APORTE A LA EDUCACIÓN DEL COLEGA MARCOS GUERRERO

1. UNIDAD 1:
VECTORES
MarcosGuerrero
1
Por: Marcos Guerrero.

2. 2
MarcosGuerrero
REPASO DE VECTORES

3. 3
MarcosGuerrero

4. 4
MarcosGuerrero

5. 5
MarcosGuerrero

6. MarcosGuerrero
6
SISTEMAS DE COORDENADAS
ESPACIALES.
x
y
z
z
x
y
y
z
x
Sistema de coordenadas espaciales que contiene:
•3 ejes que son perpendiculares entre sí x, y, z.
•3 planos x-y, x-z, y-z.
•8 octantes :
X(+), y(+),z(+). X(+), y(+),z(-). X(+), y(-),z(+). X(-), y(+),z(+).
X(-), y(-),z(+). X(-), y(+),z(-). X(+), y(-),z(-). X(-), y(-),z(-).

7. UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL SISTEMA DE
COORDENADAS ESPACIALES.
MarcosGuerrero
7
• En el origen, las 3
coordenadas valen cero.
(0,0,0)
z
x
y
a
b
c
(a,0,0)
(0,b,0)
(0,0,c)
(a,b,0)
(a,0,c)
(0,b,c)
(a,b,c)
(x,y,z) Triada ordenada
Cuando el punto de
coordenadas está:
• En el eje, 2 coordenadas
valen cero.
• En el plano, una coordenada
vale cero.
• En el espacio, las 3
coordenadas son diferente de
cero.

8. VECTORES EN EL ESPACIO.
MarcosGuerrero
8
z
x
y
a

xa
 ya
za

z
x
y
xa

ya

za

a

zyx aaaa


kajaiaa zyx
ˆˆˆ 

son llamados componentes
ortogonales del vector o proyecciones
del vector a lo largo de los ejes x,y,z
respectivamente.
zyx aaa

,,
a

a
 Representación de un vector utilizando
vectores unitarios
Observar que la proyección del vector en el plano XZ son las componentes del vector en los
ejes x y z respectivamente
a

a


9. MarcosGuerrero
9
REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR
UTILIZANDO VECTORES UNITARIOS
(VECTORES BASES).
¿Qué es un vector base?
Es un vector unitario que posee dirección y cuya magnitud es igual a la
unidad. Se localizan en los ejes x, y e z tal como se muestra en la figura

10. 10
MarcosGuerrero
¿Paraquéseutilizalosvectoresbase?
Se lo utiliza para darle dirección a las componentes de un vector

11. MarcosGuerrero
11
¿Qué ocurre si el vector se encuentra en un plano o en un eje?
Si el vector se encuentra en un plano sólo tiene dos componentes y si
se encuentra en un eje sólo tiene una componente.
z
x
y
a

xaa


za

z
x
y
zx aaa


xa


12. MAGNITUD DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.
MarcosGuerrero
12
a

Conociendo las 3 componentes ortogonales del vector , demostrar que su magnitud
viene dada por la expresión:
222
zyx aaaa 

13. DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.
MarcosGuerrero
13
z
x
y
a

xa

ya

za

α
β
γ
α,β,γ se llaman ángulos directores y son los
ángulos que determinan la dirección de un
vector en el espacio.
α es el ángulo que forma el vector con el eje x(+)a

β es el ángulo que forma el vector con el eje y(+)a

γ es el ángulo que forma el vector con el eje z(+)a


14. MarcosGuerrero
14
¿Cómo se determinan los ángulos que forma el vector con los ejes negativos?a

x(+) x(-)
a

α
1800 -α
1800-α es el ángulo que forma el vector con el eje x(-)a

1800 -βes el ángulo que forma el vector con el eje y(-)a

1800 -γes el ángulo que forma el vector con el eje z(-)a


15. MarcosGuerrero
15
ax
a
α
ay
a
β
az
a
γ
Con ayuda de los cosenos directores.
¿Cómo se determinan los ángulos directores?
Conociendo las ángulos directores del vector , demostrar que los 3 ángulos
directores están relacionados por la expresión:
a

a
a
Cos x

z
x
y
a

xa
 ya
za

a
a
Cos
y

1222
  CosCosCos
a
a
Cos z


16. GRAFICANDO UN VECTOR EN EL ESPACIO.
MarcosGuerrero
16
)(4ˆ2ˆ3 mkjia 
Graficar el vector
x
y
z
a


17. 17
MarcosGuerrero

18. 18
MarcosGuerrero

19. 19
MarcosGuerrero

20. MarcosGuerrero
20


VECTOR UNITARIO ( )
Es un vector que posee una dirección y cuya magnitud es igual a la unidad.
Todo vector posee su vector unitario.
z
x
y
a

a

Definición:
Los vectores y tienen la
misma dirección.
a

a

a

El vector es adimensional.
a
a
a



a

: vector unitario del vector a


21. MarcosGuerrero
21
kajaiaa zyx
ˆˆˆ 

a
kajaia zyx
a
ˆˆˆ 


k
a
a
j
a
a
i
a
a zyx
a
ˆˆˆ 

kCosjCosiCosa
ˆˆˆ  

222
zyx aaaa 
En función de las componentes y
la magnitud
En función de los cosenos
directores

22. MarcosGuerrero
22
Dos vectores, uno de velocidad y otro de fuerza, tienen magnitudes diferentes e iguales
direcciones. ¿Tienen el mismo vector unitario? Explique su respuesta.
V
 F

Ambos tienen el mismo vector unitario.
V

F

Ambos vectores unitarios tienen la misma
magnitud y la misma dirección.
1 FV 


23. MULTIPLICACIÓN ENTRE
VECTORES.
MarcosGuerrero
23
oPueden ser de igual o de diferentes unidades.
oExisten dos tipos:
•Producto punto o producto escalar.
vectorvectorescalar 
•Producto cruz o producto vectorial.
vectorvectorvector 
sFW


Fr



24. MarcosGuerrero
24
PRODUCTO PUNTO.
También llamado producto escalar.
Definición:
 A

B
es el ángulo entre los vectores
y .
CosBABA


Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.

25. MarcosGuerrero
25
PROPIEDADES DEL
PRODUCTO PUNTO.
Propiedad Conmutativa: ABBA


Propiedad Distributiva: CABACBA

 )(
Propiedad de
Homogenidad:
)()()( BmABAmBAm


donde m es un escalar
Propiedad de Positividad:
2
AAA

 0

Asi

26. MarcosGuerrero
26
PRODUCTO PUNTO ENTRE
VECTORES UNITARIOS .kji ˆ,ˆ,ˆ
Producto punto entre vectores unitarios iguales .
1ˆˆ
0ˆˆˆˆ 0


ii
Cosiiii
Utilizando la definición de producto punto tenemos:
1ˆˆ  jj 1ˆˆ kk
El producto punto entre dos vectores unitarios iguales siempre es
igual a 1.
En general, el producto punto entre dos vectores unitarios paralelos
y de la misma dirección siempre es igual a 1.

27. MarcosGuerrero
27
Producto punto entre vectores unitarios perpendiculares.
0ˆˆ
90ˆˆˆˆ 0


ji
Cosjiji
Utilizando la definición de producto punto tenemos:
0ˆˆ kj 0ˆˆ ik
El producto punto entre dos vectores unitarios perpendiculares
siempre es igual a 0.

28. MarcosGuerrero
28
PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores y :A

B

kBjBiBB
kAjAiAA
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
ˆˆˆ




demostrar que:
ZZYYXX BABABABA 


29. MarcosGuerrero
29
ZZYYXX BABABABA 

Para utilizar esta ecuación se considera el signo de las componentes.

30. MarcosGuerrero
30
APLICACIONES DEL PRODUCTO
PUNTO.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar el ángulo entre dos vectores.
•Determinar proyecciones escalares y vectoriales de un vector
sobre otro vector.
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES UTILIZANDO EL
PRODUCTO PUNTO.
Recordemos que para determinar el ángulo entre dos vectores deben
estar unidos por un mismo punto de aplicación.

31. MarcosGuerrero
31
Para determinar el ángulo entre dos vectores podemos utilizar la
ecuación:







 
 
BA
BA
Cos 

1


32. MarcosGuerrero
32
PROYECCIÓN ESCALAR Y VECTORIAL DE UN
VECTOR SOBRE OTRO VECTOR.
Proyección escalar de un vector sobre otro vector.
A

B


Imaginemos que tenemos dos vectores y unidos por un mismo
punto de aplicación.
A

B

Vamos a determinar la
proyección escalar del
vector sobre el vector
que se lo denota como .
A

B

BA
BA

33. MarcosGuerrero
33
Del gráfico anterior tenemos:
CosAAB


Si comparamos con la definición de producto punto:
CosBABA


La ecuación anterior la podemos expresar como:
BABBA


Despejando :BA
B
BA
AB 




34. MarcosGuerrero
34
Proyección vectorial de un vector sobre otro vector.
Del gráfico anterior tenemos:
A

B


BA
Dibujemos el vector unitario
del vector ( ).B

B

Donde:
B
B
B 



B

BA
 Ahora dibujemos la
proyección vectorial del vector
sobre el vector y lo
denotamos .
A

B

BA


35. MarcosGuerrero
35
Del gráfico, podemos observar que:
BBB AA 



36. 36
MarcosGuerrero

37. 37
MarcosGuerrero

38. 38
MarcosGuerrero

39. MarcosGuerrero
39
PRODUCTO CRUZ.
También llamado producto vectorial.
Definición:
 A

B

es el ángulo entre los vectores
y .
Viene dado en unidades cuadradas sólo
si los vectores que se multiplican
tienen unidades u.
SenBABA

Magnitud

40. MarcosGuerrero
40
Con la regla de la mano derecha:
“Consiste en colocar la mano derecha en el primer vector de la operación,
luego rotar y cerrar los dedos hacia el segundo vector de la operación(la menor
rotación), al levantar el pulgar este dará la dirección del vector resultante”
¿Cómo se determina la dirección del vector ?BA


El producto vectorial sólo
existe en el espacio
tridimensional.
CB
CA





41. MarcosGuerrero
41
¿Cómo se determina la dirección del vector ?AB


CB
CA





42. PROPIEDADES DEL
PRODUCTO CRUZ.
MarcosGuerrero
42
Propiedad homogenidad
escalar
BABABA
:
)()()(




ABBA

Propiedad anti-conmutativa
CABACBA

 )(Propiedad distributiva
0

 BA si BA

//

43. MarcosGuerrero
43
PRODUCTO CRUZ ENTRE
VECTORES UNITARIOS .kji ˆ,ˆ,ˆ
Producto cruz entre vectores unitarios perpendiculares.
kji ˆˆˆ 
iˆ
jˆ
kˆ

jik ˆˆˆ 
ikj ˆˆˆ 
iˆ
jˆ
kˆ

kij ˆˆˆ 
jki ˆˆˆ 
ijk ˆˆˆ 

44. MarcosGuerrero
44
Producto cruz entre vectores unitarios iguales.
0ˆˆ

ii
0ˆˆ

 jj
0ˆˆ

kk
El producto vectorial de dos
vectores unitarios iguales es el
vector nulo.

45. MarcosGuerrero
45
PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS
VECTORES.
Sean los vectores y :A

B

kBjBiBB
kAjAiAA
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
ˆˆˆ




ZYX
ZYX
BBB
AAA
kji
BAC
ˆˆˆ


fila
columna

46. MarcosGuerrero
46
k
BB
AA
j
BB
AA
i
BB
AA
BBB
AAA
kji
BAC
YX
YX
ZX
ZX
ZY
ZY
ZYX
ZYX
ˆˆˆ
ˆˆˆ


kCjCiCC ˆˆˆ 131211 

donde:
YZZY BABAC 11
XZZX BABAC 12
XYYX BABAC 13

47. MarcosGuerrero
47
A

B

¿Cómo se determina el área del paralelogramo formado
por los vectores y ?
A

B


Altura
Base
ABase




SenBAltura
B
Altura
Sen




SenBAArea
AlturaBaseArea




48. MarcosGuerrero
48
Si la comparamos con la ecuación:
SenBABAC


Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores y
viene dada por la magnitud del vector .
A

B

C

BACArea



49. MarcosGuerrero
49
A

B


A

B
¿Cómo se determina el área del triángulo formado por los
vectores , y ?BA


BA


Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores , y
viene dada por la mitad de la magnitud del vector .
A

B

C
 BA


22
BAC
Area




50. MarcosGuerrero
50
APLICACIONES DEL PRODUCTO
CRUZ.
Se lo puede utilizar para:
•Determinar un vector perpendicular al plano formado por dos
vectores.
•Determinar el área del paralelogramo formado por dos
vectores.
•Determinar el área del triángulo formado por tres vectores.

51. 51
MarcosGuerrero

52. 52
MarcosGuerrero

53. MarcosGuerrero
53
TRIPLE PRODUCTO ENTRE
VECTORES .
A

B

D

BAC


Vamos a determinar el producto
cruz entre los vectores y
( ).
B

BAC


A

CD
Vamos a determinar la
proyección escalar del vector
sobre el vector ( ).
D

C

CD

54. MarcosGuerrero
54
Podemos observar del gráfico anterior que la proyección escalar del vector
sobre el vector es la altura del paralelepípedo.
D

C

C
CD
Dh C 



 
BA
BAD
h 




Donde es el área de la base del paralelepípedo.BA



55. MarcosGuerrero
55
Ahora si multiplicamos la altura del paralelepípedo por el área de la
base del paralelepípedo obtenemos el volumen del paralelepípedo,
entonces tenemos que:
 BADBAhVolumen


 BADVolumen



56. 56
MarcosGuerrero