1. Многоугао
Појам и врсте.
Број дијагонала многоугла.

2. Многоугао је фигура у равни коју
чини многоугаона линија и
унутрашња област одређена том
линијом.
А1
А4
А3
А2
А6
А5

3. Многоугао може бити конвексан и
неконвексан.
А1
А4
А3
А2
Многоугао је конвексан
ако садржи сваку дуж
чије крајње тачке
припадају том
многоуглу.
У супротном
многоугао је
неконвексан. А1
А5
А2
А3
А5 А4

4. Проучаваћемо само конвексне
четвороуглове.
Основни елементи многоугла су:
- странице
- темена
- унутрашњи углови
многоугла.
А1
А4
А3
А2
А5

5. Странице многоугла су дужи које
чине многоугаону линију.
Обележавају се са
А1А2, А2А3, А3А4, ..., AnА1
или са a1, a2, a3, ..., an. А1
А4
А2
А5
А3
Странице које имају заједничко теме
називају се суседне (нпр. A1A2 и A2A3),
а оне које немају заједничко теме су
несуседне (нпр. А1А2 и А3А4).

6. Темена многоугла су крајње тачке
страница многоугла.
Најчешће се обележавају словима
А1, А2, А3, ..., Аn.
Четвороугао чија су
темена А1, A2, A3, ..., An
А1
обележава се са A1A2A3...An.
А4
А2
А5

7. Врсте многоугла
Према броју темена многоугао може
бити:
* троугао,
* четвороугао,
* петоугао,
* шестоугао, ...
* и, у општем случају, n-тоугао, n  3 .

8. Унутрашњи углови многоугла су
углови:
AnA1A2, A1A2A3, ..., An-1AnA1.
Често се углови
многоугла
обележавају и
словима грчког
алфабета:
А1
А4
А2
А5
А3
 , ,..., n 1 2

9. Дужи чије су крајње тачке
несуседна темена многоугла
називају се дијагонале многоугла.
C
А
D
B

10. Троугао нема
дијагонала, јер су
сваке две странице
суседне.
А3
А1 А2
Четвороугао има две
дијагонале. А3
А1
А4
А2

11. А5
Петоугао има
пет дијагонала. А3
А1 А2
Шестоугао има
девет дијагонала.
А5
А6
А4
А4
А1 А2

12. Поставља се питање: да ли постоји
формула помоћу које се може
израчунати број дијагонала
произвољног n-тоугла?
Одговор је постоји.
А лако је и доћи до ње!

13. Нека је дат један n-тоугао. Из једног
темена многоугла може се повући n-3
дијагонала, па добијамо помоћну
формулу:
А5
А6
А4
А1 А2
dn = n-3
dn - број дијагонала из
једног темена
n – број темена
многоугла

14. Ако се из једног темена многоугла
може се повући n-3 дијагонала, а
укупно има n темена, то би значило
да се укупно може повући n·(n-3)
дијагонала.
А5 А4
Међутим, сваку дијагоналу
смо рачунали два пута,
па је формула за
А6
израчунавање броја
дијагонала многоугла...
А1 А2

15. Dn – укупан број А5
А4
дијагонала многоугла
n – број темена
А6
многоугла
А1 А2
 
2
 3

n n
Dn
А3

16. Поновимо:
* Шта је многоугао?
* Који су основни елементи
многоугла?
* Врсте многоуглова.
* Шта је дијагонала многоугла?
* Формулу за израчунавање укупног
броја дијагонала многоугла.

17. Многоугао
Збир углова многоугла.

18. Знамо:
Збир углова троугла је 180º.
Збир углова четвороугла је 360º.
Из једног темена многоугла може се
повући n-3 дијагонале многоугла.
Ове математичке чињенице су
довољне да дођемо до формуле за
израчунавање збира углова многоугла.

19. Дијагонале из једног А5
А4
темена многоугла
разлажу тај многоугао
на n-2 троугла.
А6
А3
А1 А2
Збир углова у једном троуглу је 180º,
па добијамо да је збир углова у
многоуглу, у ознаци Sn:
   S  n  2 180 n

20. Упоредни углови унутрашњим
угловима многоугла називају се
спољашњи углови многоугла.
Обележавају се са .
Збир спољашњих
углова многоугла је
360º.
Докажимо то!
 ,  ,..., n 1 2

21. Означимо са S’n збир спољашњих
углова многоугла.
Јасно је S’n +Sn=n·180º, па је
S’n=n·180º-(n-2)·180º
=n·180º-n·180º+2·180º
=360º

22. Правилни
многоуглови
Појам и својства.

23. Многоугао чије су све странице
једнаке и сви углови једнаки назива
се правилан многоугао.
А6
А5 А4
А1
А2
А3
Дакле, важи:
А1А2=А2А3=А3А4=AnА1=а
и
     n ... 1 2

24. Унутрашњи угао правилног многоугла
рачуна се тако што се збир
унутрашњих углова многоугла
подели бројем углова, тј.
А6
А5 А4
А1
А2
А3
 
n
n
Sn
n
 2 180 
  

25. Спољашњи угао правилног многоугла
рачуна се тако што се збир
спољашњих углова многоугла
подели бројем углова, тј.
А6
А5 А4
А1
А2
А3
 360
n
  

26. Једнакостранични троугао
А3
А1 А2
 60  
  120
O
Има описану и
уписану кружницу чији
се центри поклапају.
3
3
2 а а
R  
2
3
3
6
3
1 а а
r  
2
3
3
Има три осе симетрије.

27. Квадрат
А3
А1 А2
 90  
 90   
O
Има описану и
уписану кружницу чији
се центри поклапају.
а 2
2
R 
а
2
r 
А4
Има четри осе симетрије.

28. Правилни петоугао
А3
А1 А2
 5 2  180



72
360
   
5

108
5

 
 
O
Има описану и
уписану кружницу чији
се центри поклапају.
А4
А5
Има пет оса симетрије.

29. Правилни шестоугао
А1 А2
А3
 6 2  180



60
360
   
6

120
6

 
 
O
Има описану и
уписану кружницу чији
се центри поклапају.
А5 А4
А6
R  а
а 3
2
r 
Има шест оса симетрије.

30. Закључак:
Око сваког многоугла може се описати
кружница и у сваки многоугао се може
уписати кружница.
Центри ових кружница се поклапају и та
тачка се назива центар многоугла.
Правилни n-тоугао има n оса симетрије.

31. Карактеристични троугао
Карактеристични троугао правилног
многоугла је троугао који образују два
суседна темена и центар многоугла.

32. Карактеристични троугао
Карактеристични троугао правилног
многоугла је једнакокраки троугао чија
је основица једнака страници тог
360
 многоугла, а угао при врху је  
.
n
Угао 
је централни угао многоугла.

33. Карактеристични троугао
Крак карактеристичног троугла је R.
Висина карактеристичног троугла која
одговара његовој основици је r.

34. Правилни шестоугао
А5 А4
А1 А2
А3
O
А6
Специфичност –
карактеристични
троугао је
једнакостранични!
D 2R  2а
3
d  r   
2
3
а
2 2 a

35. Конструкција
правилних многоуглова

36. Конструисати правилни многоугао
значи нацртати га уз помоћ шестара
и лењира.
Како се сваки правилни многоугао
може разложити на n подударних
карактеристичних троуглова,
проблем конструкције правилног
многоугла своди се на проблем
конструкције одговарајућег
карактеристичног троугла.

37.  360
n
Угао при врху карактеристичног
троугла рачуна се по формули
 
па је за његову конструкцију довољно
знати још један од следећих
елемената:
- основицу (a),
- крак (R),
- висину која одговара основици (r).

38. Конструкција правилног шестоугла
Пример 1: Конструисати правилни
шестоугао странице 3cm.
0 1 2 3 4 5 6

39. Пример 1: а=3cm
код шестоугла је
0 1 2 3 4 5 6
 60  
3cm
 60

40. Карактеристични троугао
Карактеристични троугао правилног
многоугла је троугао који образују два
суседна темена и центар многоугла.
R
r R R R
r r r

41. Карактеристични троугао
Карактеристични троугао правилног
многоугла је троугао који образују два
суседна темена и центар многоугла.
R
r R R R
r r r