凸角形全体の位相の性質

1. 平面内の凸多角形全体の集合をXとし,A,B∈Xに対しd(A,B)=m(A∪B−A∩B)と定義 する.た
だし m は面積である.
(1) d は X 上の距離関数になることを示せ.
X に距離 d による位相を与える.
(2) 各 A ∈ X に対して面積 m(A) を与える関数 m : X → R は X 上の連続関数であること
を示せ. (3) A ∈ X のとき ∆(A) = {E | E ∈ X, E ⊂ A} はコンパクトでないことを示せ.

2. 平面内の凸多角形全体の集合をXとし,A,B∈Xに対しd(A,B)=m(A∪B−A∩B)と定義 する.ただし m は面
積である.
(1) d は X 上の距離関数になることを示せ.
証明
d(A,B)=0ならばA∪B=A∩BよりA=B
d(A,B)≧0はmが面積であるからmは常に正である。
d(A,B)＋d(B,C)≧d(A,C)はA∪B−A∩B ∪ B∪C−B∩C= A∪B∪C−A∩B∩C ⊇ A∪C−A∩Cからわかる。
X に距離 d による位相を与える.
(2) 各 A ∈ X に対して面積 m(A) を与える関数 m : X → R は X 上の連続関数であることを示せ.
証明
|m(A)-m(B)|=|m(A-B)+m(A∩B)|-|m(B-A)+m(A∩B)|=|m(A-B)-m(B-A)|≦|m(A-B)+m(B-A)|=m((A-B)U(B-A)=
m(A∪B−A∩B)=d(A,B) よってリプシッツ性から連続となる。
(3) A ∈ X のとき ∆(A) = {E | E ∈ X, E ⊂ A} ⊂P(A)=A^Aはコンパクトでないことを示せ.
𝐵 1−
1
𝑛
𝑚 𝐴
(A)=X上の半径 1 −
1
𝑛
𝑚 𝐴 のボール近傍とすると、 ∆(A)⊂Un 𝐵 1−
1
𝑛
𝑚 𝐴
(A)とする。
有限個の近傍n1<n2<,,,<nmで被覆が取れたとすると、あるE∈∆(A)が存在してm(E)< 1 −
1
𝑛𝑚
𝑚 𝐴 とす
ると 1 −
1
𝑛
𝑚 𝐴 <d(A,E) となり被覆していたことに矛盾する。