حل المعادلة التربيعية عبر الحضارة الاسلامية

1. ‫الحضارة‬ ‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
‫اللسليمية‬

2. :‫اللسليمية‬ ‫الحضارة‬ ‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
‫وقد‬ ،‫والثانية‬ ‫الولى‬ ‫الدرجة‬ ‫يمن‬ ‫يمعادل ت‬ ‫لحل‬ ‫بالتطرق‬ ‫الخوارزيمي‬ ‫قام‬
:‫وهي‬ ‫أنواع‬ ‫لخمسة‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادل ت‬ ‫ن ف‬ّ‫ف‬ ‫ص‬
‫أن‬ ‫على‬ ‫الخوارزيمي‬ ‫تعايمل‬a, b, c‫العداد‬ ‫يمع‬ ‫يتعايمل‬ ‫ولم‬ ،‫يموجبة‬ ‫أعداد‬
‫عن‬ ‫يقول‬ ‫كان‬ ‫وقد‬ .‫التصني ف‬ ‫لهذا‬ ‫التفسير‬ ‫هو‬ ‫أيضا‬ ‫وهذا‬ ،‫السالبة‬
2
x‫أل‬ ‫عن‬ ."‫يمربع‬ ‫:"بالسم‬x."‫عدد‬ ‫"بالسم‬ : ‫العدد‬ ‫وعن‬ ."‫جذر‬ ‫"بالسم‬ :
bxax =2
cax =2
cbxax =+2
bxcax =+2
bxcax +=2

3. ‫خلل‬ ‫يمن‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫الخوارزيمي‬ ‫عرض‬ ‫لقد‬
‫المسالة‬ ‫عرض‬ ‫وطريقة‬ ،‫عايمة‬ ‫أيمثلة‬ ‫وليست‬ ‫لعداد‬ ‫أيمثلة‬
‫حل‬ ‫وقد‬ .‫العداد‬ ‫يشمل‬ ‫وذلك‬ ‫كليمية‬ /‫بيانية‬ ‫كانت‬ ‫والحل‬
‫وبطريقة‬ ‫جبرية‬ ‫بطريقة‬ :‫بطريقتين‬ ‫المعادلة‬ ‫الخوارزيمي‬
‫للمعادلة‬ ‫إيجابيين‬ ‫بحلين‬ ‫الخوارزيمي‬ ‫عرف‬ُ‫ر‬ ‫وقد‬ .‫هندلسية‬
‫الخوارزيمي‬ ‫كان‬ ‫لسالبا‬ ‫الحلول‬ ‫إحدى‬ ‫يكون‬ ‫وعنديما‬ ،‫التربيعية‬
.‫يتجاهله‬

4. :‫للمعادلة‬ ‫الخوارزمي‬ ‫عرضه‬ ‫الذي‬ ‫للحل‬ ‫مثال‬
:‫كانت‬ ‫الخوارزمي‬ ‫عند‬ ‫المسالة‬ ‫عرض‬ ‫وطريقة‬
."‫ويثليثين‬ ‫لتسعة‬ ‫مساوية‬ ‫جوذور‬ُ‫ذ‬ ‫عرشرة‬َ‫ش‬ ‫و‬ ‫مربع‬ُ‫ذ‬ "
39102
=+ xx
:‫الحل‬ ‫طريقة‬
،‫متساويين‬ ‫قسمين‬ ‫إلى‬ ‫الجذر‬ ‫بها‬ ‫ظهر‬ ‫التي‬ ‫المرات‬ ‫عدد‬ ‫س م‬ّ‫م‬ ‫ق‬
‫على‬ ‫تحصل‬5‫خمسة‬ ‫هو‬ ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ ،‫بنفسها‬ ‫النتيجة‬ ‫اضرب‬ ،
‫أربعة‬ ‫هو‬ ‫الجمع‬ ‫حاصل‬ ،‫ويثليثين‬ ‫تسعة‬ ‫إلى‬ ‫أضفها‬ ،‫وعشرين‬
‫وهو‬ ،‫هذه‬ ‫الكميه‬ ‫لكل‬ ‫الجذر‬ ‫خذ‬ُ‫ذ‬ ‫ال ن‬ .‫وستين‬8‫نصف‬ ‫منه‬ ‫اطرح‬ ،
‫أل‬ ‫وهو‬ (‫بالبداية‬ ‫)المعطى‬ ‫الجذور‬ ‫عدد‬5‫عملية‬ ‫من‬ ‫فالباقي‬ ،
‫هو‬ ‫الطرح‬3.‫المطلوب‬ ‫المربع‬ ‫جذر‬ ‫هو‬ ‫وهذا‬ ،

5. ‫أعطى‬ ‫قد‬ ‫الخوارزمي‬ ‫أن‬ ‫نجد‬ ،‫للرموز‬ ‫الحديث‬ ‫وباستعمالنا‬
:‫للمعادلة‬ ‫اليجابي‬ ‫الحل‬
.
:‫هو‬ ‫والحل‬
‫تبريرات‬ ‫لعطاء‬ ‫الهندسية‬ ‫للطريقة‬ ‫الخوارزمي‬ ‫تتطرق‬ ‫وقد‬
‫أوجده‬ ‫قد‬ ‫الذي‬ ‫الحل‬ ‫بأن‬ ‫القناع‬ ‫أجل‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ،‫هندسية‬
.‫سليم‬ ‫حل‬ ‫هو‬ ‫للمعادلة‬
cbxax =+2
22
2
b
c
b
x −+





=

6. :‫مثال‬
: -‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫نريد‬
:‫الحل‬ ‫طريقة‬
‫تحصل‬ ،‫متساويين‬ ‫قسمين‬ ‫إلى‬ ‫الجذر‬ ‫بها‬ ‫ظهر‬ ‫التي‬ ‫المرات‬ ‫عدد‬ ‫سم‬ّ‫م‬ ‫ق‬
‫على‬10‫هو‬ ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ ،‫بنفسها‬ ‫النتيجة‬ ‫اضرب‬ ،100‫إلى‬ ‫أضفها‬ ،
44‫هو‬ ‫الجمع‬ ‫حاصل‬ ،144‫وهو‬ ،‫هذه‬ ‫الكميه‬ ‫لكل‬ ‫الجذر‬ ‫خذ‬ُ‫ذ‬ ‫الن‬ .12،
‫أل‬ ‫وهو‬ (‫بالبداية‬ ‫)المعطى‬ ‫الجذور‬ ‫عدد‬ ‫نصف‬ ‫منه‬ ‫اطرح‬10‫فالباقي‬ ،
‫هو‬ ‫الطرح‬ ‫عملية‬ ‫من‬2.‫المطلوب‬ ‫المربع‬ ‫جذر‬ ‫هو‬ ‫وهذا‬ ،
44202
=+ xx

7. ‫وبرهنها‬ ‫المعادلة‬ ‫حلول‬ ‫الخوارزمي‬ ‫أثبت‬ -،‫هندسية‬ ‫بطريقة‬
:‫ذلك‬ ‫شرح‬ ‫يلي‬ ‫وفيما‬
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫لحل‬x2
+10x=39‫قد‬ ‫التي‬ ‫الحلول‬ ‫أن‬ ‫ولبرهنة‬
‫عرض‬ ،‫صحيحة‬ ‫هي‬ ‫الجبرية‬ ‫بالطريقة‬ ‫إليها‬ ‫توصل‬
‫عرض‬ ‫يلي‬ ‫وفيما‬ ،‫ذلك‬ ‫لبرهنة‬ ‫طريقتين‬ ‫الخوارزمي‬
:‫الطريقتان‬
1 ‫طريقة‬
2 ‫طريقة‬

8. ‫طريقة‬1
‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫مربع‬ ‫مع‬ ‫البداية‬ ‫في‬ ‫نبدأ‬x.
‫طوله‬ ‫الذي‬ ‫المستطيل‬ ‫نقسم‬10‫وعرضه‬x‫مستطيلن‬ ‫الى‬
‫طوله‬ ‫مستطيل‬ ‫كل‬ ،‫متشابهان‬5‫وعرضه‬x‫المربع‬ ‫إلى‬ ‫ونلصقهما‬ ،
.(‫الشكل‬ ‫)أنظر‬
: ‫تساوي‬ ‫مساحة‬ ‫لدينا‬ ‫ينتج‬ ‫هنا‬ ‫ومن‬x2
+5x+5x=x2
+10x)‫المساحة‬
‫تساوي‬ ‫المساحة‬ ‫هذه‬ ‫الصلية‬ ‫المعادلة‬ ‫وحسب‬ .(‫والبيضاء‬ ‫الملونة‬
39.
5 x5
→←x
→←x↓
↑
x
2
x
5
↓
↑
xx5
→←x
↓
↑
10

9. ‫مربع‬ ‫بإضافة‬ ‫وذلك‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫إلى‬ ‫الشكل‬ ‫هذا‬ ‫نكمل‬ ‫الن‬
‫ضلعه‬ ‫طول‬5.
‫تساوي‬ ‫أضفناها‬ ‫التي‬ ‫المساحة‬ ‫هذه‬25‫على‬ ‫حصلنا‬ ‫والن‬ .
‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫كبير‬ ‫مربع‬5+x‫ومساحته‬)x+5)2
‫تساوي‬ ‫والتي‬
39+25‫على‬ ‫حصلنا‬ ‫أننا‬ ‫أي‬ ،)x+5)2
=64‫وبعد‬ ‫هنا‬ ‫ومن‬ ،
‫أن‬ ‫ينتج‬ ‫الطرفين‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫تطبيق‬x=3.
→←x↓
↑
x
2
x
5 x5
→←x
5
↓
↑
xx5
25 5
5

10. ‫طريقة‬2
‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫مربع‬ ‫مع‬ ‫البداية‬ ‫في‬ ‫نبدأ‬x.
‫طوله‬ ‫الذي‬ ‫المستطيل‬ ‫نقسم‬10‫وعرضه‬x‫مستطيل ت‬ ‫لبربعة‬
‫كل‬ – ‫متشابهة‬
‫بطول‬ ‫مستطيل‬2.5‫وعرض‬x.(‫الشكل‬ ‫)أنظر‬ ‫المربع‬ ‫الى‬ ‫ونلصقهما‬
:‫تساوي‬ ‫مساحة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬x2
+4*2.5x=x2
+10x‫المنقطة‬ ‫)المساحة‬
‫والملونة‬
. (‫معا‬
→←x
↓
↑
10 x5.2
x5.2
x5.2
x5.2
2
x

11. ‫هي‬ ‫أضفناها‬ ‫التي‬ ‫المساحة‬4*2.52=25‫على‬ ‫حصلنا‬ ‫فإننا‬ ‫وهكذا‬ ،
‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫كبير‬ ‫مربع‬x+5‫ومساحته‬)x+5)2
‫يساوي‬ ‫والذي‬39+25
‫على‬ ‫حصلنا‬ ‫أننا‬ ‫أي‬)x+5)2
=64‫التربيعي‬ ‫الجذبر‬ ‫بتطبيق‬ ‫نقوم‬ ‫والن‬ ،
‫على‬ ‫لنحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫كل‬ ‫على‬x=3.
‫إضافة‬ ‫خلل‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫إلى‬ ‫الشكل‬ ‫نكمل‬ ‫والن‬4‫مربعا ت‬
‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫مربع‬ ‫كل‬ ‫لصغيرة‬2.5.
5.2
5.2 5.2
5.2
5.2
5.2
5.2
5.2
x5.2
x5.2
x5.2
x5.2
2
x