingridrovelo_calculo2.pdf dipositive