Integral calculus problems

C´alculo Integral
Problemas
2
4
6
8
−2
−4
2 4 6−2−4−6
A B
n = 10
f(x) = 0.4x2
x
y
Alvaro M. Naupay Gusukuma
Universidad Nacional de Ingenier´ıa
2013-I

Índice general
1. PRÁCTICA DIRIGIDA № 1 1
1.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.2. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10.Primera Práctica Calificada 22
10.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11.Segunda Práctica Calificada 24
11.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

12.Tercera Práctica Calificada 26
12.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
13.Examen Parcial 27
13.1. 2015-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
14.Cuarta Práctica Calificada 28
14.1. 2013-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
15.Quinta Práctica Calificada 29
15.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
16.Sexta Práctica Calificada 31
16.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
17.Examen Final de Cálculo Integral 32
17.1. 2009-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
17.2. 2013-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18.Examen Sustitutorio 34
18.1. 2012-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Bibliograf´ıa 35
ii

1
PRÁCTICA DIRIGIDA № 1
1.1. Problemas
1. Enuncie las definiciones de antiderivada y de integral definida.
2. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones con adecuada jus-
tificación:
a) Si F es una antiderivada de f en R, entonces F(x + 1) es una antiderivada de f(x + 1)
en R.
b) Si F es una antiderivada de f en R, entonces F(3x) es un antiderivada de f(3x) en R.
c) Sean F una antiderivada de f en I y g una función derivable tal que F ◦ g y f ◦ g están
definidas en I. Luego, F ◦ g es una antiderivada de (f ◦ g).
d) Sean F un antiderivada de f en I y g una función derivable tal que F ◦ g y f ◦ g están
definidas en I. Luego, F ◦ g es una antiderivada de (f ◦ g) · g′
.
e) Si F es una antiderivada de g ·f′
en un intervalo I, entonces f ·g −F es una antiderivada
de f · g′
.
3. Sea F una antiderivada de f y supongamos que f tiene inversa, denotada por f−1
, además
f y su inversa son derivables. Pruebe que la función definida por:
G(x) = xf−1
(x) − F(f−1
(x))
es una antiderivada de f−1
. Solución.
4. Sea f(x) = |x| y F definida por:
F(x) =



−
1
2
x2
, si x < 0
1
2
x2
, si x ≥ 0 .
Demuestre que F es una antiderivada de f en ] − ∞, ∞[.
5. Calcule (x3
+ 1)2
x2
dx mediante dos métodos:
a) Hacer la sustitución u = x3
+ 1
b) Desarrollar primero (x3
+ 1)2
compare resultados y explique.

6. Sean f y g definidas en ]−∞, ∞[, tales que f es una antiderivada para g y este último es una
antiderivada de −f. Además que f(0) = 0, g(0) = 1. Demuestre que [f(x)]2
+ [g(x)]2
= 1
7. Sea
f(x) =



−1 , si x < 0
0 , si x = 0
1 , si x > 0 .
F(x) = |x|. Demuestre que F′
(x) = f(x) si x = 0. ¿Es F una antiderivada de f en ]−∞, ∞[?.
Explique.
8. Sea
U(x) =
0 , si x < 0
1 , si x ≥ 0 .
Demuestre que U no tiene antiderivada en −∞, ∞ .
9. Sean g y f dos funciones definidas por:
g(x) =



x2
sen
1
x
, si x = 0
0 , si x = 0 .
f(x) =



2x sen
1
x
− cos
1
x
, si x = 0
0 , si x = 0 .
a) Pruebe que g es una antiderivada de f.
b) Pruebe que f no es continua.
10. Halle una función y = f(x) tal que f′′
(x) =
sen(
√
x)
√
x
para x ∈ ]0, +∞[ y la recta tangente
a la gráfica de f en el punto A(π2
; 0) tiene por ecuación πy − x + π2
= 0.
11. Determine cada una de las siguiente integrales
a) sen4
(2x) cos3
(2x) dx b) tan5
(x) sec(x) dx c)
sec x
1 − sen x
dx
d)
(4 − x2
)5/2
x6
dx e)
x2
√
x2 + 2x + 5
dx f)
x5
√
x2 − 4
dx
12. Demuestre cada una de las siguientes relaciones:
a) (ln x)n
dx = x(ln x)n
− n (ln x)n−1
dx, n ∈ N.
b) xn
eax
dx =
xn
eax
a
−
n
a
xn−1
eax
dx, a ∈ R, n ∈ N.
c) (csc x)n
dx = −
1
n − 1
cot x(csc x)n−2
+
n − 2
n − 1
(csc x)n−2
dx, n ∈ N, n > 1.
1.2. Soluciones
1.
2.
2

3. Como F es antiderivada de f tenemos que
dF(x)
dx
= f(x)
haciendo el siguiente cambio de variable x = f−1
(y) en la ecuaci´on anterior tenemos
dF(f−1
(y))
d[f−1(y)]
= f(f−1
(y)) = y
luego reescribiendo y por x tenemos
dF(f−1
(x))
d[f−1(x)]
= x
teniendo esto ´ultimo en mente y usando la regla de la cadena hallemos G′
(x) como sigue
dG(x)
dx
= f−1
(x) + x
d(f−1
(x))
dx
−
dF(f−1
(x))
d[f−1(x)]
d[f−1
(x)]
dx
= f−1
(x) + x
d(f−1
(x))
dx
− x
d[f−1
(x)]
dx
= f−1
(x) .
Lo que prueba que G es la antiderivada de f. Problema.
3

2
2.1. Problemas
1. Analizar si P es una partición de [a, b].
En caso afirmativo, hallar P = máx{xi+1 − xi / i = 0, . . . , n}
a) [3, 6], P = {xk = 3 +
k
n
/ k = 0, 1, 2, . . .}
b) [0, 1], P = {xk = sen
kπ
2n
/ k = 0, 1, 2, . . .}
c) [3, 5], P = {xk3 +
2k − 2
n
/ k = 0, 1, 2, . . .}
d) [−2, −1], P = {xk = −2 +
k
n
/ k = 0, 1, 2, . . .}
2. Sea P = {−1, 0, 1, 3, 4} una partición de [−1, 4] y
f(x) =



x + 2 , −1 ≤ x ≤ 0
x , 0 < x < 1
1 +
√
x , 1 ≤ x ≤ 4
hallar mi(f) y Mi(f), i = 1, 2, 3, 4. Calcular U(f, P), L(f, P) y aproximar el valor de la
integral de f desde −1 hasta 4 con esta partición, indicando una cota del error cometido.
3. Sea f la función definida por f(x) = sen
1
x
∀x ∈ [
1
5π
,
6
5π
]. Dada la partición P =
{
1
5π
,
2
5π
,
3
5π
,
4
5π
,
6
5π
} de este intervalo, halle L(f, P) y U(f, P).
4. Sean f, g : [a, b] → R funciones acotadas. Pruebe que
L(f, P) + L(g, P) ≤ L(f + g, P) y U(f + g, P) ≤ U(f, P) + U(g, P)
para toda partición P del intervalo [a, b].
5. Sea f una función acotada en el intervalo I y sean P1, P2 particiones de I tal que P2 es un
refinamiento de P1. Demuestre que:
a) P2 ≤ P1 .

b) L(f, P2) − L(f, P1) ≤ r(M − m) P1 y U(f, P1) − U(f, P2) ≤ r(M − m) P1 si P2 P1
tiene r puntos.(M = sup(f) y m = ´ınf(f))
6. Sea f la función definida por f(x) = x3
sobre [0, 1]. si P = {0,
1
4
,
1
2
,
3
4
, 1} y Q = {0,
1
3
,
2
3
, 1}
son dos particiones de [0, 1]. ¿Cuál es la relación entre L(f, P) y L(f, Q)?. ¿Es contradictorio
con el resultado anterior?.
7. Si f es decreciente sobre [a, b], pruebe que U(f, P) − L(f, P) ≤ P (f(a) − f(b)) para cada
partición P de [a, b], luego concluya que f es integrable en [a, b].
8. Sea f una función derivable sobre [a, b] tal que |f′
(x)| ≤ K. Demuestre que:
a) Para cada partición P de [a, b], U(f, P) − L(f, P) ≤ K|P|(b − a).
b)
b
a
f −
1
2
[U(f, P) + L(f, P)] ≤
K
2
P (b − a).
9. Expresar el l´ımite de cada suma, como una integral definida:
a) l´ım
|P |→0
n
i=1
xi + xi+1
2
3
(xi − xi−1), P partición de [2, 5].
b) l´ım
|P |→0
n
i=1
xi
1 + xi
(xi − xi−1), P partición de [0,
√
3].
c) l´ım
|P |→0
n
i=1
(x2
i − x2
i1
), P partición de [−3, 10].
d) l´ım
|P |→0
n
i=1
sen(xi)
1 + x4
i
(xi − xi−1), P partición de [0, 2] y xi ∈ [xi−1, xi].
e) l´ım
|P |→0
n
i=1
sen
xi + xi−1
2
(xi − xi−1), P partición de [0, π].
10. Expresar cada uno de os siguiente l´ımites como una integral definida, donde P = {xi / i =
0, 1, . . . , n} es una partición de [a, b].
a) l´ım
|P |→0
n
i=1
2π(1 − xi − xi−1)x2
i (xi − xi−1); [0, 1].
b) l´ım
n→∞
n
i=1
1
n
[a +
i
n
(b − a)]; [a, b].
c) l´ım
n→∞
1
n
n
i=1
[a +
i − 1
n
(b − a)][a +
i
n
(b − a)]; [a, b].
11. Expresar cada l´ımite como una integral definida:
l´ım
n→∞
n
i=1
(xi − xi−1)2 + (cos(xi) − cos(xi−1))2 , [0, π]
Sugerencia: Use el Teorema del Valor Medio.
5

12. Sea f : [a, b] → R una función continua. Si
b
a
f = 0 y f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], demuestre que
f(x) = 0 ∀x ∈ [a, b].
13. Sea f una función creciente sobre [a, b]. Demuestre que
f(a)(b − a) ≤
b
a
f ≤ f(b)(b − a) .
14. Sea f : [a, b] → R una función creciente. Si Pn es una partición de [a, b] en n partes iguales,
demuestre que
0 ≥ U(f, P) −
b
a
f ≤
b − a
n
(f(b) − f(a)) .
15. Sea f : [0, 1] → R la función definida por
f(x) =
x , x ∈ Q
1 − x , x ∈ I
analice la integrabilidad de f en [0, 1].
16. ¿La composición (si existe) de dos funciones integrables, es integrable?. si su respuesta es
afirmativa demuéstrelo, en caso contrario de un contraejemplo.
6

3
3.1. Problemas
1. Calcular las siguientes integrales, si f(x) =
x2
, 0 ≤ x ≤ 1
2 − x , 1 < x ≤ 2
:
a) I =
1
0
|1 − x| dx b) I =
b
0
|x|
x
dx c)
2
0
f(x) dx
2. Calcular:
a) l´ım
h→0
1
h


x+h
1
sen(t) dt −
x
1
sen(t) dt

 b) l´ım
h→0
1
h
c+h
c
f(t) dt
c) l´ım
h→0
1
h
3+h
3−h
1
1 + x2
dx d) l´ım
h→0
1
h

x −
x
0
t2
1 + t2
dt −
x+h
0
1
1 + t2
dt


e) l´ım
h→0
1
h
x+h
x
t3
dt
3. a) Si
1/(3x+1)
0
f(t) dt =
2
ax
+ ax. Hallar los valores a de modo que f
1
4
=
16
3
.
b) si
x2
x3
t6
1 + t4
dt, calcular F′
(x).
c) Si f es continua en [0, 2[ y f(1) = 1, calcular l´ım
x→1
x
x − 1
3/(2+x)
3/(4−x)
f(t) dt.
4. Demostrar que:
Si f es una funci´on continua y par en [−a, a], entonces
a
−a
f(x) dx = 2
a
0
f(x) dx.

5. a) Hallar el valor medio de f(x) = |x| sobre [−2, 2].
b) Sea f(x) = (x − 2)2
+ 2. Graficar f, halla el valor medio f de f sobre [1, 3] y los c tales
que f = f(c), c ∈]1, 3[.
c) Usando f(x) = x sen(x) y el teorema del valor medio para integrales. Demostrar que
∃c ∈ [0, 2π] tal que sen(c) = −
1
c
d) Demostrar que el valor medio de f(x) = x2
en [a, b] es
b2
+ ab + a2
3
6. Sean f y g continuas sobre [a, b], probar que:


b
a
f(t)g(t) dt

 ≤


b
a
f2
(t) dt




b
a
g2
(t) dt


Sugerencia: F(t) = (f(t) − λg(t))2
.
7. Sea f : R → R tal que f(x) =
2x
x
1
√
1 + t4
dt, sin resolver la integral:
a) Hallar f′
(x).
b) ¿Es f par?, ¿Es f impar?.
c) Calcular l´ım
x→∞
f(x), l´ım
x→−∞
f(x).
d) Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, los puntos cr´ıticos y graficar f.
8. Si f es continua sobre [0, ∞[, demuestre que
x
0
f(u)(x − u) du =
x
0


u
0
f(t) dt

 du
Sugerencia: Usar el segundo T.F.C.
9. Sea f continua en [a, b] y g integrable y no-negativa en [a, b]. Probar que
x
c
f(t)g(t) dt = f(c)
b
a
g(t) dt , c ∈ [a, b] .
10. Encontrar una función f y un valor de la constante tal que
x
c
tf(t) dt = sen(x) − x cos(x) +
x2
2
, para todo x ∈ R .
11. Si f′
> 0 sobre un intervalo I, hallar L = l´ım
h→0
1
h
f∗(x+h)
f∗(x)
f(t) dt.
12. a) Si f es continua en [0, a], demuestre que
a
0
f(x) dx =
a
0
f(a − x) dx.
8

b) Si f es una funci´on par y continua, demuestre que
π
0
xf(cos(x)) dx = π
π/2
0
f(sen(x)) dx .
13. Calcular J =
π
0
x sen(x)
a + cos2(x)
dx.
14. calcular J =
16
1
arctan(
√
x − 1) dx.
15. Demostrar que:
1
x
dt
1 + t2
=
1/x
1
dt
1 + t2
, si x > 0.
16. Calcular
π/4
0
dx
a2 sen2(x) + b2 cos2(x)
, ba = 0.
9

4
4.1. Problemas
1. Sea f : [0, 4] → R una función continua. Si
2
0
f = −2 y
4
0
f = 0, demuestre que existe
c ∈ [0, 4] tal que f(c) = 1.
2. Calcular las siguientes integrales
a) I =
2
−1
|x|
x
dx b)
2
0
f(x) dx si f(x) =
x2
, 0 ≤ x ≤ 1
2 − x , 1 < x ≤ 2
3. Demuestre cada una de las siguientes desigualdades:
a)
π
4
≤
1
0
1
1 + x4
dx ≤ 1 b)
2
3
≤
1
0
1
√
2 + x − x2
dx ≤
√
2
2
4. Sea f : [1, 5] → R una función continua. Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [1, 5] y
5
1
f = 0,
demuestre que f es la función nula. ¿Si la hipótesis de no negatividad, se tendrá la misma
conclusión?. Justifique su respuesta.
5. Sea f : [a, b] → R una función continua. Si
b
a
f(x) dx = 0, demuestre que la gráfica de f
intersecta al eje X en un punto cuya abscisa está en el intervalo [a, b].

6. Calcular:
a) l´ım
h→0
1
h
x+h
x
t3
dt b) l´ım
h→0
1
h
3+h
3−h
1
1 + x2
dx
c) l´ım
h→0
1
h


x+h
1
sen(t) dt −
x
1
sen(t) dt

 d) l´ım
h→0
1
h

x −
x
0
t2
1 + t2
dt −
x+h
0
1
1 − t2
dt


e) l´ım
h→0
1
h
c+h
c
f(t) dt
7. a) Si
1/(3x+1)
0
f(t) dt =
2
ax
+ ax. Hallar los valores a de modo que f
1
4
=
16
3
.
b) Si
x2
x3
t6
1 + t4
dt, calcular F′
(x).
c) si f es continua en [0, 2[ y f(1) = 1, calcular l´ım
x→1
x
x − 1
3/(2+x)
3/(4−x)
f(t) dt.
8. Demostrar que: Si f es una función continua y par en [−a, a]:
Entonces
a
−a
f(x) dx = 2
a
0
f(x) dx.
9. a) Hallar el valor medio de f(x) = |x| sobre [−2, 2].
b) Sea f(x) = (x − 2)2
+ 2. Graficar f, hallar el valor medio f de f sobre [1, 3] y los c tales
que f = f(c), c ∈]1, 3[.
c) Usando f(x) = x sen(x) y el teorema del valor medio para integrales. Demostrar que
∃c ∈ [0, 2π] tal que sen(c) =
1
c
.
10. Sean f y g continuas sobre [a, b], probar que:


b
a
f(t)g(t) dt


2
≤


b
a
f2
(t) dt




b
a
g2
(t) dt


Sugerencia: F(t) = (f(t) − λg(t))2
.
11. sea f : R → R tal que f(x) =
2x
x
1
√
1 + t4
dt sin resolver la integral
a) Hallar f′
(x).
b) ¿Es f par ?, ¿es f impar?.
c) Calcular l´ım
x→∞
f(x), l´ım
x→−∞
f(x).
d) Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, los puntos cr´ıticos y graficar f.
11

5
5.1. Problemas
1. Demuestre que
a) ∀x ∈]1, +∞[: 1 −
1
x
≤ ln x ≤ x − 1.
b) Si h = x − 1, entonces:
h
1 + h
≤ ln(1 + h) ≤ h
. Concluya que ln′
(1) = 0.
2. Sean I un intervalo y g : I → R una funci´on tal que Rang(g) ⊂ ]0, +∞[. Demuestre que:
a) Si l´ım
x→a
g(x) = +∞ entonces l´ım
x→a
ln(x) = +∞.
b) Si l´ım
x→a
g(x) = 0 entonces l´ım
x→a
ln(x) = −∞.

6
6.1. Problemas
1. Determine las siguientes antiderivadas:
a)
x + 1
2x2 + 4x + 1
dx b)
1
x ln x
dx c)
sen(2x)
1 − cos(2x)
dx
d)
1
√
x(1 +
√
x)
dx e)
1
x ln(x)
dx f)
ln(x3
)
x
dx
2. Halle los siguientes l´ımites:
a) l´ım
x→∞
ln(
√
x)
x
b) l´ım
x→∞
ln(x)
√
x
c) l´ım
x→0+
x ln(x)
3. Demuestre que si x ≥ 1, ln(x +
√
x2 − 1) = − ln(x −
√
x2 − 1)
4. Bosquejar la gráfica de las siguientes funciones
a)f(x) = x ln(x) b)f(x) = x2
ln(x) c)f(x) =
√
x ln(x)
5. Determine las primitivas que se indican:
a) xex2
dx b) ex+ex
dx c)
x + e2x
x2 + e2x
dx
d)
√
xe2x
√
x
dx e)
e2x
1 + e2x
dx f)
ex
1 + ex
dx
6. Evalue los siguientes l´ımites:
a) l´ım
x→∞
ex
x
b) l´ım
x→∞
ex
√
x
c) l´ım
x→∞
e
√
x
x
d) l´ım
x→∞
x2
e−x
7. Trace la gráfica de la función f si:
a)f(x) = x2
e−x
b)f(x) = x3
e−x
c)f(x) = e−x2

8. Si una planta qu´ımica despide una cantidad A de contaminantes en un canal en el instante
t = 0, entonces la concentraci´on resultante de contaminantes en el agua del canal de unpueblo
a una distancia x0 rio abajo de la planta en el instante t es:
C(t) =
A
√
kπt
exp −
x2
0
4kt
, donde t ∈ R .
Demuestre que la concentraci´on en el pueblo es:
Cmax =
A
x0
2
πe
14

7
7.1. Problemas
1. En la figura adjunta se muestra las regiones D1 y D2. Exprese el área de la región D2 en
términos del área de la región D1. Solución.
x
y
y = xex2
D1
x
y
y = ex
D2
2. Sea D la región del plano limitada por la curva C : y = 4 − x2
y las rectas tangentes a C
trazadas desde el punto A(0; 5). Calcule el área de la región D. Solución.
3. Sea C la curva con ecuación C : y = ln x. Calcule el área de la región D del plano limitado
por C, la recta tangente a C en el punto A(e; 1) y el eje x.
4. Sea C la curva con ecuación C : y = x4
− 2x3
+ 8x − 4. Calcule el área de la región D del
plano limitado por C y la recta tangente a C en el punto de abscisa -1.
5. Calcule el parea dela región D de lplano limitado por las curavas C1 : x = y2
, C2 : y = x + 2,
C3 : y = −2 y C4 : y = 3.
6. Calcule el área del al región D del plano limitado por la elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1
7. Calcule el área de la región D del plano limitado por las rectas y = 1, y = 0 y la hipérbola
x2
− y2
= 3

8. Calcule el área de la región D del plano limitada por
y = 1 − x2
, y =
1 − x
2
, y = 1
9. Sea D la región del plano limitada por el eje x, y = tan−1
x, x = −1 y x =
√
3. Calcule el
área de D
10. Calcule el área de la región D del plano limitado por la curva C : x = y3
− y y el eje y.
11. Sea D la región del problema 2. Calcule el volumen del solido que se genera cuando D gira
alrededor del eje x.
12. Sea D la región del problema 3. Calcule el volumen del sólido de revolución cuando D gira
alrededor de la recta
a) y = 0 b) x = 0 c) x = e d) y = 1 e) x = −1
13. Sea D la región del plano limitado por y = ex
, y = ex
, y = 2. Calcule
a) El áre de D.
b) El volumen del sólido que se genera cuando D gira alrededor del eje x.
14. Dea D la región del plano limitado por y = ex
, y = x + 1, x = 1. Calcule el volumen del
sólido que se genera cuando D gira alrededor
a) del eje x b) del eje y
15. Calcule el volumen del sólido que se genera cuando la región D del problema 9 gira alrededor
del eje x.
16. Sea D la región del plano limitado por el eje x y la elipse del problema 6 con y ≥ 0. Calcule
el volumen del sólido que se genera cuando D gira alrededor del eje x.
17. Sea D la región del primer cuadrante limitado por y = x2
, x = 0 y la recta y = 2. Calcule
el volumen del sólido que se genera cuando D gira alrededor del eje y.
18. Sea D la región del plano limitado por y =
1
1 + x2
, x = 0, y = 0. Calcule el volumen del
sólido que se genera cuando D gira alrededor
a) del eje y b) de la recta x = −1
19. La base de un sólido E es la región D del plano XY limitado por la curvas y = x2
, y = 3−2x.
si las secciones transversales perpendiculares al eje x son triángulos rectángulos isósceles uno
de cuyos catetos se encuentra en el plano XY , calcule el volumen de E.
20. La base de un sólido es la región D del plano XY limitado por y = 1 − x2
, y = −1. si las
secciones transversales perpendiculares al eje y son triángulos equiláteros, calcule el volumen
del sólido.
21. La base de un sólido es al región del plano XY limitado por la elipse del problema 6. Calcule
el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al eje x son cuadrados.
22. La base de un sólido es la región del plano limitado por la circunferencia de centro (0; 0) y
radio a. Calcule el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al eje x
son rectágulares en los que la longitud de las base es el doble del al longitud de la altura.
16

7.2. Soluciones
1. De manera general podemos expresar D1 y D2 en función de t
D1(t) =
t
0
xex2
dx =
et2
2
y D2(t) =
t
0
ex
dx = et
donde t > 0 real, en particular, D1(1) = D1 y D2(1) = D2, además D1(t) =
(et
)t
2
entonces
t 2D1(t) = et
, de esto podemos expresar D2(t) en términos de D1(t) como sigue
D2(t) = et
= t 2D1(t)
en particular para t = 1 tenemos que D2 = 2D1. Problema.
2. Por la simetr´ıa de la gráfica trabajaremos en el primer cuadrante. Tenemos que hallar los
puntos de tangencia de las rectas y la parábola, sea (a, b) el punto de tangencia en el primer
cuadrante, luego la pendiente de la recta tangente es m =
b − 5
a
, pero esta misma pendiente
esta dada también por y′
= −2x es decir m = −2a, luego tenemos la ecuación:
−2a =
b − 5
a
entonces − 2a + 5 = b
por otra parte el punto (a, b) obedece a la ecuación de la parábola, b = 4−a2
, luego tenemos
la ecuación:
−2a + 5 = b = 4 − a2
es decir a2
− 2x + 1 = 0
resolviendo tenemos que a = 1 y b = 3, entonces (1, 3) es el punto de tangencia en primer
cuadrante, luego por simetr´ıa el punto de tangencia en el segundo cuadrante es (−1, 3).
el área pedida es igual al área bajo las rectas tangentes desde x = −1 hasta x = 1 menos el
área bajo la parábola limitada por los mismo puntos, es decir
D = 8 −
1
−1
4 − x2
dx =
2
3
.
Problema
17

8
8.1. Problemas
1. Para cada una de las siguientes curvas, cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares son
dadas, halle su ecuación en coordenadas polares:
a) y = 4x2
b) y2
− x2
= 4 c)
x2
a2
+
y2
b2
= 1
d) 2x + 3y = 5 e) x2
+ y2
= 2ax f) y2
+ 8x = 16
g) (x2
+ y2
)2
= 4x2
− 4y2
h) x2
+ y2
= x2 + y2 + x i) xy = 1
2. Para cada una de las siguientes curvas, cuyas ecuaciones en coordenadas polares son dadas,
halle su ecuación en coordenadas rectangulares:
a) r = 4 cos(θ) b) r2
cos(2θ) = 4 c) r = 4 sec(θ)
d) r = 2 csc(θ) e) r2
= 4 csc(2θ) f) r = −4 sen(θ)
3. Trace cada una de las curvas cuyas ecuaciones son dadas en coordenadas polares. En cada
caso establecer si existen o no las simetr´ıas estudiadas en clase.
a) r = 2 − sen(θ) b) r = 2 − sen(θ) c) r = 3 sen(θ)
d) r2
= 4 sen(2θ) e) r = sen(θ) f) r = 2 sen(2θ)
g) r2
= 4 cos(2θ) h) r = 2 − cos(θ) i) r = 2 cos(2θ)
4. Calcule el área de la región interior común a las curvas C1 : r = 2 − sen θ, C2 : r = 3 sen θ.
5. Sea D la región del primer cuadrante que es interior a C1 : r2
= 9 sen(2θ) y exterior a la
curva C2 : r = 9 cos(2θ). Calcule el área de D.
6. Sea D la región que es interior a la curva C1 : r = 1 − cos θ y exterior a C2 : r = sen(θ).
Calcule el área de la región D.
7. Calcule el área de la región D del plano que es interior a la curva C1 : r = 2 + 2 cos(θ) y
exterior a C2 : r = 4 cos(θ).
8. Sea D la región del plano que es interior a C1 : r = 2 sen(θ) y exterior a C2 : r = 2 sen(2θ).
Calcule el área de D.

9. Calcule el área de la región D que es interior a C1 : r = 2 + 2 sen θ y que se encuentra debajo
de la recta θ =
π
6
.
10. Sea D la región que es interior a C1 : r = 4 cos(2θ) y exterior a C2 : r = 2. Calcule el área de
la región D.
11. Sean D1 la limitada por C1 : r = sen(2θ) y D2 la región limitada por C2 : r =
√
3
2
. Calcule
el área de la región D = D1 ∪ D2.
12. Sea D la región del primer cuadrante que es interior a la curva C1 : r = sen(2θ) y exterior a
la curva C2 : r = sen(θ). Calcule el área de la región D.
13. Calcule el área de cada una de las regiones limitadas por las curvas C1 : r = 3 sen(θ) y
C1 : r = 1 + sen(θ).
19

9
9.1. Problemas
1. Cálcule la longitud de cada una de las siguientes curvas:
a) y =
x2
4
−
ln x
2
, 1 ≤ x ≤ 2 b) y2
= 4(x + 4)3
, 0 ≤ x ≤ 2 , y > 0
c) x = et
cos t , y = et
sen t d) y =
√
x , 0 ≤ x ≤ 4
e) r = a + a cos θ , a > 0 f) y =
x3
3
+
1
4x
, 1 ≤ x ≤ 2
g) x2/3
+ y2/3
= a2/3
h) y =
x
1
√
t − 1dt , 1 ≤ x ≤ 16
i) r0 cos(2θ) j) x = a(t − sen t) , y = a(1 − cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π
2. Calcule el per´ımetro de la región D del plano limitado por las rectas x = 1, x = e, el eje x
y la curva
C : y =
x2
4
−
ln x
2
3. Calcule la longitud de la curva
C : r = 2 sen(2θ)
4. Sea D la región que es exterior a C1 e interior a C2, donde
C1 : r = 3 cos θ y C2 : r = 1 + cos θ
plantee integrales definidas que permitan calcular el per´ımetro de la región D.
5. Calcule el área de al superficie de revolución que se genera cuando la curva dad gira alrededro
del eje X:
a) y =
x2
4
−
ln x
2
, 1 ≤ x ≤ 2 b) y = cos(2x) , 0 ≤ x ≤
π
6
6. Sea C : 9y2
= x(3 − x)3
, 0 ≤ x ≤ 1. Calcule el área de la superficie de revolución que se
genera cuando C gira alrededor de la recta x = 3.

7. Sea f(x) =
x
√
x
3
−
√
x, 4 ≤ x ≤ 9. Calcule el área de la superficei de revolución que se
genera cuando la gráfica de f gira alrededor de la recta y = −1.
8. Sea C : x = et
sen t, y = et
cos t, 0 ≤ t ≤
π
2
. Calcule el área de la superficie de revolución que
se obtiene cuando C gira alrededor del eje X.
9. Calcule el área de la superficie de revolución que se genera por la rotación de la mitad
superior de la cardiode
r = a(1 − cos θ)
alrededor del eje polar.
10. Halle las coordenadas del centroide de la región del plano limitado por las gráficas de y = x2
e y = 2x.
11. Sea D la región del plano limitado por las curvas C1 : y = −x y C2 : y = 2x − x2
. Si L es la
recta tangente a C2 en el origen de coordenadas, calcule el volumen del sólido de revolución
que se genera cuando D gira alrededor de la recta L
12. sea D la región del plano limitado por las gráficas de y = x2
y y = 2x. Exprese integrales
definidas que permita calcular el volumen del sólido que se genera cuando D gira alrededor
del eje X.
13. Sean D la región del plano limitada por las curvas C1 : y = x2
y C2 : y = x + 2; L es la recta
tangente a C1 que es paralela a la recta y = 2x. Calcule el volumen del sólido que se genera
cuando D gira alrededor de la recta L.
14. Un tanque tiene la forma de un tronco truncado con un diámetro de 2m en la parte inferior
y 3m en la parte superior y 10m de altura. Si el tanque se encuentra lleno, determine el
trabajo que se necesita para vaciar el tanque por la parte más alta del mismo.
15. Un tanque tiene la forma de un cono circular invertido de 10m de altura y 4m de radio en
la base. si al tanque se echa agua hasta un nivel de 8m, calcule el trabajo requerido para
vaciarlo bombeando toda el agua hasta un lugar que se encuentre a al misma altura de la
tapa del tanque.
16. En el problema 14, calcule el trabajo necesario para vaciar la mitad de la cantidad de agua
que tiene el tanque.
17. Los extremos de un abrevadero de 8 pies de longitud tiene la forma de trapecios isósceles de
4 pies de alto, la base inferior mide 4 pies y al parte superior 6 pies. Calcule la fuerza total
sobre uno de los extremos cuando el abrevadero está lleno de agua.
18. Un tanque cil´ındrico de 2m de diámetro y 3m de largo yace de costado y tiene aceite, que
pesa 930 kg/m3
, hasta la mitad de su capacidad. Calcule la fuerza ejercida sobre uno de los
extremos del tanque.
19. Los extremos de un abrevadero tiene la forma de la región acotada por las gráficas de y = x2
e y = 4, donde x e y se miden en pies. Si el abrevadero está lleno de agua, calcule la fuerza
sobre uno de los extremos.
21

10Primera Práctica Calificada
10.1. Problemas
1. Resuelva cada una de las situaciones siguientes con una adecuada justificación y utilización
de los cuantificadores cuando sea necesario:
a) Sean I un intervalo de R, f : I → R dos funciones ¿Cuándo se dice que f es una
antiderivada de F en I? (1pto.)
b) Sea F : [a, b] → R una función acotada. Defina, la Integral Inferior de f sobre [a, b].
(1pto.)
c) Sea f : [a, b] → R una función integrable. Si P es una partición de [a, b] tal que la suma
superior de f con respecto de P es dos. ¿Es posible que
b
a
f = 3? (1pto.)
d) Sea f : [a, b] → R una función acotada. Si α y β son números reales tales que para
cualesquiera particiones P y Q de [a, b] se cumple
L(f; P) ≤ α < β ≤ U(f; Q) .
¿Es f integrable en [a, b]? (1pto.)
2. Sean f y g funciones definidas en ] −
π
2
,
π
2
[ tales que f es una antiderivada de g2
y g es una
antiderivada de fg en ] −
π
2
,
π
2
[. Si f(0) = 0 y g(0) = 1, demuestre que (4pts.)
∀x ∈] −
π
2
,
π
2
[ (g(x))2
− (f(x))2
= 1 .
3. Sean f y F las funciones con regla de correspondencia
f(x) = x + |x + 1| F(x) =
x , x < 1
x2
− x + 1 , x ≥ 1 .
Halle el intervalo I de mayor longitud en el cual F sea una antiderivada de f (4pts.)
4. Sea f : [a, b] → R una función acotada. Si f es decreciente, demuestre que f es integrable
en [a, b]. (4pts.)
5. Halle una función f que satisface las siguientes condiciones:
C1) ∀x ∈]0, +∞[ : f′′
(x) =
cos
√
x
√
x

C2) La ecuación de la recta tangente a al gráfica de f en el punto (π2
, π) es x + πy = 2π2
.
(4pts.)
23

11Segunda Práctica Calificada
11.1. Problemas
1. a) Use uno de los teorema estudiados en la clase, para demmostrar que existe un número
real c ∈ [0,
π
2
] tal que cos(c) =
2
π
. Antes de hacer la demostración enuncie el teorema que
utiliza. (2pts.)
b) Enuncie el Primer Teorema Fundamental del Cálculo. (1pto.)
c) Sea f : [a, b] → R y g : [a, b] → R funciones acotadas tales que:
b
a
f +
b
a
g =
b
a
f +
b
a
g
Pruebe que f + g es integrable en [a, b]. (1pto.)
2. Sea f la función definida por f(x) =
−1 , −1 ≤ x < 0
2 , 0 ≤ x ≤ 1
a) ¿Posee f antiderivada en [−1, 1]?
b) ¿Es f integrable en [−1, 1]?
En cada respuesta justifique su respuesta.
3. Calcule las siguientes integrales:
a) I =
1
0
2x + 1
ex
dx (2pts.)
b) I =
1
0
x
{1 + x2 + (1 + x2)3/2}
dx (2pts.)
4. Si f∗
denota la inversa de la función f, halle el valor de (f∗
)′
(0) + (f∗
)′′
(0) si:
f(x) =
x2−1
0
[4 + sen(sen(π
√
t + 1))] dt ; x ≥ 0 . (2pts.)

5. Demuestre que
a) 1 ≤
1
0
√
1 + x4 dx ≤
5
3
b) 2 ≤
1
0
√
4 + x4 dx ≤
21
5
sin calcular las integrales.
25

12Tercera Práctica Calificada
12.1. Problemas
1. Trace la gráfica de la función f(x) =
ex
x
. En su solución determine dominio, ecuaciones de
as´ıntotas horizontales, verticales u oblicuas; intervalos de crecimiento y de decrecimiento;
intervalo de convexidad y de concavidad y puntos de inflexión si es que existen. (4pts.)
2. Calcule cada una de las siguientes integrales. (4pts.)
a)
ln(x2
+ 1)
x2
dx b)
1
ex + 1
dx
3. Demuestre que (5pts.)
a) ∀x ∈ (0, +∞) : ln x < x b) ∀x ∈ R : x < ex
4. Sea f(x) = cosh(x) − x
a) Demuestre que f es decreciente en ] − ∞; ln(1 +
√
2)[ y decreciente en ] ln(1 +
√
2); +∞[
(2pts.)
b) Utilice (a) para demostrar que
∀x ∈ R : x < cosh(x) (2pts.)
5. Sea f : A → R una función talque su dominio A no es acotado superiormente. Se dice que
l´ım
x→+∞
f(x) = +∞ si y sólo si ∀L > 0 ∃M > 0 | ∀x ∈ A∩]M, +∞[ : f(x) > L
Use la definición anterior para demostrar que
l´ım
x→+∞
ln x = +∞ (3pts.)

13Examen Parcial
13.1. 2015-I
1. (6 ptos.) Justifique la veracidad de las siguientes afirmaciones:
(a) Una función F : [a, b] → R cuyo valor absoluto es continuo, es primitiva de alguna
función f : [a, b] → R no continua.
(b) Se cumple:
l´ım
n→∞
n
k=1
1 +
k2
n2
1/n
= exp
1
0
ln(1 + x2
)dx
(c) Se cumple que
π
0
2xf(sen
x
π
)dx =
π
0
f(sen x)dx
(d) Si f : [0, 1] → R es una función de clase C1
que verifica las condiciones f(0) = f(1) = 1
y
1
0
f2
(x)dx = 1, entonces
1
0
xf(x)f′
(x)dx = 0
2. (4 ptos.) Sea f una función integrable tal que f(c − x) = f(c + x), para un cierto número
fijo c. Demuestre usando el l´ımite de sumas que
c
c−a
f(x)dx =
c+a
c
f(x)dx .
3. Calcule:
(a) (3 ptos.)
I =
−2
2
ln(x +
√
x2 + 1)
1 + x2
dx .
(b) (3 ptos.) El l´ımite l´ım
x→0
(f(x))1/x
, si se cumple f(0) = 1, f′
(0) = a.
4. (4 ptos.) Sea f : R → R. Sea F : R {0} → R definida por
F(x) =
1
2x
x
−x
f(t)dt .
(a) Calcule l´ım
x→0
F(x). Definiendo f(0) = l´ım
x→0
F(x) pruebe que la función as´ı definida en R
es continua.
(b) Pruebe que si F es derivable o no en R y calcule su derivada.

14Cuarta Práctica Calificada
14.1. 2013-I
1. Calcular el valor del área A de la región limitada por y =
√
x, y =
x
4
, y la normal a y =
√
x
en el punto (1,1). (4pts.)
2. Sea R la región del plano acotado por y = sin(x), x =
π
6
, x =
π
3
y el eje X:
a) Halle el volumen del sólido obtenido al girar la región R alrededor de la recta y = −1.
b) Halle el volumen del sólido obtenido al girar la región R alrededor del eje Y .
3. Sea A = {(x, y) | |x| ≤ r; −
√
r2 − x2 ≤ y − R ≤
√
r2 − x2} (r, R ∈ R+
). Si rotamos
el conjunto A alrededor del eje X se forma un sólido llamado “Toro”. DEmuestre que su
volumen es 2π2
Rr2
. (4pts.)
4. Sea R la región del plano limitado por: El eje X, la curva y = arctan(x), y la recta x = 1.
Determine el volumen del sólido que se genera cuando la región R gira alrededor del eje X.
(Sug.
π/4
0
t tan(t)dt = 0,19). (4pts.)
5. Una compañ´ıa minera encuentra oro en un cerro que es representado en la figura adjunta. Se
sabe que la base del cerro es aproximadamente limitada por una elipse de semiejes 200 y 400
metros y que cada sección transversal perpendicular al eje mayor es una región limitada por
un triángulo equilátero. Si la empresa estima que la cantidad de reserva de oro es el 0,002
por ciento del volumen del cerro, establezca una integral definida que permita determinar la
reserva total de oro que hay en el cerro. (4pts.)

15Quinta Práctica Calificada
15.1. Problemas
1. Resuelva cada una de las siguientes situaciones con uan adecuada justificación:
a) Determine si el punto P cuyas coordenadas polares son (0,
π
2
) pertenece o no a la curva
r = 1 + cos(θ). (1pto.)
b) Mencione dos diferencias entre los sistemas de coordenadas rectangulares y polares.
Ilustre cada caso con un ejemplo. (2pts.)
c) Sean P y Q dos puntos cuyas coordenadas polares son (r1; θ1) respectivamente. De-
muestre que la distancia D entre P y Q está dada por (2pts.)
D = r2
1 + r2
2 − 2r1r2 cos(θ1 − θ2)
2. Sea D la región del primer cuadrante que es exterior a C1 : r = sin(θ) e interior a la curva
C2 : r = 1 − sin(θ). Calcule el área de la región D (4pts.)
3. Sea C la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r =
1
√
2 + cos(θ)
a) Exprese la ecuación de C en coordenadas rectangulares. (3pts.)
b) Trace la curva C. (1pto.)
4. Se desea hacer una mayólica cuadrada de 8cm de lado tal como se muestra en la figura.
La mayólica tendrá tres colores: La parte interior a al rosa de cuatro pétalos de ecuación
r = 4 cos(2θ) es verde, la parte exterior de la región circular r = 4 es crema y el resto es de
color naranja. Determine: (4pts.)
a) ¿Cuántos cent´ımetros cuadrados de color verde tendrá la mayólica?.
b) ¿Cuántos cent´ımetros cuadrados de color naranja tendrá la mayólica?.
c) ¿Cuántos cent´ımetros cuadrados de color crema tendrá la mayólica?.

Figura 15.1: Gráfico para el problema 4.
5. Halle el área de la región acotada por la gráfica de al ecuación (4pts.)
(x2
+ y2
)2
= 4(x2
− y2
) .
30

16Sexta Práctica Calificada
16.1. Problemas
1. Halle la longitud total de la curva:
r = a sen3 θ
3
0 ≤ θ ≤ 2π (a > 0) .
(4ptos.)
2. Halle el area S de la superficie que se forma al rotar alrededor del eje Y la gráfica de la
función f : [0, 1] → R definida por f(x) = 3
√
x para todo x ∈ [0, 1] (4pts.)
3. Un cable que pesa 0, 6kg/m está conectado a un elevador de construcción que pesa 150kg.
Encuentre el trabajo realizado para subir el elevador desde el piso hasta una altura de 50m3
.
(4pts.)
4. Sea D la región del plano limitada por la parábola y = −x2
+ 5x − 4 y la recta y =
x − 1. Calcule el volumen del sólido que se genera cuando D gira alrededor de la recta
L : 3x − 4y − 22 = 0. (4pts.)
5. En una represa un recipiente tiene 20 metros de profundidad y sus extremos son de forma
trapezoidal tal como se muestra en la figura adjunta. Si la superficie del agua se encuentra a
4m del borde del recipiente, determine la fuerza total ejercida por el l´ıquido sobre un extremo
del recipiente.

17Examen Final de Cálculo Integral
17.1. 2009-I
1. Halle y′
, si
y = 4x
+ 4xx
+ x4x
,
x > 0, x = 1.
2. Una especie de bacteria virulenta crece en un cultivo. Se observa que la tasa de crecimiento
de la población bacteriana es proporcional al número de individuos presentes. Si en la
población inicial hay 1000 bacterias y el número se duplica después de los primeros 30
minutos ¿Cuántas bacterias habrá después de 2 horas?
3. Calcule ∞
1
1
x4
√
1 + x3
dx
4. Estudiar le convergencia de
b
a
dx
(x − a)p
5. Estudiar la convergencia o divergencia de
∞
1
e−x
√
x
dx .
6. Probar que ∀m, n > 0:
B(m, n) =
∞
0
xm−1
(x + 1)m+n
dx .
17.2. 2013-I
1. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 2m de redio en al base y 5m
de altura.
a) Calcule el trabajo que se requiere para vaciar el tanque si se encuentra lleno de agua.
(2pts.)
b) Establezca una integral definida que permita calcular el trabajo que se requiere para
vaciar el tanque si éste se encuentra a la mitad de su capacidad. (2pts.)

2. Determine la longitud de la curva C definida por. (4pts.)
C = {(x, y) ∈ R2
| y = 2
√
2(
√
x + 1 +
√
1 − x) , −1 ≤ x ≤ 1}
3. Sea D la región limitada por la parábola y2
= 4x + 12 y la recta y = x − 1. Calcule el
volumen del sólido que se genera cuando D gira alrededor de la recta y = x − 2. (4pts.)
4. Sea f : [0, ∞[→ R una función continua. La transformada de Laplace de f es la función F
definida por
F(s) =
+∞
0
e−st
f(t) dt , s > 0 .
Demuestre que para cada n ∈ N, la transformada de Laplace de f(t) = tn
es
F(s) =
n!
sn+1
(4pts.)
5. Considere la ecuación diferencial
(x2
+ y2
)dx + (x2
− y2
)dy = 0 (1)
a) Use el cambio de variable z = y/x para transformar (1) en una ecuación diferencial de
variable separable en x y z. (2pts.)
b) Resuelva la ecuación diferencial en x y z obtenida en (a), y halle la solución general de
(1) (2pts.)
33

18Examen Sustitutorio
18.1. 2012-I
1. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique
a. Sea X ⊂ R no vac´ıo y X
f
−→ R una función diferenciable con primitiva F. Entonces
todas las primitivas son de la forma F(x) + c, donde c es una constante real.
b. La función [0, 1]
f
−→ R definida como f(x) =
1 x = 0
4 x = 0
no es integrable porque no
es continua.
c. Si −
π
2
,
π
2
f
−→ R es definida como f(x) =
cos(x) x = 0
−1 x = 0
, entonces por el Teorema
Fundamental del Cálculo se tiene
π
−π
f(x)dx = sen
π
2
− sen −
π
2
d. Toda función diferenciable [a, b]
f
→ R es integrable.
2. Halle todas las funciones que satisfacen la igualdad
f′
(t) =
1
2
f(t) +
t
0
f(r)dr
3. Calcule el área de la superficie del sólido que se genera al rotar la curva
3
√
x2 + 3
y2 = 1
alrededor de la recta x = −1.
4. Haga lo que se pide
a. Analice la convergencia de
+∞
0
e−x2
√
x
dx
b. Indique los valores de r para los que la integral
+∞
0
ex
sen(x)x2−r
dx converge.
5. Halle una solución y = f(x) de la ecuación diferencial y′′
=
1 − y′
x
que cumplalas siguien-
tes caracter´ısticas
a. el punto P = (1, 0) ∈ Graf(f).
b. La recta tangente a Graf(f) en el punto P coincide con el eje X.

Bibliograf´ıa
[1] N. Piskunov, Cálculo diferencial e Integral TOMOS I y II, Editorial MIR, Moscú, 1977.
[2] P.E. Danko, A.G. Popov, T.Y.A. Kozhevnikova, Matemáticas Superiores en Ejercicios y
Problemas TOMOS I y II, Editorial MIR, Moscú, 1980.
[3] V. Bolgov, B. Demidovich, V. Efimenko, A. Efimov, A. Karakulin, S. Kogan, G. Lunts,
E. Porshneva, A. Pospelov, S. Frolov, R. Shostak, Y.A. Yampolski, Problemas de las Ma-
temáticas Superiores TOMOS I y II, Editorial MIR, Moscú, 1983.
[4] G. Baranenkov, B. Demidovich, V. Efiimenko, S. Kogan, G. Lunts, E. Proshneva, E. Sicho-
va, S. Frolov, R. Shostak y A.Y. Yanpolski, Problemas y ejercicios de Análisis Matemático,
Editorial MIR, Moscú, 1967.
[5] Ya.S. Bugrov, S.M. Nikolski, Matemáticas Superiores, Cálculo diferencial e Integral, Edi-
torial MIR, Moscú, 1980.
[6] G.N. Berman, Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático, Editorial MIR, Moscú, 1977.
[7] V.Il´ın, E. Pozniak, Fundamentos del Análisis Matemático TOMOS I, II y III, Editorial
MIR, Moscú, 1991.
[8] Tom M. Apostol, CALCULUS TOMOS I y II, Editorial Reverté S.A., España, (9na.
reimpresión) 2001.
[9] E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Cálculo, Pearson, México, 2007.
[10] J. Marsden, A. Weinstein, CALCULUs TOMOS I, II y III, Springer, USA, 1985.
[11] W.A. Granville, P.F. Smith, W.R. Longley, Elements of the Differential and Integral Cal-
culus, GINN and COMPANY, USA, 1911.
[12] Stefan Banach, Cálculo Diferencial e Integral, UTENA, México, 1967.
Comentarios sobre la bibliograf´ıa:
[12] Es una traducción del ruso al español, es un libro con un estilo antiguo pero con las ideas
y fundamentos bien claros, no es demás decir que S. Banach (1892-1945) es uno de los 20
matemáticos más importantes e influyentes del siglo pasado, además se debe a él los Espacios
de Banach, que son muy importantes dentro del Análisis Funcional. Es por ello que amerita
una lectura.

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