المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية
•
12 j'aime•6,637 vues
classification of ordinary differential equations
Recommandé
Recommandé
Contenu connexe
Tendances
Tendances (20)
En vedette
En vedette (20)
Similaire à المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية
Similaire à المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية (20)
Dernier
Dernier (10)
المبادىء الاساسية وتصنيف المعادلات التفاضلية
- 2. المملكة العربية السعودية وزارة التعليم العالي جامعة الطائف إدارة النشر العلمي املعادالت التفاضلية النظرية والتطبيق الدكتور الدكتور عبد هللا عبد هللا موسى بخيت نفيع المطرفي الطبعة األولى 1133هـ- 2312 م
- 3. المعادالت التفاضلية : النظرية والتطبيق د. بخيت نفيع مرزوق المطرفي د. عبد اهلل عبد اهلل محمد موسى © حقوق النشر محفوظة لجامعة الطائف جامعة الطائف- الحوية رمز بريدي: 21974 المملكة العربية السعودية (ح) جامعة الطائف 1127هـ فهرسة مكتبة الملك فهد الوطنية أثناء النشر المطرفي، بخيت نفيع مرزوق المع ــادالت التفاض ــلية: النظري ــة والتطبي ــق. / بخي ــت نفي ــع م ــرزوق المطرف ــي، عبد اهلل عبد اهلل موسى- الطائف، 1127هـ 091 ص، 17×24س ردمك : 6-99-1603-106-319 المعادالت التفاضلية أ. موسى، عبداهلل عبداهلل (مؤلف مشارك) ب- العنوان 9312/1127 ديوي 565 رقم اإليداع: 9312/1127 ردمك : 6-99-1603-106-319 التصميم المعلوماتي والج افيكي د/مجدي حسين النحيف ر الطبعة األولى: 1127ه/4704م
- 6. المقدمة مقدمــــــــة بســم اهلل الــرحمن الــرحيم، الحمــد هلل رب العــالمين، والص ـ و والس ـ م علــى خيــر خلــق اهلل أجمعــين محمــد بــن عبــد اهلل، الرســوا الصــادق الوعــد األمــين صــلى اهلل عليـ وعلــى لـ وصحب أجمعين .. أما بعد فهـ ا هــو أحــد المؤلفــات فــي سلســلة مؤلفــات عربيــة نســما اهلل أن يوف نــا إلكمالهــا وهــو مؤل ــف بلاتن ــا العربي ــة ، تل ــك اللا ــة الثري ــة ف ــي مفرداته ــا الاني ــة ف ــي ألفاظه ــا .. لاــة ال ــرن الكـريم، لاــة العــرب ولاــة العلــم. وأننــا ا ا ن ــدم هـ ا الجهــد المتواضــع الـ ي نضــيف الــى مــا كتــب باللاــة العربيــة فــي علــم الرياضــيات البــد أن نـ كر أن هـ ا الكتــاب ال يـ احم أقرنـ فــى ا ز ه ا المضمار، وانما يضيف اليهم أفكار جديدو ومتطو و، فعلى ال مم مـن وجـود العديـد مـن ـر ر اً ع ه ا المؤلف اال أننا نحسب ه ا الكتـاب قـد يسـد بعـق ال صـورالكتب العربية عن موضو الموجود في بعق المواضيع وكـ لك معالجـة بعـق المواضـيع األخـر التـي لـم يـتم تناولهـا باإلضافة الى ث ائ باألمثلة المتنوعة التي ح العديد من األفكار. تطر ر وب لك ظهر الكتاب في صورت ه ه والتـي نظنهـا ناقصـة وتفت ـر الـى الكمـاا والكمـاا هلل وحـده .. وحسـبنا أننـا حاولنـا واجتهــدنا فـي وضـع فـي صــو و الئ ـة. ومـا هـ ا الكتــاب اال ر طيل ــة س ــنوات ع ــدو ثمـ ـ و جه ــد دؤوب وعم ــا متواص ــا م ــن التحص ــيا والت ــدريس والبحـ ـ ر للمــؤلفين، ويعــد ه ـ ا الكتــاب مرجع ـاً هام ـاً فــي المعــادالت التفاضــلية العاديــة، وه ـ ا الكتــاب د موجـ ـ اساسـ ـاً لطـ ـ ب المرح ــا المتوس ــطة والمت ــمخ و م ــن كلي ــات الهندس ــة والمعاه ــد الفني ــة ر ا العليا. كما أن يتج أيضاً لط ب العلوم التطبي ية األخر من رياضيات وفيزيـاء وكيميـاء. ك ـ لك يتضــمن الكتــاب أج ـ اء كثي ـ و يمكــن أن تصــلم منهاج ـاً لط ـ ب الدرســات العليــا فــى ا زً ر التخصصات الهندسية المختلفـة وكـ لك تخصصـات العلـوم التطبي يـة. ول ـد اعينـا أن تكـون ر معالج ــة المس ــائا العلمي ــة بطري ـ ـة رتيب ــة منهجي ــة تب ــدأ بالص ــيامة والنم ج ــة ث ــم تنت ــا ال ــي اإلجـ ـ اءات والح ــا ث ــم أخيـ ـر تنته ــي بتفس ــير النت ــائل ومحاول ــة اعطائه ــا التفس ــير الهندس ــي اً ر والفيزيائي يبتدئ الكتاب بعرق لمفهوم المعادالت التفاضلية وتبسـيط كـا المفـاهيم الخاصـة بهـا ومحاولة ج ب ال ئ لها، من خ ا تحليا بسيط وتتابع شيق. فـى األبـواب الثـاني والثالـ ار ___________________________________________________________ - هـ-
- 7. المقدمة والربــع تــم ت ــديم المعــادالت التفاضــلية مــن الرتبــة األولــى والدرجــة األولــى، وك ـ لك الرتــب ا العليــا وأيضــا المعــادالت التفاضــلية مــن الــدرجات العليــا وطــرق حلهــا مــع ت ــديم العديــد مــن التطبي ــات الفيزيائيــة والهندســية لجعــا المحتــو أكثــر تشــوي ا وأقــرب لتحليــا ومحاكــاو نظــم هندســية ومشــاكا واقعيــة عــن كونـ أداو لحــا مســائا رياضــية ، و يلنــا تلــك األبـواب بالعديــد من التمارين العامة المتنوعة. وقــد أع ــب لــك البــاب الخــامس وفي ـ تــم درســة حــا المعــادالت التفاضــلية بــالطرق ا الت ريبية ( استخدام المتسلس ت )، و لك عوضا عن حلها تحليليـاً، وتـم فـي البـاب السـادس درســة حــا المعــادالت التفاضــلية عــددياً و لــك حــين يصــعب ايجــاد حــا تحليلــي لهــا، وتــم ا توظيف برنامل "المـات ب" MATLABمـن خـ ا عمـا بـ امل لحـا المعـادالت التفاضـلية ر عددياً وك لك استخدام لتوقيع تلك الحلوا بيانياً، وتـم سـرد العديـد مـن الطـرق، و يـا هـ ان البابان بالعديد من التمـارين العامـة المتنوعـة. و فـي البـاب السـابع واألخيـر تـم ت ـديم تحويـا يعــد تحويــا البـ س البـ س لمــا لـ مــن أهميــة بالاــة فــي حــا المعــادالت التفاضــلية، حيـ من أقو األدوات المسـتخدمة لحـا المعـادالت التفاضـلية الخطيـة، وتـم تـ ييا البـاب بالعديـد من التمارين العامة المتنوعة. وختمنا الكتاب بملحق يحتوي على مرشد وجيـز فـي "المـات ب" ،MATLABولـيس درجـات السـلم التـي البـد أن يرت يهـا يـر الباحـ ه ا سو مرشد لينير بداية الطريق بحيـ يريد، ونرجو أن يكون ه ا الكتاب فاتحة لسلسلة مـن المؤلفـات التـي نسـما ليصا الى حي ها خدمة للعلم واث اء للمعرفة . ر اهلل تعالى أن يساعدنا على انجاز واهلل تعالى من و اء ال صد .....وهو ولي التوفيق. ر المؤلفان الطائف – محرم 1127هـ ___________________________________________________________ - وـ-
- 10. فهرس المحتويات أوًا:ًفهرسًالمحتوياتً ل هـ-ًو المقدمــــــــةًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً 71-1ً البابًاألول:ً المبادىءًاألساسيةًوتصنيفًالمعادلتًالتفاضلية ً 79-91ً البابًالثانى:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًاألولىًوالدرجةًاألولىًًًً 21 مقدم ـ ـ ــة 11 لا : فصل المتغي ات )(Separation of variables ر أو 82 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت يمكن تحويلها إلى معادلت يتم حلها بفصل المتغي ات ر 23 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : المعادلت التفاضلية ذات المعامالت المتجانسة 63 ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت تفاضلية تؤول إلى معادلت تفاضلية متجانسة ر 14 خامس ا : المعادلة التفاضلية التامة ()Exact 54 سادسا : معادلت تفاضلية تُحول إلى تامة عن طريق عامل المكاملة 75 سابع ـ ا : المعادلت التفاضلية الخطية 06 ثامنـ ـ ـ ا : معادلت تؤول إلى معادلت تفاضلية خطية 76 تاسع ا : معادلة ريكاتي 07 عاشر : طريقة تغيير البا امت ات ()Variation of Parameters ر ر ا 27 الحادي عشر : تبديل المتغي ات المستقلة مكان المتغي ات التابعة ر ر 67 الثاني عشر : تطبيقات على المعادلت التفاضلية 971-99ً المعادلتًالتفاضليةًالخطيةًمنًالرتبًالعليا ً البابًالثالث:ً 101 مقدم ـ ـ ــة 901 لا : المعادلت التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت الثابتة أو 711 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طرق إيجاد الحل الخاص () Particular Solution 711 (2-1) طريقة المؤثر التفاضلي العكسي 031 (1-1) طريقة تغيير البارمت ات ا ر 141 (3-1) طريقة المعامالت غير المحددة ___________________________________________________________ -ط-
- 11. فهرس المحتويات 251 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت المتغي ة ر 122 (2-3) معادلة كوشي أويلر ))Cauchy-Euler 522 (1-3) معادلة ليجندر الخطية 602 (3-3) طريقة التحليل )(Method of Factorization 302 (4-3) تخفيض الرتبة )(Reduction of order 471 ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية اآلنية ر 971-181ً البابًال ابع:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًًاألولىًوالدرجاتًالعلياً ر 382 مقدم ـ ـ ــة 481 لا : معادلت تفاضلية تُستبدل بمعادلت تفاضلية من الدرجة األولى أو 681 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة إلى x 881 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة الى y 191 ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلة كليرو )(Clairaut Equation ر 491 خامس ا: معادلة لج انج )(Lagrange's Equation ر البابًالخامس:ً حلًالمعادلتًالتفاضليةًباستخدامًالمتسلسالتًالالنهائيةًًًً 240-771ً 102 مقدم ـ ـ ــة 502 لا : مفكوك تيلور ()Taylor أو 012 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : الحل قرب النقطة العادية 222 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: الحل قرب النقطة الشاذة المنتظمة (فروبينيس) ()Frobenius البابًالسادس: ً الحلولًالعدديةًللمعادلتًالتفاضليةًالعاديةًًًًًًًًًًًً 880-140ً 341 مقدم ـ ـ ــة 442 لا : طريقة أويلر( )Eulerلحل المعادلت التفاضلية العادية أو 352 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادلت التفاضلية 362 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة ر 172 ابعـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل مجموعة من ر ر المعادلت التفاضلية ذات الرتبة األولى ___________________________________________________________ -ي-
- 12. فهرس المحتويات 372 خامس ا : طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل المعادلت التفاضلية ر من الرتبة الثانية 082 سادس ا : طريقة الفروق المحدودة لحل المعادلت التفاضلية العادية 933-780ً ًًًًًًًًًًًًًًًًًًً البابًالسابع :ً تحويالتًًلبالسًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً 192 مقدم ـ ـ ــة 492 لا : تحويالت لبالس لبعض الدوال أو 892 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : خواص تحويالت لبالس 013 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس العكسي 523 ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس لحل المعادلت التفاضلية الخطية العادية ر ذات المعامالت الثابتة 133 خامس ا: حل مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية 333 سادسا : معادلة فولتر التكاملية ()Volterra integral equation ا 443-733ً الـملحق : المرشدًالوجيزًفيًًًًًًًًًًًًًًًًًً ًًًًًًًMATLAB 203 الم اجع ً ر 963 دليلًالمصطلحاتًً ___________________________________________________________ -ك-
- 13. فهرس األشكال ثانيـــــــــــــً:ًفهرسًاألشكالً ا 3 شكلً(1-1): عائلة الدوال y x 2 cلقيم مختلفة من الثابت c 12 2x y ceلقيم 3ً c 1, 2, 2 شكل(0-1):ًعائلة الدوال 41 شكلً(1-0): قانون نيوتن الثاني للحركةً 01 عة مع الزمنًشكلً(0-0): منحنى السر 05 شكلً(3-0): سقوط جسمً 95 شكلً(4-2): هبوط الجهد لكل من المكثف والملف والمقاومةً 68 شكلً(5-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف ر 28 شكلً(4-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة مكثف. ر 18 شكلً(9-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف. ر 08 شكلً(8-0): مشكلة تخفيف التركيز 58 شكلً(7-0): تحت المماس وتحت العمودى 88 شكلً(21-0): عائلة المنحنيات التي تمثل المعادلة ) x 4(y c 2 98 شكلً(11-0): المسا ات المتعامدة ر 29 شكلً(01-0): تمثيل المسا ات المتعامدة ر 09 شكلً(31-0):ًدائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف ر 061 شكلً(1-5): العالقة ما بين الحل التحليلي والحل بمفكوك تيلور 861 شكلً(2-5): العالقة مابين الحل بالطرق العددية والحل بمفكوك تيلورً 611 ليجندر ) Pn (x شكلً(3-5): كثي ات حدود ر 241 شكلً(1-6): الخطوة األولى باستخدام طريقة أويلر 041 شكلً(2-6): العالقة التكررية باستخدام طريقة أويلر ا 941 شكلً(3-6): مقارنة الحل التقريبيي عند 2.0 h بالحل التام 941 شكلً(4-4): تأثير تغير طول الخطوة على دقة الحل باستخدام طريقةًأويل.ً 221 شكلً(5-4): الحل التقريبي باستخدام طريقة أويلر والحل التحليلي. 821 شكلً(4-4): مقارنة الحل التقريبي بطريقة هينز، عند 1.0 h بالحل التام ___________________________________________________________ -س-
- 14. فهرس األشكال 101 شكلً(9-4): مقارنة الحل التقريبي للثالثة طرق بطول خطوة مقدا ه 2.0 h ر 201 شكلً(8-4): نتائج الحل باستخدام طريقة رونج من الرتبة ال ابعة والحل التام ر 651 شكلً(7-4): تغير درجة الحر ة بالكلفن مع الزمن ار 551 شكلً(21-4): العالقة مابين كل من y,vمع x 551 شكلً(11-4): وصف حركة البندول 951 شكلً(01-6): الحركة المخمدة لحركة البندول 281 شكلً(31-4): عتب مثبت على دعامات 281 شكلً(41-4):الفروق المحدوده باستخدام طريقة التقريب الفرقي المقسم األوسط 181 شكلً(51-6): الفروق المحدوده من 0 x إلى 57 x باستخدام 52 h 481 شكلً(61-6): الفروق المحدوده من 0 x إلى 1 x باستخدام 52.0 h 191 شكلً(1-7): التصال المجز أ 491 شكلً(2-7): دالة خطوة الوحدة 491 شكلً(3-7): حالة خاصة من دالة خطوة الوحدة 663 شكلً(4-7): الدالة ) G (tكدالة في دالة خطوة الوحدة 563 شكلً(5-7): دالة دورية دورتها 0> pمعرفة لقيم 0> t 863 شكلً(6-7): دالة دورية دورتها 1= pمعرفة لقيم 0> t 963 شكلً(9-9): دالة دورية دورتها p = 2معرفة لقيم 0> t 143 شكل(م-1): ظهر أيقونة البرنامج فور إعداده 343 شكل(م-0): الواجهة األساسية للبرنامج فور تشغيلة 443 شكل(م-3): نافذة األوامرً 443 شكل(م-4): نافذة فضاء العملً 443 شكل(م-5): نافذة فضاء العملً 443 شكل(م-4): نافذة المسار الحاليً 243 شكل(م-9): نافذة الوامروفضاء العمل لدخال بعض المتغي اتً ر 243 شكل(م-8): التخصيصً ___________________________________________________________ -ع-
- 15. فهرس األشكال 043 شكل(م-7):ًبناء دوال لالدخالً 043 شكل(م-21):ًبناء متجهً 543 شكل(م-11):ًإدخال متغيرين هما a,b 543 شكل(م-01):ًنافذة الوامروفضاء العمل للمتغي اتً ر 543 شكل(م-31):ًبناء ملف بيانات وتحميلة فى فضاء العمل 843 شكل(م-41):ًفضاء العمل 943 شكل(م-51):ًعمليات غير تقليدية على المصفوفات 623 شكل(م-41):ًالستعانة helpالخاص matlab 223 شكل(م-91): الدالة maxإليجاد أكبر قيمة 323 شكل(م-81):ًجملة For 323 شكل(م-71):ًصو ة ى لجملة For ر أخر 423 شكل(م-20): بناء مسا ات متداخلة ر 423 شكل(م-10): جملة while 223 شكل(م-00): جملة If 523 شكل(م-30): بناء Script file 823 شكل(م-40): تنفيذ Script file 823 شكل(م-50): تنفيذ Script fileمباش ة ر 923 شكل(م-40): بناء دالة بسيطة لتقوم بإيجاد جذور معادلة تربيعية 923 شكل(م-90): إيجاد جذور المعادلة التربيعية 0 x 2 2x 3 603 شكل(م-80): بناء الملف وادخال المتغي ات 3 v1,v 2 ,v ر 203 شكل(م-70): منحنى المتغي ات 2 v1,v ر 203 شكل(م-23):ًأستخدام المر ًhold on 103 شكل(م-13):ًرسمً 2 v1,vوكذلك 3 v1,v 103 شكل(م-03):ًأستخدام المرًSubplot 103 شكل(م-33):ًتقسم نافذة الرسم الى نافذتينً )2 (1 ___________________________________________________________ -ف-
- 16. فهرس األشكال 303 شكل(م-43):ًتخصيص المتغي ات الرمزية ر 403 شكل(م-53):ًبناء دالة بإستخدام المتغي ات الرمزية ر 403 شكل(م-43):ًأيجاد التفاضل والتكامل لدالة رمزية ___________________________________________________________ -ص-
- 17. فهرس الجداول ثالثــــــــــــــ اً:ًفهرسًالجداولً 342 جدولً(1-3): مجموعة الدوال األساسية لمجموعة من الدوال 821 جدولً(1-4): مثال على طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة ر 591 جدولً(1-9)ً:ًتحويالت لبالس لمجموعة من الدوالًً 943 جدول(م-1):ًالعمليات التى يمكن إج اؤها على المصفوفاتً ر 623 جدول(م-0):ًدوال تتعامل مع كميات قياسية 223 جدول(م-3):ًدوال تتعامل مع كميات متجهة 123 جدول(م-4):ًبعضًدوال المصفوفات 023 جدول(م-5): العالقات فى Matlab 023 جدول(م-4): العالقات المنطقية فى ًMatlab 203 جدول(م-9): عالمات للتحكم في ع ولون ونقشة خط الرسمً نو ___________________________________________________________ -ش-
- 18. الباب األول املبادىء األساسية وتصنيف املعادالت التفاضلية
- 20. الباب األول لقد درسنا في الد اسات السابقة معادالت جبرية على صور مختلفة، منهاا علاى سابي ر المثا المعادلة التربيعية 0 ، x 2 8x 15 وكاا دادفنا ما تا تلاع المعاادالت داو القااي 5 x 3, x يتق ا تلااع المعادلااة الجبريااة، فنجااد ايجاااد ميمااة المت ياار xال ا دي تلو لتلع المعادلة الجبرية، بمعنى نها تتققها. وماا سااب نفسااب ينلبا علااى المعااادالت التفا االية ودااي تلااع المعااادالت التااي تتتااو على مشتقات بداخلها، وابسل صور المعادالت التفا لية المعادلاة التفا الية علاى الصاور ) ، y f (xفعل ااى س اابي المث ااا ، إعتب اار المعادل ااة التفا االية y 2xود ااي تعن ااي نسااعى إلااى إيجاااد الدالااة yالتااي تفا ا الدالااة yيساااو ، 2xومعنااى تا المعادلااة تتق المعادلة التفا لية السابقة ويكو ت تلع المعادلة على الشك dy y 2x 2x dx dy 2xdx y x c 2 )Generalللمعادلا ااة التفا ا االية y x 2 cيمث ا ا الت ا ا العا ااا (solution y 2xتيث يعتبر الثابت cثابت اختيار ، ود ا الت العا في وامع األمار داو عادد النهااا ي ما التلااو الخاصااة ( )Particular solutionsلقااي مختلفااة ما الثاباات cول ا ا نللا علاى التا يسمى د ا الثابت بالثابت االختياار ( )Arbitrary constantويمكا العاا عا لاة المنتنياات( )Family of curvesو عا لاة الادوا ()Family of functions ،)Familyوالش ا ااك الت ا ااالي يو ا اال عا ل ا ااة of (solutions و عا ل ا ااة التل ا ااو الدوا y x 2 cللمعادلة التفا لية y 2xلقي مختلفة م الثابت . c شكل (1-1) : عا لة الدوا y x 2 cلقي مختلفة م الثابت . c ___________________________________________________ -3-
- 21. المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية ومم ااا س ااب يمكا ا الق ااو إ المعادل ااة التفا االية د ااي معادل ااة ريا ااية تتت ااو عل ااى مش ا ااتقات ( ) Derivativesلمت ي ا اار ت ا ااابع ( ) Dependentو كث ا اار بالنس ا اابة إل ا ااى مت ي ا اار الص ااور العام ااة للمع ااادالت مس ااتق ( )Independentو كث اار، وتمثا ا العالم ااة (1.1) التفا لية العادية ()Ordinary Differential Equations 0 F x , y, y ,..., y (n ) )1.1( ----------------------- ووات ااد و كث اار ما ا ومت ي اار ت ااابع ، y ،x تي ااث تمثا ا عالم ااة ب ااي مت ي اار مس ااتق المشاتقات ) . y ,..., y (nوبعااو ات تعااالى سانقد فااي دا ا الكتااع معاا اللاار المختلفااة لت المعادالت التفا الية العادياة، لدرساة المباادا األساساية للمعاادالت التفا الية، سانقو ا مجموعااة ما المعاادالت التفا االية، كا منهاا يتتااو علااى مشاتقة و كثاار لمت ياار بعار و كثر كما يلي تابع بالنسبة إلى مت ير مستق dy (x sin x )dx )2.1( ------------------ 5 d 4 x d 2x dx 4 2 e t )3.1( ------------------ dt dt dt dy k y x )4.1( ------------------ dx dy dx 23 d 2y dy 2 k 2 1 )5.1( ------------------ d x dx 2 2v 3v k 3 )6.1( ------------------ 2 x x 2u 2u 0 )7.1( ------------------ 2 x 2 y التعريفات والمصللتات الهامة في المعادالت التفا لية واآل سننامش سويا بع تعريففف (1-1): المعااادالت التفا االية العاديااة (:)Ordinary differential equations دااي تلااع المعااادالت التااي تتتااو علااى مشااتقات بالنساابة لمت ياار مسااتق واتااد فقاال ومنهااا المعادالت (2.1- 5.1). ___________________________________________________ -4-
- 22. الباب األول تعريف(2-1): المعاادالت التفا الية الجئ ياة ( : )Partial differential equationsوداي تلااع المعااادالت الت اي تتتااو علااى مشااتقات ألكثاار م ا مت ياار مسااتق ، وبه ا ا ياهاار بهااا مثلتها المعادلتا (6.1)، (7.1). التفا الت الجئ ية ( ، )Partial derivativesوم دنا ا اااع نا ا ااوعي م ا ا ا المعا ا ااادالت التفا ا ا االية إتا ا اادادما عا ا اااد اها ا اار لنا ا ااا تتا ا ااى اآل تلا ااع نا ااتمك م ا ا تصا ااني لنا ااا ( )Ordinaryواآلخا اار جئ ا اي ( ،)Partialولك ا ا كي ا ا ساساايي ساانعتمد عليهم اا فااي تصااني المعااادالت التفا االية. فيمااا يل اي ساان كر تع اريفي المعادالت التفا لية ودما رتبة ودرجة المعادلة التفا لية. تعريففف (3-1) : رتبااة المعادلااة التفا االية ( :)Orderرتبااة المعادلااة التفا االية دااي رتبااة كبار مشااتقة تاهار فااي المعادلاة التفا االية، فعلااى سابي المثااا المعادلاة (3.1) ما الرتبااة d4x ال ابعة و لع التتوا ها على المشتقة ال ابعة 4 ودي كبر مشتقة بها، في تي المعادلاة ر ر dt كباار مشااتقة بهااا داي المشااتقة األولااى، و لااع علااى (2.1) ، (4.1) ما الرتبااة األولااى أل عك اام المعا ااادلتي (5.1)، (7.1) فم ا ا الرتبا ااة الثاني ااة ، ما ااا المعادلا ااة (6.1( فما ا الرتباااة الثالثة. تعريف (4-1): درجة المعادلة التفا الية( :)Degreeدرجاة المعادلاة التفا الية داي درجاة علا ا ا ا ااى مش ا ا ا ا اتقة موجا ا ا ا ااود ف ا ا ا ا اي المعادلا ا ا ا ااة التفا ا ا ا ا االية ، وعلا ا ا ا ااى لا ا ا ا ااع فالمعا ا ا ا ااادالت (2.1)،(3.1)،(7.1) جميعه م الدرجة األولى. dy k y= xثا ا اآل دعن ااا نتاما ا المعادل ااة (3.1) والتا اي عل ااى الص ااور dx dy dx نسااا سا االا بساايل ا ، دا تلااع المعادلااة التفا االية ما الدرجااة األولااى؟ ال تتساار !!! دعنااا dy ، اناا اار الا ااى المعادلا ااة الجديا ااد م ا ا المقا ااا ب ا اارع لرفا ااي المعادلا ااة فا ااي نا ااتخل dx 2 dy dy درجة دي؟ بال بل ، الدرجة الثانية، معناى لاع الباد yم = x k dx dx نالتااا ا المعااادلتي م ا تبساايل المعادلااة مب ا التك ا علااى درجتهااا وعلااى لااع يمك ا (5.1)،(6.1) ي ا م الدرجة الثانية. ___________________________________________________ -5-
- 23. المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية عالماة تاربل المت يار التاابع باالمت ير المساتق تعريف(5-1): تا المعادلاة التفا الية: وتتقا ا المعادل ااة التفا االية تس اامى تا االا للمعادل ااة التفا االية، ويمكا ا تقس ااي تا ا المعادل ااة التفا لية إلى نوعي : ت ا ص اريل (: )Explicitودااو كتابااة المت ياار التااابع بمعلوميااة المت ياار المسااتق كما في الصور ) . y (x ا اامني ( : )Implicitود ا ااو عب ا ااار عا ا ا عالم ا ااة ف ا ااي مت يا ا اري كم ا ااا فا ا اي تا ا ا منيا المعادلة التفا لية. الصور 0 (x, y ) والتي ينتج ع اشتقامها على سبي المثا y ce 2xدو ت المعادلاة التفا الية y 2yو لاع ألنناا إ ا بهماا فاي المعادلاة التفا الية نتصا علاى متلابقاة تسبنا y 2ce 2xوممناا باالتعوي الت ا y ce 2xيتق ا المعادلااة التفا االية بمعنااى ، 2ce 2x 2ce 2xالتااا ي ااا arbitrary أل ميم ااب تقيقي ااة للمت ي اار ، cولا ا ا يس اامى الثاب اات cبالثاب اات االختي ااار ( دا كما يلي: .)constantوتكو تلو المعادالت التفا لية على عد صور يمك إيجائ الت ا العااا ( : (Generalيساامى ت ا المعادلااة التفا االية العاديااة م ا الرتبااة n يتتو على nم الثوابت االختيارية بالت العا ويرمئلب بالرمئ . yGs وال ت يت التصو عليب ما التا العاا و لاع ( :)Particularدو الت الخا بإعلاء الثوابت االختيارية (جميعها و بع ها ) ميم ا متدد ويرمئلب بالرمئ . yP تا ا ا للمعادل ا ااة التفا ا االية العادي ا ااة ال يمكا ا ا التا ا ا الش ا ااا ( :)Singularد ا ااو التصو عليب م الت العا مهما ت يرت مي الثوابت اإلختيارية. تعريففف(6-1): الثواباات االختياريااة ( :)Arbitrary Constantيقااا لمجموعااة الثواباات الموجااود بعالمااة مااا بانهااا ثواباات اختياريااة إ ا لا يكا ما الممكا اسااتبدا دا المجموعااة م ا ا الثوابا اات بعا اادد م ا ا م ا ا الثوابا اات، بتيا ااث تتا ااتفا العالما ااة با اانفم خصا صا ااها. فما ااثالا العالمة 2 y x xبهاا ثابتاا اختيارياا دماا ، , تياث ال يمكا اساتبدالهما بثابات 0 b فه ااي تتت ااو عل ااى ث ااابتي فق اال وات ااد فق اال ، م ااا العالم ااة by ax cبتي ااث إ a c y والتااي ولاايم ثالثااة ، تيااث يمك ا مساامة المعادلااة علااى bفنتص ا علااى x b b ___________________________________________________ -6-
- 24. الباب األول a c , ويجااع مالتاااة يمك ا كتابتهااا علااى الصااور ، y y تيااث b b اارع ثااابتي دااو ثاباات واتااد و تاصا جمااع ثااابتي دااو ثاباات واتااد ي ا ا ونفاام تاصا األمر بالنسبة لتالتي القسمة و ح . اللر 4 y وبو ااع مثففال (1-1): الت ا العااا للمعادلااة التفا االية 2 y x 3yدااو x c 4 4 4 y والا ا يمثا ا التا ا الخ ااا للمعادل ااة التفا االية المعل ااا ، 1 c نج ااد 1x بينما الت 0 y داو تا شاا لهاا، تياث إناب يتققهاا، كماا ناب ال يمكا التصاو علياب ميمة متدد . م الت العا بإعلاء الثابت c مثال(2-1): كو المعادلة التفا لية التي تلها دو ، y ae x b e 3xتياث a, b ثابتا اختياريا التا ا ا ا ا لدينا ت لمعادلة تفا لية على الصور y ae x b e 3x )8.1( ----------------------- تلاع a, bولكي نتصا علاى المعادلاة التفا الية الباد ما تا ودو يتتو على ثابتي الثوابات االختيارياة ما المعادلاة التفا االية ولا لع نقاو بعمليااة التفا ا مارتي بالنسابة الااى xتيث نتص على dy )9.1( ----------------------- ae x 3b e 3x dx d 2y )01.1( ----------------------- ae x 9b e 3x dx 2 وبجمع المعادلتي (9.1) ، (01.1) نتص على d 2y dy 6be 3x )11.1( ----------------------- dx 2 dx و ي ا بجمع المعادلتي (8.1) و(9.1) نتص على dy y 2be 3x )21.1( ----------------------- dx واآل سنقو بت المعادلتي (11.1) و (21.1) مع ا ، نتص على ___________________________________________________ -7-
- 25. المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية d 2y dy d 2y dy dx 2 dx 6be 3x dx 2 dx 3 2be 3x d 2y dy dy d 2y dy 3 y 4 0 3y dx 2 dx dx dx 2 dx ودي معادلة تفا لية م الرتبة الثانية والدرجة األولى ملا اار ثابا اات r مثففففال (3-1): وجا ااد المعادلا ااة التفا ا االية لمجموعا ااة ال ا ادوا ر ات نص ا ا ومر دا تقع على المتور الصاد . اكئ التا ا ا ا ا ال نسعى إليجاد معادلة د المجموعة م الدوا ر ودي كما يلي و x 0 2 y c r 2 2 cثاباات ويمث ا الجا ء المقلااو م ا المتااور الصاااد . واآل لاادينا ت ا لمعادلااة ائ تيااث إ الثاباات و لااع باإج اء التفا ا بالنساابة ر تفا االية تتتااو علااى ثاباات cلا لع البااد ما تا للمت ير x 0 2x 2(y c )y 0 x (y c )y ع ) (y cفي معادلة الدوا ر نتص على المعادلة التفا لية المللوبة وبالتعوي ودي 2 x x 2 y 2 2 2 0 r x r y x 2 2 ودي معادلة تفا لية م الرتبة األولى والدرجة الثانية مثال(4-1): كو المعادلاة التفا الية التاي تلهاا العاا داو ، y c1 cos t c 2 sin t تيث c1,c 2 , ثوابت. التا ا ا ا ا dy y c1 cos t c 2 sin t c1 sin t c 2 cos t dt d 2y d 2y 2 c1 cos t c 2 sin t 2 2 c1 cos t c 2 sin t 2 2 dt dt ___________________________________________________ -8-
- 26. الباب األول وتيث إ y c1 cos t c 2 sin tيمك إستبدا المقدار c1 cos t c 2 sin t با yفي المعادلة التفا لية لنتص على dy 2 d 2y d 2y 0 2 a cos t b sin t 2 2 y 2 2y 2 dt dt dt ودي معادلة تفا لية م الرتبة الثانية والدرجة األولى. ننامش سوي ا خلية وتجانم المعادالت التفا لية العادياة، تياث يقاا للمعادلاة واآل سو التفا لية (1.1) نها خلية إ ا مك التعبير عنها كما يلي n a (x )y 0i i ) (i )31.1( ----------------------- 0 r (x ) تيث إ ) ai ( x ),r (xتمث دوا متصلة في المت ير xويمك إيجائ لع في التعري التالي تعريفففف(7- 1): المعادل ااة التفا االية الخلي ااة ( : )Linearيق ااا للمعادل ااة التفا االية نه ااا خلية إ ا تتق فيها شرلا : 1. المت ياار التااابع yوجميااع مشااتقاتب ) y ,...., y (nفااى المعادلااة (41.1) تكااو م ا الدرجة األولى. 2. كا ا المع ااامالت ) a0 (x ),a1(x ),...,an (xدوا متص االة وتعتم ااد عل ااى المت ي اار المستق فقل. ويمك بناءا على لع القو إ المعادلتي (2.1)،(7.1) دما معادلتا خليتا . يقا للمعادلة التفا لية العادية نها معادلة تفا الية ييار خلياة إ ا لا تكا خلياة. وعلاى لع تكو المعادالت (6.1،5.1،4.1،3.1) معادالت تفا لية يير خلية. تعريففففف(8-1): المعادل ااة التفا االية المتجانس ااة : يق ااا للمعادل ااة التفا االية نه ااا معادل ااة ما تادوددا يتتاو علااى المت يار المسااتق وتاد ، وعلااى تفا الية متجانساة إ ا لا يكا مثلتهااا المعااادالت لااع فااإ المعادلااة (31.1) تكااو متجانسااة إ ا كااا 0 r (x ) وم ا التفا لية (4.1- 7.1) ___________________________________________________ -9-
- 27. المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية تعريفففف(9-1): المعادل ااة التفا االية يي المتجانس ااة : يق ااا للمعادل ااة التفا االية نه ااا يي اار ر مثلته ااا ما ا ت اادوددا يتت ااو عل ااى المت ي اار المس ااتق وت ااد ، وما ا متجانس ااة إ ا وج ااد (2.1)،(3.1). مثففففففال(5-1): تا ا اادد د ا ا ا المقا ا اادار y(x ) 2e x xe xت ا ا ا للمعادلا ا ااة التفا ا ا االية ال. 0 y 2y y التا ا ا ا ا ) ، y(xنتص على بتفا y(x ) 2e x xe x y (x ) -e - x xe x y (x ) e - x (xe x e x ) xe - x بقي y و y في المعادلة التفا لية نتص على بالتعوي y 2y y ) (xe x ) 2(e x xe x ) (2e x xe x 0 xe x 2e x 2xe x 2e x xe x نالتا نب تق المعادلة التفا لية ود ا يعني نب يعتبر تالا لتلع المعادلة التفا لية y(x ) ce xدو ت عا للمعادلة التفا الية 0 ، y y ثا مثال (6-1) : بي ا ا كا 3 y(0) شرلها االبتدا ي. وجد الت الخا التا ا ا ا ا في المعادلة . y ce xث بالتعوي على ، y(x) ce xنتص باستخدا التفا لية نتص على 0 y y ce x ce x بمعن ا ااى ن ا ااب يتققه ا ااا وبها ا ا ا فه ا ااو يعتب ا اار تا ا االا للمعادل ا ااة التفا ا االية. وتي ا ااث إ الش ا اارل ميماة yتسااو 3 عناد 0 ، x و باالتعوي االبتدا ي 3 y(0) معلى، بما يعني دو y(x) 3e x في العالمة y(x) ce xنتص على 3 ، c وبه ا فإ الت الخا y(x) c1e2x c2ex 2sin x مثففال (7-1): أوجااد ميمااة ك ا م ا 1 cو 2 cبتيااث تتق الشرول االبتدا ية 1 . y(0) 0, y(0) ___________________________________________________ -01-
- 28. الباب األول التا ا ا ا ا ، y(x ) c1e 2x c 2e x 2sin x تياث إ 0=)0( yفاإ 0 ، c1 c2 وتيااث إ نتص على y(x ) 2c1e 2x c 2e x 2cos x وتيث إ 1 y(0) فإ 1 2c1 c2 1 c1 1,c2 بت المعادلتي معا نتص على اامنيا للمعادلااة العالمااة 4 (x, y ) x 2 y 2 تعتباار تااال مثففال (8-1) : بااي dy x التفا لية dx y التا ا ا ا ا مني للعالمة 4 ( x,y) x 2 y 2 نتص على بإج اء تفا ر 2 d 2 d dy dy x (x ) (y ) 0 2x 2y 0 dx dx dx dx y وب لع تصلنا على المعادلة التفا لية ول ا فهي تعتبر تالا للمعادلة التفا لية مثال(9-1): وجد المعادلة التفا لية لعا لة المنتنيات التي تمثلها المعادلة 3 y cx التا ا ا ا ا 2 y 3cx للمعادلة نتص على بإج اء تفا ر y 3y y y 3 3 x 2 الى c مما ي د لك لدينا x x 3x وبالتالي فإ المعادلة التفا لية المللوبة دي 0 xy 3y مثال(11-1): وجد المعادلة التفا لية للعا لة التالية م المنتنيات ات الثابتي y c1e x c 2e x x التا ا ا ا ا بإج اء االشتقامي األو والثاني نتص على ر y c1e x c 2e x 1, y c1e x c 2e x ح المعادلتي نتص على المعادلة التفا لية y y xبلر ___________________________________________________ -11-
- 29. المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية مثال(11-1): 2 x ت ا للمعادلة التفا لية ال عا لة الدوا 2 y ceيمث عنصر م ك بي أ. . y xy ع. و ل الفقر ( ) برس عد عناصر م عا لة الدوا على نفم المتاور. يتق الشرل االبتدا ي 5 . y(0) وجد ت المعادلة التفا لية y xyال ج. يتق الشرل االبتدا ي 2 . y(1) وجد ت المعادلة التفا لية y xyال د. التا ا ا ا ا 2x بالعالمة y ceفي المعادلة التفا لية نتص على 2 . بالتعوي 2x 2x 2x x 2 y ce 2 y ce 2 2x /2 cxe 2 2 x ce xy وبالتالي فهو يتق المعادلة التفا لية وب لع يعتبر تالا للمعادلة التفا لية 2x y ceعند مي 3 c 1, 2, لنتص على عا لة 2 ع. نقو برس عا لة الدوا المنتنيات كما في شك (2-1). 5 4 3=c 3 2=c 2 1 1=c 0 1- 1-=c 2- 2-=c 3- 3-=c 4- 5- 3- 2- 1- 0 1 2 3 2x y ceلقي 3. c 1, 2, 2 شكل(2-1): عا لة الدوا ج. باستخدا الشرل االبتدا ي 5 y(0) نسعى للتصو على ميمة الثابت cكما يلي 5 y(0) 5 ce0 5 c 2x y 5e 2 وعلى لع يكو الت دو د. باستخدا الشرل االبتدا ي 2 y(1) نسعى للتصو على ميمة الثابت cكما يلي ___________________________________________________ -21-
- 30. الباب األول 1 1 y(1) 2 ce 2 c 2e 2 2 1 2x وعلى لع يكو الت دو 2/ x 1 2 y 2e e 2 2 2e 1 cet y يمثا ا تا االا للمعادل ااة كا ا ف اارد ما ا عا ل ااة ال اادوا مثفففال(21-1): ب ااي 1 cet 2 1 . y التفا لية )1 (y 2 التا ا ا ا ا ال، و لع كما يلي بب في المعادلة التفا لية لنتاكد م كونب تالا لها نقو بالتعوي نقو بتساع المشتقة األولى كما يلي y 1 ce (ce ) 1 ce (ce t t t t ) ce t c 2e 2t ce t c 2e 2t 1 ce 1 ce t 2 t 2 2ce t 1 ce t 2 في اللر األيم للمعادلة التفا لية نتص على بالتعوي 1 1 ce t 1 ce t 2 2 1 1 ce t 2 2 1 (y 1) 1 2 1 ce t 2 1 ce t 2 2 1 4ce t 2ce t ) 2 1 ce t 2 (1 ce t وبالتالي فهو يتق المعادلة التفا لية وب لع يعتبر تالا للمعادلة التفا لية. 4 y تمث ا ا ت ا االا عام ا ا ا للمعادلا ااة التفا ا االية العالما ااة مثففففال(31-1): ثبا اات x c 4 0y الت ا 1 ، y(0) ث ا اثباات 2 y x 3 yو وجااد ميمااة الثاباات cإ ا عل ا يمث تالا شا ا للمعادلة التفا لية . الت 4 y ف اي المااع ادلااة التفا االية و لااع بتساااع ميمااة y كمااا بالعالمااة بااالتعوي x c 4 يلي ___________________________________________________ -31-
- 31. المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية 3 16x y x c 4 2 يتققها وبه ا يعتبر ت ا عام ا للمعادلة التفا لية. ال ودو يمث 2 x 3 yبمعنى بالشرل 1 y(0) نتص على 4c إليجاد ميمة الثابت cنعو مااا بالنساابة للتا 0 y فهااو يعتباار تااال للمعادلااة التفا االية تيااث نااب يتققهااا ال يمكا و التصو عليب م الت العا مهما كانت ميمة الثابت . c ___________________________________________________ -41-
- 32. الباب األول )1-1( تمارين إ ا كانت المعادلة المعادالت التفا لية اآلتية وبي م (1) تدد درجة ورتبة ك .ال يير خلية وبي ك لع كونها متجانسة التفا لية خلية dy i. 5x 3 dx 2 d 2y dy ii. e y 2 2 1 dx dx d 3y d 2y iii. 4 3 (sin x ) 2 5xy 0 dx dx 3 7 2 d2y dy 3 dy iv. 2 3y y 5x dx dx dx d2y dy v. 2 x2 6y 2 e x dx dx y2 y 2 vi. 4 2 0 t 2 x 2 d2y dy vii. 2 x 6y e x dx dx d2y dy viii. 2 y 6y e x dx dx d2y dy ix. 2 x2 cos y dx dx 3 7 2 d2y dy 3 dy x. 2 3y y 5x dx dx dx 2 2 2 d2y dy dy xi. 2 3 4 5 dx dx dx الدوا اآلتية تمث تالا للمعادلة التفا لية المناار و وجد ميمة الثابت (2) ثبت لكي يتق د ا الت الشرول االبتدا ية الم افقة ر i. y y 1, y ce -x 1, y(0) 2.5 2 ii. y 2xy, y ce x , y(1) 4 ___________________________________________________ -15-
- 33. المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية .iii ,xy 2y , 2 y cx 21 y(2) .iv ,yy x ,y2 - x 2 c 1 y(0) .v ,y y cot x ,y c sin x 2 y(- /2) .vi ,0 yy x ,x 2 y2 c 2 y( 2) 1 x .vii , y 2y e x y ce 2x , e 0 y(0) 3 .viii , (1 x 2 )y xy 2x 0 y 2 c 1 x 2 , y(0) sin x .ix , xy y cos x y , 1 y(0) cx (3) وجد ت ك م المعادالت التفا لية اآلتية .i y e -2x 2 .ii y xe x x .iii y - cos 2 .iv y 48x .v y tan x ملر ثابت rومر دا تقع اكئ (4) وجد المعادلة التفا لية لمجموعة الدوا ر ات نص على المتور السيني . (5) وجد المعادلة التفا لية لمجموعة الخلول المستقيمة التي تمر بنقلة االص . (6) وجد المعادلة التفا لية لمجموعة الخلول المستقيمة التي تمر بالنقلة )0,. (e 1 y x x تمث تال للمعادلة التفا لية xy y 2x ا (7) ثبت المعادلة التفا لية (8) وجد ميمة الثابت kالتي تجع الدالة y sin ktتتق الدوا عا لة اثبت تلع، k ولقي 0 ، y 9y y a sin kx b cos kxدي ي ا ت للمعادلة التفا لية . الشرل االبتدا ي يتق (9) وجد ت المعادلة التفا لية )1 y 0.5(y 2 وال 2 . y(0) التفا لية التالية المعادلة تتق 2 y cos x 3x الدالة (11) ثبت 21 . 2y xy 2y x sin x ___________________________________________________ -61-
- 34. الباب األول (11) وجد ت المعادلة التفا لية y y / 2 y e 2x e xبتيث يكو على الصور . y ae2x bex (21) وجد المعادلة التفا لية للقلاعات النامصة المتتد الب ر ، إ ا كا البعد بي ب رتيها ( . 2aإرشاد: المعادلة العامة للقلاعات النامصة متتد الب ر دي 2x 2y تيث cثابت اختيار ) . 2 1 2c 2 c a ___________________________________________________ -71-