Cinh phục bài tập dao độngcơ.

Chinh phục bài tập Vật Lý tập 1 – Dao động cơ học Loveboook.vn
CHINH PHỤC BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ 2.0 do GIA ĐÌNH LOVEBOOK
phát hành.
Anh cả: Phạm Văn Cường
Anh chị hỗ trợ: Tăng Hải Tuân, Nguyễn Ngọc Ánh, Bùi Thu Thảo.
NXB: ĐH quốc gia HN
Ngày phát hành toàn quốc: 25/09/2015
Số trang: 508 trang khổ A4
Giá: 179000 vnđ
___________________________________________________
Đặt trước sách Lovebook phiên bản 2.0: https://goo.gl/XeHwk5
Giải đáp các thắc mắc trong sách Lovebook: http://goo.gl/A7Dzl0
Tài liệu Lovebook chọn lọc:http://goo.gl/nU0Fze
Kênh bài giảng Lovebook: https://goo.gl/OAo45w
Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG

CHỦ ĐỀ: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
PHẦN I: TÓM TẮT KIẾN THỨC LÍ THUYẾT CƠ BẢN
A. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Dao động cơ
Định nghĩa: Dao động là chuyển động trong một vùng giới hạn, lặp đi lặp lại nhiều lần quanh một vị trí cân
bằng xác định (VTCB). VTCB là vị trí ban đầu đứng yên ở trạng thái tự do.
Ví dụ: Bông hoa lay động trên cành cây, quả lắc đồng hồ đung đưa…
2. Dao động tuần hoàn
a. Định nghĩa: Là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được lặp lại như cũ (trở lại vị trí cũ, hướng
cũ) sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định (gọi là chu kì).
Ví dụ: Dao động của con lắc đồng hồ…
b. Đại lượng đặc trưng f
 Chu kì T: Chu kì của dao động tuần hoàn là khoảng thời gian ngắn nhất sau đó trạng thái dao động lặp
lại như cũ.
Chu kì =
khoảng thời gian
số dao động
Kí hiệu: T =
t
n
(Đơn vị: s)
 Tần số f: “Số dao động” mà vật thực hiện được trong một đơn vị thời gian.
Tần số =
số dao động
khoảng thời gian(s)
Kí hiệu: f = (Đơn vị: Hz)
Chú ý: Liên hệ giữa tần số và chu kì:
f dao động 1(s)
1 dao động T(s)
3. Dao động điều hòa
a. Định nghĩa: Là dao động mà li độ biến thiên theo thời gian và được mô tả bằng một định luật hàm số cos
hoặc (sin).
b. Phương trình dao động điều hòa (li độ).
Phương trình dạng cos Phương trình dạng sin
Dạng 1: x = Acos(ωt +φ)
Dạng 2: x = Acos(2πft +φ)
Dạng 3: x = Acos( t +φ)
Dạng 1: x = Asin(ωt +φ)
Dạng 2: x = Asin(2πft +φ)
Dạng 3: x = Asin( t +φ)
Bình luận: Thông thường hiện nay chúng ta thường quy về một dạng tổng quát chung là:
x = Acos(ωt +φ) (m, cm, mm…)
Trong đó:
+) Quỹ đạo dao động là một đoạn thẳng dài L = 2A.
+) A, ω, là những hằng số dương, φ cũng là hằng số nhưng có thể dương, âm hoặc bằng không.
+) x: Là li độ, cho ta biết khoảng cách từ vị trí của vật tới vị trí cân bằng đã được chọn làm gốc tọa độ (là tọa
độ của vật tại thời điểm t đang xét). Giá trị: -A A. Đơn vị: (m, cm, mm…).
+) A: Là biên độ dao động (A>0), đó là giá trị cực đại của li độ (xmax = A) ứng với lúc cos(ωt +φ) =1. Biên độ
A phụ thuộc kích thích ban đầu. Đơn vị (m, cm, mm…).
+) ω: Là tần số góc của dao động (ω >0). ω phụ thuộc vào đặc tính của hệ dao động. Biết được ω là sẽ tính
n
t


2π
T
2π
T
x 
f =
1
T

được chu kì T và tần số f (có thể nói nó là đại lượng trung gian cho phép ta tính được chu kì và tần số f). Đơn
vị là (rad/s). Tần số góc ω = 2πf = .
+) T: Chu kì của dao động điều hòa là thời gian ngắn nhất để vật trở lại trạng thái như cũ (vị trí cũ hướng cũ)
nó cũng là khoảng thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn phần. Đơn vị là (s).
(n là số dao động toàn phần thực hiện trong khoảng thời gian t).
+) f: Là tần số dao động, nó cho ta biết số dao động toàn phần thực hiện được trong một đơn vị thời gian
(Đơn vị là Hz, đọc là Héc).
+) φ: Là pha ban đầu của dao động. Là pha của dao động tại thời điểm t = 0. Pha của dao động có thể dương,
âm, hoặc bằng 0. Nó cho phép xác định trạng trái dao động của vật tại thời điểm t = 0. Đơn vị (rad). Pha ban
đầu phụ thuộc vào cách kích thích dao động, gốc tọa độ, gốc thời gian, chiều dương quỹ đạo.
+) (ωt +φ): Là pha dao động tại thời điểm t đang xét. Pha của dao động có thể dương, âm hoặc bằng 0. Nó cho
phép ta xác định được trạng trái của vật tại thời điểm t bất kì. Đơn vị: (rad)
Chú ý
• Dao động điều hòa là trường hợp riêng của dao động tuần hoàn, dao động tuần hoàn có thể không điều hòa.
● Xuất phát từ phương trình dao động điều hòa: x = Acos(ωt+φ), cho φ = 0 để đơn giản. Lập bảng biến thiên
của li độ x theo thời gian t và đồ thị biểu diễn x theo t (hình vẽ). Từ đồ thị ta sẽ thấy rằng, dao động điều hòa là
chuyển động tuần hoàn.
c.
- Giá trị đại số của li độ: xcđ = A; xct = -A
- Độ lớn: (VTB); (VTCB)
I - Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa
1. Vận tốc trong dao động điều hòa
Ta có: vTB =
Khi:
(vận tốc tức thời)
x’ (Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian).
a. Phương trình vận tốc
Nếu vật dao động điều hòa với phương trình: x = A cos(ωt +φ) thì phương trình vận tốc là
2π
T
2π t
T
ω n
 
1 ω n
f
T 2π t
  
max
x A min
x 0
2 1
2 1
x x x
t t t
 

 
t 0 
TB
v v
TBt 0 t 0
x dx
v lim v lim
t dt   

   

t ωt x
0 0 A
0
π -A
0
2π A
Bảng biến thiên của x theo t
Hình: Đường biểu diễn x = Acos(ωt+φ) với φ = 0. Trục hoành biểu
diễn thời gian t, trục tung biểu diễn li độ x. A là giá trị cực đại của li
độ x.
π
2ω
π
2
π
ω
3π
2ω
3π
2
2π
ω
tT
A
-A
T
T
T
T
2
T =
2π
ω
O
x

tại biên ( ) và qua vị trí cân bằng (x = 0).
- Thấy rằng li độ x và vận tốc v đều là hàm cosin với cùng tần số góc ω, pha ban đầu của v là φ + , lớn hơn
pha ban đầu của x. Nên vận tốc v sớm pha so với li độ x, hoặc li độ x trễ pha so với vận tốc v.
Chú ý:
1. luôn cùng chiều với chuyển động, vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v <0.
2. Vận tốc đạt giá trị cực đại vmax = ωA khi qua vị trí cân bằng (x = 0) và đang đi theo chiều dương (v >0).
3. Vận tốc đạt giá trị cực tiểu vmin= - ωA khi vật qua vị trí cân bằng (x = 0) và đang đi theo chiều âm (v<0).
4. Vận tốc v là một đại lượng vecto nên nhận cả các giá trị: - ωA v ωA
2. Gia tốc trong dao động điều hòa
Ta có: 2 1
TB
2 1
v v v
a
t t t
 
 
 
Khi: a = v’ = x’’ (Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của v theo thời gian, là đạo hàm bậc hai
của li độ theo thời gian).
a. Phương trình gia tốc
a = v’(t) = x’’(t) = - ω2Acos(ωt +φ) = ω2A cos(ωt +φ π)= - ω2x
tại vị trí cân bằng và =ω2A tại ví trí biên.
+) có độ lớn tỉ lệ với li độ và luôn hướng về vị trí cân bằng.
+) a luôn nhanh pha π so với x (tức là ngược pha x), a luôn nhanh pha so với v.
 Chú ý: Tính chất đặc biệt (- ω2 A a ω2 A)
- Gia tốc a đạt giá trị cực đại amax = ω2 Akhi vật qua vị trí: x = -A.
- Gia tốc đạt giá trị cực tiểu amin = - ω2A khi vật qua biên dương: x = A.
Nhận xét: Vận tốc và gia tốc biến thiên điều hòa cùng tần số với li độ và mang các tính chất sau:
 Theo thứ tự a – v – x (gia tốc – vận tốc – li độ), đại lượng trước nhanh pha hơn đại lượng sau 1 góc
 Gia tốc a lệch pha với li độ x một góc π, hay nói cách khác a và x dao động ngược pha.
 Tóm tắt dễ nhớ:
+) v vuông pha với x và a.
+) a ngược pha với x.
v nhanh pha so với x nhưng v chậm pha so với a.
ΙΙ – Hợp lực tác dụng lên vật (lực hồi phục)
+) a và F cùng pha với nhau nhưng chúng ngược pha với x.
+) Lực gây ra dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng và được gọi là lực kéo về hay lực hồi phục. Lực
kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và lực gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa.
+) Dao động cơ đổi chiều khi hợp lực đạt giá trị cực đại.
+) hpmaxF = kA = mω2A. Tại ví trí biên
+) Fhpmin = 0. Tại vị trí cân bằng
min
v 0  x A  max
v ωA
π
2
π
2
π
2
v
 
TBt 0 t 0
v dv
lim a lim
t dt   

  


min
a max
a
a
π
2
 
π
2

π
2
π
2
v = x’(t) = - ωAsin(ωt +φ) = ωAcos(ωt +φ + )
F = m.a = -mω2x = -kx = -mω2Acos(ωt +φ)
π
2

Chú ý: Khi hệ dao động theo phương ngang, bỏ qua ma sát và lực cản thì: ∆𝓁 = 0; Fđh = Fhp
 Trên đây mới chỉ nêu tổng quan sơ lược, sang chủ đề con lắc lò xo độc giả sẽ hiểu rõ hơn!
SỰ ĐỔI CHIỀU VÀ TÍNH CHẤT CHUYỂN ĐỘNG
+) Các vectơ , đổi chiều khi qua vị trí cân bằng (VTCB).
+) Vectơ đổi chiều khi qua vị trí biên.
⋇ Khi đi từ vị trí cân bằng O ra vị trí biên:
 Nếu:  chuyển động chậm dần.
 Vận tốc giảm, ly độ tăng  động năng giảm, thế năng tăng  độ lớn gia tốc, lực kéo về tăng.
⋇ Khi đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng O:
 Nếu  chuyển động nhanh dần.
 Vận tốc tăng, ly độ giảm  động năng tăng, thế năng giảm  độ lớn gia tốc, lực kéo về giảm.
Chú ý: Ở đây không thể nói là vật dao động nhanh dần “đều” hay chậm dần “đều” vì dao động là loại chuyển
động có gia tốc a biến thiên điều hòa chứ không phải gia tốc a là hằng.
ΙΙΙ - Các công thức liên hệ độc lập với thời gian
Ta có:
sin( )
x Acos(ωt+φ)
v
A ωt φ
ω



  
. Bình phương hai vế
 Sau đó cộng từng vế sẽ được và biến đổi thêm bước nữa có được 2 hệ thức quan trọng và thường dùng
vận dụng để giải bài tập.
a =
 Tổng kết các hệ thức độc lập và tính chất đồ thị nên nhớ:
1. . a. Đồ thị (v, x) là đường elip.
2. a = -ω2x b. Đồ thị của (a, x) là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ.
3. c. Đồ thị của (a, v) là đường Elip.
4. F = - kx d. Đồ thị của (F, x) là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ.
5. e. Đồ thị của ( F, v) là đường Elip.
6. Từ động năng Wđ = mv2 và động năng cực đại Wđ = m suy ra được hệ thức đặc biệt:
7. Từ động năng Wđ = mv2 và Wt = kx2 và định luật bảo toàn cơ năng: Wđ + Wt = W suy ra được một hệ
thức đặc biệt:
Lưu ý: Các phương trình độc lập trên không chứa tham số t nên việc giải toán sẽ rất nhanh, do đó cần thuộc
a F
v
a v
a v
 
 
2 2 2
2
2 2
x A ωt φ
v
A ωt+φ
ω
  

 
 
 
cos
sin
2
2 2
2
v
A x
ω
 
2 2
2 2
4 2
a v
ω x A
ω ω
   
22 2
2 2
2
max
x v v
1 A x
A v ω
   
                
2 2
2 2
2
4 2
max max
a v a v
1 A
a v ω ω
   
          
   
m
2 2
2 2
2
4
a a
2
m x x
F v F v
1 A
F mω ωv
   
          
   
1
2
1
2
2
max
v
2
max m
đ
đ ax
WF
1
F W
 
   
 
1
2
1
2
đt
W W
1
W W
 

dựa vào có mối quan hệ trực tiếp mỗi hệ thức sẽ tìm được đại lượng áp dụng giải cho nhiều bài toán xuôi ngược
về sau.
ΙV – Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
a. Dao động điều hòa có thể coi là hình chiếu vị trí của một chất điểm chuyển động tròn đều xuống một đường
thẳng đi qua tâm và nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.
A = R; ω =
b. Các bước thực hiện
Bước 1: Vẽ vòng tròn (O; R =A).
Bước 2: Tại t=0, xem vật đang ở đâu và bắt đầu
chuyển động theo chiều âm hay chiều dương.
Nếu φ >0: Vật chuyển động theo chiều âm (về biên
âm).
Nếu φ <0: Vật chuyển động theo chiều dương (về
biên dương).
Bước 3: Xác định điểm tới (điểm đích) để xác định
góc quét ∆φ, từ đó xác định được thời gian và quãng
đường chất điểm chuyển động.
c. Sự tương tự giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Dao động điều hòa x = Acos(ωt+φ) Chuyển động tròn đều (O, R = A)
A là biên độ R = A là bán kính
ω là tần số góc ω là tốc độ góc
(ωt+φ) là pha dao động (ωt+φ) là tọa độ góc
vmax = Aω là tốc độ cực đại v = Rω là tốc độ dài
amax = Aω2 là gia tốc cực đại aht = Rω2 là gia tốc hướng tâm
Fhpmax = mAω2 là hợp lực cực đại tác dụng lên vật Fht = mAω2 là lực hướng tâm tác dụng lên vật
v
R
φ
(C)
-A A
+
x
O

PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Vấn đề : Một số dạng toán cơ bản mở đầu nhận biết, xác định các đặc điểm và tính chất
của dao động điều hòa.
DẠNG 1: Xác định các đại lượng và tính chất trong phương trình dao động điều hòa.
A. Bài toán tìm chu kì , tần số và xác định các đại lượng dựa vào phương trình, tìm phương trình tổng quát dao
động điều hòa
a. Một số lưu ý
Để biết một vật có dao động điều hòa hay không, cần phải biết phương trình dao động có được biểu diễn
dưới dạng hàm số cos (hoặc sin) hay không.
 Theo định nghĩa, phương trình dao động điều hòa có dạng x = Acos(ωt+φ), trong đó x là li độ ở thời
điểm t, A là biên độ (tức li độ cực đại), φ là pha ban đầu, ω là tần số góc .
- Giữa tần số góc ω và tần số f, chu kì T của dao động điều hòa có mối liên hệ: ω = 2πf = (rad/s);
(s) (n là số dao động toàn phần thực hiện trong khoảng thời gian t). (Hz)
Lưu ý: Nếu phương trình dao động đã cho không đúng dạng định nghĩa trên, ta cần quan sát dùng công thức
lượng giác biến đổi để đưa về dạng hàm số cos sao cho không còn dấu (-) trước hàm số sin hoặc trước tích ωt.
b. Hệ thống ví dụ và bài tập
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, trong khoảng thời gian 1 phút 30 giây vật thực hiện
được 180 dao động. Khi đó chu kì và tần số dao động của vật là
A. 0,5s và 2Hz B. 2s và 0,5Hz C. s và 120Hz D. 0,4s và 5Hz
Phân tích và hướng dẫn giải
Phân tích: Tần số là số dao động vật thực hiện được trong một đơn vị thời gian. Vì vậy nếu biết được trong 1
giây có bao nhiêu dao động xảy ra, sẽ biết được tần số của nó.
Lời giải
Tần số =
số dao động
khoảng thời gian(s)
Kí hiệu: f = = Hz.
Mở rộng: Muốn tính chu kì vận dụng định nghĩa: s hoặc cũng có thể sử dụng mối liên hệ giữ
f và T: s.
Chú ý: Cần đổi đơn vị thời gian ra giây (s).
Ví dụ 2: Xác định biên độ, pha ban đầu, tần số góc, chu kì, tần số và của các dao động sau
a. x = 10 cos(5πt +
π
3
) (cm).
Phân tích: Bài toán yêu cầu xác định các đại lượng dựa vào phương trình, quan sát phương trình bài toán trên
rồi so với lí thuyết kiến thức nền tảng đã học thấy ngay đây là dạng phương trình dao động điều hòa. Vì vậy công
việc giải bài này rất đơn giản đó là chỉ cần viết phương trình dao động cơ bản ra rồi đối chiều tìm ra đại lượng
đề yêu cầu. Đặc biệt cũng cần phải chú ý đến mối quan hệ giữa các đại lượng để có thể dựa vào đó (đại lượng đã
biết) ta sẽ tìm được đại lượng còn lại chưa biết.
Lời giải
+ Phương trình tổng quát dao động điều hòa có dạng: (1)
2π
T
2π t
T
ω n
 
1 ω n
f
T 2π t
  
1
20
n
t
180
2
90

t 90
T 0,5
n 180
  
1 1
T 0,5
f 2
  
 x Acos ωt φ 

+ Từ phương trình: x = 10 cos(5πt + ) (cm). Đối chiếu với phương trình tổng quát (1) tìm được:
- Biên độ dao động : A = 10 (cm).
- Pha ban đầu : φ = (rad).
- Tần số góc : ω = 5π (rad/s).
- Chu kì: T = =0,4 (s). (Vì ω là đại lượng trung gian xác định chu kì và tần số do vậy khi dựa phương trình
bài toán tìm ra được tần số góc ω là có thể xác định ngay được chu kì hoặc tần số).
+ f = = = 2,5 (Hz). (Dựa vào mối liên hệ giữa chu kì và tần số, khi tính được T rồi dễ dàng tính tần số
theo mối liên hệ đặc biệt). Ngoài ra cũng có có thể tính tần số f theo ω:
Cách 2: f = =2,5(Hz).
Ví dụ 3: Xác định biên độ, chu kì và pha ban đầu của các loại dao động điều hòa sau
a. x = -4cos(2πt + (cm)
b. x = 5cos( - πt) (cm)
c. x = 4cos5πt – 4sin5πt(cm)
Phân tích: Quan sát cả 3 phương trình trên rồi hình dung nhớ lại lí thuyết và định nghĩa tổng quát đã học, có
vẻ thấy cả 3 phương trình này đều phức tạp thấy khác lạ hơn so với phương trình dao động điều hòa tổng quát.
Phương pháp giải 3 bài này chỉ cần biến đổi hợp lí và đúng sao để đưa cả 3 phương trình trên về đúng dạng tổng
quát nhất, rồi từ đó mới có thể xác định được tất cả các đại lượng đúng nhất sau đó giải quyết những yêu cầu
của bài toán. Bài toán trên đối với phương trình (a) và (b) ta chỉ cần sử dụng công thức lượng giác biến đổi để
đưa về dạng hàm số cos sao cho không còn dấu (-) trước hàm số cos và trước tích ωt, còn đối với phương trình
(c) cũng tương tự vậy biến đổi một chút đưa phương trình về cùng hàm cos sau đó sử dụng công thức cộng lượng
giác là sẽ ra.
Lời giải:
a. x = - 4cos(2πt + = 4cos(2πt+ - π )= 4cos(2πt - ) (cm).
(rad)
b. x = 5cos( - πt)= 5cos(πt - ) (cm).
c. x = 4cos5πt – 4sin5πt = 4cos5πt – 4cos(5πt + ) = 4 cos(5πt + )(cm).
 .
Bình luận: Có thể nói khi xác định đại lượng không nắm vững lý thuyết hoặc 1 chút vội vàng với bài toán trên rất
dễ sai lầm chọn biên độ A (âm) hoặc tần số góc ω (âm) như vậy là sai.
Lưu ý: Trong các bài toán dao động, thường phải đổi cách viết đại lượng biến thiên theo hàm số sin sang
hàm số cos hoặc ngược lại. Thực chất để thỏa mãn A >0 và ω>0 như định nghĩa lí thuyết ta đã học .
Đối với dạng toán này nên nhớ một số biểu thức chuyển đổi thường gặp sau:
π
3
π
3
2π
5π
1
T
1
0,4
ω 5π
2π 2π

π
)
3
π
6
π
)
3
π
3
2π
3
2π 2π
A 4cm;ω 2π(rad/s) T 1(s);φ
ω 3
       
π
6
π
6

2π π
A 5(cm);ω π(rad/s) T 2(s);φ (rad).
π 6
      
π
2
2
π
4
2π π
A 4 2(cm);ω 5π(rad/s) T 0,4(s);φ (rad)
5π 4
     

1. x = Asin(ωt) = Acos(ωt - 2. x = Acos(ωt) = Asin(ωt + .
3. x = Acos(φ – ωt) = Acos(ωt – φ) 4. x = -Asin(ωt+φ) = Asin(ωt + φ + π)
 Bài tập rèn luyện.
Bài toán 1: Phương trình dao động của vật có dạng: x = Asin(ωt). Pha ban đầu của dao động dạng chuẩn
bằng bao nhiêu?
A. 0. B. π. C. 2π. D. .
Bài toán 2: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = - 4cos(5πt - )(cm). Biên độ và pha ban đầu
của vật là
A. -4cm và rad. B. 4cm và rad. C. 4cm và rad. D. 4cm và rad .
Bài toán 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 2cos(4πt + )(cm). Chu kì dao động và tần số
của vật là
A. 2s và 0,5Hz. B. 0,5s và 2Hz. C. 0,25s và 4Hz. D. 0,5s và 5Hz.
Bài toán 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 6cos(3πt - )(cm). Xác định tần số góc và chu
kì của vật
A. 3π rad và s. B. rad và 6s. C. π rad và 2s. D. rad và 3s.
Bài toán: Cho các chuyển động được mô tả bởi các phương trình sau:
a) (cm)
b) (cm)
c) (cm)
Chứng minh rằng chuyển động trên đều là những dao động điều hòa. Xác định biên độ, tần số, pha ban đầu?
Đáp án.
1. D 2. B 3. B 4. A
B. Các bài toán liên quan đến phương trình độc lập.
1. Bài toán liên quan đến phương trình độc lập. Do x, v vuông nên có các biểu thức liên hệ
b. Ví dụ minh họa và bài tập
π
)
2
π
)
2
x Acos t φω ( )
π
2
π
3
π
3
2π
3
4π
3
2π
3

π
3
π
3
2
3
π
3
π
3
x 5cos(πt) 1 
2 π
x 2sin (2πt )
6
 
x 3.sin(4πt) 3cos(4πt) 
2 2
v
ω
A x


2
2
2
v
x A
ω
  
2
2
2
v
A x
ω
  2 2
v ω A x  
2 2
2 2
x v
1
A (ωA)
 

Ví dụ 1: Vật dao động điều hòa có phương trình x = 4cos (cm). Vận tốc của vật khi qua li độ
là
A. 21,7 cm/s. B. 13,34 cm/s. C. 12,56 cm/s. D. 12 cm/s.
Phân tích: Vì đây là bài toán cho phương trình dao động, cho x bắt tìm v nên sẽ dễ dạng tìm được các đại lượng
rồi áp dụng hệ thức độc lập thời gian phù hợp. Từ phương trình dựa vào đây xác định được
ω = 2π (rad/s), A = 4cm. Đến đây chỉ cần thế các giá trị x, A và ω vào hệ thức độc lập:
2 2
2 2 2
x v
1
A ω A
  là sẽ tìm
được v.
Lời giải
+ Tìm được: ω = 2π(rad/s), A = 4cm.
+ Từ hệ thức:
+ Do vậy vận tốc khi vật qua li độ x = 2cm là: ( cm/s).
Đáp án A.
Chú ý: Nếu bài toán hỏi tốc độ của vật thì chỉ lấy giá trị dương.
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(10 )(cm). Khi vật có vận tốc
cm/s li độ của vật là
A. cm. B. 5 cm. C. 5 cm. D. 3 5 cm.
Phân tích: Đây là bài toán ngược của ví dụ 1 cho phương trình dao động, cho v bắt tìm x, cần tìm được các đại
lượng rồi áp dụng hệ thức độc lập thời gian phù hợp. Từ phương trình dựa vào đây xác định được
ω = 10 2 (rad/s), A = 5cm. Đến đây chỉ cần thế các giá trị v, A và ω vào hệ thức độc lập:
2 2
2 2 2
x v
1
A ω A
  là sẽ tìm
được x.
Lời giải
+ Tìm được: ω =10 2 (rad/s), A = 5cm.
+ Từ hệ thức:
2 2
2 2 2
x v
1
A ω A
 
2
2 v
x A
ω
 
    
 
+ Do vậy li độ khi vật có vận tốc v = 40 2 cm là:
22
2 2v 40 2
x A 5 3
ω 10 2
  
              
cm.
 Đáp án A
Lưu ý: Qua hai ví dụ trên dễ dàng tổng kết được phương pháp giải nhờ dấu hiệu:
Dấu hiệu 1: Bài toán cho phương trình dao động, cho li độ x. Tìm vận tốc v của vật?
Dấu hiệu 2: Bài toán cho phương trình dao động, cho vận tốc v. Tìm li độ x của vật?
*Phương pháp giải chung: Sử dụng hệ thức:
Nên nhớ : 2 công thức sau giải nhanh bài tập trắc nghệm:
π
(2πt )
6

x 2cm
 
2 2
2 2 2
x v
1
A ω A
  2 2
v ω A x   
2 2 2 2
v ω A x 2π 4 2 21,7       

π
2t
2
 v 40 2
3 2 3
x2 = A2 -
2
2
v
ω

2 2
v ω A x  
2
2 v
x A
ω
 
   
 
Bài toán 1: Vật dao động điều hòa có với biên độ 4 cm. Khi nó có li độ là 2cm thì vận tốc là 1m/s. Tần số dao
động là
A. 1Hz. B. 3Hz. C. 1,2Hz. D. 4.6Hz.
Bài toán 2: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 5sin
π
(10 2t )
4
 (cm). Khi vật có vận tốc là
v 240 cm/s thì li độ của vật là
A. 3 cm. B.  5 cm. C. 5 3 cm. D.  3 5 cm.
Bài toán 3: Vật dao động điều hòa có phương trình x = 10cos
π
(πt )
6
 (cm). Vận tốc của vật khi qua li độ
x 6cm là
A. 8 cm/s. B.  8π cm/s. C. 6π cm/s. D.  6cm/s.
1. D 2. A 3. B
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, quanh vị trí cân bằng O. Khi vật đi qua vị trí M cách O một
đoạn x1 thì vận tốc của vật là v1; khi vật đi qua vị trí N cách O một đoạn x2 thì vận tốc của vật là v2 . Biếu thức
tính biên độ dao động của vật là
A.
2 2 2 2
1 2 2 1
2 2
1 2
v x v x
A
v v



B.
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
1 2
x v v x
A
v v



C.
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
1 2
x v v x
A
v v



D.
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
2 1
x v v x
A
v v



Phân tích: Bài toán có thể hiểu ở hai thời điểm t1, t2 vật có các cặp giá trị x1, v1 và x2, v2. Ở 2 vị trí có khác li độ
x và vận tốc v nhưng A, ω là hằng số không đổi. Ta chỉ cần viết phương trình độc lập thời gian tại 2 vị trí rồi từ
đó sẽ tìm ra mối liên hệ tìm được A.
Lời giải
+ Từ phương trình độc lập thời gian: A2 = x2 +
2
2
v
ω
viết phương trình cho vị trí M và N ta được
+ Tại vị trí M:
2
2 2 1
1 2
v
A x
ω
  (1)
+ Tại vị trí N:
2
2 2 2
2 2
v
A x
ω
  (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra:
2 2 2 2
1 2 2 1
2 2
1 2
v x v x
A
v v



 Đáp án A.
Bài toán 1: Vật dao động điều hòa với vận tốc cực đại vmax , có tốc độ góc ω, khi qua vị trí có li độ x1 vật có vận
tốc v1 thỏa mãn
A. 2 2 2 2
1 max 1
1
v v ω x
2
  B. 2 2 2 2
1 max 1
1
v v ω x
2
  C. 2 2 2 2
1 max 1
v v ω x  D. 2 2 2 2
1 max 1
v v ω x 
Bài toán 2: Một chất điểm dao động điều hòa. Tại thời điểm t1 li độ của chất điểm bằng x1 = 3cm và vận tốc
bằng v1 = - 60 3 cm/s. Tại thời điểm t2 li độ bằng x2 =3 2 cm và vận tốc bằng v2 = 60 2 cm/s. Biên độ và
tần số góc dao động của chất điểm lần lượt bằng

A. 6cm; 20rad/s. B. 6cm; 12rad/s. C. 12cm; 20rad/s. D. 12cm; 10rad/s.
Bài toán 3: Một chất điểm dao động điều hòa. Tại thời điểm t1 li độ bằng 3cm thì tốc độ bằng 60 3 cm/s. Tại
thời điểm t2 li độ bằng 3 2 cm thì tốc độ là 60 2 cm/s. Tại thời điểm t3 li độ bằng 3 3 cm thì tốc độ bằng
A. 60 cm/s B. 30 3 cm/s C. 120cm/s D. 30 cm/s
Bài toán 4: Tại thời điểm t =0, một chất điểm dao động điều hòa có tọa độ x0, vận tốc v0. Tại thời điểm t  0
nào đó, tọa độ và vận tốc của chất điểm lần lượt là x và v trong đó x2  2
0
x . Chu kì dao động của vật bằng
A. T =
2 2
0
2 2
0
x x
2π
v v


B. T =
2 2
0
2 2
0
x x
2π
v v


C. T =
2 2
0
2 2
0
v v
2π
x x


D. T =
2 2
0
2 2
0
v v
2π
x x


1. C 2. A 3. A 4. B
2. Tổng hợp các dạng bài đến quan đến phương trình và hệ thức độc lập với thời gian (liên hệ giữa A, x, v và a
của vật dao động điều hòa, lực kéo về).
+ Liên hệ giữa a và x: a = - ω2x
+ Liên hệ giữa A, v và a: A2 =
2 2
4 2
a v
ω ω

+ Liên hệ giữa A, x và v: A2 = x2
2
2
v
ω

+ Lực kéo về (hay lực hồi phục): Fkv = - kx = - mω2x = ma  Fkvmax = kA
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Lúc vật ở li độ x = - 2 cm thì có vận tốc
v π /s2cm  và gia tốc a = π2 2 cm/s2. Biên độ A và tần số góc ω là
A. 2 cm; π rad/s. B. 20 cm; 4π rad/s. C. 2 cm; π rad/s. D. 2 cm; 2π rad/s.
Phân tích: Đọc kĩ yêu cầu đề bài rồi quan sát tìm ra ngay tần số góc ω dữ kiện cho biết cho gia tốc, kết hợp các
dữ kiện đã có x, v đến đây chỉ cần áp dụng hệ thức độc lập thời gian A2 = x2
2
2
v
ω
 hoặc có thể dựa mối liên hệ trực
tiếp giữa vận tốc v và gia tốc a đó là hệ thức A2 =
2 2
4 2
a v
ω ω
 là có thể tìm ra biên độ A. Có hai hướng áp dụng
nhưng chọn hướng 1 sẽ tối ưu tính toán đơn giản gọn hơn.
Lời giải
+ Từ công thức liên hệ độc lập a = - ω2x tính được tần số góc: ω =
2
π 2
2


= π (rad/s). Áp dụng hệ thức độc
lập A2 = x2
2
2
v
ω
 . Thế các dữ kiện đã có tìm được biên độ: A =  
 
2
2 2
2
2 2
π 2v
x 2
ω π

    = 2 cm.
 Đáp án A

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài L = 40cm. Khi vật ở vị trí có li độ x = 10cm vật có vận
tốc v = 20π 3 cm/s. Tính vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật? Lấy π2 = 10
A. vmax = 0,4π cm/s; amax = 6 m/s2. B. vmax = 0,4π m/s; amax = 8 m/s2.
C. vmax = 0,6π cm/s; amax = 8 m/s2 D. vmax = 0,6π m/s; amax = 8 m/s2
Lưu ý trước khi giải: Theo lí thuyết một vật dao động điều hòa sẽ có quỹ đạo dao động là một đoạn thẳng dài
L 2A tương ứng với vật chuyển động từ biên này qua biên kia chứ không phải là đường hình sin hay cosin, do
đó với những bài toán nhắc đến chiều dài quỹ đạo cần lưu ý vấn đề này tìm ra biên độ dao động cho đúng, tránh
nhầm lẫn đáng tiếc tìm ra biên độ sai.
Hướng giải: Bài toán cho biết dữ kiện đó là quỹ đạo dài L = 40cm dựa vào đây sẽ tìm ra được biên độ A kết hợp
dữ kiện đã biết x = 10cm và v = 20π 3 cm/s, tiếp theo để ý đến yêu cầu bài toán bắt ta tìm giá trị lớn nhất của
vận tốc v và gia tốc a, do vậy ta chỉ cần tìm tần số góc ω là có thể tính toán tìm ra kết quả yêu cầu của bài toán.
Để tìm tần số góc ω cần để ý và tư duy bài toán không thấy biến số thời gian trong bài toán này, nên phản xạ nhớ
ngay đến công thức liên hệ độc lập thời gian A2 = x2
2
2
v
ω
 .
Lời giải
+ Biên độ dao động của vật: A =
L
2
=
40
2
= 20 cm.
+ Áp dụng hệ thức độc lập thời gian: A2 = x2
2
2
v
ω

2 2
v
ω
A x
 

= 2π rad/s.
+ Vậy tính được: vmax = ωA = 2π.20 = 40π cm/s = 0,4π m/s.
amax = ω2A = 800 cm/s2 = 8 m/s2.
 Đáp án B.
 Chú ý: cách đổi đơn vị.
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa khi qua vị trí cân bằng vật có tốc độ 20 cm/s. Biết gia tốc cực đại của vật
bằng 2 m/s2. Khi vật có vận tốc v =10 cm/s và vật đang chuyển động nhanh dần thì vật có li độ bằng bao
nhiêu?
A. 3 cm. B. -3 cm. C. 3 cm. D. 3 cm.
Phân tích: Bài toán cho biết gia tốc cực đại và vận tốc cực đại (vận tốc khi vật qua vị trí cân bằng) dựa vào mối
quan hệ trực tiếp sẽ tìm ra ngay biên độ tần số góc ω và biên độ A. Biết A, v, ω mà bài toán không thấy biến số
thời gian bài toán này, nên chúng ta phản xạ nhớ ngay đến công thức liên hệ độc lập thời gian
A2 = x2
2
2
v
ω
 . Từ công thức này rút được ra x.
Lời giải
+ Tốc độ khi qua vị trí cân bằng: vmax = ωA = 20 cm/s. (1)
+ Gia tốc cực đại: amax = ω2A = 200 cm/s2 (2)
Đến đây tìm được tần số góc: ω = max
max
a 200
v 20
 = 10 rad/s. Thế ω vào (1) hoặc (2) đều có thể tìm ra biên độ
A 2 cm.
+ Áp dụng công thức liên hệ độc lập thời gian: A2 = x2
2
2
v
ω
  x =
2 2
2 2
2 2
v 10
A 2
ω 10
     = 3 cm.
* Khi vật có vận tốc v =10 cm/s và vật đang chuyển động nhanh dần nên chọn li độ x = 3 cm.
 Đáp án D

Bình luận: Khi tìm ra li độ x thấy có 2 giá trị li độ so sánh với đáp án của bài toán thấy rằng 2 giá trị nhưng để ý
thêm 1 yếu tố vô cùng quan trọng đó là trạng thái chuyển động của vật để chọn được li độ của vật tại thời điểm đó.
Để chọn được đúng giá trị cần phải nắm vững lý thuyết hình dung được vị trí ứng với trạng thái vật đang chuyển
động.
Ví dụ 4: (Đề đại học 2011). Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân
bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc có độ lớn là 40 3 cm/s2.
Biên độ dao động của vật là
A. 5cm. B. 10cm. C. 8cm. D. 4cm
Phân tích: Đây là bài toán khá cơ bản đòi hỏi chúng ta cần phải phối hợp các các đại lượng và áp vào hệ thức
độc lập thời gian A2 =
2 2
4 2
a v
ω ω
 rồi biến đổi thật cẩn thận và khéo tính toán là ra kết quả nhanh và chính xác.
Lời giải
⋄ Từ hệ thức A2 =
2 2
4 2
a v
ω ω
 ; a = - ω2x và vmax = ωA ta biến đổi và phối hợp chúng với nhau
- Từ hệ thức A2 =
2 2
4 2
a v
ω ω
 
22
2
max
a v
1
vω A
  
     
   
 1 =
2 2
2
maxmax
aA v
vv
   
        
(*)
- Thế các giá trị giả thiết đã cho vào biểu thức (*) được:
2 2
2
40 3A 10
1
2020
   
         
A = 5cm.
 Đáp án A.
Ví dụ 5: Gọi M là trung điểm của đoạn AB trên quỹ đạo chuyển động của một vật dao động điều hòa. Nếu gia
tốc tại A và B lần lượt là -2 cm/s2 và 6 cm/s2 thì gia tốc tại M là
A. 2cm/s2 B. 1cm/s2 C. 4 cm/s2 D. 8 cm/s2
Phân tích: Một dạng bài khá là hay, áp dụng công thức hình giải tích tìm ra được li độ tại trung điểm rồi từ đó
nhân 2 vế với –ω2 để có thể tìm ra được một hệ thức liên hệ gia tốc ở các vị trí. Từ đó ta có thể tìm được gia tốc
tại trung điểm tại M.
Lời giải
+Trung điểm M của đoạn AB được xác định là: xM = A B
x x
2

nhân cả 2 vế với –ω2 ta được:
–ω2xM =
2 2
A B
ω x ω x
2
  A B
M
a a 2 6
a
2 2
  
   = 2 cm/s2.
 Đáp án A.
Bài toán 1: Một chất điểm dao động điều hòa với biện độ 5cm, chu kì 0,4s. Tính vận tốc của quả cầu tại thời
điểm vật có li độ 3 cm và đang chuyển động theo chiều dương.
A. v = 62,8 cm/s. B. v = - 62,8 cm/s. C. v =  62,8 cm/s. D. v = 62,8 m/s.
Bài toán 2: Một vật nhỏ khối lượng 100g dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng dài 20 cm với tần số góc
6 rad/s . Tính vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật.
A. vmax = 0,6 m/s; amax = 3,6 m/s2 B. vmax = 0,8 m/s; amax = 3,6 m/s2
C. vmax = 0,6 m/s; amax = 4,6 m/s2 D. vmax = 0,8 m/s; amax = 4,6 m/s2
Bài toán 3: Một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 10 cm và thực hiện 50 dao động trong 78,5s.
Tìm vận tốc của vật khi nó đi qua vị trí có tọa độ x = - 3 cm theo chiều hướng về vị trí cân bằng.
A.  0,16 m/s. B. – 0,16 m/s. C. 0,16 m/s. D. 16 m/s.

Bài toán 4: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Lúc vật ở li độ x = - 2 cm thì có vận tốc
v π /s2cm  và gia tốc a = π2 2 cm/s2. Tốc độ cực đại của vật là
A. 2π cm/s. B. 10π cm/s. C. 20π cm/s. D. 4π cm/s.
Bài toán 5: Gọi P là trung điểm của MN trên quỹ đạo chuyển động của vật dao động điều hòa. Biết gia tốc tại M
và tại N lần lượt là -3 cm/s2 và 7 cm/s2. Gia tốc của vật tại P là
A. 4 cm/s2. B. 1 cm/s2. C. 2 cm/s2. D. 3 cm/s2.
Bài toán 6: Gọi M là điểm của đoạn AB trên quỹ đạo chuyển động của một vật dao động điều hòa. Biết gia tốc
tại A và B lần lượt là –3 cm/s2
và 6 cm/s2 đồng thời chiều dài đoạn AM gấp đôi chiều dài đoạn BM. Tỉ số gia
tốc B
M
a
a
là
A. 2. B. 1. C. 5. D. 3.
Bài toán 7: Một vật dao động điều hòa tại các thời điểm t1 , t2 có giá trị tương ứng là v1 = 0,12 m/s,
, /2v 0 16m s , a1 = 0,64 m/s2, a2 = 0,48 m/s2. Biên độ và tần số góc dao động của con lắc là
A. 5 cm; 4 rad/s B. 3 cm; 6 rad/s. C. 4 cm; 5rad/s D. 6 cm; 3rad/s.
Bài toán 8: Một vật dao động điều hòa với gia tốc cực đại amax và tốc độ cực đại vmax. Tần số dao động là
A. f = max
max
a
2π.v
B. f =
2
max
max
4π a
v
C. f = max
2
max
a
4π .v
D. f = max
max
2πa
v
Bài toán 9: Một vật dao động điều hòa với chu kì
π
2
s và khi qua vị trí cân bằng nó có vận tốc bằng 20 cm/s.
Gia tốc cực đại của vật là
A.
80
π
cm/s2. B.
160
π
cm/s2. C. 80 cm/s2. D. 100 cm/s2.
Bài toán 10: Một vật dao động điều hòa với chu kì T =
π
5
s, khi vật có li độ x = 2 cm thì vận tốc tương ứng là
v 320 (cm/s). Biên độ dao động của vật nhận giá trị
A. 2 3 cm. B. 5 cm. C. 4 3 cm. D. 4 cm.
1. A 2. A 3. C 4. A 5. C 6. A 7. A 8. A 9. C 10. D
Ví dụ 6: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 100N/m dao động điều hòa dưới tác dụng của lực hồi phục có
phương trình F = 5cos
5π
2πt
6
 
 
 
(N). Cho π2
= 10. Biểu thức vận tốc là
A. v = 10πcos
2π
2πt
3
 
 
 
(cm/s). B. v = 10πcos
5π
2πt
6
 
 
 
(cm/s).
C. v = 10πcos
π
2πt
6
 
 
 
(cm/s). D. v = 20πcos
π
2πt
6
 
 
 
(cm/s).
Phân tích: Bài toán trên cho phương trình lực hồi phục tìm phương trình vận tốc có thể nói đây là dạng bài
toán ngược rất hay, giải quyết bài toán này nhanh gọn chúng ta cần thao tác từng bước viết phương trình tổng
quát biến đổi so sánh, đối chiếu và thế giá trị đã có tìm phương trình vận tốc. Tư duy muốn tìm được phương
trình vận tốc chúng ta cần tìm phương trình li độ sau đó đạo hàm phương trình li độ theo thời gian đó chính là
phương trình vận tốc quan sát đáp án của bài toán chúng ta cần biến đổi một bước lượng giác nữa đưa chúng
về dạng theo yêu cầu bài toán ra.
Lời giải
+ Lực kéo về (lực hồi phục) làm cho vật dao động điều hòa có dạng:

F = - kx = - kAcos(ωt + φ) (⋇)
+ Theo đề ra, lực này có biểu thức F = 5cos
5π
2πt
6
 
 
 
nên
F = - kx = - kAcos(ωt + φ) = F = 5cos
5π
2πt
6
 
 
 
(N).
- So sánh đối chiếu dễ dàng thấy được ω = 2 rad/s và phương trình:
x = - 0,05cos
5π
2πt
6
 
 
 
(m) = 0,05cos
5π
2πt π
6
 
  
 
(m) = 5cos
π
2πt
6
 
 
 
(cm).
+ Nên suy ra phương trình vận tốc là: v = - 10πsin
π
2πt
6
 
 
 
= 10πcos
2π
2πt
3
 
 
 
(cm/s).
 Đáp án A.
Ví dụ 7: Vật có khối lượng m = 500g dao động điều hòa dưới tác dụng của một lực kéo có biểu thức
 F 0,8cos4t N  (t đo bằng s). Biên độ dao động của vật là
A. 0,8 cm. B. 6 cm. C. 12 cm. D. 10 cm.
Phân tích: Để vật dao động điều hòa thì lực kéo về tác dụng lên vật phải có độ lớn tỉ lệ với độ lớn li độ và chiều
luôn hướng về vị trí cân bằng (F = - mω2x). Bài toán này ta chỉ cần viết phương trình tổng quát ra rồi đối chiếu
sử dụng dữ kiện bài cho m và tần số góc ω tìm được từ phương trình từ đó tìm ra mối liên hệ biểu thức tính A!
Lời giải
+ Lực kéo về (lực hồi phục) làm cho vật dao động điều hòa có dạng:
F = - kx = -mω2x = - m ω2Acos(ωt + φ) (⋇)
+ Theo đề ra, lực này có biểu thức F = - 0,8cos4t (N)
+ Đối chiếu F = - 0,8cos4t (N) với biểu thức tổng quát (⋇) ta được ω = 4 (rad/s) và mω2A = 0,8 (N).
Nên suy ra: A =
2 2
0,8 0,8
mω 0,5.4
 = 0,1 m = 10 cm.
 Đáp án D.
Bình luận: Nếu học nghiên cứu tới chủ đề sắp tới “CÁC LOẠI DAO ĐỘNG” sẽ thấy đây là bài toán liên hệ giữa
biên độ dao động của vật với biên độ của ngoại lực. Từ phương trình F = - 0,8cos4t (N) thấy ngay biên độ của lực
F0 = 0,8 N. Tới đây chắc hẳn nếu một chút vội vã sẽ có nhiều bạn chọn đáp án A sẽ sai hoặc sẽ thấy hoài nghi là
bài toán sai và mâu thuẫn về đơn vị của biên độ. Vì bài toán yêu cầu chúng ta tìm biên độ của vật chứ không phải
là tìm biên độ của lực nên phương án đúng phải là D.
Ví dụ 8: Một chất điểm có khối lượng m = 200g dao động điều hòa với phương trình: x = 5cos(10t +
π
2
)cm.
Hỏi tốc độ của chất điểm khi lực tác dụng lên chất điểm bằng 0,8N.
A.  30 cm/s. B. 30 cm/s. C. 60cm/s. D.  60 cm/s.
Phân tích: Bài toán cho m, ω và yêu cầu tìm tốc độ của chất điểm khi lực tác dụng lên chất điểm bằng 0,8N,
nhìn thấy ngay mối quan hệ giữa các đại lượng thông qua hệ thức độc lập Fhp = k x = mω2 x sẽ tìm được li độ
x. Như chúng ta đã biết dấu hiệu bài toán nếu cho biết phương trình dao động, cho li độ x, bắt tìm vận tốc v thì
nghĩ ngay đến sử dụng công thức 2 2
v ω A x   .
Lời giải
+ Ta có độ lớn lực hồi phục: Fhp = mω2 x = 0,8 N  x = 0,04m.
+ Thế các giá trị : 2 2
v ω A x   =  2 2
10 5 4   30 cm/s.
Chú ý: Vì yêu cầu bài toán tìm tốc độ nên chỉ lấy độ lớn (giá trị dương) là: 30 cm/s.

 Đáp án B
Ví dụ 9: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì 2 s và biên độ là 10 cm. Tại thời điểm t, lực
hồi phục tác dụng lên vật có độ lớn F = 0,148 N và động lượng của vật lúc đó p = 0,0628 kgm/s. Tính khối
lượng của vật nặng
A. 0,25kg. B. 0,10kg C. 0,2kg. D. 0,15kg.
Phân tích: Bài toán có cả thành phần động lượng cảm giác khi đọc xong bài toán có vẻ thấy bỡ ngỡ, thực ra
đây là kiến thức vật lý lớp dưới không xa lạ gì cả chúng ta cần biết nhớ nắm rõ 1 số công thức và kiến thức cơ
bản nền tảng môn vật lý lớp dưới có thể vận dụng giải tốt một số bài toán chương trình 12. Nhắc lại công thức
tính động lượng (p = m.v) . Với bài toán này dựa vào công thức tính độ lớn lực hồi phục Fhp = k x = mω2 x và
công thức tính động lượng p = m.v ta sẽ rút được x và v kết hợp với dữ kiện bài cho biên độ A, chu kì T ta tính
được tần số góc ω. Biết ω, x, và A áp dụng hệ thức độc lập liên hệ giữa A, x và v: A2 = x2
2
2
v
ω
 đương nhiên tìm
được v rồi từ đó thay vào công thức tính động lượng tìm được khối lượng m như yêu cầu của bài toán:
Lời giải
+ Từ dữ kiện bài cho phối hợp được hệ phương trình
2
hp
2 2
2
2
x
p mv
F k x mω
A
v
x
ω
 






 

2
2 2
2
2 24
F p
A
m ω
mv
ω
p

 
 
 
m (∗)
+ Tần số góc ω =
2π
π
2
 rad/s; A = 0,1 m.
+ Thế các giá trị đã biết vào (∗) tìm được: m = 0,25 kg.
 Đáp án A.
Câu hỏi mở rộng: Động lượng và gia tốc của vật nặng 1kg dao động điều hòa tại các thời điểm t1 , t2 có
giá trị tương ứng p1 = 0,12 kgm/s, p2 = 0,16 kgm/s, a1 = 0,64 m/s2, a2 = 0,48 m/s2. Biên độ và tần số góc dao
động của con lắc là bao nhiêu?
(Đáp án: A = 5cm, ω = 4 rad/s)
Câu 1: Dao động cơ điều hòa đổi chiều khi
A. lực tác dụng đổi chiều. B. lực tác dụng bằng 0.
C. lực tác dụng có độ lớn cực đại. D. lực tác dụng có độ lớn cực tiểu.
Câu 2: Lực kéo về tác dụng lên một chất điểm dao động điều hòa có độ lớn
A.Tỉ lệ với độ lớn của li độ và luôn hướng về vị trí cân bằng.
B. Tỉ lệ với bình phương biên độ.
C. Không đổi nhưng hướng thay đổi.
D. hướng không đổi.
Câu 3: Lực tác dụng gây ra dao động điều hòa của một vật luôn................................................................................................
Mệnh đề nào sau đây không phù hợp để điền vào chỗ trống trên?
A. biến thiên điều hòa theo thời gian.
B. hướng về vị trí cân bằng.
C. có biểu thức F = - kx.
D. có độ lớn không đổi theo thời gian.
Câu 4: Trong dao động điều hòa, lực kéo về biến đổi
A. Cùng pha với li độ. B. Ngược pha với li độ.

C. Sớm pha
π
2
so với li độ. D. Trễ pha
π
2
so với li độ.
Câu 5: Chọn câu sai . Một vật dao động điều hòa với tần số góc ω, biên độ A. Khi vật ở vị trí li độ x, vật có vận
tốc v. Công thức liên hệ giữa các đại lượng đó là
A.
2
2
2
v
A x
ω
  B. x =
2
2
2
v
A
ω
  C. 2 2
v ω A x   D.
2
2 2
v
ω
A x
 

Bài toán1: Một chất điểm có khối lượng m = 100g chuyển động trên trục Ox dưới tác dụng của lực F = - 2,5x
(x là tọa độ của vật đo bằng m, F đo bằng N). Kết luận nào sau đây là sai?
A. Vật này dao đông điều hòa.
B. Gia tốc của vật đổi chiều khi vật có tọa độ x = A (A là biên độ dao động).
C. Gia tốc của vật a = - 25x (m/s2)
D. Khi vận tốc của vật có giá trị bé nhất, vật đi qua vị trí cân bằng.
Bài toán 2: Một vật có khối lượng 400g chịu tác dụng của một lực có dạng F = - 0,8sin5t (N) ( với t đo bằng
giây) nên dao động điều hòa. Biên độ dao động của vật là
A. 18 cm. B. 8 cm. C. 32 cm. D. 30 cm.
Bài toán 3: Một vật có khối lượng 400g chịu tác dụng của một lực có dạng F = 0,8cos(5πt +
π
2
) (N) ( với t đo
bằng giây) nên dao động điều hòa. Biên độ dao động của vật là
A. 12 cm. B. 0,8 cm. C. 20 cm. D. 8 cm.
Bài toán 4: Một vật dao động điều hòa: Tại vị trí x1
lực kéo về có độ lớn F1
có tốc độ là v1
. Tại vị trí x2
lực kéo
về có độ lớn F2
có tốc độ là v2
. Biếtv F1
= 2F2
và v2
= 2v1
. Biên độ dao động của vật như thế nào?
A. 4x2
B. 2x1
C. √5x2
D. 5x1
Bài toán 5: Một vật dao động điều hòa, vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng có độ lớn 20π cm/s và gia tốc
cực đại là 200π2 (cm/s2). Tính biên độ dao động
A. 2 cm. B. 10 cm. C. 20 cm. D. 4 cm.
Bài toán 6: Một vật dao động điều hòa dọc trục x quanh gốc tọa độ với phương trình x = Acos(4πt + φ) với t
tính bằng s. Khi pha dao động là π thì gia tốc của vật là 8 m/s2. Lấy π2 = 10. Tính biên độ dao động
A. 5 cm. B. 10 cm. C. 20 cm. D. 4 cm.
Bàit toán 7: Biểu thức lực tác dụng lên vật trong dao động điều hòa con lắc lò xo là F = kAcos
π
ωt
2
 
 
 
N. Chọn
biểu đáp án đúng
A. t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
B. t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
C. t = 0 lúc vật qua vị trí biên A.
D. t = 0 lúc vật qua vị trí biên –A.
Bài toán 8: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 100 N/m dao động điều hòa dưới tác dụng của lực hồi phục có
phương trình F = 5cos(
5π
2πt
6
 ). Thời điểm t = 0 vào lúc
A. x =
5 3
2
cm; v < 0. B. x =
5 3
2
cm; v > 0.
C. x = -
5 3
2
cm; v > 0. D. x =
5 3
2
cm; v <0.
Bài toán 9: Một vật dao động điều hòa theo phương Ox với phương trình x = 6cos
π
(4t )
2
 với x tính bằng cm,
t tính bằng giây. Tốc độ của vật có giá trị lớn nhất là
A. 1,5 cm/s. B. 144 cm/s. C. 24 cm/s. D. 240 cm/s.

Đáp án lý thuyết: (1.C; 2.A; 3.D; 4.B; 5.D)
Đáp án bài tập
1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 7. A 8. A 9. C
Trích đoạn nhỏ trang mở đầu phần ngẫu nhiên trong sách ở vấn đề nhỏ dạng nhỏ
 NEXT
VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

I – Đặt vấn đề
Trong chương “ Dao động cơ học” chương trình 12 chúng ta đang học những bài toán có liên quan đến các
đại lượng biến thiên điều hòa. Ta thấy phần dao động này để giải các bài tập thì kiến thức toán học liên quan
đến đó là các công thức lượng giác, giải phương trình lượng giác biến đổi lượng giác gọi cách khác là phương
pháp đại số thông dụng và truyền thống. Trong những năm trở lại đây theo chủ chương của Bộ giáo dục và đào
tạo đối với kì thi quốc gia môn vật lý thi theo hình thức trắc nghiệm nên đòi hỏi mỗi học sinh cần có một chiến
thuật phương pháp giải nhanh để có thể giải quyết được các bài toán nhanh và chính xác, để phù hợp với cách
học chương trình hiện nay với phương pháp giải nhanh tối ưu và nhanh đối với chủ đề này.
Xin giới thiệu đến quý độc giả phương pháp dùng “ Đường tròn lượng giác” để giải các bài tập dao động
điều hòa. Vậy để các bạn có thể hiểu và làm chủ phương pháp xin nêu bao quát kiến thức tổng quan.
II – Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ góc ω thì hình chiếu của nó trên đường kính dao động điều
hòa với tần số góc ω.
Vì vậy xây dựng mối tương quan, chúng ta nên chuyển chuyển động tròn đều sang dao động điều hòa. Vì
việc đưa vào khái niệm chuyển động tròn đều để “ Vật lý hóa” phương thức biểu diễn. Thực chất đây là việc
giải phương trình lượng giác dùng công cụ là đường tròn lượng giác (phương pháp hình học).
1 – Cở sở lý thuyết và ứng dụng giải một số dạng bài tập
Xét chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo bán kính R = OM = A với tốc độ góc (tốc độ quay của
vật trên đường tròn) là ω và pha ban đầu φ (vị trí ban đầu của vật trên đường tròn hợp với trục Ox một góc
φ).
- Tại thời điểm t góc tạo bởi trục Ox là ωt + φ
- Hình chiếu của điểm M trên trục Ox có tọa độ (so với O) là: x = Acos(ωt + φ).
Nhận xét: đây chính là biểu thức của dao động điều hòa. Vậy khi khảo sát một vật dao động có dạng
 x Acos ωt φ  có thể được biểu diễn tương đương với một chuyển động tròn đều. Bên cạnh cách biểu
diễn ta cần chú ý thêm:
- Thời gian để chất điểm quay hết một vòng ( o
360 ) hay là 2π (rad/s) là hết một chu kì T.
- Chiều quay của vật ngược chiều kim đồng hồ.
⋇ Quy ước về dấu
⋄Quy ước chiều dương là chiều từ trái sang phải (như hình vẽ)
Suy ra:
- Ở nửa trên vòng tròn (tại những vị trí nằm trên trục Ox) hình chiếu chất điểm đi theo chiều âm, chất điểm
có vận tốc âm (li độ đang giảm).
- Ở nửa dưới vòng tròn (tại những vị trí nằm trên trục Ox) hình chiếu chất điểm đi theo chiều dương, chất
điểm có vận tốc dương (li độ đang tăng).
Li độ x
φ
O
cos
A-A
sin
x
y
•
M0
ω
ωt
Mt
•

Lưu ý: Tại 1 tọa độ của dao động điều hòa có 2 vị trí tương ứng trên đường tròn lượng giác, tùy theo đề bài
mà ta có thể phân biệt được hai vị trí này.
- Đối với gia tốc: ta đã biết biểu thức vận tốc: a = - ωx. Vậy nên gia tốc luôn ngược dấu với li độ
Suy ra:
- Tại những điểm nằm bên trái trục Ox, vật có gia tốc dương.
- Tại những điểm nằm bên phải trục Ox, vật có gia tốc âm.
- NEXT
O
cos x
A-A
sin
+
• •

Ngoài những bài toán trên chúng ta cùng nghiên cứu thêm một số bài toán tổng hợp đặc biệt có thể nói đây là
loại bài toán đòi hỏi người giải có tư duy về hiện tượng vật lý.
1. Một số lưu ý cần nắm.
Một vật dao động điều hòa là dao động mà trạng thái dao
động được mô tả bằng định luật dạng cos (hoặc) sin đối với
thời gian:
Dạng phương trình tổng quát: x = Acos(ωt + φ) có pha là
(ωt + φ) ta đặt ϕ = (ωt + φ).
- Phương trình vận tốc: v = -Aωsin(ωt + φ)
- Phương trình vận tốc: a = -Aω2cos(ωt + φ) = -ω2x
⊛Phối hợp với vòng tròn lượng giác thấy rõ được tính chất
- Vecto vận tốc v luôn cùng hướng với hướng chuyển động
của vật còn vecto gia tốc a luôn hướng về vị trí cân bằng.
Hệ quả:
⋇ Góc phần tư thứ (І) vật đi từ x = A đến x = O
π
0
2
 
   
 
thì ( x > 0; v < 0; a < 0 ) vật chuyển động
nhanh dần(không đều) theo chiều âm vì a.v >0.
⋇ Góc phần tư thứ (ІI) vật đi từ x = O đến x = - A
π
π
2
 
   
 
thì ( x < 0; v < 0; a >0 ) vật chuyển động
chậm dần (không đều) theo chiều âm vì a.v <0.
⋇ Góc phần tư thứ (ІII) vật đi từ x = -A đến x = O
3π
π
2
 
   
 
thì ( x < 0; v > 0; a >0 ) vật chuyển động
nhanh dần (không đều) theo chiều dương vì a.v >0.
⋇ Góc phần tư thứ (ІV) vật đi từ x = O đến x = A
3π
2π
2
 
   
 
thì ( x > 0; v > 0; a < 0 ) vật chuyển động
chậm dần (không đều) theo chiều dương vì a.v <0.
 Tóm tắt dễ nhớ:
+) Khi đi từ vị trí cân bằng đến vị trí biên: vận tốc v giảm, chuyển động chậm dần (không đều) (a.v < 0; a
v ), vecto gia tốc a và vecto vận tốc v ngược chiều. Khi nghiên cứu chủ đề con lắc lò xo sẽ thấy động
năng giảm, thế năng tăng.
+) Khi đi từ vị trí biên đến vị trí cân bằng: vận tốc v giảm, chuyển động chậm dần (không đều)
(a.v < 0; a v ), vecto gia tốc a và vecto vận tốc v cùng chiều. Khi nghiên cứu chủ đề con lắc lò xo sẽ thấy
động năng tăng, thế năng giảm.
- NEXT
π
+
(І)(ІІ)
(ІІІ) (ІV)
O-A A

DẠNG 3: Xác định khoảng thời gian vật đi từ vị trí có li độ x1 đến vị trí có li độ x2
1. Về kiến thức toán học cần lưu ý
Có thể nói dạng bài toán tìm khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến vị trí có li độ x2 là dạng bài
toán cơ bản và cực kì quan trọng nó dạng toán nền tảng, trên cơ sở dạng toán này chúng ta vận dụng để giải
rất nhiều các bài toán mở rộng. Trước khi để tìm hiểu phương pháp chúng ta cần hình dung rõ lại đường tròn
lượng giác vì phương pháp chung giải dạng toán này đó chính là sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa
và chuyển động tròn đều và kiến thức toán liên quan đến các công thức biến đổi lượng giác, giải phương trình
lượng giác.
2. Kiến thức cần biết: Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều. Khi vật dao động
điều hòa di chuyển từ vị trí x1 đến vị trí x2 thì tương ứng với vật chuyển động tròn đều từ M đến N với vận tốc
góc là ω, bánh kính R = A(biên độ).
Lưu ý: x1 và x2 là hình chiếu vuông góc của M và N lên trục Ox.
- Thời gian ngắn nhất vật chuyển động từ vị trí x1 đến vị trí x2
bằng thời gian vật chuyển động tròn đều từ M đến N (cung tròn
MN̂ ) là:
t =
α α
T
ω 2π

(Với ω là tần số góc của dao động điều hòa đơn vị rad/s).
3. Quy trình giải
Bước 1: Biểu diễn dao động điều hòa trên đường tròn. Vẽ đường tròn có bán kính R = A (biên độ) và trục Ox
nằm ngang.
Bước 2: Xác định vị trí x1 trên đường tròn và chiều chuyển động của vật (v1 > 0; v1 < 0 hay v1 = 0) và xác định
vị trí x2 trên đường tròn và chuyển động của vật(v2 > 0; v2 < 0 hay v2 = 0).
N M
α
- A A
x
M’N’
O
•
x1x2
••
- -1
0(2π)
1
1
-
-
-
-
-
π(hoặc -π)
-1
-
-
--
O cos
•• •• •• •••
sin tan
cot
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Bước 3: Sử dụng các kiến thức hình học để xác định tìm được góc quét được mà vật chuyển động tròn đều từ
vị trí x1 đến vị trí x2 đó là góc ∆φ.
Bước 4: Thời gian vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2 là:
- NEXT
∆t =
φ φ
T.
ω 2π
 


DẠNG 5: Khoảng thời gian chuyển dời giới hạn trong một chu kì
1. Khoảng thời gian trong một chu kì vật cách VTCB một khoảng lớn hơn, nhỏ hơn:
A
2
;
A 2
2
;
A 3
2
Ví dụ 1: Chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách VTCB một
khoảng nhỏ hơn một nửa biên độ là
A.
T
3
B.
2T
3
C.
T
6
D.
T
2
Thực chất bài toán này là dạng cho chu kì, tìm khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2. Chỉ là cách
hỏi mở rộng phát triển tư duy hơn.
Vì khoảng cách từ các điểm đến vị trí cân bằng nhỏ hơn
A
2
nên tọa độ của chất điểm phải nhận các giá trị
thỏa mãn
A
x
2
A
x
2



  

(phần gạch chéo ở sơ đồ là loại bỏ).
+ Dễ dàng dựa sơ đồ để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: t = 4∆t =4.
T
12
=
T
3
 Đáp án A.
Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách VTCB
một khoảng nhỏ hơn
A 2
2
là
A.
T
3
B.
2T
3
C.
T
6
D.
T
2
Vì khoảng cách từ các điểm đến vị trí cân bằng nhỏ hơn
A 2
2
nên tọa độ của chất điểm phải nhận các giá
trị thỏa mãn
A 2
x
2
A 2
x
2




 

(phần gạch chéo sơ đồ dưới đây là loại bỏ).
+ Dễ dàng dựa sơ đồ để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: t = 4∆t =4.
T
8
=
T
2
 Đáp án D.
Bình luận: đối với dạng toán này chúng ta nên vẽ sơ đồ trục phân bố thời gian ra rồi dựa điều kiện bài toán tìm
khoảng thời gian thỏa mãn yêu cầu, chú ý đến cụm từ (lớn hơn, nhỏ hơn, không lớn hơn hoặc không nhỏ hơn)
hiểu cho đúng.
VTCB
–A A
O–A A

Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để vật cách VTCB
một khoảng lớn hơn một nửa biên độ là
A.
T
3
B.
2T
3
C.
T
6
D.
T
2
Thực chất bài toán này là dạng cho chu kì, tìm khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2. Chỉ là cách
hỏi mở rộng phát triển tư duy hơn và bài toán này ngược với bài toán ở ví dụ 1, ví dụ 2.
Vì khoảng cách từ các điểm đến vị trí cân bằng lớn hơn
A
2
nên tọa độ của chất điểm phải nhận các giá trị thỏa
mãn
A
x
2
A
x
2



  

(phần gạch chéo sơ đồ dưới đây là loại bỏ).
+ Dễ dàng dựa sơ đồ để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: t = 4∆t =4
T
6
=
2T
3
 Đáp án B.
 NEXT
VTCB
–A A

Chủ đề 5: Đồ thị dao động
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Đồ thị của dao động điều hòa
Xét phương trình dao động x = Acos(ωt + φ), chọn gốc thời gian và chiều dương trục tọa độ thích hợp φ = 0.
Lập bảng biến thiên của li độ x theo thời gian t và đồ thị biểu diễn x theo t (hình vẽ).
2. Đồ thị li độ, vận tốc và gia tốc dao động điều hòa vẽ chung trên một trục tọa độ
Đồ thị trường hợp φ = 0
t 0 T
4
T
2
3T
4
T
x A 0 -A 0 A
v 0 -Aω 0 Aω 0
a -Aω2 0 Aω2 0 -Aω2
3. Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa
a Sự bảo toàn cơ năng
Dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo dưới tác dụng của lực thế (trọng lực và lực đàn hồi…) và không có
ma sát nên cơ năng của nó được bảo toàn. Vậy cơ năng của vật được bảo toàn.
b. Biểu thức thế năng
-Xét con lắc lò xo. Tại thời điểm t bất kì vật có li độ x = Acos(ωt + φ) và lò xo có thế năng
Et =
1
2
kx2 =
1
2
kA2 cos2(ωt + φ) =
1
2
mω2A2cos2(ωt + φ)
t ωt x
0 0 A
π
2ω
π
2
0
π
ω
π -A
3π
2ω
3π
2
0
2π
ω
2π A
Bảng biến thiên của x theo t
Hình: Đường biểu diễn x = Acos(ωt+φ) với φ= 0. Trục hoành biểu
diễn thời gian t, trục tung biểu diễn li độ x. A là giá
trị cực đại của li độ x.
 Nhận xét: Đồ thị dao động điều hòa là một đường hình sin vì vậy
gọi là dao động hình sin.
tT
A
-A
T
T
T
T
2
T =
2π
ω
O
x
t
x, v, a
O
(1)
(2)
(3)
A
ωA
ω2A
-ω2A
ωA
A
a(t)
v(t)
x(t)
T
2
T
4
T

- Ta có đồ thị Et ứng với trường hợp φ = 0 như hình vẽ
c. Biểu thức động năng
Tại thời điểm t bất kì vật nặng m có vận tốc v = -Aωsin(ωt +φ)
và có động năng Eđ = 2 2 2 21 1
mv mA ω sin (ωt φ).
2 2
 
Đồ thị Eđ ứng với trường hợp φ = 0 (hình vẽ)
d . Biểu thức cơ năng năng
Cơ năng tại thời điểm t:
E = Eđ + Et = 2 21
mω A
2
Đồ thị Eđ, Et vẽ trong cùng một hệ trục tọa độ
B. Một số lưu ý khi giải bài tập
Thông thường trong các đề thi ra các dạng bài tập cho đồ thì bắt tìm các đại lượng..vv. do đó nghiên cứu dạng
bài toán này từ đây các bạn có nền tảng có thể làm phát triển tốt các dạng bài toán xuôi ngược!
 Lưu ý:
- Các đồ thị dao động điều hòa của li độ (x), vận tốc (v) và gia tốc (a) biến thiên điều hòa theo hàm số sin và
cos với chu kì T.
- Các đồ thị đồng năng và thế năng biến thiên tuần hoàn theo hàm số sin và cos với chu kì
T
2
.
⋇ Vận dụng giải các bài tập về đồ thị, chúng ta quan sát đồ thị tìm ra các đại lượng dựa quy luật sau:
+ Tìm biên độ dao động dựa vào trục giới hạn cắt điểm nào đó trên trục tung (tìm biên độ A, Aω hoặc Aω2).
+ Tìm chu kì dao động dựa vào sự lặp lại trên trục thời gian, hoặc dựa vào khoảng thời gian để vật nhận giá
trị nào đó.
+ Tại thời điểm t thì x = ?, v = ? , a = ? nhằm tìm được pha ban đầu φ và tần số góc ω.
+ Dựa vào đường tròn và vận dụng các công thức của dao động tìm các đại lượng và yếu tố cần tìm.
C. Kết luận quan trọng
- Đồ thị của x,v, a theo thời gian có dạng hình sin.
- Đồ thị của a theo v có dạng Elip
- Đồ thị của v theo x có dạng Elip.
- Đồ thị của a theo x có dạng đoạn thẳng.
- Đồ thị của F theo a là đoạn thẳng, F theo x là đoạn thẳng, F theo t là hình sin, F theo v là Elip.
- Đồ thị của động năng, thế năng theo thời gian là hình sin.
- Đồ thị của cơ năng theo thời gian là đường thẳng song song với trục Ot.
- Đồ thị của động năng, thế năng theo li độ x là cung parabol
- Đồ thị của cơ năng theo li độ x có dạng là đoạn thẳng.
Et
t
mω2A2
mω2A2
O
Ed
đ
mω2A2
mω2A2
t
Et
đ
mω2A2
mω2A2
t
Eđ
đ E

 NEXT
Chủ đề 4: DẠNG BÀI TẬP VỀ HAI CHẤT ĐIỂM DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA THỜI ĐIỂM VÀ SỐ LẦN HAI VẬT
GẶP NHAU, HAI VẬT CÁCH NHAU d
I – Phương pháp giải
Có 2 dạng toán điển hình
 Dạng 1: Bài toán hai vật gặp nhau, khoảng cách giữa hai vật.
- Trường hợp 1: hai vật dao động cùng tần số.
- Trường hợp 2: hai vật dao động khác tần số.
 Dạng 2: Hiện tượng trùng phùng
II – Hệ thống ví dụ và bài tập
Dạng 1: Bài toán hai vật gặp nhau, khoảng cách giữa hai vật.
- Trường hợp 1: hai vật dao động cùng tần số.
Ví dụ 1: Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 400 g, độ cứng lò xo 10π2 N/m dao động điều
hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền nhau (vị trí cân bằng hai vật đều ở gốc tọa độ). Biên độ của
con lắc thứ nhất lớn gấp đôi con lắc thứ hai. Biết rằng hai vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược chiều
nhau. Khoảng thời gian giữa ba lần hai vật gặp nhau liên tiếp là
A. 0,3 s. B. 0,2 s. C. 0,4s. D. 0,1 s.
Giả sử lần gặp nhau đầu tiên tại x, hai chuyển động tròn đều tương
ứng là vị trí M và N. Do hai dao động khi gặp nhau chúng chuyển động
ngược chiều nhau nên có thể giả sử M chuyển động ngược kim đồng
hồ còn N chuyển động thuận chiều kim đồng hồ. Vì cùng tần số góc
nên sau nửa chu kì, chúng chuyển động đến các vị trí đối xứng M’, N’
và hai dao động lại lặp nhau ở vị trí đối xứng x’. Vậy khoảng thời gian
giữa hai lần gặp nhau liên tiếp là
T
2
. Theo yêu cầu của bài toán tìm
khoản thời gian ba lần gặp nhau liên tiếp thì:
T
t 2.
2
  = T.
Ta có: T = 2π
2
m 0,4
2π 0,4
k 10π
  s.
 Đáp án C.
 Nhận xét: Giả sử ở thời điểm t0, hai con lắc có chu kì bằng nhau ở li độ x, sau nửa chu kì thì li độ của chúng đều
đổi dấu, tức là sẽ gặp nhau ở li độ - x. Do đó
- Khoảng thời gian hai lần liên tiếp hai con lắc gặp nhau là
T
2
.
- Khoảng thời gian n lần liên tiếp hai con lắc gặp nhau là:
T
t (n 1).
2
  
 NEXT
Hình vẽ
M
N
N’
M’
x
x’
A 2A

 NEXT
TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TẬP CHỌN LỌC ĐIỂN HÌNH, HAY, LẠ KHÓ VỚI LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ ĐẶC SẮC.
VÀ NGÂN HÀNG CÂU HỎI LÝ THUYẾT CỦNG CỐ ÔN TẬP. (phần này tuyển tập khoảng gần 200 bài tập hay
lạ khó nhé có lời giải chi tiết, giải thích và khoảng gần ngân hàng câu lý thuyết nữa) nhé !
I – Đặt vấn đề
Bàn luận: Dưới đây là tổng hợp chọn lọc chi tiết kỹ lưỡng nguồn bài tập có chất lượng và vận dụng cao được
sưu tầm từ nhiều nguồn trên cả nước (tài liệu biên soạn từ các thầy cô và các trích chọn lọc từ các đề thi thử
tại các trường THPT trên cả nước). Hy vọng rằng qua những bài tập chọn lọc + lời giải này phần nào giúp độc
giả tham khảo tiếp cận hiệu quả tốt các dạng bài điển hình, hay, mới lạ và khó dạng toán phong phú kỹ thuật
giải độc để tích lũy và có thể tự tin giải và học nâng cao chinh phục tuyệt đối dao động cơ.
II – Bài tập chọn lọc tổng hợp có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 5cos2πt (cm). Nếu tại một thời điểm nào đó vật
đang có li độ 3 cm và đang chuyển động theo chiều dương thì sau 0,25s vật có li độ 4 cm. Tốc độ trung bình
của vật trong khoảng thời gian đó là
A. 3 cm/s. B. 12 cm/s. C. 5 cm/s. D. 4 cm/s.
Hướng dẫn giải
+ Theo bài ra ta có: T =
2π 2π
1
ω 2π
  s.
+ Nhận thấy 0,25s =
T
4
vậy hai thời điểm x1 và x2 vuông pha do đó ta có thể áp
dụng công thức: 2 2 2 2 2 2
1 2x x A 3 4 A A 5       cm.
+ Quãng đường: S = S1 + S2 = (A – x1) + (A – x2) = (5 – 3) + ( 5 – 4) = 3 cm.
+ Tốc độ trung bình của vật đi trong khoảng thời gian 0,25s đó là:
,
tb
S 3
v 12
t 0 25
  

cm/s.
 Đáp án B.
Bài tập 3: Một vật dao động điều hòa có chu kì dao động T. Tại thời điểm t1 tỉ số vận tốc và li độ 1
1
v ω
x 3
 .
Sau thời gian ∆t tỉ số đó là 2
2
v
ω 3
x
 . Giá trị nhỏ nhất của ∆t là
A.
T
3
. B.
T
2
. C.
T
6
. D.
T
12
Theo bài ra ta có:
. .
1 21 1
2 21 1
1 1
2 1 2 2 2
2 12 2
2
v ω v x A 3x xx A x3 ω 3 23
v v A
ω 3 x 3 xA 3 x x
x ω 2
          
     
          
x2
x1
O A3
4

Vậy ∆tmin =
T T T
6 12 12
  .
 Đáp án D.
Bài tập 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 5cos
π
2πt
6
 
 
 
với x đo bằng cm, t đo bằng giây.
Khoảng thời gian lực đàn hồi (kéo về) sinh công dương trong
2
3
s đầu tiên là
A.
1
6
s. B.
1
2
s C.
1
4
s D.
5
12
s
+ Đối với con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa thì lực đàn hồi trùng với lực kéo về. Công của lực đàn hồi
(kéo về) bằng độ giảm thế năng đàn hồi. Lực đàn hồi (kéo về) sinh công dương khi vật chuyển động từ vị trí
biên về VTCB.
+ Theo bài ra: T = 1s
2π 2 2T
1s s
2π 3 3
   =
T 5T
4 12

+ Tại thời điểm t = 0 vật có li độ x0 =
5 3
2
cm theo chiều âm. Do vậy trong khoảng thời
2
3
s đầu tiên lực đàn
hồi (kéo về) sinh công dương chỉ trong khoảng thời gian ∆t =
5T
12
=
5
12
s.
 Đáp án D.
Bài tập 5: Một chất điểm dao động điều hòa, vào lúc lực hồi phục có công suất cực đại thì vật có li độ 4 cm và
tốc độ 40π (cm/s). Tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động là
A. 40 2 π cm/s. B. 40 cm/s. C. 3 m/s. D. 0,5 m/s.
+ Giả sử vật dao động phương trình: x = Acosωt thì: v = -Aωsinωt; a = -Aω2cosωt và F = - mω2Acosωt.
+ Công suất: p = F.v = - mω2Acosωt.(-Aωsinωt) = mω3A2cosωt.sinωt
1
p
2
  mω3A2sin2ωt
+ Dễ thấy P cực đại khi sin2ωt = 1
π
ωt
4
  . Vì lực hồi phục có công suất cực đại thì vật có li độ 4 cm và tốc
độ 40π (cm/s) nên ta có: 4 = Acos
π
4
và Aωsin
π
4
 40π A 4 2  cm và ω = 10π rad/s.
+ Vậy vận tốc cực đại của vật là: ωA = 40π 2 cm/s.
 Đáp án A.
Bài tập 6: Hai con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật treo có khối lượng lần lượt là 2m và m. Tại thời điểm ban
đầu đưa các vật về vị trí để lò xo không biến dạng và thả nhẹ cho hai vật dao động điều hòa. Biết tỉ số cơ
năng dao động của hai con lắc bằng 4. Tỉ số độ cưng của hai lò xo là
A. 4. B. 2. C. 8. D. 1.

+ Theo bài ra Tại thời điểm ban đầu đưa các vật về vị trí để lò xo không biến dạng và thả nhẹ cho hai vật dao
động điều hòa ta có:
1 0 2 2
1 1 2 2 1 2
2
2 1 2 11
2 02 2
2
g
A
ω A ω k m k
2
g A k m kω
A
ω

  

   
   

.
+ Tỉ số cơ năng: . .
2 2
1 1 1 1 2 1
2 2 2 1 22
k A k k k
4 4 2 1
k A k k
E
E k
   
        
   
.
 Đáp án D.
Bài tập 7: Cho hai con lắc lò xo dao động điều hòa cùng tần số và đồng pha. Biết độ cứng của các lò xo thỏa
mãn k1 = 3k2. Biên độ dao động A2 = 2A1. Tại thời điểm t động năng của con lắc thứ nhất là 0,36J thì thế
năng của dao động thứ hai là 0,12J. Hỏi tại thời điểm t’ khi động năng của con lắc thứ nhất là 0,24J thì thế
năng của con lắc thứ hai là bao nhiêu?
A. 0,9J. B. 0,3J. C. 0,4J. D. 0,5J.
+ Phương trình dao động tổng quát hai vật lần lượt là: x1 = A1cos(ωt + φ) và x2 = A2cos(ωt + φ)
+ Tại mọi thời điểm tỉ số thế năng:
2 2
2
1 1 1 1
1 1
2
2 2
2 2
2 2
t1 1
t2
2
2
2
1 1
k x k A k A 1 32 2 3.
1 1 4 4k Ak x k A
2 2
E E
E E
      .
+ Mặt khác: t1 t1 đ1 đ11
t2 2 t2 đ2 đ2
3E E E E
4
E
E E E E E
   


.
+ Tại thời điểm t, động năng của con lắc thứ nhất 0,36J thì thế năng của dao động thứ hai là 0,12J nên ta có:
đ1
đ2
đ2 đ2
0,36 3
4
E
E 0,48J.
E E
   Vậy cơ năng con lắc thứ hai là E2 = 0,48 + 0,12 = 0,6J.
+ Tại thời điểm t’, động năng của con lắc thứ nhất 0,24J thì thế năng của dao động thứ hai là
đ1
đ2
đ2 đ2
0,24
8
E'
E' 0,3J.
E' E'
   Thế năng của con lắc thứ hai là Et2 = E2 – E’2 = 0,6 – 0,3 = 0,3J.
 Đáp án B.
Bài toán 8: Một chất điểm dao động điều hòa. Khi vừa qua khỏi vị trí cân bằng một đoạn S động năng của
chất điểm là 0,096J. Đi tiếp một đoạn S thì động năng chỉ còn 0,084J và nếu đi thêm một đoạn S (biết A >
3S) nữa thì động năng bây giờ là
A. 0,076J. B. 0,072J. C. 0,064J. D. 0,032J.
Gọi A là biên độ dao động ta có động năng: Eđ =
2 2
kA kx
2 2

Khi vừa rời khỏi vị trí cân bằng một đoạn S thì động năng của chất điểm là 0,091J:
Eđ1 = E -
2 2
mω s
2
 0,096J(1);

Đi tiếp một đoạn 2S nữa thì động năng của chất điểm chỉ còn 0,084J: Eđ2 = E -
2 2
mω (3s)
2
 0,084J (2)
Lấy (1) – (2) được:
2 2
mω s
3
2
 0,012
2 2
mω s
2
  0,004J.
Eđ3 = E - đ3 đ1
2 2 2 2 2 2 2 2
mω (3s) mω s mω s mω s
E 8 E E 8
2 2 2 2
       0,096 – 8.0,004 = 0,064J.
 Đáp án C.
Bài tập 9: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng gốc O ở VTCB. Tại các thời điểm t1,
t2, t3 lò xo giãn a cm, 2a cm, 3a cm tương ứng với tốc độ của vật là b 8 cm/s, b 6 cm/s, b 2 cm/s. Tỉ số
giữa thời gian lò xo nén và lò xo giãn trong một chu kỳ gần giá trị nào nhất
A. 0,7. B. 0,5. C. 0,8. D. 0,6
Gọi x1, x2, x3 là li độ ứng với từng vị trí giãn lò xo.
Ta có công thức độc lập cho ba vị trí: x1= a - ∆𝓁0 và v1 = b 8 cm/s; x2 = 2a - ∆𝓁0 và v2 = b 6 cm/s;
x3 = 3a - ∆𝓁0 và v3 = b 2 cm/s.
( ) . ( ) . (*)
( ) . ( ) .
2 2 2 2
0 0
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
k a m 8b k 2a m 6b
2 2 2 2
1 1 1 1
k a m 8b k 3a m 2b
2 2 2 2

      
 
       

 (**)
. .
0
2 2
0
a 2
1 1
mb k 4
2 2
 


 
Thay (**) vào (*) ta được: ∆𝓁0 =
A
33
00 1
cosφ= φ 80
A 33

   
+ Thời gian nén là tnén =
2φ 2.80 4T
.T .T
360 360 9
   tgiãn = T -
4T 5T
9 9

+ Vậy tỉ số nén
giãn
t 4
0,8
t 5
 
 Đáp án C.
Bài tập 10: Một vật nhỏ chuyển động tròn đều theo chiều dướng (ngược chiều kim đồng hồ) trên một đường
tròn tâm (O) bán kính R nằm trong mặt phẳng xoy với tốc độ v. Tại thời điểm ban đầu vật có tọa độ
R 3 R
;
2 2
 
 
 
 
. Hoành độ của chất điểm trên tại thời điểm t được xác định là
A. x= Rcos
2π.v π
t
R 6
 
 
 
B. x= Rcos
v π
t
R 6
 
 
 
C. x= Rcos
2π.v π
t
R 3
 
 
 
D. x= Rcos
v π
t
R 6
 
 
 
+ Chuyển động tròn đều với vận tốc góc ω tương đương một dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng vậy ta có:

.
sin
0
0
v
ω
R
π
A R φ
6
R 3 v πx Rcosφ= x Rcos t2 R 6
R R
y φ
2 2


 
   
 
        

  
 Đáp án C.
Bài tập 11: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với phương
trình lần lượt x1= 2Acos(ωt+φ1) cm và x2 = 3Acos(ωt + φ2) cm. Tại thời điểm mà tỉ số vận tốc và tỉ số li độ
của dao động thứ hai so với dao động thứ nhất lần lượt là 1 và – 2 thì li độ dao động tổng hợp là 15 cm.
Tại thời điểm mà tỉ số vận tốc và tỉ số li độ của dao động thứ hai so với dao động thứ nhất lần lượt là – 2 và
1 thì giá trị lớn nhất của li độ dao động tổng hợp là bao nhiêu?
A. 6 3 cm. B. 2 15 cm. B. 4cm 6 . D. 2 21 cm.
+ Đặt a = cos(ωt + φ1) và b = cos(ωt + φ2) 2
1
x 3b
x 2a
  và
2
2
2
1
v 3 1 b
v 2 1 a



+ Tại thời điểm t1 thì:
2
2
21
2
1
v 153 1 b1 a1
v 62 1 a
x 2 153b2 b2x 92a
     
     
        
- Dễ thấy a và b trái dấu,để đơn giản chọn a < 0  b > 0.
+ Ta có: x = x1 + x2 = A(2a + b) = -2Aa= 15  A = 3 cm.
+) Tại thời điểm t2:
2
2
21 1
2 2
1
v 3 1 b 212 2 av x 2162 1 a
x 21 x 213b1 b1x 92a
                   
         
- Vậy li độ tổng hợp tại thời điểm t2: x = x1 + x2 = 21 +( 21 ) max
x 2 21  cm.
 Đáp án D.
trí thấp nhất, lò xo dãn nhiều nhất: TN max 0
F F k( A)    = 10 N.  Đáp án A.
Bài tập 12: Hai chất điểm A và B dao động điều hòa trên cùng một trục Ox với cùng biên độ. Tại thời điểm
t=0, chất điêm A ở biên dương, chất điểm B qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Chu kỳ dao động của chất
điểm A là T và gấp đôi chu kỳ dai động của chất điểm B. Tỉ số độ lớn vận tốc của chất điểm A và chất điểm B
ở thời điểm
T
6
là
A. 2 . B. 3 /2. C. 3 D.
2
1
y
xO
R

Theo bài ra ta có: TA = 2TB = T B
A
ω
ω
2
 

.
.
A
A
B
B
t 2π π
φ
T 3
t 2π 2π
φ
T 3

  


  

+ Dựa vào sơ đồ đường tròn biểu diễn ta có:
.
.
max(A)
A A
max(B)B B
v 3
v A ω 3 32
vv A ω 2
2

  

 Đáp án B.
Bài tập 13: Cho hai dao động điều hòa
với li độ x1 và x2 có đồ thị như (hình vẽ)
Tổng tốc độ của hai dao động ở cùng
một thời điểm có giá trị lớn nhất là
A. 280π cm/s.
B. 200π cm/s.
C. 140π cm/s.
D. 100π cm/s.
+ Chu kì dao động: T = 0,1s.
+ Dựa đồ thị ta có phương trình dao động của dao động một và hai lần lượt là: x1 = 8cos(20πt -
π
2
) cm (vì
khi t = 0 x01 = 0 và v10 > 0); x2 = 6cos(20πt - π) cm ( vì khi t = 0 x02 = -6 = - A2 và v20 > 0).
 Khi đó phương trình vận tốc của 2 dao động là:
+) v1 = - 160πsin(20πt -
π
2
) cm /s = 160πcos(20πt ) cm/s;
+) v2 = - 120πsin(20πt - π) cm/s = 120πcos(20πt) cm/s.
+) Tổng tốc độ của hai dao động ở cùng một thời điểm: v = v1 + v2 = 280πcos(20πt ) cm/s.
+) Tổng tốc độ của hai dao động ở cùng một thời điểm có giá trị lớn nhất là: 280π cm/s.  Đáp án A.
Bài tập 14: Con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa với chiều dài lò xo biến thiên từ 52 cm đến 64 cm.
Thời gian ngắn nhất chiều dài lò xo giảm từ 64 cm đến 61 cm là 0,3s. Thời gian ngắn nhất chiều dài lò xo
tăng từ 55 cm đến 64 cm là
A. 0,8s. B. 1,2s. C. 0,4s. D. 0,6s.
+ Biên độ dao động A = max min
2

 6cm.
O
O A
vmax(A) vmax(B)
t =0
t =0
x
-6
• •
O
• • •
63-3 x (cm)
0,5
x1
t(10-1s)
• ••••
x1
x2
1,51,0
O
8
6
-6
-8
2,0
x(cm)

+ Khi chiều dài lò xo giảm từ 64 cm đến 61 cm thì vật đi từ x1 = 6 cm đến x2 = 3 cm suy ra
T
0,3s T
6
   1,8s.
+ Chiều dài lò xo tăng từ 55 cm đến 64 cm thì vật đi từ x1 = - 3 cm đến x2 = 6 cm. Vậy
T T T
t
12 4 3
     0,6s.
 Đáp án D.
Bài tập 15: Hai dao động điều hòa dọc theo các trục kề nhau và cùng song song với trục Ox. Biết các vận tốc
v1 và v2 của chúng luôn thỏa mãn phương trình 4 2 2
1 2
v 9v 36  (cm/s2) và x2 chậm pha hơn x1. Vào thời
điểm vật thứ 1 có li độ và vận tốc lần lượt là x1 = 2 cm; v1 = - 1,5 cm/s thì li độ của vật thứ 2 là
A. 7/8 (cm). B. 8/9 (cm). C. – 7/8 (cm). D. – 8/9 (cm).
+ Theo bài ra cho 4 2 2
1 2
v 9v 36  (cm/s2)
2 2
1 2
v v
1
3 2
   
        
   
nhận thấy v1 và v2 vuông pha nên x1 và x2 cũng
vuông pha.
+ Thay v1 = - 1,5 cm/s vào phương trình đã cho và dùng vecto quay vào thời điểm đang xét ta có: 2
v s3cm/
và x2 >0.
+ Đạo hàm hai vế của phương trình đã cho ta được: 8a1v1 + 18a2v2 = 0 1 1
2
2
4x v
x
9v
   . Thay các giá trị x1; v1
và x2 tại thời điểm này ta được: x2 =
8
9
cm.
 Đáp án D.
CÒN RẤT NHIỀU BÀI Tập........nữa nhé......
TẤT CẢ TRÍCH ĐOẠN TRÊN ĐÓ ĐẤY CHỈ LÀ TRÍCH ĐOẠN NHỎ MẤY TRANG
ĐẦU MẤY CHỦ ĐỀ NHỎ !!!!! CÒN RẤT NHIỀU CHỦ ĐỀ, CÁC DẠNG, NHIỀU KỸ
THUẬT MỚI ĐIỀU ĐẶC BIỆT CÁC EM ĐÓN ĐỌC SỞ HỮU CUỐN SÁCH NHÉ.

Cinh phục bài tập dao độngcơ.

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (6)

Similaire à Cinh phục bài tập dao độngcơ.

Similaire à Cinh phục bài tập dao độngcơ. (20)

Plus de nam nam

Plus de nam nam (13)

Dernier

Dernier (20)

Cinh phục bài tập dao độngcơ.