1. Fungsi

2. Pengertian Fungsi
Relasi : aturan yang mengawankan/
mengkaitkan/ menugaskan 2 himpunan
Fungsi
Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari
A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap
elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
satu elemen di dalam B, artinya :
∀x1 , x2 ∈ A, jika x1 = x2 , maka f ( x1 ) = f ( x2 )
Untuk
setiap
MA 1114 Kalkulus I 2

3. Pengertian Fungsi
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f:A→B
yang artinya f memetakan A ke B.
A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut
codomain dari f.
Relasi di bawah ini merupakan fungsi
A B
a 1
i 2
i
u 3
e 4
o 5
MA 1114 Kalkulus I 3

4. Pengertian Fungsi
Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi :
a mempunyai
A 2 nilai B
Tidak
ada a 1
kaitan
dgn i 2
anggota
u 3
B
e 4
o 5
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut
jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah
dari f adalah himpunan bagian dari B.
MA 1114 Kalkulus I 4

5. Pengertian Fungsi
Jelajah : { y f ( x ) = y, x ∈ A} ⊆ B
Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan Rf
Contoh :
1. Carilah domain dan range dari fungsi :
1
f ( x) =
4x + 3
Jawab :
a. Mencari domain
MA 1114 Kalkulus I 5

6. Pengertian Fungsi
syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
3
4x + 3 ≠ 0 x≠−
4
Sehingga D f =  − ∞,−  ∪  − , ∞  atau ℜ − − 3 
3 3
     
 4  4   4
b. Mencari Range
1 y ( 4 x + 3) = 1
y= ,4 x + 3 ≠ 0
4x + 3
R f = ℜ − { 0} atau R f = ( − ∞,0 ) ∪ ( 0, ∞ )
MA 1114 Kalkulus I 6

7. Contoh
2. Carilah domain dan range dari fungsi :
x+2
f ( x) =
3x + 1
a. Mencari domain
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
3x + 1 ≠ 0
1
x≠−
3
 1  1   1
Sehingga D f =  − ∞,−  ∪  − , ∞  = ℜ − − 
 3  3   3
MA 1114 Kalkulus I 7

8. Contoh
b. Range
x+2 Syarat fungsi tersebut terdefinisi,
f ( x) = y = 3y −1 ≠ 0
3x + 1 1
3 xy + y = x + 2 y≠
3
3 xy − x = 2 − y Jadi
x( 3 y − 1) = 2 − y  1 1 
R f =  − ∞,  ∪  , ∞ 
2− y  3 3 
x=
3y −1 1 
Atau ℜ −  
3 
MA 1114 Kalkulus I 8

9. Contoh
3. Carilah domain dan range dari fungsi :
f ( x) = − x2 − 5x − 6
a. Mencari domain
Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
− x2 − 5x − 6 ≥ 0
++ -- ++
⇔ x2 + 5x + 6 ≤ 0
⇔ ( x + 2 )( x + 3) ≤ 0 -3 -2
TP = -2, -3 Jadi D f = [ − 3,−2]
MA 1114 Kalkulus I 9

10. Contoh
b. Mencari Range ⇔ (1 + 2 y )(1 − 2 y ) ≥ 0
1 1
f ( x) = y = − x2 − 5x − 6 TP = − ,
2 2
y 2 = − x2 − 5x − 6
-- ++ --
⇔ x 2 + 5 x + ( y 2 + 6) = 0 −1 1
2 2
Agar x ∈ ℜ , maka D ≥ 0
 1 1
Jadi, R f = − ,  ∩ [ 0, ∞ )
(
⇔ 25 − 4.1 y 2 + 6 ≥ 0)  2 2
⇔ 25 − 4 y 2 − 24 ≥ 0 Karena
⇔ 1− 4 y2 ≥ 0  1 y≥0
= 0, 
 2
MA 1114 Kalkulus I 10

11. Soal Latihan
Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini
1 f ( x) = 3 + 2 − 4x 6 f ( x ) = x ( x + 2)
x ( x − 3) f ( x) = 3 − x − 2
2 f ( x) =
7
x −1
1 8. f ( x) = x 2 − 5x + 6
3 f ( x ) = 3x − +2
x 9. f ( x) = 3 + x − 4
4 f ( x) = x 2 − 5x + 6
f ( x) = 4 − x 10. f ( x) = 3 + 4 − x 2
5
MA 1114 Kalkulus I 11

12. Macam-macam Fungsi
Macam-macam fungsi :
1. Fungsi polinom
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
-Fungsi konstan,
f ( x ) = a0
-Fungsi linier,
f ( x ) = a0 + a1 x
-Fungsi kuadrat,
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2
MA 1114 Kalkulus I 12

13. Macam-macam Fungsi
2. Fungsi Rasional
Bentuk umum :
p( x )
p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0
q( x )
contoh :
f ( x) =
( x + 1) 2
x3 + x 2 + 1
3. Fungsi harga/nilai mutlak
Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :
f ( x) = 3 x −1 + 2 x − 2
MA 1114 Kalkulus I 13

14. Macam-macam Fungsi
4. Fungsi bilangan bulat terbesar/ floor
 x = Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x
 x = n ⇔ n ≤ x < n + 1
 5 = 5  − 1,2 = −2
 3,2 = 3
5. Fungsi Genap
Disebut fungsi genap jika f ( − x ) = f ( x ) dan grafiknya simetris
terhadap sumbu y
MA 1114 Kalkulus I 14

15. Macam-macam Fungsi
Contoh :
f ( x) = x2
f ( x) = x
f ( x ) = cos( x )
6. Fungsi Ganjil
Disebut fungsi ganjil jika f ( − x ) = − f ( x ) dan grafiknya
simetris terhadap titik asal, contoh :
f ( x ) = sin ( x )
f ( x ) = x3
MA 1114 Kalkulus I 15

16. Macam-macam Fungsi
7. Fungsi Komposisi
Diberikan fungsi f ( x ) dan g ( x ) , komposisi fungsi antara
f ( x ) dan g ( x ) ditulis ( f  g )( x ) = f ( g ( x ) ) Domain dari
( f  g )( x ) adalah himpunan semua bilangan x dengan domain
g ( x ) sehingga g ( x ) di dalam D f
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus
terpenuhi R g ∩ D f ≠ φ
MA 1114 Kalkulus I 16

17. Fungsi Komposisi
Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :
MA 1114 Kalkulus I 17

18. Fungsi Komposisi
Dengan cara yang sama, ( g  f )( x ) = g ( f ( x ) )
Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus
terpenuhi R f ∩ Dg ≠ φ
Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :
{
D f  g = x ∈ Dg g ( x ) ∈ D f }
Dg  f = {x ∈ D f f ( x) ∈ D }
g
Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi
{
Rg  f = g ( t ) ∈ Rg t ∈ R f } {
atau R g  f = y ∈ R g y = g ( t ) , t ∈ R f }
R f g = { f (t) ∈ R f t∈R }
g
atau R f  g = {y ∈ R f y = f ( t ), t ∈ R }
g
MA 1114 Kalkulus I 18

19. Fungsi Komposisi
Sifat-sifat fungsi komposisi :
( f  g )( x ) ≠ ( g  f )( x )
( ( f  g )  h )( x ) = ( f  ( g  h ) )( x )
Contoh :
1. Jika diketahui f ( x ) = x g ( x ) = 1 − x 2 Tentukan
g f dan f  g beserta domain dan range-nya!
D f = [ 0, ∞ ) Dg = ℜ
R f = [ 0, ∞ ) R g = ( − ∞,1]
MA 1114 Kalkulus I 19

20. Contoh
Karena R f ∩ D g = [ 0, ∞ ) ≠ φ , maka fungsi g  f
terdefinisi
( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( )
x =1− x
a. Mencari Domain g  f
{
Dg  f = x ∈ D f f ( x ) ∈ Dg }
{
= x ∈ [ 0, ∞ ) x ∈ ℜ }
{
= x ≥ 0−∞ < x < ∞ }
MA 1114 Kalkulus I 20

21. Contoh
{
= x≥0 x ≥0 }
= { x ≥ 0 x ≥ 0}
= x ∈ [ 0, ∞ ) ∩ [ 0, ∞ )
= x ∈ [ 0, ∞ )
b. Mencari Range g  f
{
Rg  f = y ∈ Rg y = g ( t ), t ∈ R f }
Rg  f = { y ∈ ( − ∞,1] y = 1 − t , t ∈ [ 0, ∞ ) }
2
Jadi R g f = y ∈ ( − ∞,1] ∩ ( − ∞,1]
= y ∈ ( − ∞,1]
MA 1114 Kalkulus I 21

22. Contoh
Karena R g ∩ D f = ( − ∞,1] ∩ [ 0, ∞ ) = [ 0,1] ≠ φ , maka fungsi
f  g terdefinisi dengan
( f  g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f (1 − x 2 ) = 1− x2
c.Domain f  g
{
D f  g = x ∈ Dg g ( x ) ∈ D f }
{
= x ∈ ℜ 1 − x 2 ∈ [ 0, ∞ ) }
= {x ∈ ℜ1 − x 2
≥0}
= { x ∈ ℜ − 1 ≤ x ≤ 1}
= ℜ ∩ [ − 1,1]
= [ − 1,1] MA 1114 Kalkulus I 22

23. Contoh
d. Range f  g
{
R f g = y ∈ R f y = f ( t ), t ∈ Rg }
{
= y ∈ [ 0, ∞ ) y = t , t ∈ ( − ∞,1] }
= {y ≥ 0 y = t ,0 ≤ t ≤ 1}
= { y ≥ 0 0 ≤ y ≤ 1}
= [ 0, ∞ ) ∩ [ 0,1]
= [ 0,1]
MA 1114 Kalkulus I 23

24. Contoh
2. Jika diketahui fungsi
f ( x) = x x g( x) = x − 1
Df = ℜ Rf = ℜ Rg = ℜ Dg = ℜ
Tentukan g  f beserta domain dan range-nya!
R f ∩ D g = ℜ ∩ ℜ = ℜ ≠ φ , sehingga g  f terdefinisi
a. Domain g  f
{
Dg  f = x ∈ D f f ( x ) ∈ Dg }
= {x ∈ ℜ x x ∈ℜ }
= ℜ∩ℜ =ℜ
MA 1114 Kalkulus I 24

25. Contoh
b. Range g  f
{
Rg  f = y ∈ Rg y = g ( t ), t ∈ R f }
= { y ∈ ℜ y = t − 1, t ∈ ℜ}
= ℜ∩ℜ = ℜ
MA 1114 Kalkulus I 25

26. Soal Latihan
Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari
f o g dan domain dari f o g.
1 f ( x) = 4 − x g ( x) = x
1
2 f ( x) = 3 + 2 − 4x g ( x ) = 3x − + 2
x
x ( x − 3)
3 f ( x) = g ( x) = x 2 − 5x + 6
x −1
4 f ( x ) = x ( x + 2) g ( x) = 3 − x − 2
5 f ( x) = x 2 − 5x + 6 g ( x) = 3 + x − 4
MA 1114 Kalkulus I 26

27. Grafik dari fungsi
1. Garis Lurus
y = mx + c
persamaan garis lurus yang melewati (0,c)
contoh :
y = x+3
3
-3
MA 1114 Kalkulus I 27

28. Garis Lurus
( y − y1 ) = m( x − x1 )
Persamaan garis lurus melalui ( x1 , y1 )
y − y1 x − x1
=
y 2 − y1 x 2 − x1
Persamaan garis lurus melalui ( x1 , y1 ) & ( x 2 , y 2 )
2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)
y = ax 2 + bx + c
Diskriminan → D = b 2 − 4ac
MA 1114 Kalkulus I 28

29. Grafik Fungsi Kuadrat
 b D
Titik puncak =  − ,− 
 2a 4a 
y
a >0
x
D>0 D=0 D<0
MA 1114 Kalkulus I 29

30. Grafik Fungsi Kuadrat
Contoh :
Gambarlah grafik fungsi y = x 2 + x + 1
a =1 jadi a > 0 → grafik menghadap ke atas
D = b 2 − 4ac
= 12 − 4
= -3 < 0 → tidak menyinggung sumbu x
MA 1114 Kalkulus I 30

31. Grafik Fungsi Kuadrat
 Titik potong dengan sumbu koordinat
 Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak
ada
 Titik potong dengan sumbu y
x=0→y=1
dengan demikian grafik melalui (0,1)
 b D
• Titik puncak =  − ,− 
 2a 4a 
 1 3
= − , 
 2 4
MA 1114 Kalkulus I 31

32. Grafik Fungsi Kuadrat
Gambar grafik fungsi
Untuk persamaan kuadrat
y = x + x +1
2
x = ay 2 + by + c
 D b 
Titik puncak =  − ,− 
 4a 2a 
1
b
Sumbu simetri = −
3
4
2a
-1 − 1
2
MA 1114 Kalkulus I 32

33. Grafik Fungsi Majemuk
3. Grafik Fungsi Majemuk
Contoh :
1. Gambarkan grafik fungsi f ( x) = x
 x ,x ≥ 0
x =
− x , x < 0
y=-x y=x
MA 1114 Kalkulus I 33

34. Grafik Fungsi Majemuk
2. Gambarkan grafik fungsi
 1 x≤2
f ( x) = 
x + 2 x > 2
y = x+2
Grafiknya terdiri dari 2
bagian, yaitu garis y = 1
y =1
untuk x ≤ 2 dan garis
y = x + 2 untuk x > 2 2
MA 1114 Kalkulus I 34

35. Grafik Fungsi Majemuk
3. Gambarkan grafik dari fungsi
x2 − 4
f ( x) =
x−2
f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga
domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2
Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut :
f ( x ) = ( x + 2)( x − 2)
( x − 2)
MA 1114 Kalkulus I 35

36. Grafik Fungsi Majemuk
atau f ( x ) = x + 2 , jika x ≠ 2
Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4.
Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis y = x + 2
kecuali titik (2,4).
y = x+2
4
2
MA 1114 Kalkulus I 36

37. Grafik Fungsi Majemuk
3. Gambarkan grafik dari fungsi
f ( x) = 1 − 3 x
Kita definisikan : 1
1 − 3x x≥0
1− 3 x = 
1 + 3x x<0
y = 1 + 3x y = 1 − 3x
− 13 1
3
MA 1114 Kalkulus I 37

38. Translasi
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai y = f ( x ) , h > 0 a>0
y = f ( x − a)
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
y = f ( x + a)
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
y = f ( x) + h
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh h ke atas
y = f ( x) − h
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh h ke bawah
MA 1114 Kalkulus I 38

39. Translasi
Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai x = f ( y ) , a > 0
x = f ( y − a)
→ grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke atas
x = f ( y + a)
→ grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
x = f ( y) + a
→ grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
x = f ( y) − a
→ grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
MA 1114 Kalkulus I 39

40. Contoh Translasi
1. Gambarkan grafik dari fungsi
f ( x) = x 2 − 4x + 5
( )
= x 2 − 4x + 4 − 4 + 5
y = x2 4
y = (x − 2)
2
= ( x − 2) + 1
2
y = ( x − 2)
2
2
→ y = x 2 digeser sejauh
2 ke kanan
MA 1114 Kalkulus I 40

41. Contoh Translasi
Kemudian y = ( x − 2 )
2
digeser sejauh 1 ke atas
maka akan terbentuk y = ( x − 2 ) + 1
2
y = (x − 2 ) + 1
2
4
y = (x − 2 )
2
2
MA 1114 Kalkulus I 41

42. Contoh Translasi
2. Gambarkan grafik fungsi f ( x ) = 1 − 3 x
Kita lihat dahulu grafik y = 3 x
3
:
y = −3 x y = 3x
MA 1114 Kalkulus I 42

43. Contoh Translasi
Grafik y = 1 − 3 x dapat
dipandang sebagai grafik
1
y = −3 x yang digeser
ke atas sejauh 1 satuan
y =1− 3 x
y = −3 x
MA 1114 Kalkulus I 43

44. Soal Latihan
Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini
1
1 f ( x) = 3 + 2 − 4x 3 f ( x ) = 3x − +2
x
x ( x − 3)
2 f ( x) = 4 f ( x) = x 2 − 5x + 6
x −1
,
5 Diketahui f ( x) = 4 − x g ( x) = x
Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari
f o g dan domain dari f o g.
Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini
6 f ( x ) = x ( x + 2) 7 f ( x) = 3 − x − 2
8. f ( x ) = x 2 − 5 x + 6 9. f ( x) = 3 + x − 4
MA 1114 Kalkulus I 44