Conceptos básicos sobre inecuaciones

1. Inecuaciones
Tambi´n se cumple para los casos ≥ y ≤
e
Ejemplo 1: Resolver.
Ejemplo 1: Resolver.
(x + 3)(x − 1)(x − 2)(x − 3) < 0
x2 + x − 2
>0
x−1
Ejemplo 2: Resolver.
Ejemplo 2: Resolver.
(x + 1)(x + 2)(x − 3)(x − 2) ≥ 0
(x − 2)(x + 1)(x − 5)
>0
(x + 2)(x − 1)
Ejemplo 3: Resolver.
Ejemplo 3: Resolver.
(3 − x)(1 − x)(x + 2)(2 − x) < 0
(x − 1)(x + 3)(x − 4)
≤0
(x + 2)(x − 2)
Discriminante negativo.
Ejemplo 4: Resolver.
Ejemplo 1: Resolver.
2
1
≥
(x − 1)
(x − 2)
x2 + 2x + 3 ≥ 0
Ejemplo 2: Resolver.
Ejemplo 5: Resolver.
x
6
72
−
> 2
x−3 x+3
x −9
(x + 2)(x2 + x + 1) ≥ 0
Factores de potencia par.
Ejercicios:
Ejemplo 1: Resolver.
1. Resolver:
(x − 2)2 (x − 2) ≥ 0
5x + 1
5x − 1 3x − 13
−
<
4
10
3
Ejemplo 2: Resolver.
2. Hallar el conjunto soluci´n
o
4
2
(x − 5)(x − 1) (x − 3)(x − 7) ≥ 0
(4x + 8)(x2 − 1)
< −1 , x = 1
x−1
Factores de potencia impar.
Ejemplo 1: Resolver.
3. Determinar todos los n´meros reales
u
que satisfagan la desigualdad.
(x − 2)3 (x − 1) > 0
x
<4
x−3
Ejemplo 2:Resolver.
4. Resuelva:
(x + 1)5 (x − 2) < 0
x3 (x − 1)2 (x + 2)7 (x − 4)4
<0
(x + 5)5 (x − 6)6
Inecuaciones fraccionarias
Si
f (x)
> 0 ⇒ f (x)g(x) > 0, g(x) = 0
g(x)
Si
f (x)
< 0 ⇒ f (x)g(x) < 0, g(x) = 0
g(x)
1

2. Sistema de ecuaciones
Determinantes
Determinante de la variable “y”
Determinante de un arreglo de 2 por 2
a1 d 1
a2 d 2
y=
a b
= ad − bc
c d
La soluci´n del sistema resulta de
o
x=
Determinante de una arreglo de 3 por 3
a b c
e f
d f
d e
d e f = a·
−b·
+c·
h i
g i
g h
g h i
y
S
x
, y=
S
Casos
(i) Compatible
determinado
soluci´n unica). Si
o ´
o tambi´n
e
(tiene
a1
b1
=
a2
b2
a b c
d e f = aei+bf g+dhc−(ceg+hf a+dbi)
g h i
es decir
Calcule los siguientes determinantes.
S=0
(ii) Compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones). Si
−1 2
4 −5
3 −8
,
,
5 −3
3 −7
−2 6
a1
b1
d1
=
=
a2
b2
d2
11 −2
12 −3
x x2
,
,
−2 0
0 −1
−4 −3
es decir,
Calcules los siguientes determinantes
S=
x=
y=0
(iii) Incompatible o inconsistente (no tiene
soluci´n). Si
o
2
3 5
−1 4 −3
1
3 4 , −3 −2 0
−2 −1 5
4 −4 2
a1
b1
d1
=
=
a2
b2
d2
0
1
0
1 −2 0
−4 12 −3 , 3
4 −3
1 121 4
−2 −4 2
es decir,
S = 0,
x=0´
o
y=0
Ejemplo explicativo:
Para qu´ valores de a y b reales el sistema:
e
M´todo de Cramer para 2 ecuaciones
e
ax + 3y = 4
2x − 6y = b
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
a1 x + b 1 y = d 1
a2 x + b 2 y = d 2
(1) Tiene soluci´n unica.
o ´
(2) Tiene infinitas soluciones.
Donde a1 , a2 , b1 , b2 , d1 , d2 son n´meros reales.
u
Definimos:
Determinante del sistema
(3) No tiene soluci´n.
o
Ejercicios: Resolver los siguientes sistemas
a b
S= 1 1
a2 b 2
1.
Determinante de la variable “x”
x + 3y = 7
5x − 2y = −16
d b
x= 1 1
d2 b 2
2

3. 2.
11. Resuelva el sistema:
2
5
+
=2
3x − y y + 2x
4
3
+
= 17
3x − y y + 2x
2x − 5y = −12
7x − 2y = −11
3.
M´todo de Cramer para 3 ecuaciones
e
x + 2y = 5
4x + y = 13
Resolver el siguiente sistema de ecuaiones
a1 x + b1 y + c1 z = d1
a2 x + b 2 y + c 2 z = d 2
a3 x + b 3 y + c 3 z = d 3
4.
x + 4y = 3
6x − 5y = −11
Donde los coeficientes son reales:
Definimos:
Determinante del sistema
5. Entre Rosa y Beatriz tienen 124 discos
compactos. Si Rosa le diera a Beatriz 3
discos, entonces Rosa tendr´ el triple
ıa
de discos que Beatriz. ¿Cu´ntos discos
a
tiene cada una?
a1 b 1 c 1
S = a2 b 2 c 2
a3 b 3 c 3
Determinante de la variable “x”
6. El per´
ımetro de un rect´ngulo es de
a
30cm, y sabemos que la base es 1cm
m´s larga que la altura. Plantea un sisa
tema de ecuacioines y resu´lvelo para
e
hallar las dimensiones del rect´ngulo.
a
d 1 b1 c 1
x = d 2 b2 c 2
d 3 b3 c 3
Determinante de la variable “y”
7. El triple de un n´mero m´s la mitad
u
a
de otro suman 10; y si sumamos 14
unidades al primero de ellos, obtenemos el doble del segundo. Plantea un
sistema de ecuaciones y resu´lvelo para
e
hallar dichos n´meros.
u
a1 d1 c1
y = a2 d2 c2
a3 d3 c3
Determinana de la variable “z”
a1 b 1 d 1
z = a2 b 2 d 2
a3 b 3 d 3
8. La base mayor de un trapecio mide el
triple que su base menor. La altura
del trapecio es de 4cm y su area es de
´
2
24cm . Calcula la longitud de sus dos
bases.
La soluci´n del sistema resulta de:
o
x
, y=
S
y
, z=
S
Variable =
Variable
Sistema
x=
9. el per´
ımetro de un tri´ngulo is´sceles
a
o
es de 19cm. La longitud de cada uno
de sus lados iguales excede en 2cm al
doble de la longitud del lado desigual.
¿Cu´nto miden los lados del tri´ngulo?
a
a
z
S
En general
Casos
10. El per´
ımetro de un rect´ngulo es de
a
22cm, y sabemos que su base es 5cm
m´s larga que su altura. Plantea un sisa
tema de ecuacioines y resu´lvelo para
e
hallar las dimensiones del rect´ngulo.
a
(i) Tiene soluci´n unica, si
o ´
S = 0.
(ii) Tiene infinitas soluciones, si
cada Variable = 0.
3
S=0y

4. (iii) No tiene soluci´n, si
o
Variable = 0.
S = 0 y alg´n
u
7. Resolver
x + 2y + 3z = 4
2x + 4y + 6z = 3
3x + y − z = 1
Ejercicios:
1. Resolver
7x1 + 3x2 + 2x3 = 1
3x1 + x2 + 2x3 = 2
10x1 + 12x2 + 8x3 = 4
8. Resolver
2x − 3y + z − 2 = 0
x + 5y − 4z + 5 = 0
4x + y − 3z + 4 = 0
2. Resolver
2x − 4y + z = 1
x − 2y + 4z = 3
3x − y + 5z = 2
9. Para qu´ valor de λ el sistema siguie
ente:
3. Resolver
λx + y = 0
λy + z = 1
λz + x = λ
−x1 + 2x2 + 3x3 = 0
x1 − 4x2 − 13x3 = 0
−3x1 + 5x2 + 4x3 = 0
admite infinitas soluciones
4. Resovler
(a) 1
(d) − 1
x + 2y + 3z = 3
2x + y − z = 3
3x + 3y + 2z = 10
(b) 0
(c) 2
(e) − 2
10. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
5. Resolver
5x1 − 3x2 = 7
−2x1 + 9x2 = 4
2x1 + 4x2 = −2
−x1 + 2x2 + x3 = −2
3x1 + 6x2 + 3x3 = 6
3x1 − x3 = 4
6. Resolver
El resultado de (x1 + x2 + x3 ) es:
4x1 + 5x3 = 6
x2 − 6x3 = −2
3x1 + 4x3 = 3
(a) 3
(d) 10
4
(b) 4
(c) 7
(e) 15