1. PREVEST
MATRIZES
I. DEFINIÇÃO III. IGUALDADE DE MATRIZES
Denomina-se matriz mxn (m, n ∈ IN ) a uma tabela
*
Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se,
formada por m.n elementos dispostos em m LINHAS e possuem a mesma ordem e todos os elementos de posições
n COLUNAS. correspondentes iguais.
a = 1.
 1 2  5 
Exemplos: A = 
 4 0 ;
 B=  .  a 3 1 d  b = 4.
  2x2 − 1 2 x1  2 b  =  c 4  então : c = 2.
Exemplo: Se    
    
d = 3.

ATENÇÃO:
LINHA: FILA HORIZONTAL.
COLUNA: FILA VERTICAL. TESTES DE SALA
O O
ORDEM DA MATRIZ: N DE LINHAS X N DE COLUNAS.
01. (UFBA-Adaptada) Seja a matriz A = (aij)3x4, onde cada
aij = (i + j)2. Calcule a soma de todos os elementos de A.
A matriz abaixo é de ordem 3x2:
C1 C2
↓ ↓
L1 →  1 0
 
L2 →2 5
L3 →  3
 2  3×2

II. MATRIZ GENÉRICA 02. (UCSal) Seja a matriz A = (aij)3x3, definida por:
É uma matriz que representa, de forma geral, todas as
matrizes de mesma ordem que a sua.  i , se i < j.
Cada elemento da matriz genérica é representado por 

uma letra minúscula acompanhada de dois índices, que a ij : i j , se i = j.
indicam, respectivamente, a linha e a coluna onde o elemento  -1
se situa. Representando, genericamente uma matriz de ordem  j , se i > j .

3x2, temos:
Nessas condições, o produto de todos os elementos da
 a 11 a 12  matriz A, é igual a:
 
A = (aij)3x2 =  a 21 a 22 
a 
 31 a 32  3x 2 a) 4 2.
b) 27.
i : número da linha.
a ij :  c) 27 2 .
 j : número da coluna. d) 54.
Nas matrizes A e B, indicadas como exemplo do item I, e) 54 2 .
temos:
a12 = 2
a21 = 4
b11 = 5
Matemática 1

2. PREVEST
03. Dadas as matrizes A e B, abaixo, e sabendo-se que A = B, e) MATRIZ IDENTIDADE OU UNITÁRIA: É uma matriz diagonal em
determine x + y – z + w. que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
 2x + y 1   5 1   1 0 0
     1 0  
A= −6 0  e B = x + z 0  Exemplos: I2 = 
 x − y − 3  4 0 1 , I3 =  0 1 0
   w + y

  2x2 0 0 1
  3x 3
f) MATRIZ TRANSPOSTA: A transposta de uma matriz M é a
T
matriz M , que se obtém permutando, ordenadamente, as
linhas pelas colunas.
 1 3
  T 1 0 2
Exemplo: M =  0 3 ; M = 
3 3 4

 2 4   2 x3
  3x 2
MATRIZES ESPECIAIS
T T
NOTE QUE: (M ) = M.
a) MATRIZ LINHA: É a matriz que possui uma única linha.
Exemplo: A = (1 0 −3)1x 3
g) MATRIZ OPOSTA: Chama-se matriz oposta de A, e
b) MATRIZ COLUNA: É a matriz que possui uma única coluna.
representa-se por –A, à matriz que se obtém de A
trocando-se o sinal de cada um de seus elementos.
 2
 
5  2 −1  −2 1 
Exemplo: B=   Exemplo: A= 
− 3 4 
 ; -A = 
 3 − 4

3
    2x2  2x2
0
  4 x1
c) MATRIZ NULA: É a matriz em que todos os seus elementos
são nulos.
h) MATRIZ SIMÉTRICA: Uma matriz quadrada é simétrica se ela
0 0 for igual à sua transposta. Na matriz simétrica os
  elementos colocados simetricamente em relação à
Exemplo: O = 0 0 diagonal principal são iguais.
0 0
  3x 2
 5 − 1 2  5 − 1 2
   
A =  − 1 3 4 → A =  − 1 3 4
t
Exemplo:
d) MATRIZ QUADRADA: É toda matriz em que o número de  2 4 0  3x 3  2 4 0  3x 3
   
linhas é igual ao número de colunas. Quando a matriz for
do tipo nxn, diz-se que é uma matriz quadrada de
ordem n.
A = AT ↔ aij = aji
 a 11 a 12 a 13 
 
Exemplo: E =  a 21 a 22 a 23  IMPORTANTE:
a a 32 a 33  3x 3
 31 
T
D.S. D.P. MATRIZ SIMÉTRICA: A = A .
MATRIZ OPOSTA DE A (SIMÉTRICA DA MATRIZ A): -A.
DIAGONAL PRINCIPAL (D.P.): i = j.
DIAGONAL SECUNDÁRIA (D.S.): i + j = n + 1.
ORDEM DA MATRIZ: n.
Matemática 2

3. PREVEST
i) MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA: Uma matriz quadrada é anti-  2 ⋅ 3 2 ⋅1 6 2 
simétrica se ela for igual à oposta de sua transposta. Na 2A = 
 2 ⋅ 2 2 ⋅ 5  =  4 10 
  
   
matriz anti-simétrica os elementos colocados
simetricamente em relação à diagonal principal são
opostos e todos os elementos da diagonal principal são A  3 / 7 1/ 7 
= .
nulos. 7 2 / 7 5/ 7
 
0 1 − 2  0 −1 2  NOTE QUE: Sendo A, B e X matrizes de mesma ordem, se
   
A =  −1 0 4 → A = 0 − 4
T
Exemplo:  1 X + A = B, então X = B - A.
 2 −4 0  − 2 4 0 
   
TESTES DE SALA
0 1 − 2
  04. (UCSal) Se a matriz a seguir é simétrica, então x + y + z é
-A =  − 1 0
t
4 
 2 −4 0  igual a:
   2 −1 2y
 
A =  x 0 z − 1
4 3 2
A = -At ↔ aij = - aji  
a) -2.
b) -1.
OPERAÇÕES COM MATRIZES c) 1.
d) 3.
a) ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO: para adicionar ou subtrair matrizes,
de mesma ordem, deve-se efetuar a referida operação e) 5.
com os elementos das posições correspondentes.
 6 0  − 5 2  1
     
Exemplo: A =  8 − 4  ; B =  − 6 − 1 ; C =  0
−1 3   4 − 3  2
     
 6 + ( −5) 0+2  1 2 05. (UNEB) Sejam as matrizes A = (aij)3x2 e B = (bij)3x2
    definidas por aij = i + j, se i ≠ j e aij = 1, se i = j e bij = 0,
A + B =  8 + (−6) − 4 + (−1)  =  2 − 5  .
 −1+ 4 se i ≠ j e bij = 2i – j, se i = j. Então A + B é igual a:
 3 + (−3)   3
  0
1 3
 
 6 − (−5) 0 − 2   11 − 2  a) 2 2
   
A – B =  8 − (−6) − 4 − ( −1)  =  14 − 3  . 4 0
 
 −1− 4 3 − (−3)   − 5 6
    4 5
 
b) 2 3
2 2
NOTE QUE: A operação (A + C) NÃO está definida.  
2 3
 
c) 3 3
PROPRIEDADES: 4 5
 
A + B = B + A. 2 1
 
(A + B) + C = A + (B + C). d) 1 6
1 1
A + O = O + A.  
A + (-A) = O. 1 4
 
e) 3 3
4 5
b) MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR POR UMA MATRIZ: Para  
multiplicar um escalar por uma matriz, deve-se multiplicar
todos os elementos da matriz pelo escalar.
 3 1
Exemplo: A= 
 2 5

 
Matemática 3

4. PREVEST
 x 8 y 6  ATENÇÃO:
06. (UFBA-Adaptada) Se M =  10 y  , N = 12 x + 4  ,
  
   
Só é possível multiplicar duas matrizes, se o número
 7 16  3M 2 N a
de COLUNAS da 1 matriz for igual ao número de
 23 13  e 2 + 3 = P . Calcule o valor de y + x.
P=   a
  LINHAS da 2 matriz.
O ELEMENTO NEUTRO da multiplicação de matrizes
quadradas de ordem n é a matriz In.
Exemplo: A nxn ⋅ I nxn = I nxn ⋅ A nxn = A nxn .
PROPRIEDADES:
A ⋅ (B ⋅ C) = (A ⋅ B) ⋅ C .
A ⋅ (B ± C) = ( A ⋅ B) ± (A ⋅ C) .
(A ⋅ B) T = B T ⋅ A T
NEM SEMPRE A ⋅ B = B.A (não é comutativo).
T
07. Sabendo-se que 2X – A = B , determine a matriz X, sendo
 3 −7 
TESTES DE SALA
   9 3 −2 
A =  − 1 4 e B = 
− 5 0 7 .  3 1  2 2
 7 6   08. Sejam as matrizes A = 
   2 5  e B =  0 1  , calcule:
  
   
a) A.B
b) B.A
c) MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES: O produto entre duas 09. (UNEB) Sabendo-se que as funções horárias de dois
matrizes, quando possível, é a matriz cujos elementos são corpos que se deslocam em movimentos retilíneos
a
obtidos fazendo o produto interno das linhas da 1 matriz uniformes, segundo uma mesma trajetória, são definidas
a
pelas colunas da 2 matriz.  2 5   x  16 
matricialmente por  − 3 5  ⋅  t  =  6  , pode-se afirmar
    
 2 5 3 0 1      
Exemplo: Sejam: A = 
 1 3
 e B =
 2 5 4
 que esses corpos se encontrarão no instante t igual a:
  2x 2   2x 3
Calculando o produto A.B, encontraremos:
a) 4,6 segundos.
 2 5  3 0 1  b) 3,8 segundos.
A⋅B = 
 1 3 ⋅  2 5 4 
  
    c) 3,5 segundos.
d) 2,4 segundos.
 2 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 2 ⋅ 0 + 5 ⋅ 5 2 ⋅1 + 5 ⋅ 4
A⋅B= 
 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 1 ⋅ 0 + 3 ⋅ 5 1 ⋅1 + 3 ⋅ 4 
 e) 2,0 segundos.
 
16 25 22 
A⋅B = 
 9 15 13  .

 
Matemática 4

5. PREVEST
DETERMINANTES
I. INTRODUÇÃO II. DEFINIÇÃO
A teoria dos DETERMINANTES teve origem em meados do O determinante de uma MATRIZ QUADRADA M,
século XVII, sendo desenvolvida, quase que simultaneamente, representado por detM, é um único número que se associa à
pelos matemáticos Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, na matriz M.
resolução de SISTEMAS LINEARES de equações.
Analisemos o sistema linear abaixo: a a 12 
Exemplo: Se A =  11
a  então:
 21 a 22 

ax + by = c (1)
(S) 
dx + ey = f (2) a 11 a 12
detA = .
a 21 a 22
Onde x e y são as incógnitas e a, b, c e d são os
coeficientes.
Para resolvermos (S), utilizaremos as seguintes etapas:
DETERMINAÇÃO DE X:
III. CÁLCULO DO DETERMINANTE
Multiplicar a equação (1) por e;
Multiplicar a equação (2) por – b; A depender da ordem da matriz, pode-se calcular o seu
determinante, por um dos processos a seguir:
Somar as novas equações obtidas:
A
a) DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 1 ORDEM:
 aex + bey = ce (1)
 (+ ) a
O determinante de uma matriz de 1 ordem é o único
− bdx − bey = − bf (2) elemento da matriz.
aex − bdx = ce − bf → (ae − bd) x = ce − bf
A = ( a11 ) → detA = a11
De modo análogo, na determinação de y encontramos:
(ae − bd ) y = af − cd
Exemplo: A = (-2)1x1 → detA = -2.
D = ae − bd.

Chamando D x = ce − bf . , tem-se:
D = af − cd. b) DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2
A
ORDEM:
 y
a
O determinante de uma matriz de 2 ordem é o produto
D Dy dos elementos de sua diagonal principal menos o produto
x= x e y= dos elementos de sua diagonal secundária.
D D
ONDE:
D: Determinante do sistema.
Dx: Determinante da incógnita x.
Dy: Determinante da incógnita y.
 3 1 3 1
A=  2 5  → det A = 2 5

Exemplo:  
A definição de DETERMINANTE, bem como o seu cálculo e det A = (3 ⋅ 5) − (1 ⋅ 2) → detA = 13.
utilização na resolução de SISTEMAS LINEARES, serão vistos,
detalhadamente, nos próximos itens. ATENÇÃO: det(A + B) ≠ detA + det B.
Matemática 5

6. PREVEST
A
c) DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 3 ORDEM:  2 4 2
 
a 12. (UFBA-Adaptada) Sejam as matrizes: A =  0 5 0  e
No cálculo do determinante de uma matriz de 3 ordem,  − 3 6 1
utiliza-se a regra prática de Sarrus:  
 5 8 − 3
1) Repetir, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas.  
B =  − 7 − 4 2  . Calcule o determinante associado à
 2 3 −1
2) Multiplicar os elementos da diagonal principal e  
paralelas, como indicado no exemplo abaixo.
matriz At + B .
3) Multiplicar os elementos da diagonal secundária e
paralelas, não esquecendo de inverter o sinal.
4) Somar todos os resultados obtidos; este será o
determinante da matriz.
 3 0 2
 
Exemplo: Se A =  1 4 3  , então :
 2 1 5
  PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
3 0 2 3 0
1 4 3 1 4
2 1 5 2 1
-16 -9 0 60 0 2
Um determinante é NULO quando:
detA = 60 + 0 + 2 – 16 – 9 + 0
a) Todos os elementos de uma linha ou coluna são
nulos.
detA = 37.
b) Duas linhas ou colunas são iguais.
c) Duas linhas ou colunas são proporcionais.
TESTES DE SALA d) Uma linha ou coluna é COMBINAÇÃO LINEAR das
demais.
10. Determine o valor de x na igualdade abaixo:
Exemplos:
x − 1 x 2x −x −5 1
+ =
2 3 −1 1 − 15 2 3 1 2 4 1 4
a) 0 0 0 b) 2 0 2 .
1 4 5 1 5 1
3 1 5 1 3 4
c) 9 3 15 d) 2 3 5.
0 2 1 3 4 7
2x − 1 0
11. Determine o valor de x na equação x 2 1 = 0.
3 1 1 Um determinante não se altera quando trocamos
ordenadamente as linhas pelas colunas, isto é:
detA = detAT
 3 1 3 2
 2 5 → A =
T
Exemplo: A=   
1 5 .

   
T
detA = detA = 13.
Matemática 6

7. PREVEST
TESTES DE SALA
 x +1 0 1 
 
Um determinante troca de sinal quando trocamos as 13. (UNEB) Considerando-se a matriz A =  0 1 x  e
posições de duas filas paralelas.  0 0 x + 1
 
sabendo-se que detA = 4x, pode-se afirmar que o valor de
2 4 4 2 2
Exemplo: = 10 e = −10 . x é:
−1 3 3 -1
a) 1/4.
b) 1/2.
c) 1.
d) 3/2.
e) 2.
Se A e B são duas matrizes quadradas e de mesma
ordem, então:
det =
1 2
Exemplo: A= 
3 4
 → detA = -2.
 
 2 3  2 3
 1 5  ⋅  1 0  , o valor do seu
14. (UCSal) Sendo A =    
 0 −3     
B= 
2 5   → detB = 6.
  determinante é:
a) –21.
4 7 
(AB) = 
 8 11
 → det(A.B) = -12. b) –19.
 
c) –17.
d) –15.
e) –6.
O determinante de uma MATRIZ TRIANGULAR é calculado
através do produto dos elementos de sua diagonal
principal.
3 1 4 2
0 3 2 1
Exemplo: = 3⋅ 3⋅ 2 ⋅ 5 1 x  y 0
0 0 2 5 15. (UESB) Sendo A =   2 3  e B =  − 2 1 matrizes reais,
  
0 0 0 5    
tais que det(A + B) = 0 e det(A.B) = 1, pode-se afirmar
que x.y é igual a:
NOTE QUE: det In = 1, (In: matriz identidade de ordem n).
a) 6.
1 0 0 b) 4.
 
Exemplo: I3 =  0 1 0  → det(I3) = 1.1.1 = 1. c) 0.
0 0 1 d) -1.
 
e) -2.
Matemática 7

8. PREVEST
MENOR COMPLEMENTAR TESTES DE SALA
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n ≥ 2, 16. (UFBA-Adaptada) Calcule o valor de det(2A) sendo:
denomina-se MENOR COMPLEMENTAR do elemento aij, e indica-  1 0 2 −1 
 
se por Mij, ao determinante obtido eliminando-se a linha e a  2 1 3 − 2
coluna a qual pertence tal elemento. A= .
0 0 2 3 
 1 −1 0 2 
 1 2 3  
 
Exemplo: A =  4 5 6
 7 8 9
 
O menor complementar do elemento a21 é:
2 3
M21 = = −6
8 9
Define-se como MATRIZ INVERSA de uma matriz quadrada
-1
M, de ordem n, e indica-se por M , à matriz que multiplicada
por M dá como produto a matriz identidade.
M.M-1 = M-1.M = In
Denomina-se COMPLEMENTO ALGÉBRICO ou COFATOR do Exemplo:
elemento aij, e indicamos por Cij, ao produto do menor 3 5
i+j
complementar de aij por (-1) . Vamos obter a matriz inversa de M =   1 2  , efetuando o

 
 1 2 3 -1 a b
  produto de M por M =   c d  e igualando-se o resultado

Exemplo: A =  4 5 6  
 7 8 9 à matriz identidade.
 
O cofator do elemento a21 é: 3 5  a b  1 0
1 2 ⋅  c d  =  0 1
     
     
2 3
= −1 ⋅ (−6) = 6.
2+1
C21 = (-1) . Resolvendo-se os sistemas:
8 9
3a + 5c = 1 3b + 5d = 0
 e 
a + 2c = 0 b + 2d = 1
-1  2 −5 
Concluí-se então que: M = 
 − 1 3 .

 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 é
igual a soma dos produtos dos elementos de uma FILA OBSERVAÇÕES:
QUALQUER pelos respectivos cofatores.
a
a) Para o cálculo de matrizes inversas de 2 ordem, utiliza-se
2 4 1 o seguinte dispositivo:
 
Exemplo: A= 0 3 2  d −b 

− c 
3 1 2 a b a
  M=   → M-1 =   , desde que detM ≠ 0.
 c d det M
detA = 2.C11 + 0.C21 + 3.C31
Para qualquer matriz quadrada M, se detM = 0 → ∃ M ,
/
-1
b)
3 2 4 1 isto é: M não é uma MATRIZ INVERSÍVEL. Matriz que não
detA = 2. + 3. = 2.(4) + 3.(5) = 23.
1 2 3 2 admite inversa é chamada de MATRIZ SINGULAR.
NOTE QUE: A presença de ZEROS, na fila escolhida, c) Usando as propriedades dos determinantes demonstra-se
facilita o cálculo do determinante. que:
1
detM ≠ 0 → det M = .
det M −1
Matemática 8

9. PREVEST
TESTES DE SALA  3 − 1
20. (UFBA-Adaptada) Dadas as matrizes A = 
2 
 − 1

1 2 
17. (UFRRJ) Dada a matriz A = 
-1 2 0 
1 0  , denotamos por A a
 
  e B =  0 − 2  , considere a matriz X tal que

-1
matriz inversa de A. Então A + A é igual a:
 
T -1
X = A .B + 4.B . Sabendo-se que o traço de uma matriz
quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal
 2 3 principal, determine o traço da matriz 2X.
a) 
1 0 .
 
 1 −1
b) 
 2 0 . 
 
 1 3 
c) 
 3 / 2 − 1 / 2 .

 
 0 1 
d) 
1 / 2 1 / 2  .

 
 2 4
e) 
 − 2 0

 
-1 T
18. (UCSal) Indica-se por A e A , respectivamente, as
matrizes inversa e transposta de uma matriz A. Se
1 −2 
A −1 = 
1 0  , então o determinante da matriz A.A é

T
 
igual a:
a) –1/2.
b) 3/4.
c) 1/2.
d) 1/4.
e) –1/4.
2 1 0
 
19. (CESCEA) Se A =  6 − 1 3  , o determinante de A-1é:
 2 0 1
 
a) –1/2.
b) –2.
c) 1/12.
d) 12.
e) 1/15.
Matemática 9

10. PREVEST
SISTEMAS LINEARES
I. DEFINIÇÕES PREELIMINARES II. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES
o
Uma equação é dita linear quando for do 1 grau em
relação às suas m variáveis.
É todo sistema que apresenta, PELO MENOS, uma
solução, podendo ser:
ax + by + ... + cz = d
a) DETERMINADO: o Sistema Linear possui, APENAS, uma
solução.
Exemplo: 2x + y – 3w + 4z = 8
Exemplo:
2x − 2 y = 0
O sistema  admite apenas como solução o
x + 2 y = 3
par ordenado (1, 1).
Define-se como sistema linear ao conjunto de n equações b) INDETERMINADO: O Sistema Linear possui infinitas
lineares, com m incógnitas. soluções.
ax + by + ... + cz = d Exemplo:
ex + fy + ... + gz = h 2x + 2 y = 4
O sistema  admite infinitas soluções,
. . . . x + y = 2
. . . . como: (1, 1), (2, 0), (3, -1), ...
. . . .
ix + jy + ... + kz = u
x − 2 y − 2z = −3

Exemplo: 4 x + 8 y + 2z = 14 É todo sistema linear que não apresenta solução.
2 x + 3 y − 4 z = 1

Exemplo:
2x + y = 3
Para o sistema  , não existe um par ordenado
2x + y = 4
que satisfaça simultaneamente as duas equações.
Denomina-se solução de um sistema linear ao conjunto RESUMINDO:
ordenado (x1, x2, ..., xm) que é solução, simultaneamente, de
todas as equações do sistema.
SISTEMA
Exemplo:
LINEAR
2x − 3y = −4
O sistema  admite como solução o conjunto
3x + 4 y = 11
ordenado (1, 2).
Possível Impossível
(admite solução) (não admite solução)
Determinado Indeterminado
(solução única) (infinitas soluções)
Matemática 10

11. PREVEST
III. MÉTODO DE CRAMER DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR DE
Na resolução ou discussão de Sistemas Lineares de n
“n” EQUAÇÕES E “n” INCÓGNITAS
equações e n incógnitas, utilizaremos o método de Cramer,
onde cada incógnita do sistema é igual ao quociente entre o  Determinado {D ≠ 0
DETERMINANTE DA INCÓGNITA e o DETERMINANTE DO SISTEMA.  
  D = 0
  
Possível  D x = 0
  
 Indeterminado D y = 0
Sistema Linear   
  M
  Dn = 0

É o determinante obtido através da MATRIZ DOS
 
COEFICIENTES DO SISTEMA.  D = 0

Impossível 

 D x ou D y ... ou Dn ≠ 0

(DX, DY, ...)
SISTEMA LINEAR E HOMOGÊNEO
É o determinante obtido através da MATRIZ DOS É o sistema em que os termos independentes de todas as
COEFICIENTES DO SISTEMA, substituindo-se a coluna que contém equações são nulos.
os coeficientes da incógnita em questão, pela coluna dos
termos independentes. 2x + y = 0
Exemplo 01: 
3x − y = 0
2x + 3y = 7 2x + y = 0
Exemplo: Para o sistema  , teremos: Exemplo 02: 
x − 2 y = 0 4x + 2 y = 0
2 3
D= = -7. NOTE QUE:
1 −2
Todo SISTEMA LINEAR E HOMOGÊNEO com n incógnitas
7 3 admite, pelo menos, (0, 0, 0, ..., 0) como solução, sendo
Dx = = -14. esta, chamada de SOLUÇÃO TRIVIAL OU IMPRÓPRIA.
0 −2
2 7
Dy = = -7.
1 0
Sistema Linear Homogêneo
(Possível)
Dx Dy
Como x = e y= , então: x = 2 e y = 1.
D D
De um modo geral, para um Sistema Linear, teremos:
Determinado (D 0) Indeterminado (D = 0)
Veja que no Exemplo 01, como D ≠ 0, então o sistema só
ATENÇÃO: admite a solução trivial (0, 0), enquanto que, no Exemplo 02,
como D = 0, o sistema admite além da solução trivial, (0, 0),
Se o número de equações de um sistema for igual ao outras soluções próprias tais como: (1, -2), (3, -6) ... .
número de incógnitas e o determinante do sistema for
diferente de zero, dizemos se tratar de um SISTEMA
NORMAL.
Matemática 11

12. PREVEST
TESTES DE SALA
x + y = 6

21. (EBMSP) Sejam x, y e z, números reais tais que  y + z = 3
x + z = 1

Então, x.y – z é:
a) -8.
b) -6.
c) 1.
d) 7.
e) 9.
3x + 5y = 1

22. (UFBA-Adaptada) O sistema 2x + z = 3 , é impossível
5x + py - z = 0

para um número real p. Determine o valor de p.
23. (UFBA-Adaptada) Calcule o valor de k para que o sistema
(1 − k ) x + y + z = 0


 2 x + ( 2 − k ) y + 2 z − k + 5k = 4
2
seja Homogêneo e
 x + y + z − kz = 0


Indeterminado.
Matemática 12

13. PREVEST
VESTIBULARES DO BRASIL  2 0  2 1
04. (FMU-SP) Dadas as matrizes A =   − 1 3 e B =  0 3 ,
  
   
01. (FATEC-SP) Seja A = (aij) a matriz real quadrada de então a matriz –2.A.B é igual a:
a ij = 2 i+ j para i < j;

ordem 2, definida por  , então:  8 −2 
a ij = i + 1 para i ≥ j;
2 a) 
14 .
  7

2 8  −8 −2 
a) A=   
5
 5

b)  14 7  .

 
2 8  −8 −2 
b) A=   
5
 6

c)  − 14 − 7  .

 
2 4  8 2
c) A=   
8
 5

d) 14 7  .

 
2 8  −8 −4 
d) A=   
2
 5

e)  4 − 16  .

 
 2 8
e) A= 
 2 3

 
02. (UFPA) A matriz A = (aij)3x3 é definida de tal modo que
05. (UFPA) Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)pxm, onde
( −1) i + j , se i ≠ j.
 n, m e p são números distintos, qual das operações abaixo
a ij =  , então A é igual a:
0, se i = j.

podemos afirmar:
a) A + B.
 0 − 1 1
  b) A.B.
a)  − 1 0 − 1 .
 1 −1 0  c) B.A.
  t
d) (A ).B.
 1 0 0
  t
b)  0 − 1 0 . e) A.(B ).
0 0 1
 
 0 1 − 1
 
c)  1 0 1 .
 −1 1 0 
 
1 1 0 1
−1 0 0 06. (FEI-SP) Dadas as matrizes A = 
 0 0  e B =  0 − 1 ,
  
     
d)  0 1 0 .
 0 0 − 1 para A.B temos:
 
 0 − 1 − 1 0 1
  a) 
0 .
e)  1 0 − 1 .  0

1 1 0
  0 0
b) 
0 .
 0

03. (MACK-SP) A é uma matriz mxn e B é uma matriz mxp. A 0 1
c) 
0 .
afirmação falsa é:  − 1

 0 2
a) A + B existe se, e somente se, n = p. d) 
 0 0 .

t  
b) A = A implica m = n.
 1
c) A.B existe se, e somente se, n = p. e)  .
1
t
 
d) A.B existe se, e somente se, n = p.
t
e) A .B sempre existe.
Matemática 13

14. PREVEST
07. (UFMS) Sejam A e B matrizes 2x2. Se o produto A.B é 11. (PUC-RS) A matriz transposta da matriz quadrada A = (aij)
i–j
nulo, então: de ordem 2 com aij = (-2) é:
a) A = 0.  1 2
a) 
1 / 2 1  .

b) B = 0.  
c) A = B = 0.  1 2
b) 
 −1/ 2 1  .

d) A = 0 ou B = 0.  
e) Não se pode garantir que A = 0 ou B = 0.  1 −1 / 2 
c) 
− 2 .
 1 
 1 −2 
d) 
 −1/ 2 1  .

 
5 0 − 3 1 0
  e) 
0 1 .

08. (FGV-SP) Dadas as matrizes A = 1 −2 1 e  
0 0 − 1
 
 1 − 1
 
B=  0 3  , o elemento c12 da matriz C = A.B é:
− 2 4
 
12. (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz M, onde:
a) –17. 1 / 3 0
M =  1 / 7 1 . A soma dos elementos da diagonal

b) 7.  
c) –3. principal da matriz P é:
d) 3. a) 9/4.
e) –6. b) 4/9.
c) 4.
d) 5/9.
2 e) –1/9.
09. (CESEM-SP) Dada a equação matricial X –2X = 0, onde
X é uma matriz quadrada, nxn, não singular. Podemos
afirmar que esta equação:
a) Tem uma infinidade de soluções.
b) Não tem solução. 13. (FIOCRUZ-SP) Dadas as matrizes A e B, com
c) Tem duas soluções distintas.  1 0  0 1 -1
A=  − 2 1 e B =  − 2 3  , a matriz C = A + B é igual
  
d) Tem uma única solução.    
2 L 2 a:
 
e) Admite a solução L L L .
2 L 2  −1 1
  a) 
 0 .
 2

1 −1
b) 
0 .
 − 2

 1 1
1 0  -1 3 c) 
 0 4 .

10. (MACK-SP) Seja A =   . Então (A + A ) é igual a:  
 0 −1
 1 −1
d) 
 0 4 .

a) Matriz nula de ordem 2.  
b) Matriz identidade de ordem 2.  1 1
e) 
 2 3 .

c) (1/2).A.  
7
d) 2 .A.
e) 8.A.
Matemática 14

15. PREVEST
14. (SANTA CASA-SP) São dadas as matrizes A e B, 1 2 3
quadradas, de ordem n e inversíveis. A solução da
-1 -1 18. (MACK-SP) A solução da equação x − 1 5 = 0 é:
equação A.X .B = In, onde In é a matriz identidade de
ordem n, é a matriz X tal que: 2 3 −1 2 0
-1
a) 1.
a) X = A .B.
-1
b) 58.
b) X = B.A .
-1
c) –58.
c) X = B .A.
-1
d) 67/9.
d) X = A.B .
-1 -1
e) 2.
e) X = B .A .
1  4 3
 19. (CESGRANRIO-RJ) A inversa da matriz 
 1 1  é:

15. (CESEM-SP) O produto M.N da matriz M = 1 pela  
1

matriz N = [1 1 1] : 1 4 1 3 
a) 
 1 .
 1 

a) Não se define.
 1 −3 
b) 
 −1 4 .

b) É uma matriz identidade de ordem 3.
 
c) É uma matriz de uma linha e uma coluna.  −1 −3 
c) 
 −1 4 .

d) É uma matriz quadrada de ordem 3.  
e) Não é uma matriz quadrada.  −1 4 1 3 
d) 
 1 .
 − 1

 − 4 3
16. (PUCCAMP-SP) A matriz quadrada de ordem 2, A = (aij) e) 
 −1 1 .

i+j
com aij = [(-1) ].i.j, é:  
 1 2
a) 
 2 4 .

 
1 12 5 9
 1 −2 
b) 
− 2 . 20. (PUR-RS) Se − 1 2 0 k = 10 , então k é:
 4 −2 2 5 −1
 1 −2 
c) 
 2 4 .

  a) Um número inteiro.
 1 2 b) Menor que –4.
d)  
 − 2 4 .
  c) Igual a –5/2.
 −1 2
e) 
 1 − 4 .

d) Igual a –53/22.
  e) Igual a –83/26.
17. (SANTA CASA-SP) Se uma matriz quadrada A é tal que
T
A = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que
 4 + a a 12 a 13 
  21. (MACK-SP) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de
M é anti-simétrica e: M =  a b + 2 a 23  . 2
ordem 2 e aij = j – i , o determinante da matriz A é:
 b c 2c − 8 
 
Os termos a12, a13 e a23 de M valem, respectivamente: a) 0.
b) 1.
a) –4, -2 e 4.
c) 2.
b) 4, 2 e –4.
d) 3.
c) 4, -2 e –4.
e) 4.
d) 2, -4 e 2.
e) n.d.a.
Matemática 15

16. PREVEST
22. (ITA-SP) Dizemos que um número real a é auto valor de x 1 0
uma matriz Tnxn quando existir uma matriz coluna Xnx1,
26. (UNIFOR-CE) A inequação 1 x 1 < 0 tem por conjunto
não nula, tal que TX = aX. Considere uma matriz real Pnxn
satisfazendo P.P = P. Denote por a1 um auto valor de P e 1 1 1
a2 um auto valor de P.P. Podemos afirmar que, solução:
necessariamente:
a) {x ∈ IR | 0 < x < 1} .
a) a1 < a2 < 0.
b) {x ∈ IR | x > 1 ou x < 0} .
b) a1 > a2 > 1.
c) IR
c) a1 e a2 pertencem ao conjunto {0, 1}.
d) ∅.
d) a1 e a2 pertencem ao conjunto {t ∈ IR | t > 0 ou t < 1}.
e) {1, 2}.
e) a1 e a2 pertencem ao intervalo aberto (0, 1).
23. (MACK-SP) Sabendo-se que A é uma matriz quadrada de 27. (CESCEM-SP) Sendo x e y os determinantes das matrizes
ordem 4 e detA = -6. O valor de x tal que det(2A) = x – 97  a b   −2a 2c 

 c d  e  − 3b 3d  , respectivamente, então y/x vale:
  
é:    
a) –12. a) 36.
b) 0. b) 12.
c) 1. c) –6.
d) 97/2. d) –12.
e) 194. e) –36.
2 1 0
 
24. (CESCEA-SP) Considere a matriz A =  6 − 1 3  , o 1 x x 2 
2  
 0 1  28. (MAUÁ-SP) Na matriz 1 2 4  , o seu determinante é:
-1
determinante de A é: 1 − 3 9 

 

a) –1/2.
a) 5.(2 – x).(3 + x).
b) –2.
b) 5.(2 + x).(3 + x).
c) 1/12.
c) 5.(2 – x).(3 – x).
d) 12.
d) 5.(x – 2).(x – 3).
e) 1/15.
e) 5.(3 + x).(5 + x).
25. (FEI-SP) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma
dos elementos da diagonal principal. Sabendo que o traço x 0 0 3
vale 9 e o determinante 15, calcule os elementos x e y da −1 x 0 0
1 2 3 29. (PUC-SP) O determinante representa o
  0 −1 x 1
matriz  0 x z  : 0 0 −1 − 2
0 0 y
  polinômio:
3 2
a) 4 e 6. a) –2x + x + 3.
3 2
b) 1 e 3. b) –2x – x + 3.
3 2
c) 2 e 4. c) 3x + x – 2.
3 2
d) 3 e 5. d) 2x – x – 3.
3 2
e) 6 e 5. e) 2x – x + 3.
Matemática 16

17. PREVEST
− 2 a2  34. (ABC-SP) Seja S = (sij) uma matriz quadrada de ordem 3,
30. (MACK-SP) Para a ∈ IR , a matriz A =   admite
0 se i < j
 1 2
  
inversa: onde: sij = i + j se i = j .
i - j se i > j

a) Somente se a ≠ 4.
b) Somente se a ≠ -4. Então o valor do determinante de S é:
c) Somente se a ≠ 4 e a ≠ -4.
a) 0.
d) Para qualquer valor positivo de a.
b) 12.
e) Para qualquer valor de a.
c) 24.
d) 48.
e) 60.
31. (FUVEST-SP) A é uma matriz quadrada de ordem 2,
inversível, e det(A) o seu determinante. Se
2
det(2A) = det(A ), então det(A) é igual a: 35. (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se dividirmos a
a a
1 linha por 6 e multiplicarmos a 3 coluna por 4, o novo
a) 20. determinante valerá:
b) 21. a) 8.
c) 1/2. b) 18.
d) 4. c) 24.
e) 16. d) 36.
e) 48.
36. (CESCEM-SP) Sejam A, B e C matrizes quadradas de
a b
32. (FUVEST-SP) O determinante da matriz   b a  , onde

ordem n e k um número real qualquer; considerando as
  afirmações seguintes, associe V ou F a cada uma delas:
x -x x -x
2.a = e + e e 2.b = e – e , é igual a :
I) A = k.B → detA = k.detB.
a) 1. II) C = A + B → detC = detA + detB.
III) C = A.B → detC = detA.detB.
b) –1.
x
c) e. Então temos:
-x
d) e . a) V, V, V.
e) zero. b) V. V, F.
c) V, F, F.
d) F, F, F.
e) F, F, V.
33. (ITA-SP) Seja k um número real, I2 a matriz identidade de
ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos
elementos aij são definidos por aij = i + j. Sobre a equação x 0 0 0
em k, definida por det(A – k.I2) = detA – k, qual das 1 x 1 2
afirmações abaixo é verdadeira? 37. (FGV-SP) Sabendo-se que: = 16 , Então o
2 0 x 3
a) Apresenta apenas raízes negativas. 0 0 0 2
2
valor de x é:
b) Apresenta apenas raízes inteiras.
c) Uma raiz é nula e a outra é negativa. a) 16.
d) As raízes são 0 e 5/2. b) 4.
e) Todo k real satisfaz esta equação. c) 0.
d) 1.
e) 64.
Matemática 17

18. PREVEST
 x − y + 2z = 2 2 x + 2 y = b
 42. (FGV-SP) Se o sistema  é indeterminado, o
38. (OSEC-SP) O sistema linear 2 x + 3y + 4z = 9 : 2x + ay = 6
 x + 4 y + 2z = 7 produto a.b vale:

a) Admite solução única. a) 12.
b) Admite infinitas soluções. b) 24.
c) Admite apenas duas soluções. c) 18.
d) Não admite solução. d) 6.
e) Admite apenas três soluções. e) 36.
ax + y − z = 0  x − 2z = 0
 
39. (CESGRANRIO-RJ) O sistema x − ay + z = 1 tem uma 43. (PUC-RS) Para que o sistema 2my + 3z = 0 tenha
x + y = b mx + 2 y + z = 0
 
infinidade de soluções. Então, sobre os valores dos solução não-trivial , é necessário que o valor de m seja:
parâmetros a e b, podemos concluir que:
a) m ≠ 0.
a) a = 1, b ∈ IR . b) m = 3/4.
b) a = 1, b ≠ 0. c) m ≠ 0 e m ≠ 3/4.
c) a = 1, b = 1. d) m = -3/2 ou m = 1.
d) a = 0, b = 1. e) m = 5 ou m = 7.
e) a = 0, b = 0.
ax + 5 y = 5
44. (EFO-MG) O sistema de equações  terá uma
x + 2 y = 4 bx + y = 0

40. (FGV-SP) O sistema linear x − y = 1 será impossível única solução se:
3x − 2 y = m
 a) a = 5b.
se:
b) a + 5b = 0.
a) m ≠ 1. c) a – 5b ≠ 0.
b) m ≠ 2. d) 5ab = 0.
c) m ≠ 3. e) 5ab ≠ 0.
d) m ≠ 4.
e) m ≠ 5.
x − y = 3

45. (FEI-SP) Sendo (x, y, z) a solução do sistema x + z = 4 ,
 y + 4z = 10
2 x + 3y − z = 0 
 então x ⋅ y ⋅ z vale:
41. (FGV-SP) O sistema x + 2 y + 4z = 0 é:
x − 14z = 0
 a) –5.
a) Determinado.
b) 8.
b) Impossível.
c) –6.
c) Determinado e admite como solução (1, 1, 1).
d) –10.
d) Indeterminado.
e) 5.
e) Impossível.
Matemática 18

19. PREVEST
46. (CESCEA-SP) Os valores de m para os quais o sistema (a + 1) x + y = 0
50. (CESGRANRIO-RJ) O sistema  admite
x − y + z = 0
 x + ay = 2
2 x − 3y + 2z = 0 admita somente a solução (0, 0, 0), são: solução (x, y) com y = 0. O valor de a é:
4 x + 3y + mz = 0

a) –4.
a) m > 0. b) –3.
b) m < 5. c) –2.
c) m ≠ 8. d) –1.
d) m > -2. e) 0.
e) m ≠ 4.
 y = mx + 3
47. (CESGRANRIO-RJ) Se o sistema  tem
 y = (2m − 1) x + 4
apenas uma solução do tipo (x, y), então o parâmetro m
satisfaz a condição:
a) m ≠ 1.
b) m ≠ 0.
c) m ≠ 2.
d) m ≠ -1.
e) m ≠ 1/2.
48. (UFRS) O sistema de equações lineares:
(a − 1) x + y + 2z + t = 0

(a + 2) y − z + 3t = 0
 é indeterminado se, e somente se:
z − 2 t = 0
− t = 0

a) a = 1 ou a = -2.
b) a ≠ 1 ou a ≠ -2.
c) a = 1.
d) a = -1 ou a = 2.
e) a ≠ -1 ou a ≠ 2.
1 5   x x
49. (FUVEST-SP) A equação matricial   2 − 1 ⋅  y  = a ⋅  y 
    
     
admite mais de uma solução se, e somente se, a for igual a: GABARITO (VESTIBULARES DO BRASIL)
01. A 02. A 03. C 04. E 05. C
a) 0. 06. B 07. E 08. C 09. D 10. E
b) ± 3. 11. D 12. C 13. C 14. C 15. D
16. B 17. B 18. D 19. B 20. C
c) ±3 . 21. D 22. C 23. C 24. A 25. D
d) ± 6. 26. A 27. C 28. A 29. A 30. E
31. D 32. A 33. B 34. D 35. A
e) ± 11 . 36. E 37. B 38. B 39. D 40. D
41. D 42. D 43. D 44. C 45. C
46. E 47. A 48. A 49. E 50. D
Matemática 19