Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Olasilik Tablolari
1. OLASILIK TABLOLARI
Musa SARİ
Karadeniz Teknik Üniversitesi - İstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü
2. Tabloları Yapılan Dağılımlar
Binom Dağılımı Poisson Dağılımı
Standart Normal Dağılım Ki-Kare Dağılımı
Student – 푡 Dağılımı
3. Binom Dağılımı
Bernoulli dağılımı: X rasgele değişkeni yalnızca 0 ve 1 değerlerini alsın. X ‘in olasılık
fonksiyonu:
푓 푥 = 푃 푋 = 푥 = 푝푥 1 − 푝 푥 , 푥 = 0,1 şeklindedir.
n kez tekrar eden Bernoulli denemesi Binom dağılımını oluşturur.
Binom dağılımı
Olasılık fonksiyonu;
푓 푥 = 푛
푥 푝 푥 푞 푛−푥 ; 푥 = 0,1, … 푛 ; 푝 + 푞 = 1
Burada,
n : yapılan deneme sayısı p : başarılı olma olasılığı
x : başarılı olan deneme sayısı q : başarısız olma olasılığı
6. Binom Tablosu
Örnek: Bir para 4 kez atılsın: a) 2 tura b) En az 1 kere tura gelmesi olasılıklarını
hesaplayalım.
a) 푋:4 atıştaki turaların sayısı,
푓 푥 = 푃 푋 = 푥 = 4
푥
1
2
푥 1
2
4−푥
푓 2 = 푃 푋 = 2 = 4
2
1
2
2 1
2
4−2
= 0.375
7. Binom Tablosu
b) En az 1 kere tura gelmesi olasılığı:
푃 푋 ≥ 1 = 1 − 푃 푋 = 0 = 1 − 4
0
1
2
0 1
2
4−0
= 1 − 0.0625 = 0.9375
8. Poisson Dağılımı
X rasgele değişkeni Poisson dağılımına sahip olsun. X in olasılık fonksiyonu;
푓 푥 =
푒−휆휆푥
푥!
, 푥 = 0,1,2, … , (휆 > 0) şeklindedir.
Sürekli uzayda kesikli veriler veren deneylere uygulanır.
Bir birim zaman ya da alanda bir sonucun(başarının) elde ediliş sayısı 푥 dir.
Bir birim zaman ya da alanda bir sonucun(başarının) ortalama elde ediliş sayısı 휆 dır.
11. Poisson Tablosu
Örnek: 200 sayfalık bir kitaba 200 yazım hatası rastgele dağıtılıyor. Rastgele seçilen bir
sayfada;
a) İki b) ikiden az yazım hatası bulunması olasılığı nedir?
a) 푋: bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı 휆 = 1
푃 푋 = 2 = 푓 2 =
푒−112
2!
=
푒−1
2
= 0.1839
12. Poisson Tablosu
b) ikiden az yazım hatası bulunması olasılığı nedir?
푋: bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı 휆 = 1
푃 푋 < 2 = 푓 0 + 푓 1 = 푒−1 +
푒−111
1!
= 0.7358
13. Normal Dağılım
Normal Dağılım: Sürekli bir X rasgele değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu:
푓 푥 =
1
휎 2휋
푒−
1
2
푥−휇
휎
2
, 푥, 휇 ∈ 푅 , 휎 > 0
Standartlaştırma: 푋~푁 휇, 휎2 için, 푍 ~푁 0,1
푍 =
푋−휇
휎
dönüşümü ile X rasgele değişkeni standartlaştırılır.
21. Standart Normal Tablosu
Örnek: Bir okuldaki erkek öğrencilerin ağırlıkları 68,50 kg ortalamalı ve 2,32 kg standart
sapmalı normal dağılıma sahiptir.
a) Bu okuldaki herhangi bir erkek öğrencinin 72 kg dan daha hafif olması olasılığı nedir?
b) Okulda erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70 kg ile 72 kg arasındadır?
Çözüm a):
푋: Okuldaki erkek öğrencilerin ağırlığı olsun.
O halde 푋~푁(휇 = 68.50, 휎 = 2.32) olur.
푃 푋 < 72 =?
22. Standart Normal Tablosu
푋 standartlaştırıldığında:
푧 =
72.0−68.5
2.3
= 1.52 elde edilir.
Böylece 푃 푋 < 72 = 푃 푍 < 1.52
푃 푍 < 1.52 = 0.9357
23. Standart Normal Tablosu
Çözüm b): Okulda erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70 kg ile 72 kg arasındadır?
푃 70 < 푋 < 72 =?
푧1 =
70.0−68.5
2.3
= 0.65 ve 푧2 =
72.0−68.5
2.3
= 1.52
Böylece:
푃 70 < 푋 < 72 = 푃 푧1 < 푍 < 1푧2
푃 0.65 < 푍 < 1.52 = 0.9357 − 0.7421
= 0.1935
24. Ki-Kare Dağılımı
푓 푥 =
1
2
푣
2 Γ
푣
2
푥
푣
2
−1 푒−
푥
2 , 푥 > 0 , 푣 = 0,1,2 …
푣: serbestlik derecesi
Serbestlik Derecesi : Bir örneklemdeki gözlem sayısına bağlı olarak değişkenlik
göstermede serbest olmayı ifade eder.
Bir örneklemdeki bağımsız gözlem sayısından parametre sayısının çıkarılmasıyla
bulunur.
28. Student – 푡 Dağılımı
Olasılık yoğunluk fonksiyonu:
푓 푡 =
푣+1
2
푣휋Γ
Γ
푣
2
1 +
푡2
푣
−
푣+1
2
, 푡 ∈ 푅 şeklindedir.
푡 -dağılımı veri modeli kurmak için normal dağılıma bir alternatif olarak kullanılır.
Genel olarak örneklem sayısının küçük olduğu ve kitlenin normal dağıldığının
varsayıldığı durumlarda kullanılır.
