1. Μαθηματικά
Γενικής Παιδείας
Γ΄ Λυκείου
Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης
Σχολικός έτος 2010 – 11
24 Δπηιεγκέλα
Θέκαηα
κε ιύζε
2011
2011
Πξνηείλνπλ: Κπξηαθόπνπινο Αληώλεο, Λεπηέξεο Πξσηνπαπάο,
Καηζίπνδαο Γεκήηξεο, Βαζίιεο Μαπξνθξύδεο, ΢ηξαγάιεο
Υξήζηνο, Σειέγξαθνο Κώζηαο, Γηώξγνο Ρίδνο, Καλάβεο
Υξήζηνο, Καθαβάο Βαζίιεηνο, Ηιίαο Κακπέιεο, maths‼!, Kostas
12345,Rania, Μάλνο Μαλνύξαο, Υξήζηνο Σζηθάθεο, Παύινο
Γηακαληήο, Σζνπέιαο Γηάλλεο, Υάξεο Γ.Λ., Υαηδόπνπινο
Μάθεο.
Πηγή:
www.mathematica.gr

2. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
2
Θέκα 1ν (mathxl)
Έζηω δείγκα ζεηηθώλ παξαηεξήζεωλ 1 2 2009x ,x ,...,x θαη ε ζπλάξηεζε f κε παξάγωγν
    f x x s x CV    , όπνπ s,CV ε ηππηθή απόθιηζε θαη ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο αληίζηνηρα ηνπ
παξαπάλω δείγκαηνο  s 5
Η κηθξόηεξε παξαηήξεζε ηνπ παξαπάλω δείγκαηνο είλαη κεγαιύηεξε ηνπ 1 θαη ε ζέζε ηνπηθνύ κεγίζηνπ
είλαη ίζε κε ην κηζό ηεο ζέζεο ηνπηθνύ ειαρίζηνπ.
Α. Nα δείμεηε όηη x 2
Β. Δάλ ε επζεία  : y x 1    είλαη ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην ζεκείν κε
ηεηκεκέλε 3
i. Να δείμεηε όηη s 4
ii. Να βξείηε ηε κέζε ηηκή ηωλ ηεηαγκέλωλ ηωλ ζεκείωλ     1 1 2 2 2009 2009x ,y , x ,y ,..., x ,y ηεο εθαπηνκέλεο (ε)
iii. Να βξείηε ηε κέζε ηηκή ηωλ ηεηξαγώλωλ ηωλ ηεηκεκέλωλ ηωλ παξαπάλω ζεκείωλ
Απάληεζε (΢ηξαγάιεο Χξήζηνο)
Α) Αθνύ ε κηθξόηεξε παξαηήξεζε είλαη κεγαιύηεξε ηνπ 1 ζπκπεξαίλνπκε όηη:
1 2 2009x x ... x 1 1 ... 1 s
x 1 s CV s
2009 2009 x
     
      
Λύλνπκε ηελ αλίζσζε f (x) 0  θαη θαηαζθεπάδνπκε πίλαθα κνλνηνλίαο:
  f (x) 0 x s x CV 0 x ( ,CV] [s, )          
Άξα έρνπκε ηνπηθό κέγηζην ζην x=CV θαη ηνπηθό ειάρηζην ζην x=s θαη πξνθύπηεη
s
s 2CV 2 x 2
CV
    
B)i Αθνύ ε επζεία  : y x 1    είλαη ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην ζεκείν κε ηεηκεκέλε 3
έρνπκε όηη:
  
2
3 s
f (3) 1 3 s 3 CV 1 9 3CV 3s sCV 1 9 s 3s 1
2 2
                   
  
s 5
2
s 9s 20 0 s 4 s 5 0 s 4

         

3. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
3
ii) Έρνπκε,
       1 2 2009 1 2 20091 2 2009
x 1 x 1 ... x 1 2009 x x ...xy y ... y
y 1 x 1 2 1
2009 2009 2009
             
        
iii)
22009
i2009
i 12 2 2 2 2 2
x i
i 1
x
1
S x x (x) x 4 x 4 16 20
2009 2009


  
  
           
 
 
  


Θέκα 2ν (Σειέγξαθνο Κώζηαο)
Σν θόζηνο ζε επξώ λ ειεθηξηθώλ ζπζθεπώλ δίλεηαη από ηνλ δηπιαλό πίλαθα.
[ - ) ....... Fi%
….- 2 ................
.. -… ........ …30
… - 6 ....... …60
… -… ...............
΢ύλνιν
Α1. Να ζπκπιεξσζεί ν δηπιαλόο πηλάθαο αλ ε κέζε ηηκή είλαη 5 θαη ε δηάκεζνο είλαη 16/3.
Α2. Αλ F1%=10 θαη ην εύξνο είλαη 8:
i. Να ζρεδηάζεηε ην πνιύγσλν fi% .
ii. Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ πνιύγσλν fi% κε ην άμνλα ησλ xi.
iii. Να βξείηε πνην είλαη ην πνζνζηό ησλ ειεθηξηθώλ ζπζθεπώλ πνπ θνζηίδεη από 2 έσο 6 επξώ;
iv. Να βξείηε πνην είλαη ην πνζνζηό ησλ ειεθηξηθώλ ζπζθεπώλ πνπ θνζηίδεη από 2 έσο 5 επξώ;
v. Να βξείηε πνην είλαη ην πνζνζηό ησλ ειεθηξηθώλ ζπζθεπώλ πνπ θνζηίδεη από 1 έσο 5 επξώ;
vi. Πνην είλαη ην πνζνζηό ησλ ειεθηξηθώλ ζπζθεπώλ πνπ θνζηίδεη ην πνιύ 5 επξώ;
vii. Να βξείηε πνην είλαη ην πνζνζηό ησλ ειεθηξηθώλ ζπζθεπώλ πνπ θνζηίδεη ηνπιάρηζηνλ 5επξώ;
viii. Να βξείηε ηα κέηξα ζέζεο ηνπ θόζηνο .
ix. Να βξείηε ηα κέηξα απόιπηεο δηαζπνξάο ηνπ θόζηνο
x. Να βξείηε ηα κέηξα ζρεηηθήο δηαζπνξάο ηνπ θόζηνο .
xi. Αλ απμεζεί ην θόζηνο θαηά 10%,λα βξεζεί ε λέα δηάκεζνο ,κέζε ηηκή ,ηππηθή απόθιηζε.
xii. Να βξείηε πόζν πξέπεη λα απμεζνύλ ηα θόζηε (γηα όια ην ίδην) ώζηε ην δείγκα λα γίλεη νκνηνγελέο .
xiii. Αλ θαηαξγεζεί ν ΦΠΑ 23% ζα γίλεη ην δείγκα νκνηνγελέο ;
Απάληεζε (Γηώξγνο Ρίδνο) θαη (Καλάβεο Χξήζηνο)
Α1) Θεσξώ ηηο θιάζεηο ίζνπ πιάηνπο.
Έζησ t ην πιάηνο ηεο θιάζεο, νπόηε: 2 + 2t = 6 άξα t = 2

4. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
4
Έζησ 1 2f % f % 30    
΢πκπιεξώλσ κε θόθθηλν ηα ζηνηρεία πνπ δελ πεξηείρε αξρηθά ν πίλαθαο, αιιά πξνθύπηνπλ άκεζα από ηελ αξρηθή
επεμεξγαζία
i ix ·f %
x 520 2 500 10
100
       

Οπόηε ν πίλαθαο ζπκπιεξώλεηαη:
΢ην Πνιύγσλν Αζξνηζηηθώλ ΢ρεηηθώλ επί ηνηο εθαηό
΢πρλνηήησλ θέξλνπκε ηελ νξηδόληηα γξακκή ζην 50%, νπόηε
από ηα ζρεκαηηδόκελα όκνηα ηξίγσλα έρνπκε ηελ αλαινγία:
x 20 4 4 16
x 4
2 30 3 3 3
       
Α2) i. Σν πνιύγσλν ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ ηνηο εθαηό είλαη:
ii. Σν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη από ην πνιύγσλν ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ fi% θαη ηνλ νξηδόληην άμνλα είλαη ίζν κε
100.

5. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
5
Από ηνλ πίλαθα ζπρλνηήησλ θαη επεηδή ζηελ νκαδνπνίεζε νη παξαηεξήζεηο ζε θάζε θιάζε θαηαλέκνληαη
νκνηόκνξθα βξίζθνπκε όηη:
iii. ην πνζνζηό ησλ ειεθηξηθώλ ζπζθεπώλ πνπ θνζηίδεη από 2 έσο 6επξώ είλαη 20%+30%=50%
iv. ην πνζνζηό ησλ ειεθηξηθώλ ζπζθεπώλ πνπ θνζηίδεη από 2 έσο 5επξώ είλαη 20%+15%=35%
v. ην πνζνζηό ησλ ειεθηξηθώλ ζπζθεπώλ πνπ θνζηίδεη από 1 έσο 5 επξώ είλαη 5%+20%+15%=40%
vi. ην πνζνζηό ησλ ειεθηξηθώλ ζπζθεπώλ πνπ θνζηίδεη ην πνιύ 5 επξώ είλαη 45%. Μπνξνύκε λα βξνύκε επίζεο
θαη από ην πνιύγσλν αζξνηζηηθώλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ σο εμήο: Έζησ x ην πνζνζηό πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή
5 ηόηε
60 x 6 5
2x 90 x 45%
x 30 5 4
 
    
 
vii. ην πνζνζηό ησλ ειεθηξηθώλ ζπζθεπώλ πνπ θνζηίδεη ηνπιάρηζηνλ 5επξώ ηζνύηαη κε 100%-45%=55%
viii. Σα κέηξα ζέζεο ηνπ θόζηνο (ηα εληόο ύιεο παλειιελίσλ εμεηάζεσλ) είλαη x 5 επξώ,
16
3
  επξώ.
ix. Σα κέηξα απόιπηεο δηαζπνξάο ηνπ θόζηνο είλαη R=8 επξώ, θαη
2 24 4
i i i i4 4
12 2 2 1
i i i i
1 1
x x
1 1
s x x
v
    
                
     
     
 
 
     
4 4 4
2 2 22 2 2i i
i i i i
1 1 1
f
x x x f x x x
%
=28.9-25=3
1
.9
00

     

  
επνκέλσο είλαη s 3.9 =1.975επξώ
x. Σα κέηξα ζρεηηθήο δηαζπνξάο ηνπ θόζηνο είλαη ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο
s s 1.975
CV 0.395
x x 5
    ή
39.5%>10% άξα όρη νκνηνγελέο δείγκα.
xi. Αλ απμεζεί ην θόζηνο θαηά 10%=10/100=0.1 ηόηε νη λέεο παξαηεξήζεηο ηζνύληαη κε i i i iy =x +0.1x =1.1x άξα ε
λέα δηάκεζνο είλαη y x1.1 1.1 (16 / 3) 17.6 / 3      επξώ ε λέα κέζε ηηκή y 1.1 5 5.5   επξώ ελώ ε λέα ηππηθή
απόθιηζε ys =1.1 1.975=2.1725 επξώ
xii. Έζησ όηη απμάλνληαη ηα θόζηε θαηά c ώζηε λα γίλεη ην δείγκα νκνηνγελέο, ηόηε
ys 1.975
CV 0.1 0.1 0.1 c 14.75
y 5 c
      

.
Άξα πξέπεη λα απμεζνύλ θαηά 14.75επξώ

6. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
6
xiii. Έρνπκε θαηάξγεζε ηνπ Φ.Π.Α θαη όρη αθαίξεζε. Άξα αλ ζέινπκε λα επηζηξέςνπκε ζηηο αξρηθέο ηηκέο ρσξίο
ην Φ.ΠΑ 23% πξέπεη λα δηαηξέζνπκε ηηο ππάξρνπζεο κε ην 1.23. Δπνκέλσο νη ηηκέο γίλνληαη i
i
x
y
1.23
 . ΢ε απηή
ηελ πεξίπησζε έρνπκε
x
y x
y x
s
s s1.23CV CV
xy x
1.23
    άξα όρη νκνηνγελέο
Θέκα 3ν (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
Γίλεηαη ε ζπλερήο ζπλάξηεζε f :R R κε ηύπν:  
2
ax x b
,x 3
f x x 3
5 ,x 3
  
 
 
   
όπνπ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα y'y ζην ζεκείν κε ηεηαγκέλε -2 θαη a, b
πξαγκαηηθνί αξηζκνί.
α. Να δείμεηε όηη: a = 1 θαη b = – 6
β. Να βξείηε ηελ παξάγσγν ηεο f ζην x = – 3
γ. Να γίλεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f θαη λα βξείηε ην γσλία πνπ ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα x'x θαη ην εκβαδόλ
ηνπ ρσξίνπ πνπ ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ησλ ζπληεηαγκέλσλ
Απάληεζε (Λεπηέξεο Πξωηνπαπάο)
Αθνύ ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f ηέκλεη ηνλ άμνλα y'y ζην ζεκείν κε ηεηαγκέλε -2,
έρνπκε όηη
2
a·0 0 b
f(0) 2 2 b 6(I)
0 3
 
       

Δπίζεο ε f είλαη ζπλερήο ζην , άξα θαη ζην -3, νπόηε:
x 3
lim f(x) f( 3)

 
Γηα x 3  , έρνπκε όηη:
2
2ax x b
f(x) f(x)(x 3) ax x b
x 3
 
     

νπόηε   2 2
x 3 x 3
lim f(x)(x 3) lim( x x b) 0 ( 3) ( 3) b 9 b 3(II)
 
               
α. Σν ζύζηεκα ησλ (Ι) θαη (ΙΙ) δίλεη όηη: a 1 b 6    .
β. Γηα a 1 b 6    , έρνπκε όηη:.  
2
x x 6
x 2 ,x 3,x 3
f x x 2x 3
5 ,x 3
5 ,x 3
  
   
    
     
Η f είλαη παξαγσγίζηκε ζην σο πνιπσλπκηθή, κε  f x 1  , νπόηε θαη  f 3 1   .

7. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
7
Β ηξόπνο: Αλ θάπνηνο δελ έβιεπε όηη f(x) = x - 2 θαη έκελε ζηε δίθιαδε, ζα ελεξγνύζε σο αθνινύζσο:
Γηα x θνληά ζην -3, έρνπκε όηη:
x 3 x 3
f(x) f( 3) x 2 ( 5))
f ( 3) lim lim 1
x 3 x 3 
    
    
 
γ. Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f είλαη επζεία πνπ ηέκλεη ζηνπο άμνλεο ζηα ζεκεία B(0, 2) θαη A(0, 2).
΢πλεπώο ην ρσξίν πνπ ζρεκαηίδεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f κε ηνπο άμνλεο ησλ ζπληεηαγκέλσλ είλαη ην
νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΟΒ κε θάζεηεο πιεπξέο OA = OB =2, νπόηε ην εκβαδό ηνπ είλαη  OAB 2 . 
Αλ σ είλαη ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f κε ηνλ άμνλα x’x, ηζρύεη 1 
νπόηε
4

  , αθνύ  0,  θαη ε εθx είλαη ζεηηθή κόλν ζην 0,
2
 
 
 
, όπνπ είλαη γλεζίσο αύμνπζα ε αληίζηνηρε
ζπλάξηεζε.
Θέκα 4ν (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
Α. Να απνδείμεηε όηη: α.
h
h 0
e 1
lim 1
h

 β.
h 1
lnh
lim 1
h 1


γ.
h
h 1
e e
lim e
h 1



Β. Βξείηε ηα όξηα: α.
ah
h 0
e 1
lim
h

β. hh 1
ln x
lim
e e 
Απάληεζε (kwstas12345)
A. α) Έρνπκε,  
h h 0
0
h 0 h 0
e 1 e e
lim lim f 0 e 1
h h 
 
    όπνπ   x
f x e άξα   x
f x e 
β)  h 1 h 1
lnh lnh ln1
lim lim f 1 1
h 1 h 1 

  
 
όπνπ  f x ln x άξα  
1
f x , x 0
x
   νπόηε  
1
f 1 1
1
  
γ)  
h h 1
1
h 1 h 1
e e e e
lim lim f 1 e e
h 1 h 1 
 
   
 
όπνπ   x
f x e άξα   x
f x e 
B. α) Έρνπκε ηελ ζπλάξηεζε   x
f x e , x R
  κε  f 0 1 πνπ είλαη παξαγσγίζηκε ζην R κε   x
f x e
   άξα
 f 0 1     (1), από ηνλ νξηζκό ηεο παξαγώγνπ έρνπκε:
 
   
h 0 h 0
h
f h f 0 e 1
f 0
h 0 h
lim lim
 

 
  

(2) νπόηε  
 
 
h 0
1 h
2
e 1
f 0
h
lim



    
β) Με ρξήζε ησλ πξνεγνύκελσλ νξίσλ έρνπκε: hhh 1 h 1
ln x
ln x 1h 1lim lim
e ee e e
h 1
 
 
 
  
  
 
 

8. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
8
Θέκα 5ν (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε  
3
x 1
,x 1
f x x 1
3 ,x 1
 

 
 
α. Βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο
β. Να απνδείμεηε όηη είλαη ζπλερήο ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο
γ. Βξείηε ηελ παξάγσγν ηεο f ζην x =1
δ. Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC ζην ζεκείν Α(1, f(1))
ε. Να ζρεδηάζεηε ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f
Απάληεζε (Καλάβεο Χξήζηνο)
1) Πεδίν νξηζκνύ ηεο f όιν ην R
2) H f ζπλερήο γηα x 1 σο πξάμεηο πνιπσλπκηθώλ ζπλαξηήζεσλ (ζύκθσλα κε ην ζρνιηθό βηβιίν: νη
πνιπσλπκηθέο ζπλαξηήζεηο αιιά θαη όζεο πξνθύπηνπλ από πξάμεηο απηώλ είλαη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο).
Θα εμεηάζνπκε αλ ε f ζπλερήο ζην 1
Δίλαη
    
23
x 1 x 1
x 1 x x 1x 1
lim lim 3 f 1
x 1 x 1 
  
  
 
.
Η ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην 3. Δπνκέλσο ε f ζπλερήο ζε όιν ην πεδίν νξηζκνύ ηεο R.
3) Γηα λα είλαη ε f παξαγσγίζηκε ζην 1 πξέπεη λα ππάξρεη ην όξην
   
h 0
f 1 h f 1
lim
h
 
θαη λα είλαη πξαγκαηηθόο
αξηζκόο.
Δίλαη
   
 
 
3
23 2
2 2h 0 h 0 h 0 h 0
h 1 1
3f 1 h f 1 h h 3h 3hhlim lim lim lim
h h h h   
 
  
    h 0
lim h 3 3

   .
Άξα ε ζπλάξηεζε f παξαγσγίζηκε ζην 1 κε  f 1 3  .
4) Η εμίζσζε εθαπηνκέλεο ζην ζεκείν (1,f(1)) είλαη ηεο κνξθήο y =ι x + β κε  f 1 3   θαη ην ζεκείν (1,3)
αλήθεη ζηελ επζεία εθαπηνκέλεο άξα επαιεζεύεη ηελ εμίζσζε ηεο. Δπνκέλσο
3 3*1 0   
Άξα ε εθαπηνκέλε επζεία δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη έρεη εμίζσζε y=3x.
5) Σν ζρήκα ηεο fC θαίλεηαη δίπια

9. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
9
Θέκα 6ν (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
Γίδεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f κε ηύπν:   3
f x x x     όπνπ α, β, γ πξαγκαηηθνί αξηζκνί.
1) Μειεηήζηε από ην ζρήκα ην πξόζεκν ηεο παξαγώγνπ ηεο f ζην δηάζηεκα [-6, 6]
2) Να δείμεηε όηη:   31
f x x x
27
 
3) Να κειεηήζεηε ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο ζπλαξηήζεσο f.
4) Βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηεο γξαθηθή παξάζηαζε f ζηα ζεκεία Κ, Μ, Α, Β.
5) Γείμηε, όηη ην ηεηξάπιεπξν, πνπ ζρεκαηίδεηαη από ηηο 4 εθαπηόκελεο, είλαη παξαιιειόγξακκν θαη λα
ππνινγίζηε ην εκβαδόλ ηνπ.
6) Αλ Α, Β είλαη ελδερόκελα ηνπ δεηγκαηηθνύ Ω ηέηνηα ώζηε:    P A f 1  θαη    P B f 4 .
Να δείμεηε όηη:
α) A B   θαη β)  27P A B 20 0 
Απάληεζε (΢ηξαγάιεο Χξήζηνο)
1) Από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f παξαηεξνύκε νηη απηή είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην δηάζηεκα
[-6, -3] ,γλεζίσο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα [-3, 3] θαη ηέινο γλεζίσο αύμνπζα ζην[3, 6]. Δπίζεο παξνπζηάδεη ηνπηθό
κέγηζην x1 = -3 ην f(-3) θαη ηνπηθό ειάρηζην x2 = 3 ην f(3) .
Έηζη ζπκπεξαίλνπκε όηη:
 f x 0  ζην  6, 3  θαη ζην  3,6
 f x 0  ζην  3,3
   f 3 f 3 0   

10. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
10
2) Δπίζεο από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε πξνθύπηεη όηη:
0
f(0) 0 0 0
1
f( 3) 2 27 3 2 54 6 4
27
f( 6) 2 216a 6 2 216a 6 2
1
 
       
   
                   
                    
άξα   31
f x x x,x
27
  
3) H κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο fC θαίλεηαη από ην ζρήκα θαη ηα έρνπκε πεξηγξάςεη παξαπάλσ.
4) Η εθαπηνκέλε ηεο fC ζην Κ(6, 2)είλαη:    11 : y f(6) f (6)(x 6) : y 3x 16     
Η εθαπηνκέλε ηεο fC ζην Μ(-6, -2) είλαη:    22 : y f( 6) f ( 6)(x 6 : y 3x 16)         
Η εθαπηνκέλε ηεο fC ζην Α(-3, 2) είλαη:    33 : y f( 3) f ( 3)(x : y 23)      
Η εθαπηνκέλε ηεο fC ζην Β(3, -2) είλαη:    44 : y f(3) f (3)(x 3) : y 2       
5) Δύθνια πξνθύπηεη όηη :
       
       
1 2
43
1 2
3 4
3
KNML
0
 

        
 
        
παξαιιειόγξακκν
Λύλνληαο ην ζύζηεκα ησλ    1 4,  βξίζθνπκε όηη:    1 4
14
, 2
3
 
      
 
θαη άξα:    
  3 4d , · M 14 128
K MN 2 KM 2· 4· 6
2 3 3
  
      
6) Έρνπκε
26
P(A) f( 1)
27
   θαη
7
P(B)
9

a) Έζησ όηη ηα ελδερόκελα είλαη αζπκβίβαζηα. Όκσο ηόηε:
47
P(A B) P(A) P(B) 1
27
    
ην νπνίν δελ κπνξεί λα ηζρύεη αθνύ P(A B) 1  .
Άξα ηα ελδερόκελα δελ είλαη αζπκβίβαζηα θαη A B  
b) Έρνπκε δηαδνρηθά,
47
P(A B) 1 P(A) P(B) P(A B) 1 P(A B) 1 27P(A B) 20 0
27
              
Θέκα 7ν (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
Έζησ ε    
3
f x x 1 5   θαη ε εθαπηνκέλε ηεο ζην 0x 2 , ε νπνία ζπκπίπηεη κε ην πνιύγσλν αζξνηζηηθώλ
ζπρλνηήησλ ηεο ζπλερνύο κεηαβιεηήο Υ.
α) Βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαπάλσ εθαπηνκέλεο ηεο θακπύιεο f ζην ζεκείν 2.
β) Αλ νη ηηκέο ηεο Υ αλήθνπλ ζην [0, 10], λα βξείηε ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο.

11. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
11
γ) Αλ νη παξαπάλσ ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο Υ νκαδνπνηεζνύλ ζε 5 ηζνπιαηείο θιάζεηο, λα πξνζδηνξίζεηε ηε κέζε
ηηκή θαη ηε δηαθύκαλζε ηεο θαηαλνκήο
δ) Δίλαη νκνηνγελέο ην δείγκα; Αλ όρη βξείηε θαηά πνηνλ αθέξαην ην ειάρηζην πξέπεη λα απμεζεί θάζε ηηκή ώζηε
λα γίλεη νκνηνγελέο.
Απάληεζε (ΓΗΜΗΣΡΙΟ΢ ΚΑΣ΢ΙΠΟΓΑ΢ – KAKABAS BASILEIOS)
Έρνπκε    
3
f x x 1 5   κε f(2) 6 , νπόηε 2
f (x) 3(x 1)   κε f (2) 3 
Η εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC ζην 0x 2 είλαη ε f(2) f (2)(x 2) 6 3(x 2) 3x           
Δπεηδή νη ηηκέο Υ αλήθνπλ ζην δηάζηεκα [0-10] θαη έρνπλ νκαδνπνηεζεί ζε 5 ίζεο θιάζεηο, έρνπκε όηη θάζε
θιάζε ζα είλαη πιάηνπο 2.Δπεηδή ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ζπκπίπηεη κε ην πνιύγσλν αζξνηζηηθώλ
ζπρλνηήησλ, έρνπκε
1 2 3 4 5N 2·3 6, N 4·3 12 , N 6·3 18, N 8·3 24, N 10·3 30         
Δπνκέλσο ζρεκαηίδεηαη ν παξαθάησ πίλαθαο
δ) Δπεηδή
s 2 2
cv 0,1
x 5
   ην δείγκα δελ είλαη νκνηνγελέο.
Αλ ηώξα α ζεηηθόο αθέξαηνο ώζηε i iy x a  ηόηε y x a y 5 a     θαη y xs s 2 2  ζέινπκε ηελ
ειάρηζηε ηηκή ηνπ α ώζηε λα είλαη : y
y
s 2 2
cv 0,1 0,1 0,1 20 2 5 a 20 2 5 a
y 5 a
          

όπνπ βξίζθνπκε όηη ε κηθξόηεξε αθέξαηα ζεηηθή ηηκή ηνπ a είλαη 24.
Θέκα 8ν (maths-!!!)
΢ηε ηξίηε ιπθείνπ ελόο ζρνιείνπ θνηηνύλ 140 καζεηέο νη νπνίνη δηδάζθνληαη ηελ αγγιηθή θαη ηε γαιιηθή γιώζζα.
Από απηνύο ηνπο καζεηέο 98 παξαθνινπζνύλ ηελ αγγιηθή θαη 56 παξαθνινπζνύλ ηε γαιιηθή γιώζζα.
Δπηιέγνπκε ηπραία έλα καζεηή θαη νξίδνπκε ηα ελδερόκελα:
Κ: «Ο καζεηήο δηδάζθεηαη θαη ηηο δπν γιώζζεο .»

12. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
12
Ν: «Ο καζεηήο δελ δηδάζθεηαη θακία γιώζζα .»
Μ: «Ο καζεηήο δηδάζθεηαη κόλν ηελ αγγιηθή γιώζζα .»
i. Αλ θάζε καζεηήο είλαη ππνρξεσκέλνο λα παξαθνινπζεί ηνπιάρηζηνλ κηα από ηηο δπν γιώζζεο, βξείηε ηηο
πηζαλόηεηεο ησλ ελδερνκέλσλ Κ, Ν θαη Μ.
ii. Αλ νη καζεηέο δελ είλαη ππνρξεσκέλνη λα παξαθνινπζνύλ θάπνηα από ηηο δπν γιώζζεο , απνδείμηε ηα εμήο:
0.1≤P(Κ)≤0.4 .
0≤P(Ν)≤0.3 .
0.3≤P(Μ)≤0.6
Απάληεζε (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
i. Έζησ ηα ελδερόκελα:
Α: Να γλσξίδεη Αγγιηθά θαη Γ : Να γλσξίδεη Γαιιηθά ηόηε:
         
98 56 140
P K P A P A P P A 0,1
140 140 140
          
    P N P A 0

  
       
98 14 84
P M P A P A P A
140 140 140
        
΢εκείωζε: Αθνύ θάζε καζεηήο είλαη ππνρξεσκέλνο λα παξαθνινπζεί ηνπιάρηζηνλ κηα από ηηο δπν γιώζζεο
ζεκαίλεη όηη       P A 0 1 P A 0 P A 1

         αλ θαη ήηαλ απηνλόεην ην απνδείμακε λα κελ
εθθξεκεί ηίπηνα ζηελ ιύζε καο.
II. Έρνπκε γηα ην πξώην,
 0 P A 1   άξα          
154
P A P P A 1 P A 1 0,1 P A
140
            =Ρ(Κ)
επίζεο K A    νπόηε      
56
P K P A P 0,4
140
     
γηα ην δεύηεξν,  N A A A
  
     νπόηε      
98
0 P N P A 1 P A 1 0,3
140

      
θαη ηέινο,      0,1 P K 0,4 0,1 P A 0,4 0,4 P A 0,1            
         P A 0,4 P A P A P A 0,1 0,3 P M 0,6         
Θέκα 9 (Καηζίπνδαο Γεκήηξεο)
Έζησ Α,Β δύν ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω θαη ε ζπλάξηεζε

13. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
13
3 21 1 3 5
f(x) x x P(A B) x ,x R
12 2 2 6
 
        
 
όπνπ P(A B) ε πηζαλόηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ A B .
Οη παξαηεξήζεηο 0,1,P(B ),P(A B),P(A B ) 
  έρνπλ κέζε ηηκή
13
x
25
 θαη δηάκεζν
2
5
 
i. Να βξείηε ηηο πηζαλόηεηεο P(A) θαη P(B)
ii. Να απνδείμεηε όηη
1 2
P(A B)
5 5
  
iii. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα
iv. Αλ f(1) 0 , λα βξείηε ηελ πηζαλόηεηα λα πξαγκαηνπνηεζεί αθξηβώο έλα από ηα ελδερόκελα Α θαη Β
Απάληεζε (Ηιίαο Κακπειήο)
Βασικοί τύποι Θεωρίας
(1)    A B B A A B A B        
(2) A B A B        
i. Φαίλεηαη εύθνια από ην δηπιαλό δηάγξακκα Venn όηη:
 A B B A

  
     0 1 P B P A B P A B13 13
x
25 5 25
      
   
       
13
1 1 P B P A P A B P B A
5

         
 
       
13
2 P B P A P A B 1 P B A
5
        
         
13
3 P B P A P A B P B P A B
5
            
2
2P B P A
5
  (1)
Δίλαη B A B         νπόηε      0 P A B P B P A B 1      
Αθνύ    
2 2 3
P B P B
5 5 5
      (2)
Από ηελ (1) βξίζθνπκε όηη  
4
P A
5

ii. Δίλαη:      
2
B P A B P B P A B
5
          (3)

14. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
14
Έζησ        
1 1 3
P A B P A P A B P A B
5 5 5
         (4) ην νπνίν ηζρύεη γηαηί
A B B  νπόηε θαη    P A B P B 
Από ηηο ζρέζεηο (3) θαη (4) ζπκπεξαίλνπκε όηη  
1 2
P A B
5 5
  
iii. Δίλαη    21 3
f x x x P A B
4 2
       γηα θάζε x
Η δηαθξίλνπζα ηνπ ηξησλύκνπ είλαη:    
3 1
1 P A B P A B
2 2
       
Δίλαη    
2 1 2 1 1
P A B P A B 0
5 2 5 2 10
           
Άξα  f x 0  γηα θάζε x επεηδή
1
0 0
4
      
Οπόηε ε f είλαη γλ. θζίλνπζα ζην R.
iv. Έρνπκε,        
1 1 3 5 1
f 1 0 P A B 0 P A B 5
12 2 2 6 4
           
         
1 1 4 1 11
P A B P A P A B P A B P A B
4 4 5 4 20
            
         
3 11 1
P B A P B P A B P B A P B A
5 20 20
         
Σν ελδερόκελν λα πξαγκαηνπνηεζεί κόλν έλα από ηα Α, Β είλαη ην:    A B B A  
θαη επεηδή ηα ελδερόκελα Α – Β θαη Β – Α είλαη αζπκβίβαζηα ζα είλαη:
       
1 1 6
P A B B A P A B P B A
4 20 20
           
Άξα    
3
P A B B A
10
     
Θέκα 10 (Καηζίπνδαο Γεκήηξεο)
Έζησ ν δεηγκαηηθόο ρώξνο {1,2,3,4}  γηα ηα απιά ελδερόκελα ηνπ νπνίνπ ηζρύνπλ
P(2) P(3) P(4)
P(1)
2 3 4
  
θαη ηα ελδερόκελα:
Α={Η δηαθύκαλζε ηνπ δείγκαηνο ησλ αξηζκώλ θ, 2θ, 4θ, 5θ όπνπ  , είλαη κεγαιύηεξε ηνπ 10}
Β={ x όπνπ 2
ln(x x 1) 0   }
i. Να βξείηε ηηο πηζαλόηεηεο ησλ απιώλ ελδερνκέλσλ ηνπ Ω
ii. Να απνδείμεηε όηη Α={3,4} θαη Β={2,3,4}

15. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
15
iii. Να βξείηε ηηο πηζαλόηεηεο P(A B) θαη P(A B)

iv. Αλ Υ έλα ελδερόκελν ηνπ Ω, λα βξείηε ηελ κηθξόηεξε ηηκή ηεο πηζαλόηεηαο P(X) ώζηε A X B 
Απάληεζε (Ηιίαο Κακπειήο)
i. Δίλαη  
     P 2 P 3 P 4
P 1
2 3 4
    
Οπόηε:        P 1 , P 2 2 , P 3 3 , P 4 4       
Όκσο        
1
P 1 P 2 P 3 P 4 1 10 1
10
         
Άξα :        
1 2 3 4
P 1 , P 2 ,P 3 , P 4
10 10 10 10
   
ii. Δίλαη
2v
i 2v
i 12 2 2 2
i
i 1
x
1 1 144
S x S 46
v v 4 4


  
               
  
 
 

  2 2 2 2 21 5
S 46 36 S
4 2
      
Πξέπεη 2 2 25
S 10 10 4 2
2
          γηαηί 
Οπόηε θ = 3 ή θ = 4, δειαδή  A 3,4
Δίλαη 2
x x 1 0   γηα θάζε x δηόηη 3 0   
   2 2 2
ln x x 1 0 ln x x 1 ln1 x x 1 1             x x 1 0  , νπόηε x < 0 ή x > 1 θαη επεηδή x
ζα είλαη x =2 ή x =3 ή x = 4. Δπνκέλσο,  B 2,3,4
iii. Έρνπκε,  A B P A B 0     
     A B 1,2 2,3,4 A B P A B 1           
iv. Γηα λα είλαη ε πηζαλόηεηα  P X ε ειάρηζηε δπλαηή ζα πξέπεη ην ζύλνιν X, γηα ην νπνίν ηζρύεη A X B 
λα έρεη όζν ην δπλαηόλ ηα ιηγόηεξα ζηνηρεία.
Δπεηδή  A 3,4 θαη  B 2,3,4 ηόηε πξέπεη  X 2 , νπόηε      
2 1
P X P 2 P X
10 5
   
Β ηξόπνο επίιπζεο (Καηζίπνδαο Γεκήηξεο):
Μηα επηπιένλ ιύζε γηα ην iv εξώηεκα ηεο δεύηεξεο άζθεζεο.
P(A X) P(B) P(A) P(X) P(A X) P(B) (1)      

16. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
16
αιιά
3 4 7
P(A) P(3) P(4)
10 10 10
     θαη
2 3 4 9
P(B) P(2) P(3) P(4)
10 10 10 10
      
νπόηε ε (1) γίλεηαη
7 9 2
P(X) P(A X) P(A X) P(X)
10 10 10
       
όκσο
2
0 P(A X) 1 0 P(X) 1
10
       από ηελ νπνία έρνπκε
2 1
P(X)
10 5
 
επνκέλσο ε ειάρηζηε ηηκή ηεο πηζαλόηεηαο  X είλαη
1
5
θαη πξαγκαηνπνηείηαη X {2}
Θέκα 11ν (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
Γίλεηαη ν πίλαθαο ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ κε πξώηε θαη πέκπηε παξαηήξεζε ηελ ίδηα
ζπρλόηεηα.
α) ΢πκπιεξώζηε ηνλ πίλαθα θαη βξείηε ηελ αζξνηζηηθή ζρεηηθή ζπρλόηεηα ηνηο εθαηό
β) Σν δείγκα είλαη άξηην ή πεξηηηό; Γηθαηνινγήζηε ηελ απάληεζή ζαο
γ) Να ζρεδηάζεηε ην θπθιηθό δηάγξακκα ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ ηνηο εθαηό
δ) Βξείηε ηελ δηάκεζν θαη ηελ κέζε ηηκή ησλ παξαηεξήζεσλ
ε) Βξείηε ην εύξνο θαη ηνλ ζπληειεζηή κεηαβνιήο ηνπ δείγκαηνο
Απάληεζε (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
α. Δπεηδή ε πξώηε θαη ε πέκπηε παξαηήξεζε έρνπλ ηελ ίδηα ζπρλόηεηα αληηιακβαλόκαζηε όηη, λ1 = λ5 άξα αλ
δηαηξέζνπκε θαη ηα δύν κέιε κε λ παίξλνπκε: 1 2
1 5
v v
f f
v v
  
Δύθνια βξίζθνπκε, 1 5f f 0,2  αθνύ ην άζξνηζκα ησλ ζρεηηθώλ ζπρλνηήησλ πξέπεη λα θάλεη 1.
Γηα επθνιία καο βξίζθνπκε ηεο ζηήιε ησλ fi% θαη Fi% όπσο θαίλεηαη παξαθάησ,
i i ix f % F %
1 20 20
2 16 36
3 14 50
4 30 80
5 20 100
δειαδή,
50%50%
1,2,3,4,5
Αλ ν δείγκα ήηαλ πεξηηηόο αξηζκόο, ηόηε ζα ππήξρε παξαηήξεζε ηνπ δείγκαηνο πνπ ζα ην ρώξηδε ιηγόηεξν από
50% εθαηέξσζελ απηήο ηεο ηηκήο (πνπ είλαη ε δηάκεζνο) θάηη πνπ δελ ζπκβαίλεη εδώ, άξα ην δείγκα είλαη άξηην
β. Από ηνλ ηύπν 0
i i360 f   βξίζθνπκε όιεο ηηο θεληξηθέο γσλίεο ηνπ θπθιηθνύ δηαγξάκκαηνο πνπ είλαη
0 0
1 5 360 0,2 72      , 0 0 0 0 0 0
2 3 4360 0,16 57,6 , 360 0,14 50,4 , 360 0,3 108           
θαη ην ζρεδηάδνπκε εύθνια.
xi fi
1
2 0,16
3 0,14
4 0,3
5
Σύνολο

17. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
17
γ. Η δηάκεζνο όπσο πεξηγξάςακε θαη παξαπάλσ είλαη (3+4):2=3,5 γηαηί ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη άξηην
θαη νη θεληξηθέο ηηκέο είλαη 4 θαη 5
δ. Σελ κέζε ηηκή ηελ βξίζθνπκε από ηνλ ηύπν:
5
i i 5
i 1
i i
i 1
x v
x x f 1,8
v


  


ε. Σελ δηαθύκαλζε ηελ βξίζθνπκε από ηνλ ηύπν,
 
 
5
2
i i 5
22 i 1
i i
i 1
x x ·v
s x x ·f
v



  


ή από ηνλ ηύπν
5
2
i i 5
2 2 2 2i 1
i i
i 1
x ·v
s x x ·f x
v


   

 κηαο θαη ε κέζε ηηκή δελ είλαη αθέξαηνο αξηζκόο θαη κεηά από
πξάμεηο βξίζθνπκε: 2 356 81
s 11
25 25
   δειαδή s 11 άξα
s 11 500 11
CV% ·100 ·100
x 1,8 9
  
πνπ θπζηθά δελ είλαη νκνηνγελέο (αθνύ μεπεξλάεη θαη ην 100%!!).
Θέκα 12ν (Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο)
΢ε έλα θνπηί βάδνπκε 2
4   θόθθηλεο ζθαίξεο, 3 15  άζπξεο ζθαίξεο θαη λ+15 καύξεο ζθαίξεο, όπνπ λ
θπζηθόο αξηζκόο κε 5  . Από ην θνπηί βγάδνπκε ζηελ ηύρε κηα ζθαίξα.
1) Να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ: A : « Η ζθαίξα πνπ βγάιακε είλαη άζπξε ».
2) Nα βξείηε ην λ ώζηε ε πηζαλόηεηα P(A ) λα είλαη ε κεγαιύηεξε δπλαηή. Έζησ 0 ε ηηκή απηή ηνπ λ.
3) Έζησ όηη 0   . Να βξείηε ηηο πηζαλόηεηεο ησλ ελδερνκέλσλ 0
A θαη
Κ: «Η ζθαίξα πνπ βγάιακε είλαη θόθθηλε»,
Μ: «Η ζθαίξα πνπ βγάιακε είλαη καύξε».
Απάληεζε (Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο)
1) Έρνπκε:
      22
3 15 3 15
P(A )
4 3 15 15

   
 
        
2) Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε:  2
3x 15
f(x) ,x 5,
x

   . Έηζη έρνπκε: P(A ) f( ), 5,6,...     .
Με x 5 έρνπκε:
 2
4 3
0, x 10
3x 3x 15 ·2x x 10
f (x) 3 0, x=10
x x
0, x 10
  
   
      
  

18. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
18
΢πκπεξαίλνπκε όηη ε ζπλάξηεζε f έρεη κέγηζηε ηηκή γηα x=10. Γειαδή: f(x) f(10) , γηα θάζε x 5 . ΢πλεπώο:
f( ) f(10)  , γηα θάζε θπζηθό αξηζκό 5  θαη άξα 10P(A ) P(A )  , γηα θάζε θπζηθό αξηζκό 5  . Άξα, κε
λ=10 ε πηζαλόηεηα P(A ) είλαη ε κεγαιύηεξε δπλαηή. ΢πλεπώο: 0 10  .
3) Έζησ όηη λ=10. Σόηε, νη θόθθηλεο ζθαίξεο είλαη: 2
10 4·10 60  , νη άζπξεο ζθαίξεο είλαη:3.10-15=15 θαη νη
καύξεο ζθαίξεο είλαη:10+15=25. ΢πλεπώο: 10
15 60 25
P(A ) , P(K) , P(M) .
100 100 100
  
Θέκα 13ν (Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο)
΢ε έλα θνπηί βάδνπκε 2
2   άζπξεο ζθαίξεο θαη 2
2  καύξεο ζθαίξεο, όπνπ λ θπζηθόο αξηζκόο κε 2  .
Από ην θνπηί απηό βγάδνπκε ζηελ ηύρε κηα ζθαίξα.
1) Να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ: A : « Η ζθαίξα πνπ βγάιακε είλαη άζπξε».
2) Τπάξρεη λ κε: P(A ) P(A ) 

3) Να βξείηε ην λ ώζηε ε πηζαλόηεηα λα είλαη ε κηθξόηεξε δπλαηή.
Απάληεζε (Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο)
1) Έσοςμε:
   
2 2
22 2
2 2
P(A )
22 2

       
 
        
.
2) Έσοςμε:
2
2
2
P(A ) P(A ) P(A ) 1 P(A ) 2 1 4
2
   
   
        
  
.
3) Θεωπούμε ηη ζςνάπηηζη:  
2
2
x x 2
f(x) ,x 2,
2x x
 
  

.
Έηζι, έσοςμε: P(A ) f( ), 2,3,...    
Με x 2 , έσοςμε:

19. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
19
   
2 2 2
2 2
2 2
0, x 2+ 3
(2x 1)(2x x) (x x 2)(4x 1) x 4x 1
f (x) 0, x=2+ 3
2x x 2x x
0, x 2+ 3
  
        
    
  
  
Σςμπεπαίνοςμε όηι η ζςνάπηηζη f είναι γνηζίωρ θθίνοςζα ζηο διάζηημα 2,2 3  
και γνηζίωρ αύξοςζα ζηο
2 3,  
. Έηζι, επειδή: 2 3 2 3 4 5 ...      , έσοςμε: f(2)>f(3) και f(4)<f(5)<…,δηλαδή: 2 3P(A ) P(A )
και 4 5P(A ) P(A ) ... 
Έσοςμε: 3 4 3 4
8 14 1
P(A ) P(A ) 0 P(A ) P(A )
15 28 30
       .
Σςμπεπαίνοςμε όηι: 4P(A ) P(A ) , για κάθε ν=2,3,4,... Με ηο ίζον μόνο για ν = 4. Άπα με ν=4 η πιθανόηηηα
P(A ) είναι η μικπόηεπη δςναηή.
Θέκα 14ν (Λεπηέξεο Πξωηνπαπάο)
Έζησ κηα κεηαβιεηή Υ κε ζεηηθέο ηηκέο 1 2x ,x , ... ,x πνπ αθνινπζεί θαλνληθή θαηαλνκή, έρεη εύξνο πεξίπνπ 24
θαη ζπληειεζηή κεηαβνιήο 12,5%. Έζησ επίζεο όηη 160 παξαηεξήζεηο, δειαδή ην 20% , βξίζθεηαη από 32 σο 34
θαη όηη
v
4 8
i
i 1
x 8,6536·10

 .
α) Να βξεζεί ε κέζε ηηκή, ηε ηππηθή απόθιηζε θαη ε δηάκεζνο.
β) Να βξεζεί ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ζεηηθήο ζηαζεξάο σ, ε νπνία αλ πξνζηεζεί ζε όιεο ηηο ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο Υ
θάλεη ην δείγκα νκνηνγελέο.
γ) Να βξεζεί ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ από 24 σο 30.
δ) Μηα λέα κεηαβιεηή Τ νξίδεηαη από ηε ζρέζε 2
Y X . Να ζπγθξηζνύλ ηα δείγκαηα ησλ Υ, Τ σο πξνο ηελ
νκνηνγέλεηα.
Απάληεζε (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
α. Έρνπκε R 6·s 24 6·s s 4    θαη
s 1 4
CV x 32
x 8 x
    
ζηελ θαλνληθή θαηαλνκή γλσξίδνπκε όηη (νη καζεηέο ην γλσξίδνπλ;;) x 32  
β. Έρνπκε δηαδνρηθά,
s 4
CV 0,1 0,1 0,1 w 8
x w 32 w
       
 
άξα ε ειάρηζηε ηηκή ηνπ w είλαη 8
γ. Δπίζεο,
100
v 160· 800
20
  νπόηε ην πνζνζηό ησλ παξαηεξήζεσλ κεηαμύ 24 - 30 ,ηζνύηαη από ην πνζνζηό
κεηαμύ ηνπ 24 - 28 πνπ είλαη 13,5% (ιόγσ θαλνληθήο θαηαλνκήο ηνπ ζρήκαηνο) θαη από 28 - 30 είλαη 34% -
20%=14% ιόγσ ζπκκεηξίαο ηνπ δηαζηήκαηνο 32 -34 πνπ δίλεη ε άζθεζε... άξα ζπλνιηθά από 24 - 30 έρνπκε:

20. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
20
13,5%+14%=27,5%, νπόηε ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ ζε απηό ην δηάζηεκα είλαη: (27,5*800)/100=220
δ. Έρνπκε,  
2 2
2 2 2 2 2i i
i
x x
s x 16 32 x 16 32 ·800
v 800
       
  
άξα ε λέα κέζε ηηκή είλαη:
 22
2i
16 32 ·800x
x 16 32 1040
v 800

     

ε λέα δηαθύκαλζε είλαη:
4 8
2 2 2 2ix 8,6536·10
s x 1040 10817·10 1040 100
v 800
       

άξα ε λέα ηππηθή απόθιηζε είλαη: s 10  άξα
10 1
CV
1040 104
   δειαδή CV CV  νπόηε ην λέν δείγκα έρεη
κεγαιύηεξε νκνηνγέλεηα από ην αξρηθό.
Θέκα 15ν (Χξήζηνο Σζηθάθεο)
΢ε έλαλ αγώλα δξόκνπ ιακβάλνπλ κέξνο λ αζιεηέο 1 2 v, ,...,   . Η πηζαλόηεηα λα ηεξκαηίζεη πξώηνο ν αζιεηήο
 είλαη
1
P( ) x
7v

 
   κε *
 θαη x κε 0 x 1  .
α) Να βξεζνύλ νη ηηκέο πνπ κπνξεί λα πάξεη ν x, αλ γλσξίδνπκε όηη κόλν έλαο αζιεηήο ζα ηεξκαηίζεη πξώηνο.
β) Γηα ηελ κηθξόηεξε ηηκή ηνπ x πνπ βξήθαηε, λα ππνινγίζεηε ην πιήζνο ησλ αζιεηώλ θαη ηελ πηζαλόηεηα ηνπ
θαζελόο λα ηεξκαηίζεη πξώηνο.
Απάληεζε (Λεπηέξεο Πξωηνπαπάο)
α) Ιζρύεη:
v
k
k 1
1 v(v 1) 15 v
P(a ) 1 x·v 1 x
7v 2 14v
 
     
β) Η ειάρηζηε ηηκή ηνπ x [0,1) είλαη x = 0, γηα λ = 15. Σόηε: k
k 1
P(a ) ,k 1,2,...,15
105

 
Σημείωση (Χατζόποσλος Μάκης): Δπεηδή x [0,1) έρνπκε,
15
0 x 1 0 1 0 15 14
14
 
          

άξα 0 15   , δειαδή, λ=1,2,3,...,15 όκσο ε
15 v
x
14v

 είλαη γλ. θζίλνπζα, νπόηε ην ειάρηζην ην παίξλεη γηα
λ=15 (θπζηθά αλ ζέιεη θάπνηνο λα γίλεη πην αλαιπηηθόο κπνξεί λα ζεσξήζεη ζπλάξηεζε θαη λα ηελ κειεηήζεη σο
πξνο ηελ κνλνηνλία-αθξόηαηα) θαη γίλεηαη γηα x = 0.
Θέκα 16ν (Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο)
Γηα δύν αζπκβίβαζηα ελδερόκελα Α θαη Β ελόο (πεπεξαζκέλνπ) δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω, κε ηζνπίζαλα απιά
ελδερόκελα, ηζρύεη: 2
25P (A) 21P(A) P(B) 5 0    (1)

21. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
21
1) Να βξείηε ηηο πηζαλόηεηεο ησλ Α θαη Β.
2) Να απνδείμεηε όηη: A B  
Απάληεζε (Αληώλεο Κπξηαθόπνπινο)
1) Δπεηδή A B  , έρνπκε: P(A B) P(A) P(B)   θαη επεηδή P(A B) 1  ,
έπεηαη όηη P(A) P(B) 1  θαη άξα: P(B) 1 P(A)  . Λόγσ θαη απηήο, από ηελ (1), έρνπκε:
2 2
25P (A) 21P(A) 5 P(B) 1 P(A) 25P (A) 20P(A) 4 0         
   
2 2
5P(A) 2 0 5P(A) 2 0 P A .
5
       
Αληηθαζηζηώληαο ζηελ (1), βξίζθνπκε:
3
P(B)
5
 .
2) Έρνπκε:
2 3
P(A B) P(A) P(B) 1 P(A B) 1
5 5
         .
Δπίζεο, έρνπκε: A B  . Έζησ όηη A B  . Σόηε N(A B) N( )   θαη ζπλεπώο P(A B) 1  , δειαδή
1<1, άηνπν. Άξα A B   .
Θέκα 17ν (Καλάβεο Χξήζηνο)
Έζησ Α έλα ελδερόκελν ηνπ δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω κε A  Ω θαη έλα δείγκα παξαηεξήζεσλ 1 2x ,x ,....,x
κεγέζνπο λ, όρη όιεο ίδηεο κεηαμύ ηνπο, κε κέζε ηηκή x 0 θαη ηππηθή απόθιηζε s.
Θεσξνύκε επίζεο ηελ ζπλάξηεζε f κε ηύπν     1 P A x
f x xe

 όπνπ P(A) ε πηζαλόηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ Α θαη x ε
κέζε ηηκή ηνπ δείγκαηνο.
α) Να κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε f σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.
β) Αλ ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην ζεκείν   M 0,f 0 είλαη θάζεηε ζηελ επζεία
1
y x
s


όπνπ s ε ηππηθή απόθιηζε ηνπ δείγκαηνο, λα βξεζεί ε ηηκή ηεο πηζαλόηεηαο ηνπ ελδερνκέλνπ Α ώζηε ην δείγκα λα
έρεη ζπληειεζηή κεηαβνιήο ίζν κε 10%. Δίλαη ην δείγκα νκνηνγελέο;
γ)Αλ ηζρύεη  P A 0.09E , όπνπ Δ ην εκβαδόλ ηξηγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο
ηεο f ζην Μ κε ηνπο δύν άμνλεο, θαη P(A) ε πηζαλόηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ Α, λα βξεζνύλ ε κέζε ηηκή θαη ε ηππηθή
απόθιηζε ηνπ δείγκαηνο.

22. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
22
Απάληεζε (Λεπηέξεο Πξωηνπαπάο)
Ιζρύεη s 0 , αθνύ αλ
2
i
i 1
1
s 0 (x x) 0


    

 2
i 1 2(x x) 0 x x ... x x       , άηνπν.
α) Δηαθρίλοσκε ηης περηπηώζεης:
* Αλ P(A) 1 , ηόηε f(x) x , δειαδή είλαη ζηαζεξή.
* Αλ P(A) 1 , ηόηε ε f είλαη παξαγσγίζηκε ζην κε (1 P(A))x
f (x) x(1 P(A))e 
   ,
όπνπ
- αλ x 0 ηζρύεη f (x) 0  , δειαδή ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην , νπόηε δελ παξνπζηάδεη αθξόηαηα.
- αλ x 0 ηζρύεη f (x) 0  , δειαδή ε f είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην , νπόηε δελ παξνπζηάδεη αθξόηαηα.
β) Έρνπκε CV 0.1 s 0.1| x | (I)  
Αθνύ ε εθαπηνκέλε ζην Μ(0, f(0)) είλαη θάζεηε ζηελ επζεία
1
y x
s
  , ζα ηζρύεη όηη
f (0) s x(1 P(A)) s (II)    
* Αλ x 0 ηόηε (I) s 0.1x 
θαη από ηελ  II x(1 P(A)) 0.1x 1 P(A) 0.1 P(A) 0.9       
* Αλ x 0 ηόηε (I) s 0.1x  
θαη από  II : x(1 P(A)) 0.1x 1 P(A) 0.1 P(A) 1.1          , απνξξίπηεηαη.
Αθνύ CV=0.1 ην δείγκα είλαη νκνηνγελέο.
γ) Σν ζεκείν Μ είλαη ην M(0,x) θαη ε θιίζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην Μ είλαη f (0) x(1 0.9) 0.1x   
΢πλεπώο ε εθαπηνκέλε (ε) ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο fζην M είλαη: y x 0.1x·x (I) 
Σν ζεκείν ηνκήο ηεο (ε) κε ηνλ x’x είλαη ην  A 10,0 , ελώ ην ζεκείν ηνκήο ηεο (ε) κε ηνλ yy’ είλαη ην  B 0,x .
Σν εκβαδό πνπ ζρεκαηίδεη ε (ε) κε ηνπο άμνλεο είλαη:
1 1
E ·OA·OB ·10·x
2 2
  .
Όκσο,
9 9 1
P(A) 0.09E · ·10·x
10 100 2
   
1
1 ·x x 2
2
  
΢πλεπώο: s 0.1·2 0.2  .
Θέκα 18 (Παύινο Γηακαληήο)
Γίλνληαη 100 παξαηεξήζεηο, 1 2 3 100x ,x ,x ,...,x κε κηα ηνπιάρηζηνλ από απηέο λα είλαη ζεηηθή, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη
100
2
i
i 1
x 646400

 θαη CV 10% .

23. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
23
1. Να βξείηε ηε κέζε ηηκή x
2. Να δείμεηε όηη ην εύξνο είλαη R 160 .
Απάληεζε
α) (Καλάβεο Χξήζηνο)
Δίλαη
2
2 2 2
2
s s
CV 0.1 CV 0.01 s 0.01x
x x
       .
Δπίζεο
2 2100 100 100 100
2 2
i i i i100
12 2 2 2 21 1 1
i
1
x x x x
1
s x s s x
    
    
                 
       
   

Δπνκέλσο
100
2
i
2 2 2 21
x
0.01x x 1.01x 6464 x 6400 x 80       


ή x 80 
β) (Παύινο Γηακαληήο)
Έρνπκε,
     
     
2 2 2
2 2 21 2 1002 2
1 2 100
x x x x ··· x x
s x x x x ··· x x 100·s
100
     
         
     
2 2 2
1 2 100x x x x ··· x x 6400.      
Γηα θάζε xi κε i = 1,2, …, 100 ηζρύεη:
         
22 2 2 2 2 2
i 1 2 100 i ix x x x x x ··· x x x x 6400 x x 80              
i ix x 80 80 x x 80.      
* Αλ x 80 ηόηε i i80 x 80 80 0 x 160       γηα θάζε xi κε i = 1,2, …, 100.
Έζησ minx θαη maxx ε ειάρηζηε θαη ε κέγηζηε παξαηήξεζε ηνπ δείγκαηνο αληίζηνηρα, ηόηε:
 max0 x 160 1  θαη  min min min0 x 160 0 x 160 160 x 0 2           
Με πξόζζεζε θαηά κέιε ησλ (1) θαη (2) έρνπκε:
max min max min max min max min160 x x 160 x x 160 x x x x 160 R 160             
* Αλ x 80  ηόηε, i i80 x 80 80 160 x 0        γηα θάζε xi κε i = 1,2, …, 100, άηνπν, αθνύ κηα
ηνπιάρηζηνλ παξαηήξεζε είλαη ζεηηθή.

24. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
24
Θέκα 19 (Σζνπέιαο Γηάλλεο)
Θεσξνύκε ην δείγκα ι , ι+5 , ι+1 , 2ι-3 , 7 κε ι > 0 ην νπνίν έρεη δηάκεζν δ .
α) Γείμηε όηη
2
2 2 20 64
x 2, s
5
   
    .
β)Αλ ι > 8 θαη R ην εύξνο ηνπ δείγκαηνο , δείμηε όηη : 2 2
R 28 10s . 
γ)Αλ ι ζεηηθόο αθέξαηνο :
γ1) Γείμηε όηη γηα θάζε 5  ηζρύεη : δ = ι+1 .
γ2) Γηα ι = 5 λα βξείηε ηελ ηππηθή απόθιηζε ηνπ δείγκαηνο .
δ)Γείμηε όηη γηα θάζε ι > 0 ηζρύεη :  
1
ln s( )
2
  .
Απάληεζε (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
α) Γηα ηελ κέζε ηηκή έρνπκε,
5 1 2 3 7 5 10
x 2
5 5
            
    
γηα ηελ δηαθύκαλζε έρνπκε,
           
2 2 2 2 2 2 2
2
2 5 2 1 2 3 2 7 2 2 5 14 2 20 64
s
5 5 5
                               
  
β) Η κέγηζηε παξαηήξεζε είλαη ε 2ι - 3 (ζέιεη κηα απόδεημε) θαη ε κηθξόηεξε ε 7 (αθνύ ην ι>8>7) νπόηε ην
εύξνο είλαη,  R 2 3 7 2 10       άξα, 2 2 2
R 28 4 40 128 10s      
γ1) Γηα 0 4   απνδεηθλύεηαη όηη: ι+1>ι θαη ι>2ι-3 ελώ ι+1<ι+5 θαη ι+1<7 νπόηε ην ι+1 είλαη ε θεληξηθή
ηηκή, άξα δ=ι+1
Γηα 6   απνδεηθλύεηαη όηη:
ι+1>7 θαη ι+1>ι ελώ ι+1<ι+5 θαη ι+1 < 2ι-3 νπόηε ην ι+1 είλαη ε θεληξηθή ηηκή, άξα δ=ι+1
γ2) Γηα ι=5 ηόηε x 7 θαη 2 14 14
s s
5 5
   άξα ν ζπληειεζηήο κεηαβνιήο είλαη
14
5CV
7

δ) Έρνπκε δηαδνρηθά,
        
2 2
21 2 20 64 2 20 64
ln s 2ln s 1 ln s 1 ln 1 e
2 5 5
        
            
 
2
2 20 64 5e 0      
πνπ ηζρύεη γηαηί
112
112 40e 0, e 2,8
40
      

25. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
25
΢εκείωζε (Σζνπειάο Γηάλλεο): ΢ε όηη αθνξά ην εξώηεκα δ κηα πξνζέγγηζε είλαη λα κειεηεζεί ε ζπλάξηεζε
ln(s(ι)) σο πξνο ηε κολοηολία θαη ηα αθρόηαηα θαη προθύπηεη όηη γηα ι = 5 παροσζηάδεη ειάτηζηο ην
    
1 12 1 1 1
ln s 5 ln ln 2.8 lne
2 5 2 2 2
 
    
 
Θέκα 20 (Σζνπειάο Γηάλλεο)
Θεσξνύκε ην δείγκα {α , β , γ , δ } κε       . Ολνκάδνπκε κ ηελ κέζε ηηκή ηνπ δείγκαηνο , Μ ηνλ
ζηαζκηθό κέζν ηνπ δείγκαηνο κε αληίζηνηρνπο ζπληειεζηέο ζηάζκηζεο 0,1 , 0,1 , 0,1 , 0,1    θαη s ηε ηππηθή
απόθιηζε ηνπ δείγκαηνο . Αλ 0,1 , 0,1 , 0,1 , 0,1    θαη 2
21 s       λα βξείηε ηα κ , s , CV .
Απάληεζε (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
Έρνπκε, 4
4
     
          
θαη
2 2 2 2 2 2 2 2
0,1 0,1 0,1 0,1
M
0,1 0,1 0,1 0,
            
 
            
νπόηε
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
M M· 21
4 4 4
                 
     

θαη  2
s 21       
άξα  
 
 
22 2 2 2
2
21 21 21 16
4 16
          
                          
Δπνκέλσο 4  ,
21·4 21
M
16 4
  θαη 2
s 21 16 5   άξα s 5 .
΢εκείωζε: Σν 0      αθνύ καο δίλεη ε άζθεζε 21  δει. 0 0 0       
Θέκα 21 (xgastone)
Μηα νκάδα καζεηώλ δίλεηαη από κ αγόξηα θαη λ θνξίηζηα. Δπηιέγνπκε ηπραία έλα καζεηή από ηελ νκάδα. Έζησ Α
ηο ελδετόκελο ο καζεηής ποσ επηιέτηεθε λα είλαη αγόρη θαη Κ ηο ελδετόκελο λα είλαη θορίηζη. Γηα ηνπο καζεηέο ηεο
νκάδαο γλσξίδνπκε όηη :
Η κέζε ηηκή ηεο ειηθίαο όισλ ησλ καζεηώλ είλαη 16 ρξόληα
Η κέζε ηηκήο ηεο ειηθίαο ησλ κ αγνξηώλ είλαη 16 + 2x ρξόληα
Δλώ ε κέζε ηηκή ηεο ειηθίαο ησλ λ θνξηηζηώλ είλαη 16 – ln(ex) ρξόληα

26. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
26
Σν x είλαη έλαο πξαγκαηηθόο αξηζκόο κεγαιύηεξνο ηνπ 1/e θαη κηθξόηεξνο ηνπ e15
ηέηνηνο ώζηε ε πηζαλόηεηα ηνπ
ελδερνκέλνπ Α λα γίλεηαη κέγηζηε.
α) Να απνδείμεηε όηη ν ιόγνο ησλ αγνξηώλ πξνο ηα θνξίηζηα είλαη
 ln ex
2x
β) Γείμηε όηη ε πηζαλόηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ Α εθθξάδεηαη από ηελ ζπλάξηεζε  
 
 
ln ex
f x
2x ln ex


γ) Τπνινγίζηε ηνλ αξηζκό x
δ) Γείμηε όηη ε πηζαλόηεηα ηνπ ελδερνκέλνπ Κ είλαη δηπιάζηα ηεο πηζαλόηεηαο ηνπ ελδερνκέλνπ Α.
Απάληεζε (Μάθεο Χαηδόπνπινο)
α) Έζησ ix :νη ειηθίεο ησλ αγνξηώλ θαη iy :νη ειηθίεο ησλ θνξηηζηώλ, ηόηε ηα δεδνκέλα γίλνληαη:
 i i
i i
x y
16 x y 16 (1)

      
  
   
 i
i
x
16 2x x 16 2x (2)     

 
θαη  i
i
x
16 2x x 16 2x (2)     

 
Με αληηθαηάζηαζε ησλ ζρέζεσλ (2), (3) ζηελ (1) πξνθύπηεη ην δεηνύκελν δει.
 ln ex
2x



β) Έρνπκε,  
 
 
 
 
ln ex
ln ex2xP A
ln ex 2x ln ex
1
2x

    
     
 
γ) Γηα ηελ ζπλάξηεζε
 
 
15
ln ex 1
f(x) , x e
2x ln ex e
  

ζα ηελ κειεηήζνπκε σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη αθξόηαηα,
 
  
  
2
2 1 ln ex
f x ...
2x ln ex

  

πνπ εύθνια βξίζθνπκε όηη ην x = 1 είλαη ζεκείν κεγίζηνπ ηεο f
δ) Δπίζεο,  
lne 1
P A
2 lne 3
 

νπόηε        
1 2
P B P A 1 P A 1 2P A
3 3
      
Θέκα 22 (panathas13)
΢ε έλα Λύθεην, ζηε Γ' ηάμε ην 80% ησλ αγνξηώλ επέιεμε ηελ ζεηηθή ή ηερλνινγηθή θαηεύζπλζε θαη ην 60% ησλ
θνξηηζηώλ επέιεμε ηελ ζεσξεηηθή θαηεύζπλζε. Αλ εθιέμνπκε ηπραία έλα άηνκν από ηελ Γ' ηάμε, ε πηζαλόηεηα λα

27. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
27
επέιεμε ηελ ζεηηθή ή ηερλνινγηθή θαηεύζπλζε είλαη 3/5.
α) Να δείμεηε όηη ηα αγόξηα είλαη ίζα κε ηα θνξίηζηα.
β) Αλ επηιέμνπκε έλα άηνκν ηπραία από ηελ Γ' ηάμε , λα βξείηε ηελ πηζαλόηεηα λα είλαη θνξίηζη θαη λα επέιεμε
ζεσξεηηθή.
γ) Αλ ηα αγόξηα πνπ επέιεμαλ ζεσξεηηθή είλαη 5, λα βξείηε ην πιήζνο ησλ καζεηώλ ηεο Γ' ηάμεο.
Απάληεζε (Πξωηνπαπάο Λεπηέξεο)
Έζησ α ηα αγόξηα θαη θ ηα θνξίηζηα ηεο Γ΄ Λπθείνπ.
Σόηε:
*ζηε ζεηηθή ή ηερλνινγηθή θνηηνύλ 0,8α αγόξηα θαη 0,4θ θνξίηζηα,
* ζηελ ζεσξεηηθή θνηηνύλ 0,6θ θνξίηζηα θαη 0,2α αγόξηα.
α) Αθνύ ε πηζαλόηεηα λα επηιέμνπκε καζεηή (-ηξηα) ηεο ζεηηθήο ή ηερλνινγηθήο είλαη 3/5, ηζρύεη όηη:
0,4a 0,8 3
... a
a 5
 
    
 
β) Σα θνξίηζηα ηεο ζεσξεηηθήο είλαη 0,6θ, άξα ε πηζαλόηεηα λα επηιέμνπκε θνξίηζη ηεο ζεσξεηηθήο είλαη:
0,6 0,6
0,3 30%
a 2
 
  
  
.
γ) Ιζρύεη όηη: 0,2α=5, νπόηε α = 25, άξα 50 είλαη νη καζεηέο.
Θέκα 23 (΢πύξνο Οξθαλνπδάθεο)
Οη πξαγκαηηθνί αξηζκνί α, β, 17, γ είλαη δηαηεηαγκέλνη ζε αύμνπζα ζεηξά. Αλ ην εύξνο ηνπο είλαη 2 θαη ε δηάκεζνο
16, ηόηε
α) Βξείηε ηνλ αξηζκό β
β) Βξείηε ηνπο αξηζκνύο α, γ.
γ) (Μάκης Χατζόποσλος) ΢ηε ζπλέρεηα, αλ 1ε θαη 2ε παξαηήξεζε έρνπλ ηνλ ίδην ζπληειεζηή ζηάζκηζεο 1w θαη ε
3ε κε ηελ 4ε ζπληειεζηή ζηάζκηζεο 2w , όπνπ 1 2w ,w 0 , ηόηε λα δείμεηε όηη:
i) O ζηαζκηθόο ηνπο κέζνο είλαη κεηαμύ ησλ αξηζκώλ 15 θαη 16
ii) Αλ ν ζηαζκηθόο κέζνο είλαη κεγαιύηεξνο θαηά κηζή κνλάδα από ηελ κέζε ηηκή ηνπ δείγκαηνο, ηόηε λα
απνδείμεηε όηη: 2 1w 3w
iii) Αλ νη ζπληειεζηέο βαξύηεηαο είλαη ίζεο, ηόηε λα δείμεηε όηη ν ζηαζκηθόο κέζνο είλαη ίζνο κε ηελ κέζε ηηκή
ηνπ δείγκαηνο.
Απάληεζε (sorfan)
α) Αθνύ είλαη άξηηνο ν αξηζκόο ησλ παξαηεξήζεσλ(θαη είλαη θαη δηαηεηαγκέλεο) από ην εκηάζξνηζκα ησλ
κεζαίσλ παξαηεξήζεσλ βξίζθνπκε όηη
17
17 32 15
2
 
      

28. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
28
β) Δπίζεο R 2 2 2         
Δπνκέλσο, νη αξηζκνί ζε αύμνπζα ζεηξά είλαη: ,15,17, 2   .
Από ηηο δύν πξώηεο παξαηεξήζεηο έρνπκε 15  (γηα λα είλαη ζε αύμνπζα ζεηξά), από ηελ 3ε θαη 4ε
παξαηήξεζε έρνπκε 2 17 15      (όκνηα γηα λα είλαη ην α + 2 κεγαιύηεξν ή ίζνλ ηνπ 17, αθνύ είλαηη ζε
δηαηεηαγκέλα ζε αύμνπζα ζεηξά), νπόηε α = 15, άξα νη αξηζκνί είλαη ηειηθά: 15, 15, 17, 17
γ) (Μάκης Χατζόποσλος) Βξίζθνπκε αξρηθά ηνλ ζηαζκηθό κέζν ησλ παξαηεξήζεσλ
1 1 2 2 1 2
.
1 1 2 2 1 2
15 w 15 w 17 w 17 w 15 w 17 w
x
w w w w w w
 
         
 
   
i) Θα δείμνπκε όηη: .15 x 17  
Έρνπκε, 1 2
. 2
1 2
15 w 17 w
15 x 15 0 w
w w
 
  
    

πνπ ηζρύεη
θαη 1 2
. 1
1 2
15 w 17 w
x 17 17 0 w
w w
 
  
    

πνπ ηζρύεη άξα .15 x 17  
ii) Βξίζθνπκε αξρηθά ηελ κέζε ηηκή ηνπ δείγκαηνο, .
15 15 17 17
x 16
4
 
  
  , νπόηε
. .x x 0,5 16 0,5 16,5       
άξα
2
1 2
. 1 2 1 2 2 1 2 1
1 2
15 w 17 w
x 16,5 16,5 15 w 17 w 16,5 w 16,5 w 0,5 w 1,5 w w 3w
w w

 
  
                

iii) Έρνπκε δηαδνρηθά,
 1 2w w
11 2 1 1
. .
1 2 1 1 1
15 17 w15 w 17 w 15 w 17 w
x 16 x
w w w w 2w

   
      
    
 
Σημείωση: Οη προηάζεης γi θαη γiii είλαη βαζηθές προηάζεης ζεωρίας θαη πρέπεη λα ηης γλωρίδοσκε, δειαδή,
 .min maxx x x   γηα δηαθορεηηθές παραηερήζεης, όποσ .x  : ε κέζε ηηκή ηοσ δείγκαηος
 . .1 2 vw w ... w x x        , όποσ 1 2 vw ,w ,...,w οη ζσληειεζηές ζηάζκηζες ηωλ παραηερήζεωλ

29. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
29
Θέκα 24 (Χάξεο Γ.Λ.)
Γίλεηαη ν δεηγκαηηθόο ρώξνο Ω={1,2,3,…,10} γηα ηα ζηνηρεία ηνπ νπνίνπ ηζρύεη
         P 1 P 2 P 3 P 4 2P 5    ,      
1
P 9 P 10 P 1
2
  θαη        P 5 P 6 P 7 3P 8   .
Γηα ηα ελδερόκελα Α θαη Β ηνπ Ω ηζρύεη  2
A x / x 7x 10 0     ,  A B 3,4,5  , Β – Α = {1, 8} θαη ην
ελδερόκελν
2
3 2
2x 1
4 2 x 3
/ lim 9 20 11
2x 5x 3
 
         
 
  
 
 
.
α) Να ππνινγίζεηε ηηο πηζαλόηεηεο ησλ ζηνηρείσλ ηνπ Ω
β) Να γξάςεηε ηα ελδερόκελα Α , Β , Γ κε αλαγξαθή ησλ ζηνηρείσλ ηνπο θαη λα βξείηε ηηο πηζαλόηεηεο ηνπο .
γ) Να βξείηε ηηο πηζαλόηεηεο ησλ ελδερνκέλσλ A , B,A B 
    
Απάληεζε (Μάλνο Μαλνύξαο ην α θαη β, Rania γ)
α) Θέησ P(8)=m ηόηε P(5)=P(6)=P(7)=3m θαη P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=6m θαη P(9)=P(10)=3m
νπόηε από ηνλ νξηζκό ηεο Πηζαλόηεηαο έρνπκε,
10
i 1
1
P(i) 1 m 15m 24m 1 m
40
      
θαη από απηό βξίζθνπκε:
1
P(8)
40
 ,
3
P(5) P(6) P(7) P(9) P(10)
40
     θαη
6
P(1) P(2) P(3) P(4)
40
   
β) Γξάθνπκε    A x / (x 2)(x 7) 0 A 2,3,4,5,6,7      
θαη έηζη ζαλ αζπκβίβαζηα είλαη
27
P(A) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) P(7)
40
      
Γλσξίδνπκε όηη B A B A   άξα γξάθνπκε
 B B (A A ) (B A ) (B A) 1,3,4,5,8     
θαη έηζη παίξλνπκε
22
P(B) P(1) P(3) P(4) P(5) P(8)
40
     
ην όξην γξάθεηαη πνιιαπιαζηάδνληαο κε ηε ζπδπγή ηνπ αξηζκεηή
2
2x 1
4x 4
lim 1
(2x 3)(x 1)(4 2 x 3)
 

   
θαη κε Ηorner κε ην 1 θαη vieta κεηά βξίζθνπκε  1,2,6 
γ) Έρνπκε:
Α ={2, 3, 4, 5, 6, 7} άξα Α' ={1, 8, 9}
Β ={1, 3, 4, 5, 8} άξα Β' = {2, 6, 7, 9, 10}

30. Δπηκέιεηα: Χαηδόπνπινο Μάθεο | Θέκαηα Δπαλαιεπηηθά ζηα Μαζεκαηηθά Γεληθήο
Παηδείαο
30
Γ ={1, 2, 6} άξα Γ' = {3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}
Δπνκέλσο:
 A 2,3,4,5,6,7,8,9,10 
 B 3,4,5,8 
 A B 9  
Καη ηώξα ηα πξάγκαηα είλαη πιένλ εύθνια.
6 3 1 34
P(A ) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) P(7) P(8) P(9) P(10) 3 5
40 40 40 40
             
6 3 1 16
P( B) P(3) P(4) P(5) P(8) 2
40 40 40 40
        
3
P(A B ) P(9)
40
   