1. Tema: Sistema de dos ecuaciones lineales: resolución gráfica
Curso: 3º año
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2. Objetivos:
 Representar gráficamente los sistemas de dos ecuaciones lineales
 Identificar gráficamente la solución de un sistema de dos ecuaciones
lineales
 Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales
Contenidos previos:
 Concepto de sistema de ecuaciones lineales
 Concepto de función lineal
 Representación grafica de funciones lineales
Contenidos conceptuales:
 Representación gráfica de un sistema de ecuaciones
 Sistema compatible determinado
 Sistema compatible indeterminado
 Sistema incompatible
Contenidos procedimentales:
 Identificación de sistema de ecuaciones lineales
 Interpretación y representación gráfica de sistemas de ecuaciones
lineales
 Determinación gráfica de la solución de los sistemas de ecuaciones
lineales
 Identificación de Sistemas Compatible Determinado
 Identificación de Sistemas Compatible Indeterminado
 Identificación de Sistemas Incompatibles
Contenidos actitudinales:
 Sentido crítico sobre los resultados obtenidos
 Participación activa en clases
Gestión de la clase
La docente comenzará la clase representando la siguiente situación
problemática:
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3. Un crucero tiene un total de 50 habitaciones, las cuales incluyen
habitaciones simples y habitaciones dobles. Si hay 10 habitaciones dobles
más que habitaciones simples ¿Cuántas habitaciones de cada clase tiene el
crucero?
Luego la docente comentará: si representamos con “x” a la cantidad de
habitaciones simples y con “y” a la cantidad de habitaciones dobles ¿Cómo
resolverían la situación planteada?
Se espera que los alumnos planteen el siguiente sistema de dos ecuaciones
lineales:
 x + y = 50

 x + 10 = y
Luego se recordará el método de igualación visto anteriormente y se espera
que los alumnos resuelvan el sistema del siguiente modo:
 y = − x + 50 (1)
• Despejando “y” obtenemos: 
 y = x + 10 (2)
• Igualando ambas expresiones, encontramos el valor de x :
− x + 50 = x + 10
50 − 10 = 2.x
40 = 2.x
20 = x
• Reemplazado el valor de x en (1) o (2) obtenemos el valor de y:
y = 20 + 10
y = 30
Finalmente la respuesta al problema planteado es que en el crucero hay 20
habitaciones simples y 30 habitaciones dobles.
A continuación la docente preguntará a la clase ¿Qué forma tienen las
ecuaciones obtenidas en el sistema? Se espera que los alumnos con ayuda de
la docente respondan que son de la forma y=a.x+b, es decir la docente
explicará que dichas ecuaciones responden a la forma de la función lineal.
Luego se interrogará ¿Si hacemos la representación gráfica de las ecuaciones
del sistema que obtenemos? Se espera que los alumnos respondan que
obtenemos dos rectas.
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4. Luego se hará pasar a la pizarra a dos alumnos a graficar dichas rectas. Se
espera que realicen lo siguiente:
Luego de realizar la gráfica, se preguntará
*¿Qué observan en el gráfico? Posiblemente la primera respuesta de los
alumnos sea que las rectas se “cortan”.
*¿Cuáles son las coordenada del punto donde se intersectan las rectas? Se
espera que respondan que es el punto (20,30)
*¿A que conclusión pueden llegar? Se espera que la clase interprete que el
punto intersección de las rectas coincide con la solución anteriormente hallada
del sistema de dos ecuaciones lineales.
A continuación la docente explicará que resolver un sistema de dos ecuaciones
lineales mediante el método gráfico consiste en realizar la representación de
ambas ecuaciones y la solución del sistema es la intersección de ambas
rectas.,
Luego se dará las siguientes actividades:
ACTIVIDAD 1: Resolver gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones
e indicar el punto solución.
2 x + 2 y = 8
a) 
− x + 2 y = 2
18 x + 6 y = 36

b)  3
 y − x = −3
 2
Se espera que los alumnos resuelvan las actividades de la siguiente manera:
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5. a)
7
y
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
x
-1
-2
-3
-4
-5
b)
4
y
3
2
1
-1 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
Para continuar la clase la docente presentará las siguientes situaciones
problemáticas:
SITUACION PROBLEMÁTICA 1:
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6. El precio de un alfajor de chocolate mas el precio de una maicenita es de
$4. El doble del precio del alfajor mas el doble del precio de la maicenita
es de $12.
¿Cuál es el precio de ambos productos?
Se espera que los alumnos planteen el siguiente sistema y lo resuelvan
mediante el método gráfico:
x + y = 4 y = −x + 4
 → 
2 x + 2 y = 12 y = −x + 6
6
y
5
4
3
2
1
-1 1 2 3 4 5 6
x
-1
La docente junto a la clase interpretarán dicho gráfico. Se espera que los
alumnos lleguen a la conclusión que como las rectas no se intersectan, no
podemos hallar su punto solución por lo tanto el sistema NO TIENE
SOLUCION
Luego se pedirá que realicen la resolución analítica del sistema de ecuaciones.
Se espera que realicen lo siguiente:
y = −x + 2

y = −x + 6
Igualando resulta:
− x+2 = 6− x
Absurdo.
2=6
Posteriormente se interrogará ¿Es verdadera la igualdad obtenida? Como los
alumnos responderán que no, la docente explicará que como no existe ningún
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7. valor de x ni de y que haga verdadera esa igualdad, resulta que el sistema NO
TIENE SOLUCION
SITUACION PROBLEMÁTICA 2:
El precio de un alfajor de chocolate mas el precio de una maicenita es de
$5. El triple del precio del alfajor mas el triple del precio de la maicenita
es de $15.
¿Cuál es el precio de ambos productos?
Se espera que los alumnos planteen el siguiente sistema y lo resuelvan
mediante el método gráfico:
x + y = 5 y = −x + 5
 → 
3 x + 3 y = 15 y = −x + 5
y
5
4
3
2
1
-1 1 2 3 4 5
x
-1
La docente explicará que las rectas comparten todos sus puntos, es decir se
trata de rectas coincidentes. Luego preguntará ¿Cuál será la solución del
sistema? Se espera que los alumnos lleguen a la conclusión de que el sistema
de ecuaciones tiene INFINITAS SOLUCIONES.
Luego se pedirá que realicen la resolución analítica del sistema de ecuaciones.
Se espera que realicen lo siguiente:
y = −x + 5 − x + 5 = −x + 5
 Igualando resulta:
y = −x + 5 5=5
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8. Se explicará que la igualdad dada es válida, para todo valor de x e y. Por lo
tanto el sistema tiene INFINITAS SOLUCIONES.
A continuación la docente formalizará lo expuesto dando las siguientes
definiciones:
Definición: Llamamos SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO a
aquellos sistemas que tienen una única solución.
Definición: Llamamos SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO a
aquellos sistemas que tienen infinitas soluciones. Su resolución gráfica nos
da un par de rectas coincidentes.
Definición: Llamamos SISTEMA INCOMPATIBLE a aquellos sistemas
que no tienen solución. Su resolución grafica no da un par de rectas
paralelas no coincidentes.
Finalmente la docente entregara el siguiente práctico para fijar los contenidos
vistos:
Actividad: Resolver gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones.
Clasifíquelos
3.x + y = 2  y − 5 = −3.x
a)  b) 
 y − x = −2 3 x + 1 = − y
 y + 1 = 2.x − 20 + 4 y = −2.x
c)  d) 
3 y − 6 x = −3 2. y − 2 = 3.x
 y + 3 = 2 / 5.x 3 y − 7.x = −9
e)  f) 
5 y − 5 = 2.x  y + 3 = 7 / 3. x
Se espera que los alumnos resuelvan el práctico de la siguiente manera:
3.x + y = 2  y = -3.x + 2
a)  ⇒ 
 y − 3 x = −1  y = 3x - 1
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9. La solución es (1/2,1/2)
Sistema Compatible Determinado
 y − 5 = −3.x  y = -3x + 5
b)  ⇒ 
3 x + 1 = − y  y = -3x - 1
El
sistema no tiene solución
Sistema Incompatible
 y + 1 = 2.x  y = 2.x - 1
c)  ⇒ 
3 y − 6 x = −3  y = -1 + 2.x
El sistema tiene infinitas soluciones
Sistema Compatible Indeterminado
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10. − 20 + 4 y = −2.x  y = -1/2.x + 5
d)  ⇒ 
2. y − 2 = 3.x  y = 3/2.x + 1
La solución es (2,4)
Sistema Compatible Determinado
y
6
5
4
3
2
1
-2 -1 1 2 3
x
-1
-2
 y + 3 = 2 / 5.x  y = 2/5.x - 3
e)  ⇒ 
5 y − 5 = 2.x  y = 2/5.x + 1
El sistema no tiene solución
Sistema Incompatible
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11. 3
y
2
1
-3 -2 -1 1 2 3
x
-1
-2
-3
-4
3 y − 7.x = −9  y = 7/3.x - 3
f)  ⇒ 
 y + 3 = 7 / 3. x  y = 7/3.x - 3
El sistema tiene infinitas soluciones
Sistema Compatible Indeterminado
y
2
1
-1 1 2 3
x
-1
-2
-3
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