Relatividade

3ª Série - Murakami
FÍSICA - ROGÉRIO PORTO
Teoria da Relatividade Especial
1ª Parte: A questão da Simultaneidade
Vamos considerar a seguinte situação: dois raios caem nas
extremidades de um vagão que se desloca com velocidade v

, em
relação aos trilhos, conforme é ilustrado na figura abaixo. Imagine que,
além do observador na plataforma, também há um observador que viaja
dentro do vagão e que vê os raios caindo.
O que você diria da seguinte questão: Seriam esses dois eventos
simultâneos em relação ao observador no solo e em relação ao
observador dentro do vagão? Para responder, vamos analisar o que diz
cada observador.
 Para o observador parado na plataforma, os raios que partem
das extremidades do vagão irão encontrar-se no local onde
está o observador. Ele pode afirmar que os dois eventos
(queda dos raios) são simultâneos.
 Para o observador, dentro do vagão, ele se movimenta ao
encontro do raio que cai na extremidade à sua frente, ao
mesmo tempo ele se afasta do raio que cai na outra
extremidade. Portanto ele recebe um raio antes do outro e os
dois eventos (queda dos raios) não são simultâneos.
Antes do trabalho de Einstein ter sido divulgado, os físicos
sempre admitiam que o significado das indicações do tempo era
absoluto, isto é, não dependia do referencial adotado. Observamos no
exemplo da queda dos dois raios que dois eventos, sendo simultâneos
em um determinado sistema de referência, não necessariamente devem
ser simultâneos em outro sistema de referência que se movimenta em
relação ao primeiro.
Concluindo!
Dois observadores em movimento relativo podem não concordar
quanto à simultaneidade de dois eventos. Se um dos observadores
os considera simultâneos, o outro observador poderá concluir que
não são simultâneos.
2ª Parte: Dilatação do Tempo
Vamos considerar uma nave que se desloca com velocidade 풗⃗⃗ , em
relação à Terra.
Considere, no interior da nave, o chamado relógio de luz que consiste
em uma caixa transparente contendo na parte inferior uma fonte de luz
e um receptor e na parte superior um espelho plano. Suponha que um
pulso de luz emitido na parte inferior viaje para cima, sendo refletido
pelo espelho e captado pelo receptor.
(Observador no interior da nave)
Entre um tique e um taque,
temos uma unidade de tempo
do nosso relógio. Essa unidade
de tempo corresponde à
duração do percurso da luz
entre o emissor e o espelho (ida
e volta).
Considerando um observador dentro da nave, o cronômetro
indica o intervalo de tempo  to (tempo próprio). Sendo a altura da
nave representada por D, teremos:
 to = (tempo de subida) + (tempo de descida)
D
c
tt
o o
D
c
D
c
2
    
(Observador na Terra)
Considerando o observador em repouso no solo, este observador, ao
ver passar a nave com velocidade v, verá que o pulso emitido pela fonte
apresenta comportamento diferente. Isto é, quando a luz chega ao
espelho, a nave já se encontra em outro ponto e, quando o pulso
retorna, a nave percorreu a distância 2L = v. t, intervalo de tempo
dilatado.
O intervalo de tempo  t é determinado com o cronômetro, do local
onde o pulso é emitido até o local de retorno do pulso luminoso, em
relação ao solo. Considerando o triângulo retângulo indicado abaixo,
podemos, com o auxílio do teorema de Pitágoras, obter:

2
2
2
t

2 0
2
0
2
c 
t
2 2
2
2
0
2 2 2 2
2
0
2 2 2 2 2
1
( ).
4 4 4
v
c
t
c v
t
c v t c t
c t v t c t

  

 
    





2
2

1
v
c
t
t o

 
Com essa demonstração algébrica, chegamos ao resultado
chamado dilatação do tempo, ou seja,  t   to. Em outras palavras, o
intervalo de tempo de um evento físico, medido por um observador em
repouso no solo ( t), é maior do que o intervalo de tempo medido pelo
observador dentro da nave ( to), ou seja, em repouso em relação ao
relógio de luz.
Concluindo:
“O tempo entre dois eventos é mais curto quando medido em um
referencial no qual os dois eventos ocorrem no mesmo lugar.”
3ª Parte: Contração das distâncias
Vimos que os intervalos de tempo não são absolutos, eles
dependem do referencial adotado. As medidas das distâncias também
dependem do referencial. Vamos analisar o resultado da medida da
distância entre a Terra e Alfa Centauri (sistema estelar mais próximo do
Sol), calculadas por dois referenciais inerciais – um situado na Terra e
outro numa nave.
1ªParte: observador na Terra
Para o observador na Terra, a distância percorrida nessa viagem é
dada por Lo = v.Δt.
observador na nave
Para o observador na nave, a distância percorrida nessa viagem é igual
a por L = v.Δto
Utilizando esses dois resultados, teremos:
L

 
o
L
o
t
t
S
t
v





2
2


1
o
v
c
t
t
L L
t
t
L L
o
o
o
o

  


 
2
2
1
v
c
L Lo   
Concluindo:
Esse resultado mostra que o comprimento Lo, medido pelo observador
fixo na Terra, é maior que o comprimento L, medido pelo observador
fixo na nave.
4ª Parte: relação entre Energia e Massa
Tendo compreendido os postulados da Teoria da Relatividade e
analisado a relação entre espaço e tempo, voltamos nossa atenção
para a Dinâmica Relativística, analisando as grandezas, massa,
quantidade de movimento e energia. Durante esse desenvolvimento, é
necessário introduzir pelo menos uma dessas grandezas; vamos
escolher a quantidade de movimento. Comecemos o estudo da
Dinâmica Relativística com uma nova definição para a quantidade de
movimento.
퐩⃗⃗ =
풎ퟎ 퐯ퟐ
√ퟏ − 퐯 ퟐ
퐜ퟐ
em que 퐦ퟎ é denominada massa de repouso e 퐯⃗ é a velocidade da
partícula. Essa nova definição para a quantidade de movimento garante
sua conservação para todos os referenciais inerciais.
Analisando o comportamento relativístico da quantidade de
movimento, podemos escrever a expressão relativística para a massa.
퐦 =
퐦ퟎ
√ퟏ − 퐯 ퟐ
퐜ퟐ
Nessa expressão, quanto maior a velocidade da partícula,
maior sua massa. Quando a velocidade é nula, a massa da partícula
apresenta valor m0, daí o termo massa de repouso. Cuidado para não
confundir, no estudo da relatividade, matéria e massa, pois, quando a
velocidade apresenta uma variação, temos também uma variação de
massa (Δ퐦), e nenhuma variação na quantidade de matéria – são
grandezas bem diferentes.
Para termos uma ideia melhor: uma partícula com massa de
repouso igual a 2 g, que se move a uma velocidade de 0,6c, possui uma

massa relativística de 2,5 g, ou seja, possui uma massa 25% maior que
sua massa de repouso e mesma quantidade de matéria.
Qualquer forma de energia possui inércia, e a massa inercial m
associada à energia E é dada pela relação de Einstein. A lei de
conservação da massa é um caso particular da lei de conservação da
energia (palavras de Einstein).
Quando uma partícula encontra-se em repouso (v = 0), teremos:
퐄퐫퐞퐩퐨퐮퐬퐨 = 퐦퐫퐞퐩퐨퐮퐬퐨 ∙ 퐜ퟐ → 퐄ퟎ = 퐦ퟎ ∙ 퐜ퟐ
Estando a partícula em movimento, sua energia cinética pode ser
analisada pela diferença entre a energia total e a energia de repouso da
partícula, ou seja:
퐄퐜 = 퐄 − 퐄ퟎ → 퐄퐜 = (퐦 − 퐦ퟎ ) ∙ 퐜ퟐ
퐄퐜 = Δ퐄 = Δ퐦 ∙ 퐜ퟐ
Finalizando, podemos analisar a expressão Δ퐦 = Δ퐄
퐜ퟐ como sendo a
variação de massa devido à transferência da energia Δ퐄.
QUESTÕES PROPOSTAS
1. Observe esta figura:
Paulo Sérgio, viajando em sua nave, aproxima-se de uma plataforma
espacial, com velocidade de 0,7c, em que c é a velocidade da luz. Para
se comunicar com Paulo Sérgio, Priscila, que está na plataforma, envia
um pulso luminoso em direção à nave. Com base nessas informações, é
CORRETO afirmar que a velocidade do pulso medida por Paulo Sérgio é
de
A) 0,7 c.
B) 1,0 c.
C) 0,3 c.
D) 1,7 c.
E) 1,9 c.
2. Em 2005, Ano Mundial da Física, comemora-se o centenário da Teoria
da Relatividade de Albert Einstein. Entre outras consequências esta teoria
poria fim à ideia do éter, meio material necessário, semelhantemente ao
som, através do qual a luz se propagava. O jargão popular "tudo é
relativo" certamente não se deve a ele, pois seus postulados estão
fundamentados em algo absoluto: a velocidade da luz no vácuo - 300000
km/s.
Hoje sabe-se que:
I. O som propaga-se no vácuo.
II. A luz propaga-se no vácuo.
III. A velocidade da luz no vácuo é a velocidade limite do universo.
É (são) verdadeira(s):
A) todas
B) somente I
C) somente II
D) II e III
E) somente III
3. A figura representa uma nave espacial que se move com uma grande
velocidade constante v em relação à plataforma. O1 é um observador
localizado no centro da nave e O2 é um observador externo, localizado
no centro da plataforma. Cada observador tem dois telefones celulares,
um CA e um CB , junto aos seus ouvidos. A e B são fontes de radiação
eletromagnética localizadas na extremidade da plataforma.
푣 = 푐푡푒
Suponha que, no instante representado, são emitidos simultaneamente
um sinal do ponto A da plataforma, na frequência de recepção dos
celulares CA , e outro sinal do ponto B da plataforma, na frequência de
recepção dos celulares CB . De acordo com a Teoria da Relatividade
Especial, pode-se afirmar que os sinais captados pelos celulares CA e
CB são simultâneos para
A) ambos os observadores.
B) O1 , mas para O2 o celular CA capta primeiro.
C) O1 , mas para O2 o celular CB capta primeiro.
D) O2 , mas para O1 o celular CA capta primeiro.
E)) O2 , mas para O1 o celular CB capta primeiro.
10. Uma pessoa está de pé ao lado dos trilhos de uma estrada de ferro
quando é surpreendida pela passagem de um trem relativístico, como
mostra a figura. No interior de um dos vagões, um passageiro dispara
um pulso de laser em direção à parte traseira do vagão.
A) A velocidade do pulso medida pela pessoa que está do lado de fora
do vagão é maior do que a velocidade medida pela pessoa dentro do
vagão.
B) A velocidade do pulso medida pela pessoa que está dentro do vagão
é maior do que a velocidade medida pela pessoa que está fora do
vagão.
C) O intervalo de tempo que o pulso leva para chegar à extremidade
posterior do vagão é maior para a pessoa dentro do vagão.
D) A razão entre o intervalo de tempo medido pela pessoa fora do
vagão e o intervalo de tempo medido pela pessoa no vagão é maior do
que 1.
E) O intervalo de tempo que o pulso leva para chegar à extremidade
posterior do vagão não depende da pessoa que está observando.
5. Um astronauta é colocado a bordo de uma espaçonave e enviado
para uma estação espacial a uma velocidade constante v = 0,8c, onde
c é a velocidade da luz no vácuo. No referencial da espaçonave, o
tempo transcorrido entre o lançamento e a chegada na estação espacial
foi de 12 meses. Qual o tempo transcorrido no referencial da Terra, em
meses?
A) 20 meses
B) 25 meses
C) 30 meses

D) 35 meses
E) 40 meses
6. Suponha que táxis-especiais do futuro movam-se pelo sistema solar
com velocidade igual a 0,6c. Para uma corrida de uma hora, como
medida por um relógio dentro do táxi, o pagamento do motorista é C$
10,00 (dez cosmos). O sindicato dos motoristas exige que o pagamento
seja feito com base no tempo da Terra, ao invés do tempo do táxi. Se a
exigência está correta, qual seria o novo pagamento para a mesma
corrida, em C$?
A) 10,50
B) 12,50
C) 14,50
D) 15,00
E) 20,00
7. Um bloco de massa m = 4,0 kg, oscila verticalmente pendurado na
extremidade de uma mola fixa no teto do vagão que movimenta-se com
velocidade v = 2,4.108 m/s, em ralação a estação. A constante elástica
da mola K = 1,6.103 N/m. Determine o período de oscilação do sistema
massa – mola, em unidades de 10-2 s, em relação ao observador fixo na
plataforma da estação. Adote  = 3.
A) 40
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
8. (UPE) Considere dois gêmeos, A e B. O gêmeo B realiza uma
viagem espacial à estrela Arturus a uma velocidade constante 60% da
velocidade da luz. Segundo os que estão na Terra, Arturus fica
aproximadamente a 40 anos-luz de distância. Quais serão as idades
dos gêmeos, quando B chegm.ar àquela estrela, sabendo-se que eles
têm 20 anos de idade no início da viagem?
A) A tem 72,33 anos, e B, 61,21 anos.
B) A tem duas vezes a idade de B.
C) A tem a mesma idade de B.
D) A tem 92 anos, e B, 51 anos.
E) A tem 86,66 anos, e B, 73,33 anos.
9. Um observador viaja no interior de uma nave com velocidade
constante v = 0,8c em relação à Terra e avalia que o comprimento de
uma barra fixa ao solo possui 1,20m. Para outro observador, em
repouso na Terra, essa barra apresenta um comprimento:
A) 50 cm menor.
B) 80 cm maior.
C) 30 cm maior.
D) 20 cm menor.
E) 40 cm maior.
10. (UPE) O carro de Doc Brown, do filme “DE VOLTA para o
FUTURO”, ultra-rápido, com 4,00m de comprimento de repouso, passa
por um abrigo. De acordo com o assistente de Doc Brown, o
comprimento deste abrigo é de 2,00m, e o carro cabe exatamente nele
ao passar, ou seja, o assistente observa que o carro tem o mesmo
tamanho do abrigo. A velocidade com que o carro passa pelo abrigo,
em m/s, é :(considere “c” a velocidade da luz)
A) 0,707c.
B) 0,866c.
C) c.
D) 1,12c.
E) 0,50c
11. A figura mostra Sara com sua vassourinha observando um trem
passar a uma velocidade v = 0,8 c constante . No interior do trem,
Larissa segura os balões anti-stress que ganhou de dona Clara e
observa uma barra de ferro fixa ao piso do trem. Se, observando a
barra que se encontra no interior do trem, Sara mede seu comprimento
como igual a 24 cm, para essa mesma barra, Larisssa medirá um
comprimento quantos centímetros maior?
A) 40 cm
B) 35 cm
C) 16 cm
D) 20 cm
E) 25 cm
12. De acordo com a Teoria da Relatividade quando objetos se movem
através do espaço-tempo com velocidades da ordem da velocidade da
luz, as medidas de espaço e tempo sofrem alterações. A distância Sol-
Terra para um observador fixo na Terra é L0 = 1,5.1011. Para um
nêutron com velocidade v = 0,6 c, essa distância é de
A) 1,2.1010 m
B) 7,5.1010 m
C) 1,0.1011 m
D) 1,2.1011 m
E) 1,5.1011 m
13. A UNESCO declarou 2005 o Ano Internacional da Física, em
homenagem a Albert Einstein, no transcurso do centenário dos seus
trabalhos que revolucionaram nossas idéias sobre a Natureza. A
equivalência entre massa e energia constitui um dos resultados
importantes da Teoria da Relatividade. Determine a ordem de grandeza,
em joules, do equivalente em energia da massa de um pãozinho de 50
g.
A) 109
B) 1011
C) 1013
D) 1015
E) 1017
14. A relação massa-energia (E = mc2), atualmente, é vista como um
emblema da Teoria da Relatividade Restrita, de 1905. Porém, já no
início da década de 1890, a Física necessária para obter essa relação
estava disponível, e implícita na equação do eletromagnetismo
Clássico, que põe em correspondência a quantidade de movimento e a

energia de uma onda eletromagnética. No entanto, cabe inegavelmente
a Einstein o mérito de tê-la generalizado. Essa relação permite concluir
que, se aquecermos um corpo, fazendo com que ele absorva 90 kJ, a
sua massa irá aumentar:
A) um décimo de grama.
B) um centésimo de grama.
C) um milésimo de grama.
D) um milionésimo de grama.
E) um bilionésimo de grama.
15. Uma fábrica de produtos metalúrgicos do Distrito Industrial de
Fortaleza consome, por mês, cerca de 2,0.106 kWh de energia elétrica
(1 kWh = 3,6.106 J). Suponha que essa fábrica possui uma usina capaz
de converter diretamente massa em energia elétrica, de acordo com a
relação de Einstein, E = mo.c2. neste caso, a massa necessária para
suprimir a energia requerida pela fábrica, durante um mês, é , em
gramas:
A) 0,08
B) 0,8
C) 8
D) 80
E) 800
16. Em 1905, como consequência da sua Teoria da Relatividade
Especial, Albert Einstein (1879 - 1955) mostrou que a massa pode ser
considerada como mais uma forma de energia. Em particular, a massa
m de uma partícula em repouso é equivalente a um valor de energia E
dado pela famosa fórmula de Einstein: E = mc2, onde c é a velocidade
de propagação da luz no vácuo, que vale aproximadamente 300000
km/s.
Considere as seguintes afirmações referentes a aplicações da fórmula
de Einstein.
I - Na reação nuclear de fissão do U-235, a soma das massas das
partículas reagentes é maior do que a soma das massas das partículas
resultantes.
II - Na reação nuclear de fusão de um próton e um nêutron para formar
um dêuteron, a soma das massas das partículas reagentes é menor do
que a massa da partícula resultante.
III - A irradiação contínua de energia eletromagnética pelo Sol provoca
uma diminuição gradual da massa solar.
Quais estão corretas?
A) Apenas I.
B) Apenas II.
C) Apenas III.
D) Apenas I e II.
E) Apenas I e III.
17. "O Sol terá liberado, ao final de sua vida, 1044 joules de energia em
10 bilhões de anos, correspondendo a uma conversão de massa em
energia, em um processo governado pela equação E=mc2 (onde E é a
energia, m é a massa e c2, a velocidade da luz ao quadrado), deduzida
pelo físico alemão Albert Einstein (1879-1955), em sua teoria da
relatividade, publicada em 1905"
(Revista "Ciência Hoje" 27, número 160, pág. 36).
A massa perdida pelo Sol durante esses 10 bilhões de anos será,
aproximadamente, em quilogramas (use c=3x108m/s):
A) 1021
B) 1023
C) 1025
D) 1027
E) 1029
18. (UPE) Uma partícula de carga q se desloca na presença de um
campo magnético uniforme B, com o módulo da velocidade v = 0,8c,
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Sendo m0 sua massa de
repouso, o raio de sua trajetória será:
A)
5m0 c
2qB
B)
7m0 c
2qB
C)
m0 c
2qB
D)
4m0c
3qB
E)
10m0 c
7qB
19. (UPE-modificado) Considerando-se um determinado LASER que
emite um feixe de luz cuja potência vale 6,0 mW, é CORRETO afirmar
que a força exercida por esse feixe de luz (c = 3,0.108 m/s), quando
incide sobre uma superfície refletora, vale
A) 1,8 x 104 N
B) 1,8 x 105 N
C) 1,8 x 106 N
D) 2,0 x 1011 N
E) 4,0 x 10-11 N
20. Em 1964, o físico britânico Peter Higgs propôs a existência de um
campo, o qual, ao interagir com uma partícula, conferia a ela a sua
massa. A unidade básica desse campo foi chamada de bóson de Higgs.
Em julho de 2012, os cientistas do CERN (Centro Europeu de
Pesquisas Nucleares) anunciaram terem identificado o bóson de Higgs,
com uma massa de 125 GeV (1 giga = 109). Dados: 1eV = 1,6 x 10-19 J
e c = 3,0 x 108 m/s. O valor dessa massa, em kg, é de:
A) 4,50x10+24
B) 6,66x10-18
C) 2,22x10-25
D) 6,66x10-27
E) 2,22x10-34
GABARITO
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
A D E D A B C E B B
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C D D E A E D D E C

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