các phân phối xác xuất thường gặp

Bài 3
Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối nhị thức

 Phép thử Bernoulli
Xét một thí nghiệm chỉ có 2 khả năng xảy ra:
“thành công” hoặc “thất bại”.
Thành công với xác suất p.
Thất bại với xác suất 1-p.
Thí nghiệm như vậy gọi là phép thử Bernoulli,
ký hiệu B(1,p).


 Phép thử Bernoulli – ví dụ.
Tung đồng xu: hình / số.
Mua vé số: trúng / không trúng.
Trả lời ngẫu nhiên 1 câu trắc nghiệm: đúng / sai.
Kiểm tra ngẫu nhiên hàng hóa: tốt / xấu.


 Phân phối nhị thức
Thực hiện phép thử Bernoulli B(1,p) n lần độc
lập.
Đặt
X = “Số lần thành công trong n lần thí nghiệm”
X = 0, 1, 2, …, n.
X có phân phối nhị thức với tham số p.
Ký hiệu: X ~ B(n,p).


 Công thức
Xét X ~ B(n,p)
n−k
P ( X = k ) = C p (1 − p )
k
n
k

k = 0,1, …, n


 Ví dụ
Cho X ~ B(5,0.1)
Tính P(X=1)
P(X = 1) = Cnk Pk (1 − P)n− k
5!
= (0.1)1(1 − 0.1)5−1
1!(5 − 1)!
= (5)(0.1)(0.9)4
= .32805

 Hìnhdạng của phân phối nhị thức sẽ phụ
thuộc vào p và n.
P(x) n = 5 P = 0.1
Mean .6
n .4
= 5 và P = 0.1
.2
0 x
0 1 2 3 4 5

.6
P(x) n = 5 P = 0.5
n .4
= 5 và P = 0.5 .2
0 x
0 1 2 3 4 5

Nếu X ~ B(n,p):
1) Trung bình µ = EX = np
2) Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn
σ = npq
2

σ = npq
- n: số lần thực hiện thí nghiệm
- p: xác suất thành công ở 1 lần thí nghiệm
- q = 1- p.

Ví dụ

Mean = (5)(0.1) = 0.5
μ = nP
.6
P(x) n = 5 P = 0.1
.4
σ = nP(1- P) = (5)(0.1)(1− 0.1) .2
= 0.6708 0 x
0 1 2 3 4 5

μ = nP = (5)(0.5) = 2.5 P(x) n = 5 P = 0.5
.6
.4
σ = nP(1- P) = (5)(0.5)(1− 0.5) .2
= 1.118 0 x
0 1 2 3 4 5

Phân phối Poisson
 Số các biến cố xảy ra trong một khoảng
thời gian cho trước.
 Số các biến cố trung bình trên một đơn
vị là λ.
 Ví dụ
Số người xếp hàng tính tiền ở siêu thị,
số cuộc điện thoại đến bưu điện trong 1
ngày, số máy tính hư trong 1 ngày ở 1
khu vực, …


 Biếnngẫu nhiên X nhận giá trị từ 0, 1, 2,
… gọi là có phân phối Poisson với tham
số λ nếu
−λ
e λ k
P( X = k ) =
k!
k = 0, 1, 2, …


 Trung bình
μ = E(X) = λ
 Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn

σ = E[( X − µ ) ] = λ
2 2

σ= λ
Với λ = số biến cố xảy ra trung bình trên 1 đơn vị


 Vídụ
Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi
bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson
với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1
giờ có
a. Đúng 3 ống sợi bị đứt.
b. Có nhiều hơn 1 ống sợi bị đứt.

Bảng tra phân phối Poisson

λ

X 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066
1 0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 0.3476 0.3595 0.3659
2 0.0045 0.0164 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.1217 0.1438 0.1647
3 0.0002 0.0011 0.0033 0.0072 0.0126 0.0198 0.0284 0.0383 0.0494
4 0.0000 0.0001 0.0003 0.0007 0.0016 0.0030 0.0050 0.0077 0.0111
5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0004 0.0007 0.0012 0.0020
6 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003
7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Ví dụ: Tìm P(X = 2) nếu λ = .50

e − λ λ k e−0.50 (0.50)2
P ( X = 2) = = = .0758
k! 2!

Phân phối xác suất Poisson
0.70

0.60
λ = .50
0.50
λ=
0.40
X 0.50 P(x)
0.30
0 0.6065
1 0.3033 0.20

2 0.0758 0.10

3 0.0126 0.00
0 1 2 3 4 5 6 7
4 0.0016
5 0.0002 x

6 0.0000 P(X = 2) = .0758
7 0.0000


 Hình dạng của phân phối Poisson phụ
thuộc vào tham số λ :
λ =0.50 λ =3.00
0.70 0.25

0.60
0.20
0.50

0.15
0.40

P(x)
P(x)

0.30 0.10

0.20
0.05
0.10

0.00 0.00
0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x x

Định lý Poisson

 Cho X ~ B(n,p)
k −λ
λ e
lim C p q
k k n−k
=
k!
n
n →∞
p →0
np →λ

 Dùng phân phối Poisson để xấp xỉ phân
phối nhị thức khi n >> p.

Mô hình Poisson
Mô hình Poisson :
+ Xét n phép thử Bernoulli.
+ Trong đó xác suất thành công là p.
+ Các phép thử độc lập với nhau.
(Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết
quả của các phép thử kia)
+ X – số lần xuất hiện thành công trong n phép
thử.
+ Trong đó n lớn ( n ≥ 100) và p nhỏ (p ≤ 0,01
và np ≤ 20).
Khi đó X ~ P(λ).

Mô hình Poisson

 Vídụ
Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ
em ở một khu vực. Biết xác suất 1 trẻ bị
phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001.
Tính xác suất trong 2000 trẻ có không
quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.

Phân phối đều
 Tất cả các khả năng có thể xảy ra của biến ngẫu
nhiên có phân phối đều có xác suất bằng nhau.
 X có phân phối đều trong khoảng [a,b], ký hiệu X ~
U([a,b]).
f(x)

Tổng diện tích miền
giới hạn bởi phân phối
đều là 1.0
xmin xmax x

Phân phối đều
 Hàm mật độ xác suất của phân phối đều trong đoạn
[a,b]
1
neá a ≤ x ≤ b
u
b− a
f(x) =
0 nôi khaù
c

với
f(x) = giá trị hàm mật độ tại điểm x
a = giá trị nhỏ nhất của x
b = giá trị lớn nhất của x

Phân phối đều

 Kỳ vọng
a+ b
µ = EX =
2

 Phương sai
(b-a) 2
σ = VarX =
2

12

Phân phối đều

Ví dụ: Phân phối đều trên khoảng 2 ≤ x ≤ 6

1
f(x) = 6 - 2 = .25 for 2 ≤ x ≤ 6

f(x) a+b 2+6
EX = = =4
2 2
.25
( b − a) ( 6 − 2)
2 2
16
VarX = = = = 1.333
12 12 12
2 6 x

Phân phối mũ
 Biến ngẫu nhiên T (t>0) gọi là có phân phối mũ nếu có hàm mật
độ xác suất

f(t) = λ e− λ t vôùt > 0
i
Với
 λ số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị thời gian.
 t số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp.
 e = 2.71828
 Ký hiệu: T ~ exp(t), T là khoảng thời gian giữa 2 lần xảy ra các
biến cố.

Phân phối mũ

 Hàm phân phối xác suất
−λt
F(t) = 1 − e vôùt>0
i

 Kỳ vọng và phương sai
1 1
ET = VarT = 2
λ λ

Phân phối mũ
Ví dụ: Số khác hàng đến một quầy dịch vụ với tỷ lệ là
15 người một giờ. Hỏi xác suất thời gian giữa 2 khách
hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là bao
nhiêu.
 Trung bình có 15 khách hàng đến trong 1 giờ, do đó λ
= 15
 3 phút = 0.05 giờ
 T: thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy.
 P(T < .05) = 1 – e- λt = 1 – e-(15)(.05) = 0.5276
 Vậy có khoảng 52,76% khoảng thời gian giữa 2 khách
hàng liên tiếp đến làm dịch vụ tại quầy ít hơn 3 phút.

Phân phối mũ

Ví dụ:
Trong một nhà máy sản xuất linh kiện
điện tử, biết tuổi thọ của một mạch điện
là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với
tuổi thọ trung bình là 6,25 năm. Nếu thời
gian bảo hành của sản phẩm là 5 năm.
Hỏi có bao nhiêu % mạch điện của nhà
máy khi bán ra thị trường phải thay thế
trước thời gian bảo hành.

Phân phối chuẩn
 Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong R gọi là
có phân phối chuẩn với tham số µ và σ2 nếu
hàm mật độ xác suất
( x−µ ) 2
1 −
f ( x) = e 2σ 2
, −∞ < x < +∞
σ 2π
Với: EX = µ và VarX = σ2.
 Ký hiệu: X ~ N(µ, σ2)


 Dạng như một cái chuông
 Có tính đối xứng
f(x)
 Trung bình = Trung vị = Mode
 Vị trí của phân phối được xác định

bởi kỳ vọng, µ σ
 Độ phân tán được xác định bởi độ x
μ
lệch tiêu chuẩn, σ
 Xác định từ + ∞ to − ∞
Trung bình = Trung vị = Mode


Bằng việc thay đổi các tham số μ và σ, ta nhận
được nhiều dạng phân phối chuẩn khác nhau


f(x) Thay đổi μ dịch chuyển phân
phối qua trái hoặc phải

Thay đổi σ làm tăng
hoặc giảm độ phân tán.
σ

μ x

Hàm phân phối của phân phối chuẩn

 Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung
bình μ và phương sai σ2 , X~N(μ, σ2), hàm phân phối
của X là

F(x 0 ) = P(X ≤ x 0 )

f(x)

P(X ≤ x 0 )

0 x0 x

Xác suất của phân phối chuẩn

Xác suất X ∈ (a,b) đo bởi diện tích giới
hạn bởi đường cong chuẩn.

P(a < X < b) = F(b) − F(a)

a μ b x

Xác suất của phân phối chuẩn
F(b) = P(X < b)

a μ b

F(a) = P(X < a)

a μ b

P(a < X < b) = F(b) − F(a)

a μ b x

Phân phối chuẩn hóa
 Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(µ, σ 2). Chuẩn hóa X
bằng cách đặt
X −μ
Z=
σ
 Khi đó EZ = 0 và VarZ = 1. Ta nói Z có phân phối
chuẩn hóa. Ký hiệu
Z ~ N(0 ,1)
f(Z)

1
Z
0

 Nếu X có phân phối chuẩn với trung bình là 100 and
độ lệch tiêu chuẩn là 50, thì giá trị của Z ứng với X =
200 is
X − µ 200 − 100
Z= = = 2.0
σ 50

100 200 X (μ = 100, σ = 50)
0 2.0 Z (μ = 0, σ = 1)

 Hàm mật độ
z2
1 −
f ( z) = e 2
= ϕ ( z ) : haø Gauss
m
2π
 Hàm phân phối
z0 t2
1 −
F ( z0 ) = P ( Z ≤ z0 ) =
2π ∫e
−∞
2
dt = Φ( z )

haø Laplace
m

Tính xác suất

 a −μ b −μ
P(a < X < b) = P <Z< 
 σ σ 
f(x)  b −μ  a −μ
= F  − F 
 σ   σ 

a µ b x
a −μ b −μ
0 Z
σ σ

Tính xác suất

f(X) P( − ∞ < Xμ )
< 0.5
=
P(μ < X < ∞) = 0.5

0.5 0.5

μ X
P( −∞ < X < ∞ ) = 1.0

Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)

 Đểtìm xác xuất P(X<x0); chuẩn hóa đưa
X về Z: tìm xác suất bằng cách tra bảng
chuẩn hóa N(0,1).
F(a) = P(Z < a)=Φ (a)

Z


P(Z<1.04) = Φ(1.04)= 0.8508

.9772
Ví dụ:
P(Z < 2.00) =
Φ (2.00) = .9772 0 2.00 Z
Do tính đối xứng .9772
Φ(-z) = 1 - Φ(z) .0228

Ví dụ: 0 2.00 Z
P(Z < -2.00) = Φ(-2.00)= 1 .9772
– Φ (2.00) = 1 - 0.9772
= 0.0228
-2.00 0 Z

Ví dụ

 Giả sử X có phân phối chuẩn với trung
bình là 8.0 và độ lệch tiêu chuẩn 5.0.
Tìm P(X < 8.6).

X
8.0
8.6

Ví dụ

X − µ 8.6 − 8.0
Z= = = 0.12
σ 5.0

μ=8 μ=0
σ = 10 σ=1

8 8.6 X 0 0.12 Z

P(X < 8.6) P(Z < 0.12)

Ví dụ

Tra bảng chuẩn hóa P(X < 8.6)
= P(Z < 0.12)
z Φ(z) Φ(0.12) = 0.5478
.10 .5398

.11 .5438

.12 .5478
Z
0.00
.13 .5517
0.12

Ví dụ

 Giả sử X có phân phối chuẩn với trung
bình 8.0 và độ lệch tiêu chuẩn 5.0.
 Tìm P(X > 8.6)

X
8.0

8.6

Ví dụ
 Tìm P(X > 8.6)…
P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)
= 1.0 - 0.5478 = 0.4522

0.5478
1.000 1.0 - 0.5478
= 0.4522

Z Z
0 0
0.12 0.12

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân
phối chuẩn

 Cho X ~ B(n,p). Khi n lớn và p không
quá gần 0 và 1.
 Tính P(X < c)?
 Tính P(a < X < b)?

Dùng phân phối chuẩn.

phối chuẩn

 Đặt

µ = EX = np
σ2 = VarX = np(1-p)
 Tạo biến ngẫu nhiên Z có phân phối
chuẩn hóa từ phân phối nhị thức
X − EX X − np
Z= =
VarX np (1 − p )

phối chuẩn

 X − np c − np   c − np   c − np 
P( X < c) = P  < ÷= P  Z < ÷= Φ 
 npq npq ÷  npq ÷  npq ÷ ÷
   

 a − np b − np 
P ( a < X < b) = P  <Z< ÷
 npq npq ÷
 
 b − np   a − np 
= Φ ÷− Φ 
 npq ÷  npq ÷ ÷
   

phối chuẩn

 Ví
dụ
Trong một cuộc bầu cử ở một thành
phố, biết rằng 40% người dân ủng hộ
ứng cử viên A. Chọn ngẫu nhiên 200
người, hỏi xác suất gặp được từ 76 đến
80 người ủng hộ ứng cử viên A là bao
nhiêu?

Ví dụ

 E(X) = µ = nP = 200(0.40) = 80
 Var(X) = σ2 = nP(1 – P) = 200(0.40)(1 – 0.40) = 48

 76 − 80 80 − 80 
P(76 < X < 80) = P 
 200(0.4)(1 − 0.4) ≤Z≤ ÷
 200(0.4)(1 − 0.4) ÷

= P( − 0.58 < Z < 0)
= Φ(0) − Φ( − 0.58)
= 0.5000 − 0.2810 = 0.2190

các phân phối xác xuất thường gặp

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à các phân phối xác xuất thường gặp

Similaire à các phân phối xác xuất thường gặp (20)

các phân phối xác xuất thường gặp