※修正版をアップロードしました https://www.slideshare.net/naokisasaki128/tcfm-103138061

2. ??? ?
今⽇伝えたい内容
数学の問題を定義するのも⾯⽩いよ！
⼤学院の同期とハッカソンで作った時計
18/06/26 nsasaki128 2

3. 参加したハッカソン
• 500 startups主催
• テーマは『時間』
18/06/26 nsasaki128 3

4. ??? ?
当然の思考
時間
18/06/26 nsasaki128 4
数字
無理数
0123456789
⇡

5. ??? ?
無理数とは
繰り返しがない無限⼩数のこと
18/06/26 nsasaki128 5

6. ??? ?
無理数とは
繰り返しがない無限⼩数のこと
18/06/26 nsasaki128 6
代表的な無理数
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820
97494459230781640628620899862803482534211706798214808651328
2306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521
105559644622......
⇡

7. ??? ?
無理数とは
繰り返しがない無限⼩数のこと
18/06/26 nsasaki128 7
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820
97494459230781640628620899862803482534211706798214808651328
2306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521
105559644622......
⇡代表的な無理数

8. ??? ?
無理数とは
繰り返しがない無限⼩数のこと
18/06/26 nsasaki128 8
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820
97494459230781640628620899862803482534211706798214808651328
2306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521
105559644622......
⇡代表的な無理数

9. ??? ?
無理数とは
繰り返しがない無限⼩数のこと
18/06/26 nsasaki128 9
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820
97494459230781640628620899862803482534211706798214808651328
2306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521
105559644622......
⇡代表的な無理数

10. ??? ?
無理数とは
繰り返しがない無限⼩数のこと
18/06/26 nsasaki128 10
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510:58:20
97494459230781640628620899862803:48:253421:17:06798214808651328
2306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521
105559644622......
⇡代表的な無理数

11. 18/06/26 nsasaki128 11
無理数で
時間を表せる！！

12. 作ってみた
https://hyurumi.github.io/MuriSuDokei/
18/06/26 nsasaki128 12

13. 18/06/26 nsasaki128 13

14. ??? ?
とりあえず実装
• 4Gの のファイル(検索してみた)を取得
• C++組み込みのfindを⽤いた⽂字列検索
→遅すぎる
18/06/26 nsasaki128 14
⇡

15. ??? ?
解決策
4Gの のファイル
探索空間の削減（4G→???）
C++組み込みの⽂字列検索
探索アルゴリズムの⾼速化
18/06/26 nsasaki128 15
⇡

16. ??? ?
解決策
4Gの のファイル
◯探索空間の削減（4G→???）
C++組み込みの⽂字列検索
△探索アルゴリズムの⾼速化
18/06/26 nsasaki128 16
⇡

17. ??? ?
調べたいこと
4Gあるファイルサイズを削減したい
⼀番最後に⾒つかる時刻がわかれば、
ファイルサイズは⼗分
18/06/26 nsasaki128 17

18. ??? ?
問題設定
数字の並びがランダムと仮定して
000000~235959
までのすべての数字が揃うのに必要な数
の期待値を求めよ。
※円周率が正規数であるという証明はされていない
18/06/26 nsasaki128 18

19. ??? ?
実例( 3.14159265)
x[1]=141592
18/06/26 nsasaki128 19
⇡

20. ??? ?
実例( 3.14159265)
x[1]=141592
x[2]=
18/06/26 nsasaki128 20
⇡

21. ??? ?
実例( 3.14159265)
x[1]=141592
x[2]=41592
18/06/26 nsasaki128 21
⇡

22. ??? ?
実例( 3.14159265)
x[1]=141592
x[2]=415926
18/06/26 nsasaki128 22
⇡

23. ??? ?
実例( 3.14159265)
x[1]=141592
x[2]=415926
x[3]=
18/06/26 nsasaki128 23
⇡

24. ??? ?
実例( 3.14159265)
x[1]=141592
x[2]=415926
x[3]=15926
18/06/26 nsasaki128 24
⇡

25. ??? ?
実例( 3.14159265)
x[1]=141592
x[2]=415926
x[3]=159265
18/06/26 nsasaki128 25
⇡

26. ??? ?
実例( 3.14159265)
x[1]=141592
x[2]=415926
x[3]=159265
x[4]=
18/06/26 nsasaki128 26
⇡

27. ??? ?
実例( 3.14159265)
x[1]=141592
x[2]=415926
x[3]=159265
x[4]=59265
18/06/26 nsasaki128 27
⇡

28. ??? ?
実例( 3.14159265)
x[1]=141592
x[2]=415926
x[3]=159265
x[4]=59265? ←0-9のいずれか
18/06/26 nsasaki128 28
⇡

29. ??? ?
実例( 3.14159265)
x[1]=141592
x[2]=415926
x[3]=159265
x[4]=59265? ←0-9のいずれか
n+1番⽬の値はn番⽬の値に影響を受ける！
18/06/26 nsasaki128 29
⇡

30. ??? ?
問題の制約を⼀部緩和
n+1番⽬の値はn番⽬の値に影響を受ける
という制約をなくして考える。
18/06/26 nsasaki128 30

31. ??? ?
問題の制約を⼀部緩和
n+1番⽬の値はn番⽬の値に影響を受ける
という制約をなくして考える。
x[1]=141592
x[2]=245821
x[3]=459276
18/06/26 nsasaki128 31

32. ??? ?
問題設定（本来）
0~9の連続する並びがランダムな数字
を仮定して
000000~235959
までのすべての数字が揃うのに必要な数
の期待値を求めよ。
18/06/26 nsasaki128 32

33. ??? ?
問題設定（緩和版）
ランダムな6桁の数字の列
を仮定して
000000~235959
までのすべての数字が揃うのに必要な数
の期待値を求めよ。
18/06/26 nsasaki128 33

34. ??? ?
2つの独⽴した問題へ分割
18/06/26 nsasaki128 34
並びがランダムな
6桁の数字
000000
~
999999
時刻を表す
6桁の数字
000000
~
235959
初⾒の
時刻を表す
6桁の数字
1
2

35. ??? ?
2つの独⽴した問題へ分割
18/06/26 nsasaki128 35
並びがランダムな
6桁の数字
000000
~
999999
時刻を表す
6桁の数字
000000
~
235959
1
p =
24 ⇤ 60 ⇤ 60
1000000
, E =
1000000
24 ⇤ 60 ⇤ 60

36. ??? ?
2つの独⽴した問題へ分割
18/06/26 nsasaki128 36
時刻を表す
6桁の数字
000000
~
235959
初⾒の
時刻を表す
6桁の数字
2
クーポンコレクター問題と捉えられる

37. ??? ?
2つの独⽴した問題へ分割
18/06/26 nsasaki128 37
時刻を表す
6桁の数字
000000
~
235959
初⾒の
時刻を表す
6桁の数字
2
クーポンコレクター問題と捉えられる
複数存在する全ての
クーポンを揃える
のに何回クーポン
を引く必要がある
かという問題

38. ??? ?
クーポンコレクター問題の期待値
18/06/26 nsasaki128 38
期待値計算（各要素）
i種類の時刻が揃っている時
i+1種類⽬の時刻が出る確率piおよびE(ti)
pi = (n-i)/n
E(ti) = 1/pi = n/(n-i)
※n=24*60*60

39. ??? ?
クーポンコレクター問題の期待値
18/06/26 nsasaki128 39
期待値計算（全体）
期待値の線形性より
= (
n
n
+
n
n 1
+
n
n 2
+ · · · +
n
2
+
n
1
)
E(T) = ⌃n 1
i=0 E(ti)
= nH(n) ⇡ n log n

40. ??? ?
2つの独⽴した問題へ分割
18/06/26 nsasaki128 40
並びがランダムな
6桁の数字
000000
~
999999
時刻を表す
6桁の数字
000000
~
235959
初⾒の
時刻を表す
6桁の数字
1
2 E = n log n
E =
1000000
24 ⇤ 60 ⇤ 60

41. ??? ?
問題設定（緩和版）
並びがランダムな6桁の数字の列
と仮定して
000000~235959
までのすべての数字が揃うのに必要な数
の期待値を求めよ。
18/06/26 nsasaki128 41

42. ??? ?
問題設定（緩和版）
並びがランダムな6桁の数字の列
と仮定して
000000~235959
までのすべての数字が揃うのに必要な数
の期待値を求めよ。
(1000000/86400)*86400*log(86400)
18/06/26 nsasaki128 42

43. ??? ?
問題設定（緩和版）
並びがランダムな6桁の数字の列
と仮定して
000000~235959
までのすべての数字が揃うのに必要な数
の期待値を求めよ。
→ 約11,366,743
18/06/26 nsasaki128 43

44. ??? ?
再度挑戦！
• 22Mの の削減したファイル(4G→22M)
• C++組み込みのfindを⽤いた⽂字列検索
→速度は問題なし
※最後の⽂字が⾒つからない確率は
探索範囲を2倍にすれば1/4になる。ハズ
18/06/26 nsasaki128 44
⇡

45. ??? ?
代表的な無理数の結果
18/06/26 nsasaki128 45
最強の時間 最強の時間の場所
円周率 16:25:42 10,524,624
自然対数の底 14:54:06 11,460,352
黄金比 02:06:38 11,105,487
23:58:56 10,849,282
17:54:03 12,983,302
⇡
e
p
2
ln 2
※期待値:11,366,743

46. ??? ?
代表的な無理数の結果
18/06/26 nsasaki128 46
最強の時間 最強の時間の場所
円周率 16:25:42 10,524,624
自然対数の底 14:54:06 11,460,352
黄金比 02:06:38 11,105,487
23:58:56 10,849,282
17:54:03 12,983,302
⇡
e
p
2
ln 2
※期待値:11,366,743

47. まとめ
数学の問題を定義するのも⾯⽩いよ！
• 無理数時計を作ってみた
• ⼤容量の無理数では解けなかった
• 必要な桁数を頑張って期待値計算をした
• 実測したら概ね期待値通りだった
18/06/26 nsasaki128 47

48. 18/06/26 nsasaki128 48
おまけ

49. ??? ?
無理数時計にならない無理数
⼩数点以下の桁数が素数だけ1それ以外は0
0.01101010001010001010001000001......
無限⼩数(素数は無限)かつ循環⼩数でない
→無理数
0と1しかないので時刻が表せない!!!
18/06/26 nsasaki128 49