Este documento explica la proporcionalidad inversa a través de varios ejemplos numéricos y gráficos. En la proporcionalidad inversa, cuando uno de los valores aumenta, el otro disminuye. Por ejemplo, cuanto más vacas haya, menos días durará la comida; o cuanto más rápido vaya un coche, menos tiempo tardará en llegar a su destino. El documento también presenta un método para resolver problemas de proporcionalidad inversa mediante la multiplicación cruzada de los valores.

1. Proporcionalidad Inversa
Vacas 2 4 8 16 32 64
64
Días 32 16 8 4 2
Ganado Días Días
64 2
32 d
64 d
= Vacas
32 2
= ………….

2. ¿Qué es la Proporcionalidad Inversa?
Considera el siguente problema:
Problema 1.
granjero tiene comida suficiente para alimentar 64 vacas durante 2 días.
(a) ¿Cuánto durará la comida para 32 vacas?
4 días
(b) Completa la siguiente tabla para la misma cantidad de comida:
Vacas 2 4 8 16 32 64
64
Días 32 16 8 4 2
Ahora podemos ver de qué se trata la Proporcionalidad Inversa:

3. Miremos el problema otra vez:
Vacas 2 4 8 16 32 64
64
Días 32 16 8 4 2
mos la cantidad de vacas, ¿qué pasa con el número de días que puedes alime
El número de días se reduce a la mitad.
cas el número de vacas, ¿qué pasa con el número de días que puedes alimen
El número de días se reduce en su tercera parte.
iez veces el número de vacas, ¿qué pasa con el número de días que puedes a
El número de días se reducen a su décima parte.
o una cantidad se dobla, triplica, cuadruplica, etc.,la otra cantidad se reduce a la mitad, la t

4. Hay otro hecho importante que se deduce de la tabla:
Vacas 2 4 8 16 32 64
64
Días 32 16 8 4 2
¿Ves qué pasa si multiplicas vacas x días?
Vacas x días = 128 para cada par de valores de la tabla.
nos da otro método de resolución de problemas de Proporcionalidad Inver
Para ver este método rellena la siguiente tabla:
Problema 2 .
e fresas tardan 96 horas en recolectar todo un campo. Completa la siguiente
Recolectores 3 6 12 24 88
Horas 96 48 24 12 6

5. La idea del Recolector-Horas.
acabamos de completar, podemos hallar cuántas horas tardan cualquier núm
Recolectores 3 6 12 24 88
Horas 96 48 24 12 6
¿Cuántas horas tardarán 17 recolectores en completar el trabajo?
Solución.
Para cualquier par de valores: Recolectores x horas = 288 horas.
Se tardan 288 horas en completar el trabajo
Divide estas horas entre los 17 recolectores:
Nº de horas = 288 ÷ 17 = 16.94 horas por recolector.
Tardarán 16 horas y 57 minutos en terminar el trabajo.

6. Problema 3.
tiene comida para 234 alumnos durante 37 días, ¿cuánto duraría la misma co
Solución.
blas, triplicas, etc. el número de alumnos , ¿qué ocurre con el número de día
Se reducen a la mitad, a la tercera parte, etc. Esta es la Proporción Inversa.
¿Cuál es el número total de “ alumnos-días” ?
Alumnos-días= 234 x37 = 8658 alumnos-días.
Divide el número de alumnos-días entre los 73 alumnos :
8658 ÷ 73 = 118.6 días.
a cocina puede alimentar a 73 alumnos durante 118 días como mucho.

7. Problema 4.
cada uno de una enciclopedia en un estante. ¿Cuántos volúmenes de 6.7cm
V V V V V V V
O O O O O O O
L L L L L L L
Solución 1 2 3 4 5 6 7
plicas, etc., el grosor de los volúmenes, ¿cuántos podrías coclodcar en el mi
El número se reduce a la mitad, la tercera parte Esta es una proporción inversa.
¿Cuál es el número total de“volumen-centímetros” ?
Volumenxcentímetros = 7 x 5.7 = 39.9 volumen centímetros
Divide el volumen centímetros entre el nuevo grosor
39.9 ÷ 6.7 = 5.95 volúmenes
uedes colocar 5 volumenes de 6.7cm de grosor en el mismo estante

8. ¿Qué va en la Caja?.
cablear unas casas nuevas en17 días , ¿cuántos electricistas se necesitarán pa
14 electricistas.
as al minuto y tarda 35minutos en terminar una carta. ¿Cuánto tardará Juan q
48.8 minutos.
h y tarda 33 minutos en un viaje. ¿Cuánto tardará un coche que va a 55km/h
27 minutos.

9. El Método del Producto en Cruz
os para resolver cuestiones de Proporcionalidad Directa en problemas de Pro
El método tiene los siguientes puntos fuertes:
Es consistente con el Método usado en Proporcionalidad Directa.
Establece una rutina fuerte y consistente en la resolución de problemas

10. Considera otra vez el primer problema:
Problema 1.
iente pienso para alimentar 64 vacas durante 2 días¿Cuánto durará la mism
Solución
¿De qué dos magnitudes hablamos?
Vacas Días
¿Qué números van juntos?
64 2 Añade la información que falta.
32 d
Si doblas, triplicas, etc el nº de vacas, ¿qué ocurre con el núme
64 d
=
32 2 La mitad, la tercera parte,...
Proporción inversa. Usa flechas.
32d = 2Multiplica en cruz pero invierte la segunda columna de números
x 64
d = 128 ÷ 32 = 4 días.

11. Problema 2.
7 horas en repartir folletos en un área. ¿Cuánto tardarán 32 trabajadores en h
Solución
¿De qué dos magnitudes hablamos?
Trabajadores Horas ¿Qué dos cantidades van juntas?
13 27
Añade la información adicional.
32 h
Si doblas, triplicas, etc los trabajadores, ¿qué ocurrirá con el núme
13 h
=
32 27 Proporción inversa. Usa flechas
La mitad, la tercera parte,....
32h = 13 x 27
Multiplica en cruz para resolver tras invertir la segunda columna
h = 351 ÷ 32 = 10.97
Necesitarán casi 11 horas en terminar la tarea

12. Problema 3.
che tarda 14 horas en realizar un viaje a 67 km/h . ¿Cuánto tardaría si fuese a 42
Solución ¿De qué dos magnitudes hablamos?
Velocidad Tiempo ¿Qué dos cantidades van juntas?
67 14 Añade la información adicional.
42 t
Si doblas, triplicas, etc la velocidad, ¿qué ocurrirá con el ti
67 t
=
42 14 La mitad, la tercera parte, etc.
Proporción inversa. Usa flechas
42t = 67 x 14
Multiplica en cruz para resolver tras invertir la segunda columna
h = 938 ÷ 42 = 22.33
Tardará 22 horas 19 min 48 seg en realizar el viaje a 42km/h .

13. ¿Qué va en la caja? 2
en repartir papeletas del censo por toda la ciudad. . ¿Cuántos trabajadores h
17 trabajadores.
mentar 245 ovejas durante 50 días. ¿Cuántos días podrá alimentar a 152 ovej
80 días
de chocolate a 27 céntimos la barrita. ¿Cuántas barritas a 19 céntimos pued
32 barritas.

14. Gráficas Proporción Inversa.
Considera otra vez el primer problema que vimos:
Un granjero tiene pienso para alimentar 64 vacas durante 2 días.
Completa la siguiente tabla para la misma cantidad de comida:
Vacas 2 4 8 16 32 64
64
Días 32 16 8 4 2
Vamos a dibujar la gráfica a partir de la tabla.
Elige la escala cuidadosamente y toma como mínimo el valor 65 en el eje OX
Dibuja las posiciones (2,64), (4,32) etc tan exactamente como puedas.

15. Días
70
(2,64)
60
50
40
(4,32)
30
20
(8,16)
10 (16,8) (32,4)
(64,2)
0 10 20 30 40 50 60 70 Vacas

16. Es una gráfica típica de proporción inversa:
Días
Vacas
conforme aumenta el número de vacas, el número de días disminuye:
Obviamente, si áumenta el número de días, el número de vacas disminuye

17. ¿Qué va en la caja? 3
160 examinadores tardan 3 horas en corregir sus examenes.
(a) Completa la siguiente tabla:
Examinadores 5 10 20 40 80 160
Tiempo 96 48 24 12 6 3
(b) Dibuja una gráfica de la tabla.

18. Tiempo
100
80
60
40
20
Examinadores
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180