5. Peat¨ kk 1
u
Funktsioonid ja nendega
seotud m˜isted
o
1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨¨rtuse
aa
m˜iste. Reaalarvudest koosnevad hulgad.
o
Enne arvu m˜iste k¨sitlemist toome sisse m˜ned hulkadega seotud t¨hised.
o a o a
Hulk (tavalises m˜ttes) koosneb elementidest (e hulga liikmetest), kusjuures
o
elemendid ei kordu ja nende j¨rjestus ei ole kindlaks m¨¨ratud. Hulga t¨histami-
a aa a
seks eraldame vaadeldavad elemendid komadega ja piiritleme hulga loogeliste
sulgudega. N¨iteks {0, 7, 5} on elementidest 0, 7 ja 5 koosnev hulk. Hulk v˜ib
a o
olla antud ka keerulisemal kujul. N¨iteks {x2 ∥ x = 1, 2, 3} on hulk, mille ele-
a
mendid on arvutatavad valemiga x2 , kusjuures x v˜ib omandada v¨¨rtusi 1, 2
o aa
ja 3. Viimase hulga v˜ib muidugi panna kirja ka ekvivalentsel kujul {1, 4, 9}.
o
Peale tavaliste hulkade kasutame edaspidi ka j¨rjestatud hulki. J¨rjestatud
a a
hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi koh-
ta on v˜imalik ¨elda, kumb neist on eelnev, kumb j¨rgnev. Tavalise hulga ja
o o a
j¨rjestatud hulga eristamiseks lepime kokku, et viimase t¨histamisel kasutame
a a
loogeliste sulgude asemel umarsulgi. Peale selle lubame j¨rjestatud hulga ele-
¨ a
mentidel ka korduda. N¨iteks (−1, 1, −1, 1, . . .) on j¨rjestatud hulk, milles −1-le
a a
j¨rgneb 1, sellele omakorda −1 jne.
a
Naturaalarvude hulk on N = {0, 1, 2, 3, . . .} ja t¨isarvude hulk on Z =
a
{. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
T¨isarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse
a
kahe t¨isarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q ̸= 0. Ratsionaalarvude hulga t¨his
a a
on Q. Seega, l¨ hidalt kirjutades Q = { p ∥ p, q ∈ Z, q ̸= 0}. Iga ratsionaalarvu
u q
saab esitada kas l˜pliku v˜i l˜pmatu perioodilise k¨mnendmurruna.
o o o u
L˜pmatuid mitteperioodilisi k¨mnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks.
o u
Irratsionaalarvude hulga t¨his on I. Uks ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii
a ¨
1
6. ratsionaal- kui ka irratsionaalarav. Seet˜ttu ei oma ratsionaalarvude ja irrat-
o
sionaalaarvude hulgad uhisosa, st Q ∩ I = ∅.
¨
Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga.
Reaalarvude hulga t¨his on R. Seega R = Q ∪ I.
a
Arvtelje m˜iste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt,
o
pikkus¨hik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje
u
punktidele seada vastavusse reaalarvud. T˜epoolest, nullpunktist uhe uhiku
o ¨ ¨
v˜rra positiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule 1, poole uhiku v˜rra
o ¨ o
negatiivses suunas paikneb punkt, mis vastab arvule −1/2 jne. V˜ib v¨ita,
o a
et igale arvtelje punktile vastab uks ja ainult uks reaalarv ja vastupidi: igale
¨ ¨
¨ ¨ ¨
reaalarvule vastab uks ja ainult uks arvtelje punkt. Oeldu p˜hjal saab reaalarvud
o
samastada sirge (arvelje) punktidega.
Olgu tasandil antud kaks arvtelge, mis on ristuvad oma nullpunktides. Need
moodustavad tasandil nn koordinaatteljestiku. Tasandi punkti ristkoordinaatideks
nimetatakse selle punkti ristprojektsioone koordinaatttelgedele. Igale tasandi
punktile vastab uks ja ainult uks ristkoordinaatidest moodustatud arvupaar ja
¨ ¨
vastupidi: igale arvupaarile vastab uks ja ainult uks tasandi punkt. Matemaatikas
¨ ¨
t¨histatakse tavaliselt uhel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu
a ¨
x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy-
teljestikuga ja me saame r¨¨kiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest.
aa
Absoluutv¨¨rtuse m˜iste. Reaalarvu a absoluutv¨¨rtuseks nimetatakse j¨rg-
aa o aa a
mist mittenegatiivset reaalarvu:
{
a kui a ≥ 0
|a| =
−a kui a < 0 .
Reaalarvu a absoluutv¨¨rtust |a| v˜ib t˜lgendada kui punkti a ja nullpunkti
aa o o
vahelist kaugust arvteljel.
Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v˜rdub arvuga |a − b|.
¨ o
Absoluutv¨¨rtuse omadused:
aa
1. | − a| = |a|
2. |ab| = |a| |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a − b| ≥ | |a| − |b| |
Reaalarvude ja l˜pmatuste umbrused. Reaalarvu a umbruseks nimetatakse
o ¨ ¨
suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on umbruse raadius. Arv x kuulub
¨
arvu a umbrusesse (a − ε, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel
¨
on arvust a v¨iksem kui ε, st |x − a| < ε.
a
N¨iteks arvu 0 umbrus on suvaline vahemik (−ε, ε). Arv x kuulub 0-i
a ¨
umbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < ε.
¨
2
7. Reaalarvu a vasakpoolseks umbruseks nimetatakse suvalist pooll˜iku
¨ o
(a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse umbrusesse (a − ε, a]
¨
siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨iksem kui ε, st
a
|x − a| < ε, ja x ei asetse a-st paremal, st x ≤ a.
Reaalarvu a parempoolseks umbruseks nimetatakse suvalist pooll˜iku
¨ o
[a, a + ε), kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse umbrusesse [a, a + ε)
¨
siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a v¨iksem kui ε, st
a
|x − a| < ε, ja x ei asetse a-st vasakul, st x ≥ a.
Suuruse l˜pmatus umbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ∞), kus
o ¨
M > 0. Arv x kuulub l˜pmatuse umbrusesse (M, ∞) siis ja ainult siis, kui
o ¨
x > M.
Suuruse miinus l˜pmatus umbruseks nimetatakse suvalist vahemikku
o ¨
(−∞, −M ), kus M > 0. Arv x kuulub miinus l˜pmatuse umbrusesse (−∞, −M )
o ¨
siis ja ainult siis, kui x < −M .
¨
Umbrusi kasutatakse piirprotsesside defineerimisel. Suurus x l¨heneb arvule a, kui ta
a
liigub j¨rjest l¨hemale arvule a, st satub arvu a umbrusesse j¨rjest v¨iksema raadiusega ε.
a a ¨ a a
Suurus x l¨heneb l˜pmatusele, kui ta asub j¨rjest l¨hemal l˜pmatusele, st satub l˜pmatuse
a o a a o o
umbrusesse j¨rjest suurema vasakpoolse otspunktiga M . T¨psemalt tuleb sellest juttu j¨rgmises
¨ a a a
peat¨ kis.
u
T˜kestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse t˜kestatuks,
o o
kui leidub l˜plik vahemik (a, b) nii, et A ⊂ (a, b).
o
T˜kestatud hulgad on n¨iteks k˜ik l˜plikud vahemikud (a, b), l˜igud [a, b]
o a o o o
ja pooll˜igud [a, b), (a, b]. T˜kestamata hulgad on aga n¨iteks l˜pmatud va-
o o a o
hemikud (−∞, a), (a, ∞) ja l˜pmatud pooll˜igud (−∞, a], [a, ∞).
o o
1.2 J¨¨vad ja muutuvad suurused. Funktsiooni
aa
m˜iste ja esitusviisid.
o
J¨¨vad ja muutuvad suurused. Suurust, mis v˜ib omandada erinevaid
aa o
arvulisi v¨¨rtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust,
aa
mille arvuline v¨¨rtus ei muutu, nimetatakse j¨¨vaks suuruseks. N¨iteks uhtlase
aa aa a ¨
liikumise korral on kiirus j¨¨v suurus ja l¨bitud teepikkus muutuv suurus.
aa a
Samas mitte¨ htlase liikumise korral on ka kiirus muutuv suurus. Seega v˜ib
u o
konkreetne suurus olla uhes protsessis j¨¨v kuid teises protsessis muutuv. Nii
¨ aa
matemaatikas kui f¨usikas on olemas ka suurusi, mis igas olukorras on j¨¨vad.
u¨ aa
Neid suurusi nimetatakse absoluutseteks konstantideks. Absoluutsed konstan-
did on n¨iteks ringjoone umberm˜˜du ja l¨bim˜˜du suhe π, valguse kiirus c jne.
a ¨ oo a oo
Muutumispiirkonna m˜iste. Muutuva suuruse k˜igi v˜imalike v¨¨rtuste
o o o aa
hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. N¨iteks keha tempe-
a
ratuur v˜ib teoreetiliselt omada k˜iki v¨¨rtusi, mis on suuremad v˜i v˜rdsemad
o o aa o o
kui absoluutne miinimum −273.15◦ C. Seega on temperatuuri muutumispiirkond
l˜pmatu pooll˜ik [−273.15; ∞).
o o
3
8. Funktsiooni m˜iste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks
o
(ehk uheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale
¨
v¨¨rtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y uhe kindla v¨¨rtuse.
aa ¨ aa
Muutujat x nimetatakse seejuures s˜ltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja
o
muutujat y s˜ltuvaks muutujaks.
o
Matemaatikas on levinud funktsiooni t¨hised f, g, u, v, φ, ψ jne.
a
Olgu antud funktsioon f , mille argumendiks on x ja s˜ltuvaks muutujaks
o
y. Muutuja y v¨¨rtust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse
aa
funktsiooni f v¨¨rtuseks kohal x ja t¨histatakse s¨mboliga f (x). Seega v˜ime
aa a u o
kirjutada seose
y = f (x) , (1.1)
mis v¨ljendab muutuja y ”seotust” argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost
a
(1.1) nimetatakse funktsiooni v˜rrandiks.
o
M˜nikord kasutatakse funktsiooni ja s˜ltuva muutuja t¨histamiseks uhte ja
o o a ¨
sama s¨mbolit. Sellisel juhul omab v˜rrand (1.1) kuju y = y(x).
u o
Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f m¨¨ramispiirkon-
aa
naks. M¨¨ramispiirkonna t¨hisena kasutame edaspidi s¨mbolit X. Hulka
aa a u
Y = {f (x) || x ∈ X}
nimetatakse funktsiooni f v¨¨rtuste hulgaks.
aa
Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale
v¨¨rtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y v¨¨rtusi,
aa aa
kusjuures leidub v¨hemalt uks x v¨¨rtus, millele vastab mitu y v¨¨rtust. Ar-
a ¨ aa aa
gumendi, s˜ltuva muutuja, m¨¨ramispiirkonna ja v¨¨rtuste hulga m˜isted on
o aa aa o
mitmese funktsiooni korral analoogilised vastavate m˜istetega uhese funktsiooni
o ¨
korral.
NB! K¨esolevas konspektis t¨hendab m˜iste ”funktsioon” ilma t¨iendita
a a o a
”mitmene” alati uhest funktsiooni.
¨
Funktsiooni esitusviisid.
1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi v˜imalikud v¨¨rtused esi-
o aa
tatakse tabeli uhes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni v¨¨rtused
¨ aa
tabeli teises reas (veerus). On v˜imalik vaid siis, kui funktsiooni argu-
o
mendil on l˜plik arv v¨¨rtusi.
o aa
2. Anal¨utiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisa-
u¨
takse ka m¨¨ramispiirkonna kirjeldus. N¨iteks avaldis
aa a
y = x2 , x ∈ [0, 1]
4
9. kirjeldab funktsiooni, mille m¨¨ramispiirkonnaks on l˜ik [0, 1] ja iga x kor-
aa o
ral sellelt l˜igult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni v¨¨rtused
o aa
f (x) vastavalt valemile f (x) = x2 .
Anal¨utiliselt antud funktsiooni loomulikuks m¨¨ramispiirkonnaks nimeta-
u¨ aa
takse argumendi k˜igi nende v¨¨rtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis
o aa
on t¨ielikult m¨¨ratud. N¨iteks ulaltoodud funktsioon y = x2 , x ∈ [0, 1] ei
a aa a ¨
ole antud oma loomulikus m¨¨ramispiirkonnas. Selle funktsiooni loomulik
aa
m¨¨ramispiirkond on X = R.
aa
3. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordi-
naadistikus. Olgu antud funktsioon f , mille argument on x, s˜ltuv muu-
o
tuja y ja m¨¨ramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed.
aa
Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb k˜ikv˜imalikest punk-
o o
tidest P = (x, f (x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb l¨bi kogu
a
m¨¨ramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks.
aa
Seega, l¨hidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon j¨rgmine:
u a
G = {P = (x, f (x)) || x ∈ X} .
Graafiku punkti P teist koordinaati f (x) v˜ib t˜lgendada P ”k˜rgusena”
o o o
x- telje suhtes. Kui f (x) > 0, siis on graafiku ”k˜rgus” positiivne, st
o
graafik paikneb ulalpool x-telge. Kui aga f (x) < 0, siis on ”k˜rgus”
¨ o
negatiivne, st graafik j¨¨b x-teljest allapoole (vt joonis 1.1).
aa
yy
y = f (x)
P1•
f (x1 ) > 0
x2 G
x1 x
f (x2 ) < 0
•
P2
Joonis 1.1
Kuna xy-teljestikus antud punkti uldkuju on P = (x, y), funktsiooni f
¨
graafik koosneb aga punktidest P = (x, f (x)), siis rahuldavad graafiku
punktid v˜rrandit y = f (x).
o
Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut l˜igata mak-
o
simaalselt uhes punktis. See omadus tuleneb otseselt funktsiooni uhesusest.
¨ ¨
5
10. T˜epoolest: kui leiduks y-teljega paralleelne sirge, mis l˜ikaks graafikut
o o
mitmes punktis, siis oleks funktsiooni graafikul vaadeldavas kohas mitu
”k˜rgust”, seega oleks ka funktsioonil uhe argumendi korral mitu v¨¨rtust.
o ¨ aa
¨
(Uhesel) funktsioonil ei saa aga mitut v¨¨rtust olla.
aa
Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib v¨hemalt
a
uks y-teljega paralleleelne sirge, mis l˜ikab funktsiooni graafikut mitmes
¨ o
punktis.
1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon.
Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funkt-
sioonid.
Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse paarisfunkt-
siooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib v˜rdus f (−x) = f (x). Funktsiooni
o
f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib v˜rdus
o
f (−x) = −f (x).
Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui
leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib v˜rdus f (x + C) = f (x).
o
V¨ikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks.
a
Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f m¨¨ramispiir-
aa
konna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib
v˜rratus
o
x 1 < x2 .
Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 v˜rratuse m¨rk ei muutu,
o a
st
f (x1 ) < f (x2 ),
siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele
x1 ja x2 v˜rratuse m¨rk muutub vastupidiseks, st
o a
f (x1 ) > f (x2 ),
siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik t˜useb,
o
kahanemispiirkonnas aga langeb.
Konstantne funktsioon. Astme- ja eksponent- ja trigonomeetrilised
funktsioonid. K¨esolevas alamparagrahvis alustame p˜hiliste elementaarfunkt-
a o
sioonide loetlemist ja omaduste kirjeldamist.
Konstantne funktsioon y = C. Ilmselt selle funktsiooni korral
X=R ja Y = {C}.
Graafik on selline:
6
11. y
C
x
Joonis 1.2: konstantne funktsioon y = C
Astmefunktsioon on funktsioon j¨rgmisel kujul
a
y = xa ,
kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni m¨¨ramispiirkond,
aa
v¨¨rtuste hulk ja graafik s˜ltuvad oluliselt astmest a.
aa o
M¨¨ramispiirkond on j¨rgmine.
aa a
a) a = p/q, kus p, q ∈ Z ja q on paaritu. Selle juhu alla kuuluvad n¨iteks k˜ik t¨isarvuliste
a o a
astendajatega funktsioonid: y = x, y = x2 , y = x−1 , y = x−2 jne, sest a ∈ Z on
esitatav kujul a = a/1. Samuti h˜lmab see juht paarituid juuri: y = x1/3 , y = x1/5 ,
o
y = x−1/3 , y = x−1/5 jne. Paneme t¨hele, et kui a > 0, siis on k˜ik need funktsioonid
a o
suvalise reaalaravu x korral m¨¨ratud. Kui a < 0, siis j¨¨b m¨aramispiirkonnast v¨lja
aa aa a¨ a
nullpunkt, sest nulliga jagamine ei ole v˜imalik. Seega: kui a > 0, siis X = R ja kui
o
a < 0, siis X = R {0}.
b) a = p/q, kus p, q ∈ Z ja q on paaris v˜i a on irratsionaalarv. Selle juhu alla kuuluvad
o
n¨iteks k˜ik paaris juured: y = x1/2 , y = x1/4 , y = x−1/2 , y = x−1/4 jne. Kui
a o
a > 0, siis on taolised funktsioonid x ≥ 0 korral m¨¨ratud. Kui a < 0, siis j¨¨b
aa aa
m¨aramispiirkonnast v¨lja lisaks ka punkt x = 0. Seega: kui a > 0, siis X = [0, ∞) ja
a¨ a
kui a < 0, siis X = (0, ∞).
Eksponentfunktsioon on funktsioon j¨rgmisel kujul:
a
y = ax ,
kus astme alus a on konstantne ja rahuldab v˜rratust a > 0. Lisaks sellele
o
v˜rratusele eeldame veel, et a ̸= 1, sest a = 1 korral saame konstantse funkt-
o
siooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral
X = R ja Y = (0, ∞).
Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 kvalitatiivselt erinev (vt joonised 1.4
ja 1.5 tagapool). Nagu graafikutelt n¨htub, on funktsioon y = ax kasvav kogu
a
oma m¨¨ramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma m¨¨ramispiirkonnas,
aa aa
kui 0 < a < 1.
Trigonomeetrilised funktsioonid
y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x
radiaanides antud argumendiga x.
7
12. Funktsioon cos α on defineeritud kui x-telje suhtes nurga α all paikneva tasandilise vektori
x-koordinaadi suhe tema pikkusesse, ja sin α kui taolise vektori y-koordinaadi suhe tema
pikkusesse. Kraadides antud nurga teisendamisel radiaanidesse kehtib seos 180 kraadi =
π radiaani. Funktsioonid sin α ja cos α on l˜igult α ∈ [0, 2π] j¨tkatud perioodiliselt kogu
o a
sin α 1
arveljele. Funktsioonid tan α ja cot α on defineeritud valemitega tan α = cos α
ja cot α = tan α
.
Trigonometriliste funktsioonide m¨¨ramispiirkonnad ja v¨¨rtuste hulgad on
aa aa
j¨rgmised:
a
y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] ,
y = cos x : X = R, Y = [−1, 1] ,
{ }
(2k + 1)
y = tan x : X =R π || k ∈ Z , Y = R ,
2
y = cot x : X = R {kπ || k ∈ Z}, Y = R .
Graafikud leiab lugeja joonistelt 1.8 - 1.11 tagapool. Funktsioonid y = sin x ja
y = cos x on perioodilised perioodiga 2π ning y = tan x ja y = cot x perioodiga
π. Funktsioonid y = sin x, y = tan x ja y = cot x on paaritud ning y = cos x
paaris.
1.4 P¨¨rdfunktsiooni m˜iste. Logaritmfunktsioon.
oo o
Arkusfunktsioonid.
¨ u
Uks¨ hese funktsiooni m˜iste. Olgu antud funktsioon y = f (x). Vas-
o
tavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argu-
mendi x v¨¨rtusele oma m¨¨ramispiirkonnast vastavusse uhe kindla y v¨¨rtuse.
aa aa ¨ aa
Vaatleme n¨ud teatud kitsamat erijuhtu. Nimelt eeldame, et ka argument x
u¨
funktsiooni v¨¨rtuse f (x) kaudu uheselt m¨¨ratud. See t¨hendab, et iga y kor-
aa ¨ aa a
ral hulgast Y leidub ainult uks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see
¨
o ¨ u ¨ u
on nii, siis ¨eldakse, et funktsioon f on uks¨hene. Uks¨hese funktsiooni korral
on v˜rrand y = f (x) muutuja x suhtes uheselt lahenduv.
o ¨
N¨iteks kuupfunktsioon y = x3 on uks¨hene. Iga y korral leidub ainult uks
a ¨ u ¨
x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult uhe arvu (so 2) kuup, arv
¨
−27 on ainult uhe arvu (so −3) kuup jne. Lahendades v˜rrandi y = x3 muutuja
¨ o
√
x suhtes saame argumendi x esituse y kaudu: x = 3 y. Seevastu ruutfunktsioon
y = x2 ei ole uks¨ hene. Iga y > 0 korral leidub kaks x-i nii, et valitud y on
¨ u
m˜lema x-i ruut. Arv 4 nii −2 kui 2 ruut. V˜rrandi y = x2 lahendamisel saame
o o
√ √ √
kaks funktsiooni x = y ja x = − y ehk uhe mitmese funktsiooni x = ± y.
¨
Funktsiooni uks¨hesust saab kindlaks teha ka graafiku abil. Kui suvaline
¨ u
x-teljega paralleelne sirge l¨bib funktsiooni graafikut maksimaalselt uhes punk-
a ¨
tis, siis on see funktsioon uks¨ hene. Nii on see n¨iteks kuupfunktsiooni y = x3
¨ u a
graafikuga. Seevastu ruutfunktsiooni y = x2 graafikut (parabooli) l¨bib x- a
teljega paralleelne ja selle telje peal asuv sirge kahes punktis. Nagu n¨gime, ei
a
ole viimasel juhul tegemist uks¨hese funktsiooniga.
¨ u
8
13. ¨ u ¨ u
Uks¨ hese funktsiooni p¨¨rdfunktsioon. Uks¨hese funktsiooni y = f (x)
oo
p¨¨rdfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f (x)-le funktsiooni f
oo
v¨¨rtuste hulgast vastavusse x-i. P¨¨rdfunktsiooni avaldise saame, kui lahen-
aa oo
dame v˜rrandi y = f (x) muutuja x suhtes. P¨¨rdfunktsioonis funktsiooni argu-
o oo
ment ja s˜ltuv muutuja vahetavad oma kohad. See t¨hendab, et kui funktsiooni
o a
f argumendiks on x ja s˜ltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f p¨¨rdfunktsiooni
o oo
argumendiks on y ja s˜ltuvaks muutujaks x. Samuti vahetavad p¨¨rdfunktsioonis
o oo
kohad esialgse funktsiooni m¨¨ramispiirkond ja v¨¨rtuste hulk.
aa aa
Olgu x = g(y) uks¨hese funktsiooni y = f (x) p¨¨rdfunktsioon. Siis funkt-
¨ u oo
sioonid f ja g kompenseerivad teineteist j¨rgmises m˜ttes. Fikseerime mingi x
a o
v¨¨rtuse ja arvutame f (x). Seej¨rel arvutame g[f (x)], st funktsioon g kohal
aa a
f (x). Tulemusena saame esialgse x v¨¨rtuse tagasi. Samuti arvutades antud y
aa
kaudu f [g(y)] saame y v¨¨rtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul
aa
g[f (x)] = x , f [g(y)] = y . (1.2)
Kui g of funktsiooni f p¨¨rdfunktsiooni, siis f on g p¨¨rdfunktsioon.
oo oo
Funktsiooni y = f (x) ja tema p¨¨rdfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad
oo
xy-teljestikus. See on nii sellep¨rast, et funktsioonid y = f (x) ja x = g(y)
a
m¨¨ravad uhed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka uhed ja samad punktid
aa ¨ ¨
P = (x, y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb ainult selles, et f
seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i.
yy
y = f (x) ⇔ x = g(y)
y = g(x)
G
x
Joonis 1.3
Kui aga p¨¨rdfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad va-
oo
hetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis selle funktsiooni graafik peegeldub
ule sirge y = x. Seega on funktsioonide y = f (x) ja y = g(x) graafikud
¨
s¨mmeetrilised sirge y = x suhtes (joonis 1.3).
u
9
14. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. J¨tkame eelmises paragrahvis
a
alustatud p˜hiliste elementaarfunktsioonide loetelu m˜nede oluliste p¨¨rdfunkt-
o o oo
sioonidega.
Logaritmfunktsioon.
Suvaline x-teljega paralleelne sirge l¨bib eksponentfunktsiooni y = ax graafikut
a
maksimaalselt uhes punktis (vt joonised 1.4, 1.5). Seega on eksponentfunktsioon
¨
uks¨hene ning tal on olemas p¨¨rdfunktsioon. Eksponentfunktsiooni y = ax
¨ u oo
p¨¨rdfunktsioon on logaritmfunktsioon
oo
x = loga y ,
kus a on logaritmi alus. Nii nagu eksponentfunktsiooni korral eeldame, et a > 0
ja a ̸= 1. Vastavalt valemitele (1.2) kehtivad seosed
loga [ax ] = x ja aloga y = y.
Kuna p¨¨rdfunktsiooni v˜tmisel m¨¨ramispiirkond ja v¨¨rtuste hulk va-
oo o aa aa
hetavad oma kohad, siis l¨htudes eksponentfunktsioonist (vt §1.3) n¨eme, et
a a
funktsiooni y = loga x m¨¨ramispiikond ja v¨¨rtuste hulk on vastavalt
aa aa
X = (0, ∞) ja Y = R.
Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 erinev (joonised 1.6 ja 1.7). V˜rreldes
o
graafikuid joonistel 1.4 - 1.7 n¨eme, et y = loga x graafik on y = ax graafiku
a
peegeldus sirge y = x suhtes.
Arkusfunktsioonid.
Trigonomeetriliste funktsioonide p¨¨rdfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid.
oo
Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide p¨¨ramisel on see, et nad ei
oo
ole terves oma m¨¨ramispiirkonnas uks¨hesed. T˜epoolest, vaadeldes trigono-
aa ¨ u o
meetriliste funktsioonide graafikuid joonistel 1.8 - 1.11 n¨eme, et x-teljega pa-
a
ralleelsed sirged v˜ivad neid graafikuid l˜igata paljudes punktides. Seet˜ttu ei
o o o
ole v˜imalik saada neile funktsioonidele terves oma m¨¨ramispiirkonnas uheseid
o aa ¨
p¨¨rdfunktsioone. P¨¨rdfunktsioonid defineeritakse nende funktsioonide m¨¨ra-
oo oo aa
mispiirkondade alamhulkadel. Vaatleme seda iga trigonomeetrilise funktsiooni
korral l¨hemalt.
a
Funktsioon y = sin x ei ole uks¨hene, sest uhele sin x v¨¨rtusele vastab
¨ u ¨ aa
l˜pmata palju x v¨¨rtusi. N¨iteks x-telg l˜ikab siinuse graafikut l˜pmata arvus
o aa a o o
erinevates punktides (vt joonis 1.8). Funktsiooni y = sin x p¨¨ramisel ahen-
oo
datakse tema m¨¨ramispiirkond kokkuleppeliselt l˜iguks [− π , π ], st j¨etakse
aa o 2 2 a
vaatluse alt v¨lja kogu see sin x osa, mille korral x ̸∈ [− π , π ]. Vaadeldes joonisel
a 2 2
1.8 l˜igul [− π , π ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨eme, et suvaline x-teljega
o 2 2 a
paralleelne sirge l˜ikab seda maksimaalselt uhes punktis. Seega on funktsioon
o ¨
π π
y = sin x, x ∈ [− , ]
2 2
uks¨hene. Selle funktsiooni p¨¨rdfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja
¨ u oo
t¨histatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed
a
arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, (1.3)
10
15. neist esimene iga x ∈ [− π , π ] korral.
2 2
Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti uks¨hene kogu arvteljel, p¨¨ramisel
¨ u oo
ahendatakse tema m¨¨ramispiirkond l˜iguks [0, π]. Sellel l˜igul on ta uks¨hene
aa o o ¨ u
(joonis 1.9). Funktsiooni
y = cos x, x ∈ [0, π]
p¨¨rdfunktsioon kannab nimetust arkuskosinus ja seda t¨histatakse x = arccos y.
oo a
Kehtivad valemid
arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y,
neist esimene iga x ∈ [0, π] korral.
Funktsioonide y = tan x ja y = cot x p¨¨ramisel ahendatakse tan x va-
oo
hemikule (− π , π ) ja cot x vahemikule (0, π). Funktsioonide
2 2
π π
y = tan x, x ∈ (− , ) ja y = cot x, x ∈ (0, π)
2 2
p¨¨rdfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens
oo
x = arccot y. Kehtivad valemid
arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,
neist esimene iga x ∈ (− π , π ) ja kolmas iga x ∈ (0, π) korral.
2 2
Arkusfunktsioonide m¨¨ramispiirkonnad ja v¨¨rtuste hulgad on j¨rgmised:
aa aa a
π π
y = arcsin x : X = [−1, 1], Y = [− , ] ,
2 2
y = arccos x : X = [−1, 1], Y = [0, π] ,
π π
y = arctan x : X = R, Y = (− , ) ,
2 2
y = arccot x : X = R, Y = (0, π) .
Need saab leida lihtsalt, kui vahetada ulaltoodud trigonomeetriliste funktsioonide
¨
ahendite m¨¨ramispiirkonnad ja v¨¨rtuste hulgad.
aa aa
Arkusfunktsioonide graafikud on kujutatud joonistel 1.12 - 1.15. V˜rreldes
o
omavahel jooniseid 1.8 - 1.11 ja 1.12 - 1.15 n¨eme, et arkusfunktsioonide graafikud
a
on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graafikute peegeldused ule sirge
¨
y = x.
P¨¨rdfunktsioon funktsioonist, mis ei ole uks¨ hene. Olgu vaadeldav funktsioon y =
oo ¨ u
f (x) oma m¨¨ramispiirkonnaga X ja v¨artuste hulgaga Y k¨ll uhene, kuid mitte uks¨ hene.
aa a¨ u ¨ ¨ u
Funktsiooni f p¨¨rdfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis igale y ∈ Y seab vastavusse k˜igi
oo o
selliste x ∈ X hulga, mille korral kehtib v˜rdus f (x) = y.
o
¨
Uhese, kuid mitte uks¨ hese funktsiooni p¨¨rdfunktsioon on mitmene. Selliste funkt-
¨ u oo
sioonide n¨ideteks on terves oma m¨¨ramispiirkonnas antud trigonomeetriliste funktsioonide
a aa
p¨¨rdfunktsioonid ehk ”suure algust¨hega” arkusfunktsioonid. T¨psemalt: terves m¨aramis-
oo a a a¨
piirkonnas antud funktsioonide y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x p¨ordfunktsioonid
o¨
on vastavalt x = Arcsin y, x = Arccos y, x = Arctan y ja x = Arccot y.
Arvutame n¨iteks Arcsin 0. Kuna k˜igi selliste x hulk, mille korral sin x v˜rdub nulliga,
a o o
on {kπ || k = 0, ±1, ±2, . . .}, siis saamegi Arcsin 0 = {kπ || k = 0, ±1, ±2, . . .}.
11
16. y
1
x
Joonis 1.4: y = ax kui a > 1
y
1
x
Joonis 1.5: y = ax kui 0 < a < 1
12
17. y
x
1
Joonis 1.6: y = loga x kui a > 1
y
x
1
Joonis 1.7: y = loga x kui 0 < a < 1
13
18. y
1
x
2Π 3Π Π Π Π Π 3Π 2Π
2 2 1 2 2
Joonis 1.8: y = sin x
y
1
x
2Π 3Π Π Π Π Π 3Π 2Π
2 2 1 2 2
Joonis 1.9: y = cos x
14
19. y
x
2Π 3Π Π Π Π Π 3Π 2Π
2 2 2 2
Joonis 1.10: y = tan x
y
x
2Π 3Π Π Π Π Π 3Π 2Π
2 2 2 2
Joonis 1.11: y = cot x
15
20. y
Π
2
x
1 1
Π
2
Joonis 1.12: y = arcsin x
y
Π
Π
2
x
1 1
Joonis 1.13: y = arccos x
16
21. y
Π
2
x
Π
2
Joonis 1.14: y = arctan x
y
Π
Π
2
x
Joonis 1.15: y = arccot x
17
22. 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunkt-
sioon. Pol¨ noom ja ratsionaalfunktsioon.
u
Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =
f (x) ja y = g(x) uhise m¨¨ramispiirkonnaga X. Funktsioonide f ja g summa
¨ aa
on defineeritud kui kujutis, mis seab igale x ∈ X vastavusse muutuja y v¨¨rtuse
aa
valemiga y = f (x) + g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik t¨his on f + g.
a
Seega kehtib f ja g summa puhul seos
y = (f + g)(x) = f (x) + g(x).
Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y = (f − g)(x) =
f (x) − g(x), korrutis y = (f g)(x) = f (x)g(x) ja jagatis y = (f /g)(x) =
f (x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise m¨¨ramispiirkonnaks on X. Jagatise
aa
m¨¨ramispiirkond koosneb k˜igist sellistest x ∈ X, mille korral g(x) ̸= 0.
aa o
Liitfunktsiooni m˜iste. Olgu antud kaks funktsiooni: y = f (x) m¨¨ramispiir-
o aa
konnaga Xf ja z = g(y) m¨¨ramispiirkonnaga Yg . Asendades suuruse y funkt-
aa
siooni g avaldises f (x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja
s˜ltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z =
o
g[f (x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga.
T¨histame seda funktsiooni s¨mboliga g ◦ f . Seega v˜ime kirjutada v˜rduse
a u o o
z = (g ◦ f )(x) = g[f (x)].
Liitfunktsiooni g ◦ f m¨¨ramispiirkond ei tarvitse kattuda f m¨¨ramispiirkon-
aa aa
naga. Liitfunktsioon g ◦ f on m¨¨ratud ainult sellistel x-i v¨¨rtustel hulgas Xf ,
aa aa
mille korral f (x) asub funktsiooni g m¨¨ramispiirkonnas. T˜epoolest, ainult
aa o
sellisel juhul saame me leida funktsiooni g v¨¨rtuse kohal f (x) ehk suuruse
aa
g[f (x)]. Seega on g ◦ f m¨¨ramispiirkond j¨rgmine:
aa a
Xg◦f = {x || x ∈ Xf , f (x) ∈ Yg } .
√
N¨iteks annavad f (x) = sin x ja g(y) = y liitfunktsiooni (g ◦ f )(x) =
a
√
sin x. Kuna Xf = R ja Yg = [0, ∞), siis Xg◦f = {x || sin x ∈ [0, ∞)} =
{x || 2kπ ≤ x ≤ (2k + 1)π, k ∈ Z)}.
Elementaarfunktsiooni m˜iste. P˜hilisteks elementaarfunktsioonideks on
o o
j¨rgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa , y = ax , y = sin x, y =
a
cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x
ja y = arccot x.
Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud p˜hilistest
o
elementaarfunktsioonidest l˜pliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahuta-
o
miste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel.
N¨iteid elementaarfunktsioonide kohta:
a
ex
elementaarfunktsioon y = 5 + 7 tan x − cos x on moodustatud p˜hilistest elemen-
o
taarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x l˜pliku arvu
o
18
23. aritmeetiliste tehetega;
elementaarfunktsioon y = arcsin (3x ) on p˜hiliste elementaarfunktsioonide y =
o
3x ja y = arcsin x liitfunktsioon;
√
elementaarfunktsioon y = 2arccos x + tan2 x − 4 on saadud p˜hilistest elemen-
3
o
taarfunktsioonidest y = 2x , y = arccos x, y = 3, y = tan x, y = x2 , y = 4 ja
y = x1/2 l˜pliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamisega.
o
Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka pol¨noomid ja ratsionaalfunkt-
u
sioonid. n- astme pol¨noom on defineeritud avaldisega
u
P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an−1 xn−1 + an xn ,
kus a0 , a1 , a2 , . . . , an−1 , an on konstandid ja an ̸= 0. Ratsionaalfunktsioon on
kahe pol¨noomi jagatis
u
a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an−1 xn−1 + an xn
R(x) = .
b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm−1 xm−1 + bm xm
K˜ik funktsioonid ei ole elementaarfunktsioonid. Selle kohta saab tuua usna
o ¨
lihtsaid n¨iteid. N¨iteks ei ole elementaarfunktsioon nn Heaviside’i funktsioon,
a a
mis on defineeritud j¨rgmise eeskirjaga:
a
{
1 kui x ≥ 0,
Θ(x) =
0 kui x < 0.
1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Para-
meetrilisel kujul antud jooned ja funktsioonid.
Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Anal¨utiliselt antud funktsioon
u¨
v˜ib olla kas ilmutatud v˜i ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f (x) ilmutatud
o o
kujuks on v˜rrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis v˜ib
o o
sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. N¨iteks y = x2 − x.
a
Funktsiooni y = f (x) ilmutamata kujuks on v˜rrand, mis sisaldab x ja y
o
l¨bisegi, st v˜rrand
a o
F (x, y) = 0 , (1.4)
kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. N¨iteks x2 − sin y + y = 0.
a
Kui me asendame muutuja y funktsiooni f (x) ilmutatud avaldisega v˜rrandis
o
(1.4), siis muutub see v˜rrand samasuseks F (x, f (x)) ≡ 0. Seda on illustreeritud
o
allpooltoodud n¨ites.
a
Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada v˜rrand o
(1.4) muutuja y suhtes. Kui sellel v˜rrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta
o
mitu funktsiooni.
19
24. N¨ide. Vaatleme v˜rrandit
a o
x2 + y 2 = 1 . (1.5)
√
Kui me √lahendame selle v˜rrandi y suhtes, saame kaks funktsiooni: y = − 1 − x2
o
ja y = 1 − x2 . Seega m¨¨rab v˜√
aa orrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat
√
funktsiooni. Asendades kas y = − 1 − x2 v˜i y = 1 − x2 v˜rrandisse (1.5)
√ o o
saame v˜rduse x2 + [ 1 − x2 ]2 = 1, mis peale lihtsustamist muutub samasuseks
o
0 ≡ 0.
Parameetriliselt antud joon. Olgu l˜igul [T1 , T2 ] antud kaks funktsiooni
o
x = φ(t) ja y = ψ(t). Kirjutame need funktsioonid ules s¨steemina
¨ u
{
x = φ(t)
(1.6)
y = ψ(t) , t ∈ [T1 , T2 ] .
S¨steem (1.6) m¨¨rab iga t ∈ [T1 , T2 ] korral uhe kindla arvupaari ehk tasandi
u aa ¨
¨
punkti ristkoordinaatidega (x, y) = (φ(t), ψ(t)). Uldiselt vastavad muutuja t
erinevatele v¨¨rtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb
aa
l¨bi kogu l˜igu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone.
a o
V˜rrandeid (1.6) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v˜rranditeks ja muu-
o o
tujat t selle joone parameetriks.
N¨ide. Vaatleme joont
a
{
x = a cos t
(1.7)
y = b sin t , t ∈ [0, 2π] ,
kus a ja b on positiivsed konstandid. Arvutame
x2 y2 (a cos t)2 (b sin t)2
2
+ 2 = 2
+ = (cos t)2 + (sin t)2 = 1 .
a b a b2
J¨relikult on vaadeldava joone v˜rrand x ja y kaudu esitatuna j¨rgmine:
a o a
x2 y2
2
+ 2 = 1.
a b
Seda joont nimetatakse ellipsiks (joonis 1.16). Arve a ja b nimetatakse ellipsi
pooltelgedeks.
20
25. yy
b
G
−a a x
−b
Joonis 1.16
Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Vaatleme funktsiooni y = f (x).
Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri).
Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st
x = φ(t).
Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. T˜epoolest: kasutades
o
muutuja x valemit arvutame y = f (x) = f [φ(t)] = (f ◦ φ)(t). Seega, t¨histades
a
ψ = f ◦ φ saame v˜rrandi
o
y = ψ(t).
V˜tame need kaks v˜rrandit kokku uhte s¨steemi. Kui parameetri t muutu-
o o ¨ u
mispiirkond on l˜ik [T1 , T2 ], n¨eb see s¨steem v¨lja j¨rgmine:
o a u a a
{
x = φ(t)
(1.8)
y = ψ(t) , t ∈ [T1 , T2 ] .
V˜rrandeid (1.8) nimetatakse funktsiooni y = f (x) parameetrilisteks v˜rrandi-
o o
teks. V˜rranditega (1.8) antud joon on uhtlasi funktsiooni y = f (x) graafikuks.
o ¨
N¨iteks vaatleme funktsiooni
a
b√ 2
y = a − x2 ,
a
kus a ja b on positiivsed konstandid. Asendame muutuja x parameetri t kaudu
j¨rgmiselt:
a
x = a cos t.
Siis saame
b√ 2 √
y = a − a2 cos2 t = b 1 − cos2 t.
a
Eeldame, et parameeter t asub l˜igul [0, π]. Sellel l˜igul on funktsioon sin t mit-
o √ o
tenegatiivne. Seet˜ttu kehtib v˜rdus 1 − cos2 t = sin t. N¨ud saame muutuja
o o u¨
y jaoks j¨rgmise v˜rrandi:
a o
y = b sin t.
21
26. V˜ttes x ja y v˜rrandid kokku, paneme antud funktsiooni jaoks kirja j¨rgmise
o o a
parameetrilise esituse:
{
x = a cos t
y = b sin t , t ∈ [0, π] .
√
Funktsiooni y = a a2 − x2 graafikuks on joonisel 1.16 toodud ellipsi ulemine
b
¨
(x-telje peal asuv) kaar, mis vastab parameetri v¨¨rtustele t ∈ [0, π].
aa
Joonte ja funktsioonide parameetrilist esitust kasutatakse rohkelt f¨usikas.
u¨
Parameeter t t¨histab seal enamasti aega. N¨iteks esitab parameetiline joon
a a
ajas liikuvat punkti tasandil.
1.7 H¨ perboolsed trigonomeetrilised funktsioonid.
u
Selles paragrahvis defineerime veel m˜ned olulised elementaarfunktsioonid. Mate-
o
maatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn h¨perboolseid trigonomeetri-
u
lisi funktsioone. Nendeks on
ex − e−x
sinh x = − h¨perboolne siinus ,
u
2
ex + e−x
cosh x = − h¨perboolne kosinus ,
u
2
sinh x ex − e−x
tanh x = = − h¨perboolne tangens ,
u
cosh x ex + e−x
cosh x ex + e−x
coth x = = − h¨perboolne kotangens .
u
sinh x ex − e−x
M¨¨ramispiirkonnad ja v¨¨rtuste hulgad on j¨rgmised:
aa aa a
y = sinh x : X = R, Y = R ,
y = cosh x : X = R, Y = [1, ∞) ,
y = tanh x : X = R, Y = (−1, 1) ,
y = coth x : X = R {0}, Y = (−∞, −1) ∪ (1, ∞) .
Graafikud on toodud joonistel 1.18 - 1.21.
H¨ perboolse siinuse ja kosinuse kaudu on defineeritud veel
u
1 2
sech x = = x − h¨perboolne seekant :
u
cosh x e + e−x
1 2
csch x = = x − h¨perboolne koseekant .
u
sinh x e − e−x
Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x p¨¨rdfunktsioonid on nn area-
oo
funktsioonid:
x = arsinh y − areasiinus (funktsiooni y = sinh x p¨¨rdfunktsioon) ,
oo
x = arcosh y − areakosinus (funktsiooni y = cosh x p¨¨rdfunktsioon) ,
oo
x = artanh y − areatangens (funktsiooni y = tanh x p¨¨rdfunktsioon) ,
oo
x = arcoth y − areakotangens (funktsiooni y = coth x p¨¨rdfunktsioon) .
oo
22
27. Nii nagu h¨perboolsed trigonomeetrilised funktsioonid, on ka areafunktsioonid
u
elementaarfunktsioonid.
Toome siinkohal areafunktsioonide avaldised p˜hiliste elementaarfunktsioonide kaudu koos
o
m¨¨ramispiirkondade ja v¨¨rtuste hulkadega:
aa aa
( √ )
arsinh x = ln x + x2 + 1 : X = R, Y = R ,
( √ )
arcosh x = ln x + x2 − 1 : X = [1, ∞), Y = [0, ∞) ,
1 1+x
artanh x = ln : X = (−1, 1), Y = R ,
2 1−x
1 x+1
arcoth x = ln : X = (−∞, −1) ∪ (1, ∞), Y = R {0} .
2 x−1
H¨perboolne siinus ja kosinus on seotud teatud teist liiki joone, nn h¨perbooliga.
u u
Selle selgitamiseks tuletame k˜igepealt uhe abivalemi. Arvutame:
o ¨
( )2 ( x )2
ex + e−x e − e−x
(cosh x) − (sinh x) =
2 2
−
2 2
1 [ 2x ] 1 [ 2x ]
= e + e−2x + 2 − e + e−2x − 2
4 4
e2x e−2x 1 e2x e−2x 1
= + + − − + = 1.
4 4 2 4 4 2
J¨relikult kehtib valem
a
(cosh x)2 − (sinh x)2 = 1 . (1.9)
See seos on tuntud trigonomeetria valemi (cos x)2 + (sin x)2 = 1 analoog h¨per-
u
boolsete trigonomeetriliste funktsioonide korral.
Vaatleme n¨ud kahte parameetriliselt antud joont, millest esimene on kirjel-
u¨
datud v˜rranditega
o
{
x = R cosh t
(1.10)
y = R sinh t , t ∈ R ,
ja teine v˜rranditega
o
{
x = −R cosh t
(1.11)
y = R sinh t , t ∈ R ,
kus kordaja R on positiivne konstant. Nii joone (1.10) kui (1.11) korral kehtib
j¨rgmine v˜rdus
a o
x2 − y 2 = (R cosh t)2 − (R sinh t)2 = R2 [(cosh t)2 − (sinh t)2 ] = R2
ehk
x2 − y 2 = R2 . (1.12)
23
28. V˜rrandiga (1.12) antud joont nimetatakse h¨perbooliks (joonis 1.17). H¨perbool
o u u
koosneb kahest x - telje suhtes s¨mmeetrilisest harust. Parempoolse haru para-
u
meetrilised v˜rrandid on (1.10) ja vasakpoolse haru parameetrilised v˜rrandid
o o
on (1.11).
yy
y = −x y=x
G
−R R x
Joonis 1.17
24
29. y
x
Joonis 1.18: y = sinh x
y
1
x
Joonis 1.19: y = cosh x
25
30. y
1
x
1
Joonis 1.20: y = tanh x
y
1
x
1
Joonis 1.21: y = coth x
26
31. Peat¨ kk 2
u
Piirv¨¨rtus ja pidevus
aa
2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid.
Muutuva suuruse x kohta ¨eldakse, et ta on j¨rjestatud, kui tema v¨¨rtustest on
o a aa
moodustatud j¨rjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on v˜imalik
a o
o
¨elda, kumb neist on eelnev ja kumb j¨rgnev.
a
J¨rjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ajast s˜ltuv suurus. Sel juhul
a o
on loomulik lugeda kahest suuruse v¨¨rtusest j¨rgnevaks seda, mis vastab suu-
aa a
remale ajamuutuja v¨¨rtusele. N¨iteks materiaalse objekti sirgjoonelisel liiku-
aa a
misel l¨bitud teepikkus S(t) on j¨rjestatud suurus. Kui t2 > t1 , siis teepikkuse
a a
v¨¨rtus S(t2 ) j¨rgneb teepikkuse v¨¨rtusele S(t1 ).
aa a aa
J¨rjestatud muutuva suuruse erijuhuks on ka reaalarvude jada
a
x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . .
Sel juhul genereerib jada indeks j¨rjestuse. Kui k > i, siis jada element xk
a
j¨rgneb elemendile xi .
a
Selles paragrahvis tegeleme me selliste j¨rjestatud suurustega, mis m¨¨da
a oo
j¨rjestust edasi liikudes l¨henevad teatud fikseeritud arvule. Need on nn koondu-
a a
vad e piirv¨¨rtust omavad suurused. Nendest m˜istetest arusaamiseks k¨sitleme
aa o a
k˜igepealt uhte n¨idet mehaanika vallast.
o ¨ a
Olgu vaatluse all vedru, mis on uhest otsast kinnitatud ja teine ots on lah-
¨
tine. Olgu tasakaaluasendis vedru pikkus a. Kui vedrut kokku suruda v˜i v¨lja
o a
venitada ja seej¨rel vabastada, hakkab tema lahtine otspunkt tasakaaluasendi
a
umber v˜nkuma. Vedru pikkus on sel juhul ajast s˜ltuv (seega j¨rjestatud) muu-
¨ o o a
tuv suurus x. V˜nkumisprotsessi m˜jutavad mitmesugused takistusj˜ud, mille
o o o
tagaj¨rjel v˜nkumine sumbub, st vedru pikkus x l¨heneb arvule a. Vaatame
a o a
kuidas oleks v˜imalik sellist l¨henemisprotsessi matemaatilistes terminites kir-
o a
¨
jeldada. Uks v˜imalus on j¨rgmine. Valime mingisuguse tasakaalupunkti umbruse,
o a ¨
n¨iteks (a − 0.1, a + 0.1). Kuna v˜nkumine sumbub, siis mingist ajahetkest (st x
a o
v¨¨rtusest) alates k˜ik j¨rgnevad vedru pikkuse v¨¨rtused x j¨¨vad vahemikku
aa o a aa aa
(a − 0.1, a + 0.1), st rahuldavad v˜rratust |x − a| < 0.1. Edasi valime mingi
o
27
32. teise, v¨iksema raadiusega umbruse, nt (a − 0.01, a + 0.01). Arvestades j¨llegi
a ¨ a
seda, et v˜nkumine sumbub, leidub mingi teine, eelnevast suurem ajahetk ja
o
sellele vastav x v¨¨rtus nii, et k˜ik j¨rgnevad x v¨¨rtused j¨¨vad vahemikku
aa o a aa aa
(a − 0.01, a + 0.01), st rahuldavad v˜rratust |x − a| < 0.01. Sellist arutelu v˜ib
o o
j¨tkata suvalise kuitahes v¨ikse raadiusega umbrusega (a − ε, a + ε). J¨relikult,
a a ¨ a
iga kuitahes v¨ikese positiivse arvu ε korral saab n¨idata sellist suuruse x
a a
v¨¨rtust, millest alates k˜ik j¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused kuuluvad
aa o a aa
arvu a umbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad v˜rratust |x − a| < ε.
¨ o
Muutuva suuruse piirv¨¨rtuse uldine definitsioon on j¨rgmine:
aa ¨ a
Olgu x j¨rjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x
a
piirv¨¨rtuseks, kui iga kuitahes v¨ikese positiivse arvu ε korral saab n¨idata sel-
aa a a
list suuruse x v¨¨rtust, millest alates k˜ik j¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused
aa o a aa
kuuluvad arvu a umbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad v˜rratust |x − a| < ε.
¨ o
Kui arv a on suuruse x piirv¨¨rtus, siis ¨eldakse, et suurus x l¨heneb arvule
aa o a
a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse
x→a v˜i
o lim x = a .
Piirv¨¨rtuse uldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, pare-
aa ¨
malt v˜i m˜lemalt poolt) muutuja x l¨henemine arvule a toimub. Seega on
o o a
piirprotsessi x → a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x l¨heneb arvule a
a
¨
ainult vasakult v˜i paremalt. Uhepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame
o
uldisest piirv¨¨rtuse definitsioonist, kui me seal esineva umbruse (a−ε, a+ε) kit-
¨ aa ¨
sendame kas vasakpoolseks v˜i parempoolseks umbruseks (a − ε, a] v˜i [a, a + ε).
o ¨ o
Muutuv suurus x l¨heneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes v¨ikese posi-
a a
tiivse arvu ε korral saab n¨idata sellist suuruse x v¨¨rtust, millest alates k˜ik
a aa o
j¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused kuuluvad pooll˜iku (a − ε, a]. Sellisel
a aa o
juhul kirjutatakse
x → a− .
Muutuv suurus x l¨heneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes v¨ikese posi-
a a
tiivse arvu ε korral saab n¨idata sellist suuruse x v¨¨rtust, millest alates k˜ik
a aa o
j¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused kuuluvad pooll˜iku [a, a + ε). Siis kirju-
a aa o
tatakse
x → a+ .
Saab konstrueerida ka lihtsaid mehaanilisi mudeleid, mis illustreerivad uhe-
¨
poolset koondumist. N¨iteks, kui vedru on uhendatud mingi tugeva v˜nkumist
a ¨ o
summutava seadmega (nt amortisaatoriga), siis v˜nkumist umber tasakaalupunkti
o ¨
ei teki. Vedru pikkus x l¨heneb a-le ainult vasakult v˜i paremalt s˜ltuvalt sell-
a o o
est, kas vedru on kokku surutud v˜i v¨lja venitatud.
o a
28
33. Defineerime ka sellised piirprotsesseid, mille k¨igus x l¨heneb pluss v˜i mii-
a a o
nus l˜pmatusele. Idee poolest on need definitsioonid sarnased eelpooltoodud
o
definitsioonidele, ainult reaalarvu a umbruste asemel kasutatakse l˜pmatuse v˜i
¨ o o
miinus l˜pmatuse umbrust.
o ¨
Alustame suurusest, mis l¨heneb pluss l˜pmatusele. Piltlikult v¨ljendudes
a o a
on tegemist sellise j¨rjestatud suurusega, mis m¨¨da j¨rjestust edasi liikudes
a oo a
kasvavab piiramatult, st saab suuremaks kuitahes suurest positiivsest arvust
M . Selgitame seda l¨hemalt. Olgu n¨iteks M = 100. Leidub selline x v¨¨rtus,
a a aa
millest alates k˜ik j¨rgnevad x v¨¨rtused on 100-st suuremad. Suurendame arvu
o a aa
M . Olgu nt M = 10000. Leidub selline (eelnevast suurem) x v¨¨rtus, millest
aa
alates k˜ik j¨rgnevad x v¨¨rtused on 10000-st suuremad jne. Kokkuv˜ttes,
o a aa o
kuitahes suure positiivse arvu M korral saab n¨idata sellist suuruse x v¨¨rtust,
a aa
millest alates k˜ik j¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused on arvust M suure-
o a aa
mad, st rahuldavad v˜rratust x > M .
o
¨
Uldine definitsioon on j¨rgmine:
a
Muutuva suuruse x piirv¨¨rtus on l˜pmatus ehk muutuv suurus x l¨heneb
aa o a
l˜pmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab n¨idata sellist
o a
suuruse x v¨¨rtust, millest alates k˜ik j¨rgnevad muutuva suuruse v¨¨rtused
aa o a aa
kuluvad l˜pmatuse umbrusesse (M, ∞), st rahuldavad v˜rratust x > M . Taolist
o ¨ o
piirprotsessi t¨histatakse j¨rgmiselt:
a a
x→∞ v˜i
o lim x = ∞ .
Analoogiliselt saab defineerida ja selgitada ka piirprotsessi x → −∞. Definit-
sioon on j¨rgmine:
a
Muutuva suuruse x piirv¨¨rtus on miinus l˜pmatus ehk muutuv suurus x
aa o
l¨heneb miinus l˜pmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab
a o
n¨idata sellist suuruse x v¨¨rtust, millest alates k˜ik j¨rgnevad muutuva suuruse
a aa o a
v¨¨rtused kuuluvad miinus l˜pmatuse umbrusesse (−∞, −M ), st rahuldavad
aa o ¨
v˜rratust x < −M . Sellise piirprotsessi t¨histusviis on
o a
x → −∞ v˜i
o lim x = −∞ .
2.2 Jada piirv¨¨rtus.
aa
Kuna jada on j¨rjestatud muutuva suuruse erijuht, saab muutuva suuruse piir-
a
v¨¨rtuse definitsiooni jadale otseselt ule kanda. See j¨rgmine:
aa ¨ a
Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1 , x2 , x3 , . . . piirv¨¨rtuseks, kui iga
aa
kuitahes v¨ikese positiivse arvu ε korral saab n¨idata sellist jada elementi xn ,
a a
millest alates k˜ik j¨rgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a umbrusesse (a −
o a ¨
ε, a + ε). Jada piirv¨¨rtuse kirjutusviis on j¨rgmine:
aa a
xn → a v˜i
o lim xn = a .
29
34. L˜plikku piirv¨¨rtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul
o aa
nimetatakse jada hajuvaks.
n
N¨ide. Vaatleme jada elementidega xn = 1 + (−1) . Taolise jada piirv¨¨rtus
a 2n aa
on 1. Selle t˜estamiseks kontrollime piirv¨¨rtuse definitsiooni kehtivust arvuga
o aa
a = 1. Vastavalt definitsioonile peame me n¨itama, et suvalise kuitahes v¨ikese
a a
positiivse arvu ε leidub selline jada element, millest alates k˜ik j¨rgnevad jada
o a
elemendid kuuluvad arvu 1 umbrusesse (1 − ε, 1 + ε). Taolisesse umbrusesse
¨ ¨
kuuluvad jada elemendid rahuldavad v˜rratust 1 − ϵ < xn < 1 + ϵ. Lahendame
o
selle v˜rratuse arvu n suhtes:
o
n n
1 − ε < xn < 1 + ε ⇔ 1 − ε < 1 + (−1) < 1 + ε ⇔ −ε < (−1) < ε ⇔
2n 2n
2n < ε ⇔ 1 < 2 ε ⇔ 2 > ε ⇔ n > log2 ε .
1 n n 1 1
J¨relikult: kui me etteantud ε > 0 korral valime elemendi xm nii, et m > log2 1 ,
a ε
siis kehtib xn ∈ (1 − ε, 1 + ε) iga xm -le j¨rgneva jada liikme xn korral. Seega
a
on jada piirv¨¨rtuse definitsioon t¨idetud arvuga a = 1. Olemegi t˜estanud,
( aa ) a o
n
et lim 1 + (−1)
2n = 1. Illustreerime seda t˜estust veel m˜nede erijuhtude
o o
vaatlemisega . Selleks paneme kirja m˜ned jada esimesed elemendid:
o
x1 = 0.5, x2 = 1.25, x3 = 0.875, x4 = 1.0625, x5 = 0.96875,
x6 = 1.015625, x7 = 0.9921875, x8 = 1.0039625, . . .
Olgu ε = 0.1. N¨eme, et alates neljandast elemendist kuuluvad k˜ik j¨rgnevad
a o a
jada elemendid umbrusesse (1 − ε, 1 + ε) = (1 − 0.1, 1 + 0.1) = (0.9, 1.1).
¨
J¨rgmiseks olgu ε = 0.05. Alates viiendast elemendist kuuluvad k˜ik j¨rgnevad
a o a
jada elemendid umbrusesse (1−ε, 1+ε) = (1−0.05, 1+0.05) = (0.95, 1.05). Kui
¨
ε = 0.01, siis alates seitsmendast elemendist kuuluvad k˜ik j¨rgnevad elemendid
o a
umbrusesse (1 − ε, 1 + ε) = (1 − 0.01, 1 + 0.01) = (0.99, 1.01) jne.
¨
2.3 L˜pmatult kahanevad, l˜pmatult kasvavad
o o
ja t˜kestatud suurused.
o
J¨rgnevalt vaatleme detailsemalt selliseid suurusi, mis l¨henevad nullile v˜i kas-
a a o
vavad piiramatult. Traditsiooniliselt kasutatakse selliste suuruste t¨histamiseks
a
kreeka t¨hestiku esimesi t¨hti α, β, γ, . . ..
a a
L˜pmatult kahanevad ja kasvavad suurused.
o
Muutuvat suurust α nimetatakse l˜pmatult v¨ikeseks ehk l˜pmatult kahanevaks,
o a o
kui lim α = 0.
Muutuvat suurust α nimetatakse l˜pmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞.
o
L˜pmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.
o
Nimelt on nad teineteise p¨¨rdarvud. Kehtib j¨rgmine v¨ide.
oo a a
30
35. Teoreem 2.1. Suurus α on l˜pmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus
o
1
α on l˜pmatult kasvav.
o
1
T˜estus. T˜estame ainult selle v¨ite esimese poole, so: kui α on l˜pmatult kahanev, siis α
o o a o
1
on l˜pmatult kasvav. Vastupidine v¨ide (kui α on l˜pmatult kasvav, siis α on l˜pmatult
o a o o
kahanev) t˜estatakse analoogiliselt.
o
Niisiis olgu α l˜pmatult kahanev, st α → 0. Me peame t˜estama, et suurus β = α on
o o 1
l˜pmatult kasvav, st |β| = α → ∞. Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile (vt §2.1) tuleb
o 1
meil n¨idata, et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral eksisteerib selline suuruse β
a
v¨¨rtus βM nii, et k˜ik βM -le j¨rgnevad β v¨¨rtused rahuldavad v˜rratust |β| > M .
aa o a aa o
Fikseerimegi mingi positiivse arvu M ja kasutame eeldust α → 0. Vastavalt piirprotsessi
α → 0 definitsioonile (vt §2.1) eksisteerib suvalise kuitahes v¨ikese positiivse arvu ε korral
a
selline suuruse α v¨artus αε nii, et k˜ik αε -le j¨rgnevad α v¨¨rtused rahuldavad v˜rratust
a¨ o a aa o
|α| < ε.
1
Kuna viimases lauses v˜ib ε olla suvaline positiivne arv, saame me valida ε = M . Siis
o
kehtivad k˜igi αε -le j¨rgnevate α v¨artuste korral j¨rgmised seosed:
o a a¨ a
1 1 1
|α| < ⇔ |α|M < 1 ⇔ >M ⇔ > M ⇔ |β| > M.
M |α| α
Seega defineerides
1
βM =
αε
n¨eme, et k˜ik βM -le j¨rgnevad β v¨¨rtused rahuldavad v˜rratust |β| > M . Seda oligi vaja
a o a aa o
t˜estada.
o
N¨iteid. 1. Vaatleme jadasid
a
1
αn = (so 1, 1 , 1 , 1 ...)
2 3 4
n
βn = n (so 1, 2, 3, 4 ...).
1
Nende jadade liikmed on teineteise p¨¨rdarvud, st βn = αn . K˜igepealt m¨rgime,
oo o a
et jada αn on l˜pmatult kahanev, st αn → 0. T˜epoolest, kui me suvalise posi-
o o
tiivse arvu ε korral valime jada liikme, mille indeks n ≥ 1 , siis k˜igi sellele
ϵ o
liikmele j¨rgnevate jada liikmete αn korral kehtivad seosed
a
1 1
n> ⇔ nε > 1 ⇔ < ε ⇔ an < ε.
ϵ n
Kuna lisaks αn > 0, siis saamegi v˜rratuse |αn | < ε, mis n¨itab, et αn → 0.
o a
Vastavalt teoreemile 2.1 on jada βn l˜pmatult kasvav, st |βn | → ∞. M¨rgime,
o a
et kuna antud juhul βn > 0, siis |βn | = βn ja j¨relikult βn → ∞.
a
2. Vaatleme jadasid
(−1)n
αn = (so −1, 1 , − 1 , 1 ...)
2 3 4
n
βn = (−1) n (so −1, 2, −3, 4...).
n
J¨llegi βn = αn . Peale selle αn → 0. T˜epoolest, kui me suvalise positiivse
a 1
o
arvu ε korral valime jada liikme, mille indeks n ≥ 1 , siis k˜igi sellele liikmele
ϵ o
j¨rgnevate jada liikmete αn korral kehtivad seosed
a
1 1
n> ⇔ nε > 1 ⇔ < ε ⇔ |an | < ε.
ϵ n
31
36. See n¨itab, et αn → 0. Teoreem 2.1 p˜hjal on βn l˜pmatult kasvav, st |βn | → ∞.
a o o
T˜kestatud suurused. Muutuvat suurust α nimetatakse t˜kestatuks, kui
o o
selle suuruse muutumispiirkond on t˜kestatud.
o
Tuletame meelde, et hulk A on t˜kestatud, kui leidub l˜plik vahemik (a, b)
o o
nii, et A ⊂ (a, b). (vt §1.1). J¨relikult: suurus α on t˜kestatud, kui k˜ik suuruse
a o o
α v¨¨rtused kuuluvad mingisse l˜plikku vahemikku (a, b).
aa o
J¨rgnevalt vaatleme l˜pmatult v¨ikese suuruse α ja t˜kestatud suuruse β
a o a o
korrutise k¨itumist. Kahe j¨rjestatud muutuva suuruse α ja β korrutis γ = αβ
a a
on muutuv suurus, mille v¨¨rtusteks on suuruste α ja β v¨¨rtuste korrutised.
aa aa
Teoreem 2.2. Kui suurus α on l˜pmatult kahanev ja suurus β on t˜kestatud,
o o
siis nende korrutis αβ on l˜pmatult kahanev.
o
T˜estus. Olgu α l˜pmatult kahanev ja β t˜kestatud. Me peame n¨itama, et sellisel juhul
o o o a
on γ = αβ samuti l˜pmatult kahanev, st γ → 0. Vastavalt definitsioonile tuleb n¨idata, et
o a
suvalise kuitahes v¨ikese positiivse arvu ε korral leidub selline suuruse γ v¨¨rtus γε nii, et
a aa
k˜ik γε -le j¨rgnevad γ v¨artused rahuldavad v˜rratust |γ| < ε.
o a a¨ o
Fikseerimegi mingi positiivse arvu ε ja kasutame eeldusi α ja β kohta. Kuna α → 0,
siis suvalise positiivse arvu ε1 korral leidub selline suuruse α v¨¨rtus αε1 nii, et k˜ik αε1 -le
aa o
j¨rgnevad α v¨¨rtused rahuldavad v˜rratust |α| < ε1 . Peale selle, kuna β on t˜kestatud, siis
a aa o o
leidub K > 0 nii, et k˜ik suuruse β v¨artused rahuldavad v˜rratust |β| < K.
o a¨ o
Kuna ε1 v˜ib olla suvaline positiivne arv, v˜ime me valida
o o
ε
ε1 = .
K
J¨rgmiseks valime γε nii, et γε = αε1 βε , kus βε on mingisugune suuruse β v¨¨rtus. Siis iga
a aa
γε -le j¨rgneva γ v¨¨rtuse korral kehtivad seosed
a aa
ε
|γ| = |αβ| = |α| |β| < K = ε.
K
Seega me n¨eme, et k˜ik γε -le j¨rgnevad suuruse γ v¨¨rtused rahuldavad v˜rratust |γ| < ε.
a o a aa o
Seda oligi vaja t˜estada.
o
N¨ide. Vaatleme jada
a
( )
1 1
γn = sin .
n n
1
(1)
Esitame selle jada kahe jada korrutisena γn = αn βn , kus αn = n ja βn = sin n .
Nagu me eelnevalt n¨gime, on αn l˜pmatult kahanev, st αn → 0. Peale selle,
a o
kuna siinuse v¨¨rtused paiknevad l˜igul [−1, 1], siis saame | sin x| ≤ 1 iga x
aa o
korral, millest j¨reldub, et |βn | ≤ 1. Seega on jada βn t˜kestatud suvalise
a o
konstandiga K > 1. Rakendades ¨sjat˜estatud v¨idet korrutisele γn saame, et
a o a
γn on l˜pmatult kahanev, st γn → 0.
o
2.4 Funktsiooni piirv¨¨rtus.
aa
Olgu antud funktsioon f argumendiga x. Kui argument x on j¨rjestatud, siis
a
saame me j¨rjestada ka funktsiooni v¨¨rtused f (x), lugedes funktsiooni kahest
a aa
v¨¨rtusest j¨rgnevaks selle, mis vastab argumendi j¨rgnevale v¨¨rtusele.
aa a a aa
32
