Análisis de redes comercio mediante procesos de consenso

Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones
Análisis de redes de comercio mediante procesos
de consenso
Miguel Rebollo
Dirigida por: Javier Galeano y Rosa M. Benito
Trabajo Final de Máster
Máster en Física de Stmas. Complejos
Univ. Politécnica de Madrid
Septiembre, 2013
@mrebollo MFSC. UPM
Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso

Contenidos
1 Introducción
2 Procesos de consenso en redes
3 Consenso en redes dinámicas
4 Caso de estudio: Comtrade
5 Conclusiones
@mrebollo MFSC. UPM

Consenso
¿qué es el consenso?
@mrebollo MFSC. UPM

Consenso
¿para qué sirve?
@mrebollo MFSC. UPM

Algoritmo de consenso
1.
cada nodo tiene un valor inicial
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x1 = 0.4
@mrebollo MFSC. UPM

2.
pasa su valor a sus vecinos
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x1 = 0.4
x1 = 0.4
x1 = 0.4
@mrebollo MFSC. UPM

3.
recibe los valores de los vecinos
1 2
3 4
x1 = 0.4 x2 = 0.2
x3 = 0.3 x4 = 0.9
x2 = 0.2
x4 = 0.9
x3 = 0.3
@mrebollo MFSC. UPM

4.
calcula el nuevo valor con
x(t+1) = x(t)+ε
j∈Ni
[xj(t) − xi (t)]
< m«ıni
1
di
1 2
3 4
x1 = 0.45 x2 = 0.425
x3 = 0.325 x4 = 0.6
x1 = 0.4
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Proceso de consenso
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x = 0.45
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Cálculo de valores agregados. Push-Sum
Limitación del algoritmo de consenso: no funciona para valores
agregados
hay una familia de algoritmos (gossip) que lo hace
el proceso de convergencia es más lento
suelen introducir un elemento aleatorio
Eliminar aletoriedad + fórmula matricial + combinación con
consenso
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Algoritmo Push-Sum
1 Sean {(ˆsr , ˆwr )} todos los pares enviados a i en el paso t − 1
2 si (t) ← r ˆsr
3 wi (t) ← r ˆwr
4 se escoge un destino fi (t) al azar de manera uniforme
5 se envía el par 1
2 si (t), 1
2 wi (t) a fi (t) y a i (sí mismo)
6
si (t)
wi (t) es el valor estimado para el paso t
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Eliminar componente aleatorio de Push-Sum
Repartir el valor de un nodo entre TODOS los vecinos
si (t + 1) =
si (t)
di + 1
+
j∈Ni
sj(t)
dj + 1
La velocidad de convergencia es equivalente al modelo original
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Formulación matricial
La fórmula de Push-Sum es equivalente a
G = (I + A)(I + D)−1
Con lo que puede calcularse como
s(t + 1) = Gs(t)
w(t + 1) = Gw(t)
Que converge a
l«ım
t→∞
s(t)
w(t)
= i s(0)
N
, l«ım
t→∞
s(t)
w(t)
=
i
s(0)
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Consenso usando Push-Sum
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
iter
x
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Combinación Push-Sum + consenso. PageRank
Supongamos que queremos usar el valor de PageRank como peso
PRi =
1 − d
N
+ d
j∈Mi
PRj
Li
Problema: N es el tamaño de la red ¿cómo se obtiene?
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Combinación Push-Sum + consenso. PageRank
Algoritmo
s = 1, w = 0, w1 = 1
repetir
s = Gs, w = Gw
hasta que N = s/w converge
PRi = 1/N
repetir
PRi = 1−d
N + d j∈Mi
PRj
Li
hasta que PR se estabiliza
repetir
xi = xi + ε
PRi j∈Ni
(xj − xi )
hasta que x converge
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Problemática con el consenso
El proceso de consenso asume que la red permanece invariable
mientras se completa
cambios en los valores de los nodos
cambios en los pesos
inserción/borrado de nodos
valor global del factor de aprendizaje ε
cambios en ε por cambios estructurales
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Idea central
Conservación de la suma
s =
i
xi (0) =
i
xi (t) ∀t
los cambios dinámicos alteran la suma
buscamos correcciones locales a esas desviaciones
expresión como matrices de transformación
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Cambio en el valor inicial
Es el caso más simple
xi (0) pasa a zi (0)
zi (t) = xi (t) + (zi (0) − xi (0))
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Cambio en los pesos
El consenso pesado sigue la fórmula
xi (t + 1) = xi (t) +
ε
wi j∈Ni
[xj(t) − xi (t)], ε < m«ın
wi
di
No se puede anular la inﬂuencia de i en sus vecinos con el peso
anterior wi
zi (t) = xi (t) +
(vi − wi ) [xi (0) − xi (t)]
vi
O su expresión matricial
Tw = (v − w)(x0
− x)v−1
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Inserción y borrado de nodos
La inserción es trivial: basta con añadir el nuevo nodo y comenzará
a actualizarse
Problema
En el modelo matricial, afecta a la matriz de adyacencia, luego la L
y P también se ven afectadas
Borrado: Para que se conserve la suma hay que devolver a la red el
excedente
xi (0) +
j∈Ni
xi (t) − xi (0)
di
o de forma matricial
Td =
xi (t) − xi (0)
di
Ai
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Cambio en el factor de aprendizaje
Estimación inicial
Problema
El algoritmo de consenso asume la existencia de un ε global
Puede resolverse haciendo previamente un consenso por mínimos
εi (t + 1) = m«ın εi (t), m«ın
j∈Ni
εj(t)
O en su expresión matricial
E = diag m«ın
j
E(I + A)
como fase previa al consenso
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Corrección por cambios
¿Qué ocurre si cambios estructurales o de peso de los nodos hacen
que ε no sea válido?
El algoritmo no converge
Es un problema crítico
si no se corrigen las desviaciones anteriores converge a un
valor distinto a la media
si no se corrige el cambio en ε el algoritmo no acaba nunca
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Corrección por cambios
Solución semejante a la usada en los pesos
xi (t + 1) = xi (t) +
1
wi j∈Ni
ε[xj(t) − xi (t)]
xi (t + 1) = xi (t) + ε
j∈Ni
1
wi (t)
[xj(t) − xi (t)]
Lo que nos lleva a corregirlo como
z(t) = x(t) +
1
ei
− 1
εi
[xi (0) − xi (t)]
1
ei
O con mla expresión matricial
Te = (I − DE D−1
E )(x0
− x)
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Cálculo de volumen de exportaciones
¿Que hay en Comtrade?
Información sobre transacciones comerciales entre países,
desglosadas por tipos de productos.
desde 2010 incluye información mensual
datos: exportación de vino entre 2010 y 2012
Objetivo
Usar consenso para poder obtener la misma información de forma
descentralizada
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Características de la red
287 países
5.582 transacciones (enlaces)
4.519 transacciones útiles
densidad de enlaces del 5,58 %
grado medio 15,74
grado máximo 202
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Características de la red
0 50 100 150 200 250
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Partner
Reporter
Wine Trade Export 2010−2012
5
10
15
20
25
30
35
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Cálculo del valor medio
0 20 40 60 80 100
0
500
1000
1500
2000
2500
Consenso sobre el precio (100 iteraciones)
0 200 400 600 800 1000
0
500
1000
1500
2000
2500
iter
precio
Consenso sobre el precio (1000 iteraciones)
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Cálculo del valor medio ponderado
0 20 40 60 80 100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Consenso sobre el precio pesado (100 iteraciones)
0 200 400 600 800 1000
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
iter
precio
Consenso sobre el precio pesado (1000 iteraciones)
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Consenso incremental con corrección
0 20 40 60 80 100 120
0
1
2
3
4
5
x 10
6
precio
iter
Exportaciones 2010−01 a 2010−02
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Consenso sobre los datos globales
0 10 20 30 40 50 60
0
1
2
3
4
5
x 10
6
precio
iter
Exportaciones 2010−01 a 2010−02
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Interrupción antes de estabilizarse
0 10 20 30 40 50 60
0
1
2
3
4
5
x 10
6 Exportaciones 2010−01 a 2010−02
iter
precio
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Conclusiones
formulación matricial de Push-Sum
combinación con consenso
corrección de desviaciones para redes dinámicas: cambios de
valores, pesos y estructura
ajuste del factor de aprendizaje ε
aplicación a Comtrade como caso de estudio
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Trabajos futuros
estudio teórico de la convergencia
extensión a redes dirigidas
extensión a modelos multivariable
aplicación en redes multiplex
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