1. ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
Περιγραφή
Έκοψα ένα χάρτινο τρίγωνο-γνώμονακαι σε ένα
σύστημα αξόνων σχεδιασμένοσε μιλιμετρέ χαρτί
τοποθετούσα τον γνώμονακαι σημείωνα την κορυφή
του τριγώνου. Παρατήρησα ότι όλες οι κορυφές
βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία γραμμή Οδ που
σχηματίζει γωνία 𝜑̂ με τον άξονα Οx. Από εκεί
συμπέρανα ότι έπρεπε να αποδείξωγια μια τυχαία
θέση του γνώμονα ότι η αντίστοιχη κορυφή βρίσκεται
πάνω σε ευθεία που σχηματίζει γωνία 𝜑̂ με τον άξονα
Οx.
2. Απόδειξη
Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων τοποθετούμε
ένα τυχαίο ορθογώνιοτρίγωνο ΑΒΓ έτσι ώστε η κορυφή
Β του τριγώνου να βρίσκεται στον άξονα Οx και η
κορυφή Γ στον άξονα Οy. Η γωνία 𝛢̂ επειδή είναι 90ᵒ
βαίνει σε ημικύκλιο με διάμετρο ΓΒ. Επίσης η γωνία
𝛤𝛰𝛣̂ (γωνία τομής των αξόνων Οx και Οy) καθώς είναι
90ᵒ βαίνει σε ημικύκλιο με διάμετρο ΓΒ. Συμπεραίνουμε
λοιπόν, ότι οι τρείς κορυφές του τριγώνου και το σημείο
τομής των αξόνων είναι εγγεγραμμένα σε κοινό κύκλο
με διάμετρο ΓΒ. Άρα η γωνία ΒΓΑ̂ = ΑΟΒ̂ = 𝜑̂, καθώς
βαίνουν στο ίδιο τόξο ΑΒ, ΟΓΒ̂ = ΓΑΒ̂ = 𝜔̂ , διότι
βαίνουν στο ίδιο τόξο ΟΒ, ΓΟΑ̂ = ΓΒΑ̂ = 𝜃̂ επειδή
3. βαίνουν στο ίδιο τόξο ΑΓ και τέλος ΓΒΟ̂ = ΓΑΟ̂ = 𝜏̂
αφού βαίνουν στο ίδιο τόξο ΓΟ.
Στο τετράπλευρο ΑΒΓΟ ισχύει
𝜔̂ + 𝜑̂ + 𝜃̂ + 𝜏̂ = 180ᵒ(1)
𝜃1̂ = 180ᵒ − (ϑ + τ)(2)
από τις σχέσεις (1) και (2):𝜃1̂ = 𝜔̂ + 𝜑̂
Η κορυφή Α έχει συντεταγμένες(𝑥, 𝑦) με:
𝑥 = 𝛽 ∗ 𝜂𝜇(𝜑 + 𝜔) και 𝑦 = 𝛾 ∗ 𝜂𝜇𝜃1 ή
𝑦 = 𝛾 ∗ 𝜂𝜇(𝜑 + 𝜔)
Η εξίσωση της ευθείας ΟΑ είναι της μορφής 𝑦 = 𝛼𝑥
Για να υπολογίσω το 𝛼 βρίσκω το λόγο
𝑦
𝑥
=
𝛾∗𝜂𝜇(𝜑+𝜔)
𝛽∗𝜂𝜇(𝜑+𝜔)
𝑦
𝑥
=
𝛾
𝛽
= 𝜎𝜏𝛼𝜃𝜀𝜌ό,
επειδή το τρίγωνο-γνώμοναςείναι δεδομένο.
Συμπέρασμα
Η κορυφή Α του δεδομένου τριγώνου κινείται πάνω
στην ευθεία η οποία περνάει από την κορυφή Ο των
αξόνων και σχηματίζει γωνία 𝜑̂ με τον ημιάξονα Οx
4. Διερεύνηση
Οι μέγιστες τιμές των συντεταγμένων 𝑥, 𝑦 θα δώσουν
την κορυφή που απέχει περισσότερο από το Ο. Αυτό
γίνεται όταν 𝜑 + 𝜔 = 90ᵒ τότε:
𝑥 = 𝛽 ∗ 𝜂𝜇90ᵒ 𝑥 = 𝛽
𝑦 = 𝛾 ∗ 𝜂𝜇90ᵒ 𝑦 = 𝛾
Οι ελάχιστες τιμές των συντεταγμένων 𝑥, 𝑦 θα δώσουν
την κορυφή που απέχει λιγότερο από το Ο. οι ελάχιστες
τιμές των συντεταγμένων βρίσκονταιόταν η γωνία 𝜔̂ =
0 .Τότε :
𝑥′ = 𝛽 ∗ 𝜂𝜇𝜑 και
𝑦′ = 𝛾 ∗ 𝜂𝜇𝜑
Οι δύο αυτές κορυφές απέχουν μεταξύ τους
απόσταση 𝑑:
𝑑 = √( 𝑥 − 𝑥′)2 + ( 𝑦 − 𝑦′)2
𝑑 = √(𝛽 − 𝛽𝜂𝜇𝜑)2 + (𝛾 − 𝛾𝜂𝜇𝜑)2
𝑑 = √[ 𝛽(1 − 𝜂𝜇𝜑)]2 + [ 𝛾(1 − 𝜂𝜇𝜑)]2
𝑑 = √𝛽2(1 − 𝜂𝜇𝜑)2 + 𝛾2(1 − 𝜂𝜇𝜑)2
𝑑 = √(1 − 𝜂𝜇𝜑)2( 𝛽2 + 𝛾2)
𝑑 = √𝛼2(1 − 𝜂𝜇𝜑)2
𝑑 = 𝛼(1 − 𝜂𝜇𝜑)
