Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.
OLASILIK TABLOLARI 
Musa SARİ 
Karadeniz Teknik Üniversitesi - İstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü
Tabloları Yapılan Dağılımlar 
 Binom Dağılımı  Poisson Dağılımı 
 Standart Normal Dağılım  Ki-Kare Dağılımı 
 Student...
Binom Dağılımı 
Bernoulli dağılımı: X rasgele değişkeni yalnızca 0 ve 1 değerlerini alsın. X ‘in olasılık 
fonksiyonu: 
푓 ...
Binom Dağılımı
Binom Tablosu 
Binom Tablosu için; 
푓 푥 = 푛 
푥 푝 푥 푞 푛−푥 ; 푥 = 0,1, … 푛 ; 푝 + 푞 = 1
Binom Tablosu 
Örnek: Bir para 4 kez atılsın: a) 2 tura b) En az 1 kere tura gelmesi olasılıklarını 
hesaplayalım. 
a) 푋:4...
Binom Tablosu 
b) En az 1 kere tura gelmesi olasılığı: 
푃 푋 ≥ 1 = 1 − 푃 푋 = 0 = 1 − 4 
0 
1 
2 
0 1 
2 
4−0 
= 1 − 0.0625 ...
Poisson Dağılımı 
X rasgele değişkeni Poisson dağılımına sahip olsun. X in olasılık fonksiyonu; 
푓 푥 = 
푒−휆휆푥 
푥! 
, 푥 = 0...
Poisson Dağılımı
Poisson Tablosu 
Poisson tablosu için: 
푓 푥 = 
푒−휆휆푥 
푥! 
, 푥 = 0,1,2, … , (휆 > 0)
Poisson Tablosu 
Örnek: 200 sayfalık bir kitaba 200 yazım hatası rastgele dağıtılıyor. Rastgele seçilen bir 
sayfada; 
a) ...
Poisson Tablosu 
b) ikiden az yazım hatası bulunması olasılığı nedir? 
푋: bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı 휆 = 1 
푃 ...
Normal Dağılım 
Normal Dağılım: Sürekli bir X rasgele değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu: 
푓 푥 = 
1 
휎 2휋 
푒− 
1 ...
Normal Dağılım
Standart Normal Dağılım 
푓 푥 = 
1 
2휋 
푥2 
2 , −∞ < 푥 < ∞ −∞ 
푒− 
∞ 1 
2휋 
푒− 
푥2 
2 dx = 1 
푏 1 
푃 푎 < 푋 < 푏 = 푎 
2휋 
푒− ...
푃 푎 < 푋 < 푏 = 
푏 
푎 
1 
2휋 
푒− 
푥2 
2 dx
Kullanılan Yöntem 
Trapez (yamuk) yöntemi: 
b 
f(a) 
f (b) 
a Taban 
f (x) 
x 
퐴푙푎푛 = 푏 − 푎 
푓 푏 + 푓 푎 
2
Trapez Yöntemi 
f2 
I1 h 
In 
fn-1 
x2....... xn-1 
f1 
I2 
f0 
fn 
x0 x1 xn 
푇표푝푙푎푚 푎푙푎푛 → 퐼 = 퐼1 + 퐼2 + … + 퐼푛 
퐼 = 
ℎ 
...
Trapez Yöntemi 
퐼2 
퐼1 
퐼3 퐼4 
푃 푧 < 1,64 = Σ퐼푖 = 퐼1 + 퐼2 + 퐼3 + 퐼4 + 0.5
Standart Normal Tablosu 
Standart normal tablosu için; 
푧 1 
f z = −∞ 
2휋 
푧 
2 dz 
푒−
Standart Normal Tablosu 
Örnek: Bir okuldaki erkek öğrencilerin ağırlıkları 68,50 kg ortalamalı ve 2,32 kg standart 
sapma...
Standart Normal Tablosu 
푋 standartlaştırıldığında: 
푧 = 
72.0−68.5 
2.3 
= 1.52 elde edilir. 
Böylece 푃 푋 < 72 = 푃 푍 < 1....
Standart Normal Tablosu 
Çözüm b): Okulda erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70 kg ile 72 kg arasındadır? 
푃 70 < 푋...
Ki-Kare Dağılımı 
푓 푥 = 
1 
2 
푣 
2 Γ 
푣 
2 
푥 
푣 
2 
−1 푒− 
푥 
2 , 푥 > 0 , 푣 = 0,1,2 … 
푣: serbestlik derecesi 
Serbestli...
Ki-Kare Dağılımı
Ki-Kare Dağılımı 
18.304 
푋2 = 18.304 
푣 = 10 
0.95 = 
0 
1 
푣 
2 Γ 
2 
푣 
2 
푥 
푣 
2 
푥 
2푑푥 
−1 푒−
Ki-kare Tablosu 
Ki-kare tablosu için; 
푥 1 
A푙푎푛 = 0 
2 
푣 
2 Γ 
푣 
2 
푥 
푣 
2 
−1 푒− 
푥 
2푑푥
Student – 푡 Dağılımı 
Olasılık yoğunluk fonksiyonu: 
푓 푡 = 
푣+1 
2 
푣휋Γ 
Γ 
푣 
2 
1 + 
푡2 
푣 
− 
푣+1 
2 
, 푡 ∈ 푅 şeklinded...
Student – 푡 Dağılımı
Student – 푡 Dağılımı
Student – 푡 Dağılımı 
푡0.95 = 1.812 
푣 = 10
Student – 푡 Tablosu 
Student - 푡 tablosu için; 
푡 Γ 
퐴푙푎푛 = −∞ 
푣+1 
2 
푣휋Γ 
푣 
2 
1 + 
푡2 
푣 
− 
푣+1 
2 
푑푡
Teşekkürler…
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

Olasilik Tablolari

1 659 vues

Publié le

Olasılık Tablolarının .Net ortamında oluşturulması

Publié dans : Sciences
  • Soyez le premier à commenter

Olasilik Tablolari

  1. 1. OLASILIK TABLOLARI Musa SARİ Karadeniz Teknik Üniversitesi - İstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü
  2. 2. Tabloları Yapılan Dağılımlar  Binom Dağılımı  Poisson Dağılımı  Standart Normal Dağılım  Ki-Kare Dağılımı  Student – 푡 Dağılımı
  3. 3. Binom Dağılımı Bernoulli dağılımı: X rasgele değişkeni yalnızca 0 ve 1 değerlerini alsın. X ‘in olasılık fonksiyonu: 푓 푥 = 푃 푋 = 푥 = 푝푥 1 − 푝 푥 , 푥 = 0,1 şeklindedir.  n kez tekrar eden Bernoulli denemesi Binom dağılımını oluşturur. Binom dağılımı Olasılık fonksiyonu; 푓 푥 = 푛 푥 푝 푥 푞 푛−푥 ; 푥 = 0,1, … 푛 ; 푝 + 푞 = 1 Burada, n : yapılan deneme sayısı p : başarılı olma olasılığı x : başarılı olan deneme sayısı q : başarısız olma olasılığı
  4. 4. Binom Dağılımı
  5. 5. Binom Tablosu Binom Tablosu için; 푓 푥 = 푛 푥 푝 푥 푞 푛−푥 ; 푥 = 0,1, … 푛 ; 푝 + 푞 = 1
  6. 6. Binom Tablosu Örnek: Bir para 4 kez atılsın: a) 2 tura b) En az 1 kere tura gelmesi olasılıklarını hesaplayalım. a) 푋:4 atıştaki turaların sayısı, 푓 푥 = 푃 푋 = 푥 = 4 푥 1 2 푥 1 2 4−푥 푓 2 = 푃 푋 = 2 = 4 2 1 2 2 1 2 4−2 = 0.375
  7. 7. Binom Tablosu b) En az 1 kere tura gelmesi olasılığı: 푃 푋 ≥ 1 = 1 − 푃 푋 = 0 = 1 − 4 0 1 2 0 1 2 4−0 = 1 − 0.0625 = 0.9375
  8. 8. Poisson Dağılımı X rasgele değişkeni Poisson dağılımına sahip olsun. X in olasılık fonksiyonu; 푓 푥 = 푒−휆휆푥 푥! , 푥 = 0,1,2, … , (휆 > 0) şeklindedir.  Sürekli uzayda kesikli veriler veren deneylere uygulanır.  Bir birim zaman ya da alanda bir sonucun(başarının) elde ediliş sayısı 푥 dir.  Bir birim zaman ya da alanda bir sonucun(başarının) ortalama elde ediliş sayısı 휆 dır.
  9. 9. Poisson Dağılımı
  10. 10. Poisson Tablosu Poisson tablosu için: 푓 푥 = 푒−휆휆푥 푥! , 푥 = 0,1,2, … , (휆 > 0)
  11. 11. Poisson Tablosu Örnek: 200 sayfalık bir kitaba 200 yazım hatası rastgele dağıtılıyor. Rastgele seçilen bir sayfada; a) İki b) ikiden az yazım hatası bulunması olasılığı nedir? a) 푋: bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı 휆 = 1 푃 푋 = 2 = 푓 2 = 푒−112 2! = 푒−1 2 = 0.1839
  12. 12. Poisson Tablosu b) ikiden az yazım hatası bulunması olasılığı nedir? 푋: bir sayfadaki yazım hatalarının sayısı 휆 = 1 푃 푋 < 2 = 푓 0 + 푓 1 = 푒−1 + 푒−111 1! = 0.7358
  13. 13. Normal Dağılım Normal Dağılım: Sürekli bir X rasgele değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu: 푓 푥 = 1 휎 2휋 푒− 1 2 푥−휇 휎 2 , 푥, 휇 ∈ 푅 , 휎 > 0 Standartlaştırma: 푋~푁 휇, 휎2 için, 푍 ~푁 0,1 푍 = 푋−휇 휎 dönüşümü ile X rasgele değişkeni standartlaştırılır.
  14. 14. Normal Dağılım
  15. 15. Standart Normal Dağılım 푓 푥 = 1 2휋 푥2 2 , −∞ < 푥 < ∞ −∞ 푒− ∞ 1 2휋 푒− 푥2 2 dx = 1 푏 1 푃 푎 < 푋 < 푏 = 푎 2휋 푒− 푥2 2 dx , {푎, 푏 푠푎푏푖푡}
  16. 16. 푃 푎 < 푋 < 푏 = 푏 푎 1 2휋 푒− 푥2 2 dx
  17. 17. Kullanılan Yöntem Trapez (yamuk) yöntemi: b f(a) f (b) a Taban f (x) x 퐴푙푎푛 = 푏 − 푎 푓 푏 + 푓 푎 2
  18. 18. Trapez Yöntemi f2 I1 h In fn-1 x2....... xn-1 f1 I2 f0 fn x0 x1 xn 푇표푝푙푎푚 푎푙푎푛 → 퐼 = 퐼1 + 퐼2 + … + 퐼푛 퐼 = ℎ 2 푓1 + 푓2 + … + 푓푛−2 + 푓푛−1 + 푓푛
  19. 19. Trapez Yöntemi 퐼2 퐼1 퐼3 퐼4 푃 푧 < 1,64 = Σ퐼푖 = 퐼1 + 퐼2 + 퐼3 + 퐼4 + 0.5
  20. 20. Standart Normal Tablosu Standart normal tablosu için; 푧 1 f z = −∞ 2휋 푧 2 dz 푒−
  21. 21. Standart Normal Tablosu Örnek: Bir okuldaki erkek öğrencilerin ağırlıkları 68,50 kg ortalamalı ve 2,32 kg standart sapmalı normal dağılıma sahiptir. a) Bu okuldaki herhangi bir erkek öğrencinin 72 kg dan daha hafif olması olasılığı nedir? b) Okulda erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70 kg ile 72 kg arasındadır? Çözüm a): 푋: Okuldaki erkek öğrencilerin ağırlığı olsun. O halde 푋~푁(휇 = 68.50, 휎 = 2.32) olur. 푃 푋 < 72 =?
  22. 22. Standart Normal Tablosu 푋 standartlaştırıldığında: 푧 = 72.0−68.5 2.3 = 1.52 elde edilir. Böylece 푃 푋 < 72 = 푃 푍 < 1.52 푃 푍 < 1.52 = 0.9357
  23. 23. Standart Normal Tablosu Çözüm b): Okulda erkek öğrencilerin yüzde kaçının ağırlığı 70 kg ile 72 kg arasındadır? 푃 70 < 푋 < 72 =? 푧1 = 70.0−68.5 2.3 = 0.65 ve 푧2 = 72.0−68.5 2.3 = 1.52 Böylece: 푃 70 < 푋 < 72 = 푃 푧1 < 푍 < 1푧2 푃 0.65 < 푍 < 1.52 = 0.9357 − 0.7421 = 0.1935
  24. 24. Ki-Kare Dağılımı 푓 푥 = 1 2 푣 2 Γ 푣 2 푥 푣 2 −1 푒− 푥 2 , 푥 > 0 , 푣 = 0,1,2 … 푣: serbestlik derecesi Serbestlik Derecesi : Bir örneklemdeki gözlem sayısına bağlı olarak değişkenlik göstermede serbest olmayı ifade eder.  Bir örneklemdeki bağımsız gözlem sayısından parametre sayısının çıkarılmasıyla bulunur.
  25. 25. Ki-Kare Dağılımı
  26. 26. Ki-Kare Dağılımı 18.304 푋2 = 18.304 푣 = 10 0.95 = 0 1 푣 2 Γ 2 푣 2 푥 푣 2 푥 2푑푥 −1 푒−
  27. 27. Ki-kare Tablosu Ki-kare tablosu için; 푥 1 A푙푎푛 = 0 2 푣 2 Γ 푣 2 푥 푣 2 −1 푒− 푥 2푑푥
  28. 28. Student – 푡 Dağılımı Olasılık yoğunluk fonksiyonu: 푓 푡 = 푣+1 2 푣휋Γ Γ 푣 2 1 + 푡2 푣 − 푣+1 2 , 푡 ∈ 푅 şeklindedir.  푡 -dağılımı veri modeli kurmak için normal dağılıma bir alternatif olarak kullanılır.  Genel olarak örneklem sayısının küçük olduğu ve kitlenin normal dağıldığının varsayıldığı durumlarda kullanılır.
  29. 29. Student – 푡 Dağılımı
  30. 30. Student – 푡 Dağılımı
  31. 31. Student – 푡 Dağılımı 푡0.95 = 1.812 푣 = 10
  32. 32. Student – 푡 Tablosu Student - 푡 tablosu için; 푡 Γ 퐴푙푎푛 = −∞ 푣+1 2 푣휋Γ 푣 2 1 + 푡2 푣 − 푣+1 2 푑푡
  33. 33. Teşekkürler…

×