tugas ekonomi

1. BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
Oleh: Asep Yana Komarudin,M.Pd (SMAN 1 Kota Sukabumi)
A. Pendahuluan
Modul ini terbagi atas tiga kegiatan belajar. Kegiatan belajar I, membahas tentang
bentuk pangkat bilangan negatif. Pada kegiatan belajar II akan dipelajari tentang bentuk
akar dan pangkat pecahan, hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan,hubungan bentuk
akar dan pangkat pecahan beserta sifat-sifatnya, menyederhanakan bentuk akar, operasi
aljabar pada bentuk akar dan merasionalkan penyebut. Pada kegiatan belajar III
membahas tentang logaritma, pengertian logaritma dan sifat-sifat logaritma. Dalam
mempelajari modul ini siapkan buku penunjang:
a. Osdirwan Osman, Drs.,M.Si. 2007. Matematika SMA 1A,cetakan pertama.Penerbit Arya
Duta.
b. Tim penyusun. 2005. Matematika untuk SMA 1A, Penerbit IntanPariwara.
B. Pokok Bahasan
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma.
C. Standar Kompetensi
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.
D. Kompetensi Dasar
1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma
2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan
logaritma.
E. Waktu
Untuk mempelajari modul ini diperlukan waktu 18 x 45”.
F. Jumlah Kegiatan

2. Modul ini berisi tiga pokok kegiatan belajar yaitu kegiatan belajar I, kegiatan belajar II
dan kegiatan belajar III .
G. Petunjuk Belajar
1. Siapkan buku penunjang seperti disebut di atas.
2. Pelajari dengan seksama modul ini bila perlu siapkan alat tulis untuk membuat catatan
tersendiri (bila diperlukan).
3. Bila anda telah menguasai modul ini dengan baik, kerjakan latihan beserta tugasnya.
4. Jika anada menemukan kesulitan dalam mempelajari modul ini, tanyakan pada teman
dan diskusikan atau tanyakan pada Bapak/Ibu guru.
H. Indikator Pencapaian hasil belajar
1. Siswa dapat mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.
2. Siswa dapat mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.
3. Siswa dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, dan akar.
4. Siswa dapat merasionalkan bentuk akar.
5. Siswa dapat mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya.
6. Siswa dapat melakukan operasi aljabar dalam bentuk logaritma.
7. Siswa dapat menentukan syarat perpangkatan, penarikan akar dan logaritma
8. Siswa dapat membuktikan sifat-sifat sederhana tentang bentuk pangkat, akar, dan
logaritma.
KEGIATAN BELAJAR I
PANGKAT BILANGAN NEGATIF

3. Kalian telah mengenal arti pangkat bulat positif pada suatu bilangan real. Selanjutnya
akan diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat, yaitu pangkat positif, pangkat
nol, dan pangkat negatif.
Bagaimana arti pangkat bulat positif ?
Jika a € R dan n € bilangan bulat positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis an
yaitu:
An
= a x a x a x ....x a, n buah faktor
A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat eksponen. Untuk n = 1, maka
a1
= a
Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n € A dan a € R, maka:
a. am
x an
= a m+n
b. am
: an
= am-n
, m>n
c. (am
)n
= amxn
d. (a x b)n
= an
x bn
e. (a : b)n
= an
: bn
Pembuktian Sifat-sifat bilangan pangkat positif
No. Sifat-sifat Bukti Contoh
1. am
x an
= a m+n
am
x an
= (a x a x a x…x a) x (a x a x a
x…x a)
m faktor n
factor
= a x a x a x a x a ……x a
(m + n) faktor
= am+n
a. 23
x 25
= 23+5
=28
b. a4
x a5
= a4+5
= a9
c. (2x + 3)2
(2x + 3)3
= (2x + 3)2+3
= (2x + 3)5
2. am
: an
= am-n
,
m>n
am
am-n+n
am-n
. an
an
an =
an =
an =
am-n
. an =
am-n
. 1
a. 36
– 34
= 36-4
= 32
b. (a-1)5
(a-1)2 =
(a-1)3

4. = am-n
3. (am
)n
= amxn
(am
)n
= am
x am
x am
x …(am
)
n faktor
= (a x a x …) x (a x a x …x…x(a x a x
…)
m faktor m
faktor
n faktor
= a x a x a x a x a = ... ... ... x a
(m x n ) faktor
= (a)mn
a. (23
)4
= (2)3x4
= 212
b. (x2
)3
= (x)2x3
= x6
4. (a x b)n
= an
x
bn
(a x b)n
= (a x b) x (a x b) x….x (axb)
n factor
= (a x a x …x a) x (b x b x …
x b)
n faktor n faktor
= an
x bn
a. (2 x 3)4
= 24
x 34
b.(a2
x b3
)4
=a8
x b12
5. ( a )n
= an
b bn
( a )n
= a/b x a/b x a/b x …x a/b
b n faktor
= a x a x a x … x a , n
faktor
b x b x b x … x b , n factor
= an
bn
a. ( 2/3)2
= 22
/32
b. (a/b)3
= a3
/b3
c. (a2
/b3
)4
=a8
/b12
Bagaimana Arti Pangkat Nol dan Bulat negatif ?
Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya, sekarang kita
akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk pangkat bulat nol dan
negatif . Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat
bulat positif.

5. Pengertian Pangkat Nol
Untuk setiap a € R, maka ao
= 1 (oo
tidak didefinisikan)
Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan
pendefinisian.
ao
. an
= ao+n
= an
bagilah kedua ruas dengan an
sehingga diperoleh: ao+n
= an
an
an
ao
. an
= an
an
an
ao
(1) = 1
ao
= 1
Pengertian pangkat bulat negatif
Jika a € R , a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka a-n
. 1 = 1 dan a-n
= 1
a-n
an
dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat
positif dan nol yaitu sebagai berikut:
an
. a-n
= an+(-n)
an
. a-n
= ao
an
. a-n
= 1
bagilah kedua ruas dengan an
, sehingga diperoleh:
an
. a-n
= 1 → an
. a-n
= 1 → 1 . a-n
= 1 → a-n
=
1
an
an
an
an
an
an
Contoh
1. Tulislah dalam bentuk pangkat bulat positif !
a. 3-2
b. (0,2)-3
c. (x + y)-3
d. (2a – 5b)-4
Jawab:
a. 3-2
= 1 b. (0,2)-3
= 1 c. (x + y)-3
= 1

6. 32
(0,2)3
(x + y)3
d. (2a – 5b)-4
= 1
(2a – 5b)4
1. Berikan sebuah contoh bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !
ab-n
= 1 b. 1 = a-1
+ b-1
abn
a + b
Jawab:
a. 2 . 3-2
= 2 dan 1 = 1 = 1
32
2.32
2. 9 18
= 2
9
Jadi 2 . 3-2
≠ 1
2.32
b. 1 = 1 2-1
+ 4-1
= ½ + ¼
2 + 4 6 dan = ¾
Jadi . 1 ≠ 2-1
+ 4-1
2 + 4
RANGKUMAN
1. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat posotif, maka a pangkat n atau pangkat n
dari a ditulis an
yaitu: an
= a x a x a x ... x a yang terdiri dari n buah faktor.
a disebut bilangan pokok/basis dan n disebut pangkat/eksponen.
2. Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n € A dan a € R, maka:
am
x an
= a m+n
am
: an
= am-n
, m>n
(am
)n
= amxn
(a x b)n
= an
x bn
(a : b)n
= an
: bn

7. 3. Untuk setiap a € bilangan real, maka a0
= 1
00
tidak didefinisikan
4. Jika a € bilangan real, a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka
a-n
. 1 = 1 dan a-n
= 1
a-n
an
TES KEGIATAN BELAJAR 1
Untuk mengetahui pemahaman anda terhadap kegiatan belajar 1, silahkan kerjakan soal-
soal di bawah ini !
1. Dengan menggunakan sifat am
. an
= a m+ n
, sederhanakanlah bentuk berikut !
a. (0,25)3
(0,25)4
b. 3x y4
x2
y6
c. (2x2
) (3x3
) (4x4
)
2. Dengan menggunakan sifat (am
)n
= amn
, sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ¡
a. (23
)4
b. z3
(z2
)3
c. 3x2
(x2
)2
(x3
)3
3. Dengan menggunakan sifat ( a . b)n
= an
. bn
, sederhanakanlah bentuk-bentuk
berikut !
a. (2 . 5)4
b. (4 a2
)3
c. (m3
. n4
)5
4. Dengan menggunakan sifat ( a )n
= an
b bn
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !
a. ( 3/2)4
b. (x2
/y3
)2
c. (ab2
/c3
d3
)2
5. Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut
salah !
a. am
x an
= a m+n
b. (am
)n
= amxn
( a )n
= an
c. b bn
6. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ke dalam pangkat bulat positif !

8. a. (x . y-5
)(x . y)-5
b. (2ab2
)-3
(3a2
b)-2
7. Dengan menggunakan sifat am
: an
= am-n
sederhanakanlah bentuk berikut:
a. a-3
b. 4p-2
q-5
a-5
2p-7
q-2
KUNCI JAWABAN
1. a. (0,25)7
b. 3x3
y10
c. 12x9
2. a. 212
b. z9
c. 3x15
3. a. 24
.54
b. 64a6
c. m15
n20
4. a. 81/16 b. x4
c. a2
. b4
Y6
c6
d6
5. Kebijakan guru
6. a. ___1___ b. 1
X4
. y10
72 a6
b8
7. a. a2
b. 2p5
Q3
KEGIATAN BELAJAR 2
BENTUK AKAR
Pada materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat
beserta operasinya. Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai
bilangan berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan.
Pengertian bilangan rasional

9. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b,
perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis a/b) atau sebagai bentuk
desimal yang berakhir/berulang secara periodik.
Contoh:
Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai perbandingan dua bilangan bulat !
a. 6 b. -30 c. 25% d. 0,4 e. √4
Jawab:
a. 6 = 12 b. -90 .
2 3
c. 2 5 = ¼ d. 0,4 = 4
100 10
e. √4 = 2 = 2/1
A. Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Beserta Sifat-
sifatnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut !
22
= 4 maka 2 = √4
23
= 8 maka 2 = 3
√8
24
= 16 maka 2 = 4
√16
25
= 32 maka 2 = 5
√32
Untuk n bilangan bulat dan n ≥ 2 berlaku hubungan a1/n
= n
√a
Pangkat bilangan pecahan merupakan perluasan dari pangkat bilangan bulat.
Mengakibatkan sifat-sifat pangkat bilangan bulat berlaku pada pangkat bilangan pecahan
atau bentuk akar. Jika a dan b bilangan real positif serta m dan n bilangan bulat positif
lebih dari atau sama dengan 2, maka berlaku sifat-sifat berikut:
Bentuk Pangkat Pecahan Bentuk Akar
1. a1/m
x a1/n
= a1/m + 1/n
= a n+m
↔ m
√a x n
√a = mn
√an + m
mn
2. a1/m
: a1/n
= a1/m-1/n
= an-m
↔ m
√a : n
√a = mn
√an - m

10. mn
3. (a1/m
)1/n
= a1/m
x 1/n
= a1/mn
↔ n
√a . m
√a = mn
√a
4. (ab)1/n
= a1/n
x b1/n
↔ n
√ab = n
√a x n
√b
5. (a/b)1/n
= a1/n
b1/n
↔ n
√a/b = n
√a
n
√b
_______________________________________________________________________
___________
Sifat-sifat yang lain:
6. a-1/n
= ( a1/n
)-1
= 1 = 1
a1/n n
√a
7. am/n
= (a1/n
)m
= ( n
√a)m
atau
am/n
= (am
)1/n
= n
√am
8. ( √x )2
= x
9. √x y = √x . √y
10. √x/y = √x/√y
Contoh;
1. Diketahui a bilangan positif, sederhankanlah bentuk-bentuk berikut kemudian
nyatakan ke dalam bentuk akar ¡
a. a½
x a⅓
b. ( a ⅔
)¾
Jawab: Jawab:
a½
x a⅓
= a½+⅓
= a7/12
= 12
√a7
( a ⅔
)¾
= a⅔ x ¾
= a½
= √a
c a¾

11. a⅔
Jawab:
a¾
a⅔
= a¾ - ⅔
= a1
/12
= 12
√a
2. Jika diketahui a, b, dan c bilangan positif, maka sederhanakanlah bentuk berikut ¡
¼
a3
b-2
__________
a-1
b2
Jawab
¼
a3
b-2
__________ = (a3 – (-1)
b-2-2
)¼
= (a4
b-4
)¼
= ab-1
= a/b
a-1
b2
B. Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat
Menyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat
bentuk akar. Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar
kuadrat.
Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat
NO. Sifat-sifat Bukti Contoh
1. (√x)2
= x √x = a ↔ x = a2
a. (√5)2
= 5

12. Maka (√x)2
= (a)2
= x b. (√2a)2
= 2a
c. (√x + 1)2
= x + 2√x +
1
2. √xy = √x . √y √x = a ↔ x = a2
dan
√y = b ↔ y = b2
, maka
√xy = √a2
. b2
= √(ab)2
= a b = √x .
√y
√48 = √16 x3 =
√16 x √3
= 4√3
4√150 = 4√25 x 6
= 4 √25 x √6
= 4 (5) x √6
= 20√6
3. √x/y = √x
√y
√x = a Jika dan hanya jika x
= a2
√y = b Jika dan hanya jika y =
b2
Maka,
√x/y = √a2
/b2
= √(a/b)2
= a = √x
b √y
√64/49 = √64 = 8
√49 7
4.
n
√an
= (an
)1/n
=
a ,
a ≥0
Silahkan buktikan
Sebagai latihan!
3
√8 = (8)⅓
= (23
)⅓
= 23/3
= 1
5.
n
√an
b = n
√an
x n
√b
= an
√b,
A dan b ≥0
Silahkan buktikan
Sebagai latihan! √72 = √36 x 2 = √36 x √2
= (62
)1/2
x
√2
= 6 √2
C. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Kuadrat
Dengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya
maka kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar. Operasi aljabar yang

13. dimaksud adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi aljabar
pada bentuk akar digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka a√c + b√c = (a+b)√c
dan
a√c - b√c = (a-b)√c
Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan
menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real.
Sifat ini berlaku pada bilangan rasional atau irracional sebab kedua bilangan itu
termasuk bilangan real.
a√c + b√c = (a+b)√c (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
a√c - b√c = (a-b)√c (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)
Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut:
1. a√c + b√c = (a+b)√c
2. a√c - b√c = (a-b)√c
3. b n
√ a x d n
√ c = bd n
√ac
4. b n
√ a : d n
√ c = b/dn
√a/c
n
√ a dan n
√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan
dua.
Contoh
Sederhanakanlah bentuk akar berikut ¡
1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3
2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18
3. p √a - q √a + r √a
4. 2 √4 x 6 √3
5. 10 √32 : 2 √2
Jawab
1. 10 √3 + 2 √3 - 5 √3 = (10+2+5)√3 = 17 √3

14. 2. 4 √72 + 3 √50 - 2√18 = 4 √36 x 2 + 3 √25 x 2 – 2 √9 x 2 = 4(6) √2 + 3(5) √2 -
2(3)√2
= 24√2 + 15√2 - 6 √2
= (24+15-6) √2 = 33
√2
3. p √a - q √a + r √a = (p – q + r) √a
4. 2 √4 x 6 √3 = (2 x 6)√12 = 12 √4 x 3 = (12 x 2) √3 = 24 √3
5. 10 √32 : 2 √2 = (10/2) √32/2 = 5 √16 = 5(4) = 20
2. Perkalian Bentuk Akar
Operasi Perkalian bentuk akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka:
√ x . √y = √xy
Contoh
Sederhanakanlah !
1. √50 x √2 2. √32 x √12,5 3. √½ x √50 4. √2 x √5 x √10
Jawab
1. √50 x √2 = √(50 x 2) = √100 = 10 2. √32 x √12,5 = √(32 x 12,5) =
√400 = 20
3. √½ x √50 = √(½ x 50) = √25 = 5 4. √2 x √5 x √10 = √(2 x 5 x 10)
= √100 = 10
3. Pembagian Bentuk Akar
Operasi Pembagian Bentuk Akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka √x/y = √x
√y
Contoh
Sederhanakanlah !

15. 1. √108 2. √112,5 3. √12a2
4. √xy4
√27 √12,5 √3a2
√x3
y2
Jawab
1. √108 2. √112,5 3. √12a2
4. √xy4
√27 √12,5 √3a2
√x3
y2
= √108/27 = √(112,5/12,5) = √12/3 a2
= √y2
/x2
= √4 = √9 = √4 a2
= √y2
= y
= 2 = 3 = 2ª √x2
x
D. Merasionalkan Penyebut
Jika kita menemukan bentuk pecahan dengan penyebut bentuk akar, maka untuk
menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita dapat menghilangkan bentuk akar
penyebutnya. Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut dinamakan
merasionalkan penyebut.
Untuk merasionalkan penyebut kita harus mengalikan pembilang dan penyebut dengan
pecahan faktor yang sama yang dapat merasionalkan penyebut. Untuk memudahkan
bagaimana cara merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut:
1. √a x √a akan menghasilkan bilangan rasional a
2. ( a + √b) x ( a - √b) akan menghasilkan bilangan rasional a2
- b
3. (√a + √b) x (√a - √b) akan menghasilkan bilangan rasional a - b
Pembuktian:
1. √a x √a = √a2
= a
2. ( a + √b) x ( a - √b) = a2
– a √b + a √b - (√b)2
= a2
- b
3 (√a + √b) x (√a - √b) = (√a )2
- √a . √b + √a . √b - (√b)2
= a – b
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut!
1. √5 . √5 2. (√8 + √2) (√8 - √2 ) 3. (2 + √3) (2 - √3)

16. 4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5)
Jawab:
1. √5 . √5 = 5 2. (√8 + √2) (√8 - √2 ) = 8 – 2 = 6
3. (2 + √3) (2 - √3) = 4 – 3 = 1 4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5) = 12 – 45 = -33
Bagaimanakah cara merasionalkan penyebut?
1. Kalikan pecahan yang dimaksud dengan bilangan 1 (satu).
2. Angka satu tersebut kita tulis sebagai pembanding faktor bentuk akar yang sama, yang
dapat merasionalkan penyebut.
Perhatikan bentuk-bentuk berikut!
1. a = a . 1 2. √a . √b = 1 √ab
√b √b √b √b b
= a . √b = a √b
√b √b b
3. ____a___ = ____a___ .1 4. ____a___ = ____a___ . 1
√b - √c √b - √c
√b + √c √b + √c
= ____a___ .
√b + √c
= ____a___ . √b - √c √b - √c
√b + √c
√b + √c √b - √c = ____a___ (
√b + √c )
b - c
= ____a___ (√b - √c )
b - c
5. √a - √b = √a - √b . 1
√a + √b √a + √b
= √a - √b . √a - √b
√a + √b √a - √b
= a + b - 2√ab
a - b
Contoh 1
Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut !

17. a. √3 b 5 c 6 d . 5 e. 6
√4 √7 6 + √6 5 - √5 √5 + √2
f. 6 g. √8 - √2 h. √6 + √2
√6 - √2 √8 + √2 √6 - √2
Jawab
a. √3 . √4 = √12 = 2 √3 = 1 √3
√4 √4 4 4 2
b 5 . √7 = 5 √7
√7 √7 7
c. 6 . 6 - √6 = 6 ( 6 - √6 ) = 6 ( 6 - √6 ) = 1 ( 6 - √6 )
6 + √6 6 - √6 36 - 6 30 5
d . 5 . 5 + √5 = 5 (5 + √5) = 5 (5 + √5) = 1 (5 + √5)
5 - √5 5 + √5 25 - 5 20 4
e. 6 . √5 - √2 = 6 ( √5 - √2 ) = 6 ( √5 - √2 ) = 2 ( √5 -
√2 )
√5 + √2 √5 - √2 5 - 2 3
f. 6 . √6 + √2 = 6 (√6 + √2) = 6 (√6 + √2) = 2 (√6 + √2)
√6 - √2 √6 + √2 6 - 2 3
g. √8 - √2 . √8 - √2 = 8 -4-4+2 = 2 = 1
√8 + √2 √8 - √2 8 - 2 6 3
h. √6 + √2 . √6 + √2 = 6 + 2 = 10 = 5
√6 - √2 √6 + √2 6 - 2 4 2
Contoh 2
Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti gambar di bawah ini
H G
E F Hitung panjang AG ¡

18. D C
A B
(√7 - √2) cm
Jawab
AG adalah panjang diagonal ruang
AG = a √3 = (√7 - √2) √3 = √21 - √6
Jadi panjang AG = (√21 - √6) cm
RANGKUMAN
1. Bentuk akar hádala bentuk bilangan-bilangan di bawah tanda akar bila ditarik akarnya
tidak dapat menghasilkan bilangan rasional.
Misal √2, √3, √5 adalah bentuk akar dan √4, √9, √16 adalah bukan bentuk akar.
2. Oprasi Aljabar pada bentuk akar
a. a√c + b√c = (a+b)√c
b. a√c - b√c = (a-b)√c
c. b n
√ a x d n
√ c = bdn
√ac
d. b n
√ a : d n
√ c = b/dn
√a/c
e. √ a dan n
√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama
dengan dua.
3. Merasionalkan Penyebut
1. a = 1 2. √a . √b = 1 √ab
√b √b √b b
= a . √b = a √b
√b √b b
3. ____a___ = ____a___ .1 4. ____a___ = ____a___ .
1
√b - √c √b - √c
√b + √c √b + √c

19. = ____a___ .
√b + √c
= ____a___ . √b - √c √b - √c
√b + √c
√b + √c √b - √c = ____a___ (
√b + √c )
b - c
= ____a___ (√b - √c )
b - c
5. √a - √b = √a - √b . 1
√a + √b √a + √b
= √a - √b . √a - √b
√a + √b √a - √b
= a + b - 2√ab
a - b
TES KEGIATAN BELAJAR 2
Kerjakan Soal-soal di bawah ini dengan benar !
1. Sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini !
a. √48 b. √1/75
2. Sederhanakan bentuk berikut !
a. 5√3 + √12 - 2√27 b. 4√3 x 3√6
3. Rasionalkan bentuk-bentuk berikut!
a. 3 b. √6 c 5 d. √3 + √2
2 - √3 2√3 + 3√2 √7 + √2 √3 - √2
e. 2√3 + 3
2√3 - 3
4. Diketahui Segitiga ABC siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = (√5 + √3) cm dan
luas segitiga tersebut adalah 1,00 cm2
. Tentukan panjang sisi lainnya!

20. 5. Sebuah balok panjang rusuknya masing-masing 3 cm, 6 cm, dan 9 cm. Tentukan
panjang diagonal ruang balok tersebut!
Kunci
1. a. 4√3 b. 1 √3
5
2. a. √3 b. 36√2
3. a. 9 b. √3 - √2 c. √7 - √2 d. 7 + 2√6
e. 7 + 4√3
4. (√5 - √3) cm 5. 3√14 cm.
KEGIATAN BELAJAR 3
LOGARITMA
1. Pengertian Logaritma
Pada sub pokok bahasan ini, anda akan mempelajari kebalikan dari perpangkatan.
Bentuk an
dikenal sebagai bilangan berpangkat. a disebut basis dan n disebut pangkat
atau eksponen. Jika nilai a dan n diketahui, maka nilai b = an
dapat dihitung dan b
disebut numerus. Sebaliknya, bagaimana cara menentukan nilai n apabila yang diketahui
nilai a dan b ?.silakan anda pahami bentuk kesamaan
24
= 16, didapat bahwa 4 adalah bilangan n yang diperlukan agar bilangan berpangkat 2n
= 16.
4 disebut logaritma dari 16 berbasis 2 dan ditulis 4 = 2
log 16.
Dengan demikian secara umum Logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut:
a
log b = c ↔ ac
= b, dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0
a disebut bilangan pokok (basis) logaritma
Apabila dalam penulisan logaritma tidak dicantumkan bilangan pokoknya, maka
dianggap bilangan pokoknya adalah 10.

21. Contoh:
10
log 10 = log 10 = 1 dan 10
log 100 = log 100 = 2
Untuk memahami, Perhatikan hubungan bentuk logaritma dan bentuk pecahan dari tabel
dibawah ini!
NO. Bentuk Logaritma Bentuk Pecahan Hasil
1 4
log 8 = a 4a
= 8 a = 3/2
2 3
log 27 = b 3b
= 27 a = 3
3 2
log 1 = c
64
2c
= 1/64 c = -6
4 3
log 3√3 = d 3d
= 3 3 d = 3/2
5 5
log 3√ 5 = e 5e
= 3 5 e = 1/5
6 ⅓
Log 81 = f (⅓)f
= 81 f = -4
7 1000
log √10 = g 1000g
= 10 g = 1/6
8 1/49
log 1/ 7 = h (1/49)h
= 1/7 H = ¼
2. Sifat-sifat Logaritma
Setelah anda memahami definisi logaritma suatu bilangan, selanjutnya akan dipelajari
sifat-sifat yang berlaku pada logaritma. Berikut ini adalah langkah-langkah menemukan
sifat dasar logaritma.
2.1 Logaritma dari perkalian
Logaritma dari perkalian 2 bilangan sama dengan penjumlahan logaritma dari
masing-masing bilangan, didefinisikan sebagai berikut:
a
log MN = a
log m + a
log n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = an
↔ a
log M = p dan N = aq
↔ a
log N = q sehingga MN = ar
↔
a
log MN = r
Karena ar
= MN, maka a
log MN = r = p + q = a
log M + a
log N ( terbukti )
2.2 Logaritma dari pembagian
Logaritma dari pembagian 2 bilangan sama dengan logaritma dari pembilang
dikurangi logaritma dari penyebutnya, didefinisikan sebagai berikut:

22. a
log(M : N) = a
log m –a
log n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = an
↔ a
log M = p dan N = aq
↔ a
log N = q sehingga M:N = ar
↔
a
log M : N = r
Karena ar
= M : N, maka a
log ( M : N ) = r = p - q = a
log M - a
log N ( terbukti )
2.3 Logaritma dari perpangkatan
Logaritma dari perpangkatan suatu bilangan adalah perkalian dari bilangan
pangkat dengan logaritma bilangan pokok.
a
log Mp
= p. a
log M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0
2.4 Mengubah basis logaritma
Logaritma suatu bilangan sama dengan logaritma bilangan tersebut dibagi dengan
logaritma dari basisnya, didefinisikan sebagai berikut:
M
log N = a
Log N
a
Log M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = ap
↔ a
log M = p
N = aq
↔ a
log N = q
Maka M
LOG N = aP
log aq
= q .aP
log a = q .aP
log (ap
)1/p
= q/p = a
log N
a
log M
(terbukti)
2.5. Perpangkatan dengan logaritma
Perpangkatan statu bilangan (a) dengan logaritmo sebuah bilangan (M) dengan basis
sama dengan bilangan pokok (a) didefinisikan sebagai berikut:
a
log M
a = M , dengan syarat a ≠ 1 dan a, M > 0
Pembuktian:

23. Misal a
log M = p ↔ ap
= M
Maka = a
log M
a = ap
= M (terbukti)
Contoh:
1. Dengan menggunakan sifat logaritma perkalian tentukan nilai dar:
a. log 40 + log 25 b. 2
log 4 + 2
log 8 c. Jika log 4 = a dan
log 3 = b
tentukan log 48
Jawab.
a. log 40 + log 25 = log (40 x 25) = log 100 = 2
b. 2
log 4 + 2
log 8 = 2
log (4 x 8) = 2
log 32 = 5
c. log 48 = log (4 x 4 x 3) = log 4 + log 4 + log 3 = a + a + b = 2a + b
2. a. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, dengan menggunakan sifat logaritma
pembagian
Tentukanlah nilai dari log 1,5
Jawab
log 1,5 = log 3/2 = log 3 – log 2 = 0,4771 – 0,3010 = 0,1761
b. Dengan menggunakan sifat logaritma pembagian tentukan nilai 2
log 14 – 2
log
7
Jawab
2
log 14 – 2
log 7 = 2
log (14/7) = 2
log 2 = 1
3. a. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, tentukan nilai dari log 48
Jawab.
a. log 48 = log (24
x 3) = log 24
+ log 3 = 4 log 2 + log 3 = 4 (0,3010) + 0,4771
= 1,2040 + 0,4771
= 1,6811

24. 4. Jika 2
log 3 = a dan 3
log 5 = b, dengan mengubah basis logaritma tentukan nilai
6
log 15!
Jawab.
6
log 15 = log 15 = log (3 x 5) = 3
log 3 + 3
log 5 = 1 + b = a ( 1 + b)
log 6 log (3 x 2) 3
log 3 + 3
log 2 1 + 1/a 1 + a
5. Dengan menggunakan sifat dan perpangkatan logaritma, tentukan nilai dari
4
log 64
4
Jawab.
4
log 64
4 = 64
RANGKUMAN
Definisi logaritma:
a
log b = c ↔ ac
= b, dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0
a disebut bilangan pokok (basis) logaritma
Sifat-sifat logaritma:
1. a
log M.N = a
log m + a
log n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
2. a
log(M : N) = a
log m –a
log n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
3. a
log Mp
= p. a
log M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p > 0
4. M
log N = a
Log N
a
Log M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0
a
log M
5. a = M , dengan syarat a ≠ 1 dan a, M > 0
6. a
log b . b
log c . c
log d = a
log d
7. an
Log bm
= m a
log b
n
8. a
log 1 = 0
9. a
log an
= n

25. 10. a
log b = 1
b
log a
TES KEGIATAN BELAJAR 3
Berilah tanda silang ( x ) pada huruf a , b, c , d , atau e pada jawaban yang
paling benar!
1. 4
log 64 + 3
log 81 – ½
log 8 = ....
a. 10 b. 9 c. 7 d. 6 e. 4
2. Jika log 2 = a , maka log 5 = ....
a. a b. 1 + a c. 1 – a d. 3a e. -1
3. Jika log 2 = a , maka log 50 = ....
a. -1 b. 2a c. 3a d. 2a – 1 e. 2 – a
4. 2
log 5
4 =....
a. 0,4 b. 0,2 c. 1 d. 5 e. 25
5. Jika log (2x + 6) = 2, maka x = ....
a. 46 b. 47 c. 48 d. 49 e. 50
6. a
log (1/b) . b
log (1/c) . c
log(1/a) =....
a. -1 b. 1 c. 1 d. 1 + abc e. 1 – abc
abc
7. Bentuk sederhana dari log 8 + log 1,25 adalah….
a. 100 b. 10 c. 3 d. 2 e. 1
8. Jika 3
log 5 = p, maka nilai 5
log √3 adalah….

26. a. 4/p b. 2/p c. 1/p d. ½p e. ¼p
9. Nilai dari 3
log 1 . 5
log 8 . 2
log √3
25
a. -3 b. -2 c. 1 d. 2 e. 3
10. Jika 2a
= 3 , maka 3
log 12 = ....
a. 2 + a b. 2 + a c. 2 + a d. 1 + 1 e. 2 + 1
2 a 1 + a a a
11. Jika 3
log 5 = p, maka nilai 5
log 3 = ....
a. ¼p b. ½p c. 1/p d. 2/p e. 4/p
12. Nilai x yang memenuhi dari 5
log (0,2) = x adalah....
a. -2 b. -1 c. 2 d. 3 e. 4
13. Nilai x dari 2
log 5
√8 = x adalah....
a. -5/3 b. -3/5 c. 3/5 d. 5/3 e. 5/2
14. Nilai dari 5
log 150 – 5
log 24 + 5
log 4 = ....
a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1
15. Jika 7
log 2 = a dan 2
log 3 = b, maka nilai 6
log 98 =….
a. a + 2 b. a + 2 c. a - 2 d. a + 1 e. a + 2
a(1+ b) 1 + ab a(1+b) a(1+b) a(1-b)
KUNCI JAWABAN
1. a 6. a 11. b
2. c 7. e 12. b
3. e 8. d 13. c

27. 4. e 9. b 14. d
5. b 10. b 15. a
UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT
Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes kegiatan belajar 3 ini. Kemudian
gunakan humus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi
kegiatan relajar 3.
Rumus:
Tingkat Penguasaan = Jumlah Jawaban Anda yang benar x 100
15
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:
96 - 100 = Tuntas istimewa
86 - 95 = Tuntas baik sekali
81 - 85 = Tuntas baik
75 - 80 = Tuntas cukup
65 - 74 = Tuntas kurang
0 - 64 = Belum tuntas Sangat kurang
Bila tingkat penguasaan Anda mencapai ≥ 75, maka Anda dikatakan tuntas dan
memahami materi pada kegiatan belajar 3. Hebat!. Tetapi bila tingkat penguasaan Anda
< 75, maka Anda harus mengikuti Remedial terutama bagian yang belum dikuasai.