2. ‫فيما‬
‫سبق:‬
‫درست إيجاد ناتج ضرب مجموع‬
‫وحيدتي حد في الفرق بينهما .‬

3. ‫ أحلل يثليثية الحدود التي على صورة‬‫مربع كامل .‬
‫- أحل معادلت تتضمن مربعات كاملة .‬

4. ‫- المربع الكامل لثليثية حدود‬

5. ‫لماذا؟‬
‫تسقط الريشة والحجر بالسرعة نفسها في الفراغ، لذا‬
‫ستحتاج إلى حل المعادلة 0 = -5ن2 + ل0، لمعرفة ما‬
‫يحتاج إليه الجسم كي يصل إلى الرض إذا سقط من‬
‫ارتفاع ل0 مترا فوق الرض، حيث ن تمثل الزمن‬
‫ ً‬
‫بالثواني بعد سقوط الجسم .‬

6. ‫تحليل يثليثية حدود على صورة مربع كامل:‬
‫تعلمت قاعدة مفكوك يثنائيتي الحد )أ + ب( 2،‬
‫)أ – ب( 2 . تذكر بأن تلك نواتج ضرب خاصة‬
‫تتبع قاعدة معينة .‬

7. ‫)أ + ب( 2 = )أ + ب( )أ + ب(‬
‫= أ2 + أب + أب + ب‬
‫2‬
‫= أ2 + 2أب + ب‬
‫)أ – ب( 2 = )أ – ب( )أ – ب(‬
‫2‬
‫= أ2 – أب – أب + ب‬
‫= أ2 – 2أب + ب‬
‫2‬
‫2‬

8. ‫ولتكون يثليثية حدود قابلة للتحليل على صورة‬
‫مربع كامل، يجب أن يكون الحدان الول والخير‬
‫مربعين كاملين، وأن يكون الحد الوسط ضعف‬
‫ناتج ضرب الجذر التربيعي للحدين الول والخير‬
‫بإشارة موجبة أو سالبة .‬

9. ‫ ً‬
‫فمثل يثليثية الحدود 61س2 + 42س + 9 تشكل مربعا‬
‫ ً‬
‫كامل، كما هو موضح أدناه .‬
‫ ً‬
‫61س2: هل الحد الول مربع كامل؟ نعم؛ لن 61س2 = )4س( 2 .‬
‫42 س: هل الحد الوسط ضعف ناتج ضرب الجذر التربيعي لكل‬
‫من الحدين الول والخير؟ نعم؛ لن 42س = 2 )4س( )3( .‬
‫9: هل الحد الخير مربع كامل؟ نعم؛ لن 9 = 32 .‬

10. ‫61س2 + 42س +9‬
‫هل الحد الول مربع‬
‫2‬
‫كامل؟ نعم؛ لن 61س‬
‫= )4س( 2 .‬
‫هل الحد الوسط ضعف ناتج‬
‫ضرب الجذر التربيعي لكل من‬
‫الحدين الول والخير؟ نعم؛ لن‬
‫42س = 2 )4س( )3( .‬
‫هل الحد الخير‬
‫مربع كامل؟ نعم؛‬
‫لن 9 = 32 .‬

11. ‫مفهوم أساسي: تحليل يثليثية الحدود التي تشكل‬
‫ ً‬
‫مربعا كامل‬
‫ ً‬
‫التعبير اللفظي: أ2 + 2أب + ب2 = )أ + ب( )أ + ب( =‬
‫)أ + ب( 2 .‬
‫أ2 – 2أب + ب2 = )أ – ب( )أ – ب( = )أ – ب( 2 .‬
‫أمثلة:‬
‫س2 + 8س + 61 = )س + 4( )س + 4( = )س + 4(‬
‫س2 – 6س + 9 = )س – 3( )س – 3( = )س – 3(‬
‫2.‬
‫2‬

12. ‫إرشادات للدراسة‬
‫تمييز يثليثية الحدود التي تشكل مربعا كامل‬
‫إذا كان الحد الثابت في يثليثية الحدود‬
‫سالبا، فإن يثليثية الحدود ل تشكل‬
‫مربعا كامل، لذا ليس من الضروري‬
‫التحقق من الشروط الرخرى.‬

13. ‫تمييزتو يثاليثيةتو الحدودتو التيتو تشكلتو مربعاتو كامالتو وتحليلها‬
‫و ً‬
‫و ً‬
‫1‬
‫حددتو إذاتو كانتتو كلتو يثاليثيةتو حدودتو فيماتو يأتيتو تشكلتو مربعاتو كامالتو أمتو ل ،تو ‬
‫و ً‬
‫و ً‬
‫وحللها:‬
‫أ(تو 4ص2تو +تو 21صتو +تو 9‬
‫1-تو هلتو الحدتو الولتو مربعتو كامل؟تو ‬
‫نعم ،تو 4ص2تو =تو )2ص(تو 2تو .‬

14. ‫2-تو هلتو الحدتو اليخيرتو مربعتو كامل؟تو ‬
‫نعم ،تو 9تو =تو 32تو ‬
‫3-تو هلتو الحدتو الوسطتو يساويتو 2تو )2ص(تو )3(تو ؟تو ‬
‫نعم ،تو 21صتو =تو 2تو )2ص(تو )3(تو .‬
‫بماتو أنتو الشروطتو الثاليثةتو متوفرة ،تو فإنتو العبارةتو ‬
‫4ص2تو +تو 21صتو +تو 9تو يثاليثيةتو حدودتو تشكلتو مربعاتو كامالتو .‬
‫و ً‬
‫و ً‬
‫4ص2تو +تو 21صتو +تو 9تو =تو )2ص(تو 2تو +تو 2تو )2ص(تو )3(تو +تو 3‬
‫2‬
‫اكتبتو العبارةتو علىتو صورةتو أ2تو +تو 2أبتو +تو ب2أ‬
‫=تو )2صتو +تو 3(تو 2تو ‬
‫حللتو باستخدامتو القاعدة‬

15. ‫ب(تو 9س2تو –تو 6ستو +تو 4‬
‫1-تو هلتو الحدتو الولتو مربعتو كامل؟تو ‬
‫نعم ،تو 9س2تو =تو )3س(تو 2تو .‬
‫2-تو هلتو الحدتو اليخيرتو مربعتو كامل؟تو ‬
‫نعم ،تو 4تو =تو 22تو .‬
‫3-تو هلتو الحدتو الوسطتو يساويتو -2تو )3س(تو )2(؟تو ‬
‫ل ،تو -6ستو لتو يساويتو -2تو )3س(تو )2(تو .‬
‫بماتو أنتو الحدتو الوسطتو لتو يحققتو الشرط ،تو لذاتو فإنتو يثاليثيةتو ‬
‫الحدودتو 9س2تو –تو 6ستو +تو 4تو لتو تشكلتو مربعاتو كامالتو .‬
‫و ً‬
‫و ً‬

16. ‫تحققتو منتو فهمك:‬
‫1أ(تو 9ص2تو +تو 42صتو +تو 61تو ‬
‫نعم ،تو )3ص+4()3ص+4(‬

17. ‫تحققتو منتو فهمك:‬
‫1ب(تو 2أ2تو +تو 01أتو +تو 52‬
‫ل‬

18. ‫يكونتو تحليلتو يثاليثيةتو الحدودتو تحليالتو تاماتو إذاتو كتبتو علىتو ‬
‫و ً و ً‬
‫صورةتو ناتجتو ضربتو كثيراتتو حدودتو أولية.تو وقدتو تستعملتو ‬
‫أكثرتو منتو طريقةتو لتحليلتو كثيرةتو الحدودتو تحليالتو تاماتو .تو ‬
‫و ً و ً‬
‫ويساعدكتو ملخصتو المفهومتو لتقررتو منتو أينتو تبدأتو عندتو ‬
‫تحليلتو كثيرةتو الحدودتو تحليالتو تاماتو وإذاتو لمتو يناسبتو كثيرةتو ‬
‫و ً و ً‬
‫حدودتو أيتو نمط ،تو أوتو لتو يمكنتو تحليلهاتو فإنهاتو تكونتو أولية.‬

19. ‫ملخصتو المفهوم:تو طرقتو التحليل‬
‫الخطوات‬
‫الخطوة 1: حلل‬
‫بإخراج )ع.م.أ(‬
‫الخطوةتو 2:تو تحققتو هلتو كثيرةتو ‬
‫الحدودتو تشكلتو فرقاتو بينتو ‬
‫و ً‬
‫مربعينتو أمتو أنهاتو يثاليثيةتو حدودتو ‬
‫علىتو صورةتو مربعتو كاملتو ‬
‫عددتو الحدود‬
‫أيتو عدد‬
‫2تو أوتو 3تو ‬
‫أمثلة‬
‫4س3 + 2س2 – 6س‬
‫س2 )2س + س –2 =‬
‫)3‬
‫9س2 – 61 = )3س + 4(‬
‫)3س – 4(61س2 + 42س +‬
‫2‬
‫تو ‬
‫9= )4س + 3(‬

20. ‫الخطوات‬
‫الخطوة 3: طبق أنماط‬
‫التحليل ل س2 + ب‬
‫س + جـ‬
‫أو أس2 + ب س +‬
‫جـ )كثيرة حدود‬
‫بصورة عامة(، أو‬
‫تو . حلل بتجميع الحدود‬
‫عددتو الحدود‬
‫3تو أوتو 4‬
‫أمثلة‬
‫س2 – 8س + 21‬
‫= )س – 2( )س – 6(‬
‫21ص2 + 9ص + 8ص +‬
‫6 = )21ص2 + 9ص( +‬
‫)8ص + 6(‬
‫= 3ص ) 4 ص + 3 ( + 2‬
‫)4ص + 3(‬
‫)ص + 3( )3ص + 24(=‬

21. ‫إرشادات للدراسة‬
‫تحققتو منتو إجابتكتو :‬
‫يمكنك التحقق من إجابتك خل:ل:‬
‫• استعما:ل طريقة التوزيع بالترتيب‬
‫• استعما:ل خاصية التوزيع‬
‫• تمثيل كل من العبارة الصلية‬
‫وتحليلها بالرسم والمقارنة بينها.‬

22. ‫التحليلتو التام‬
‫2‬
‫حللتو كالتو منتو كثيراتتو الحدودتو التية ،تو وإذاتو لمتو يكنتو ذلكتو ‬
‫و ً‬
‫ممكنا ،تو فاكتبتو "أولية":‬
‫و ً‬
‫أ(تو 5ستو –تو 08تو ‬
‫الخطوةتو 1:تو )ع.م.أ(تو للحدينتو 5س2 ،تو -تو 08تو هوتو 5 ،تو حللتو ‬
‫بإيخراجتو )ع.م.أ(تو .‬
‫الخطوةتو 2:تو بماتو أنتو عددتو الحدودتو ايثنان ،تو لذاتو تحققتو منتو أنتو ‬
‫كثيرةتو الحدودتو تشكلتو فرقاتو بينتو مربعينتو .‬
‫و ً‬

23. ‫5س2تو –تو 08تو =تو 5تو )س2تو –تو 61(‬
‫)ع.م.أ(تو للحدينتو 5‬
‫=تو 5تو )س2تو –تو 42(‬
‫س2تو =تو س×س ،تو 61تو =تو 4×4تو ‬
‫=تو 5تو )ستو –تو 4(تو )ستو +تو 4(‬
‫تحليلتو الفرقتو بينتو مربعين‬

24. ‫ب(تو 9س2تو –تو 6ستو –تو 53تو ‬
‫الخطوةتو 1:تو )ع.م.أ(تو للحدود:تو 9س2 ،تو -6س ،تو -53تو هوتو 1تو .‬
‫الخطوةتو 2:تو بماتو أنتو 53تو ليستو مربعاتو كامال ،تو فثاليثيةتو ‬
‫و ً‬
‫و ً‬
‫الحدودتو لتو تشكلتو مربعاتو كامالتو .‬
‫و ً‬
‫و ً‬
‫الخطوةتو 3:تو حللتو باستعمالتو النمطتو أس2تو +تو بتو ستو +تو ج.تو ‬
‫هلتو يوجدتو عددانتو ناتجتو ضربهماتو 9تو )-53( ،تو أوتو -513تو ‬
‫ومجموعهماتو -6؟تو نعم ،تو -12 ،تو 51تو ناتجتو ضربهماتو -513تو ‬
‫ومجموعهماتو -6تو .‬

25. ‫9س2 – 6س – 53 = 9س2 + م س + ن س – 53‬
‫استخدم القاعدة‬
‫= 9س2 + 51س – 12س – 53‬
‫م = 51، ن = -12‬
‫= )9س2 + 51س( + )-12س – 53(‬
‫جمع الحدود ذات العوامل المشتركة‬
‫= 3 س ) 3 س + 5 ( – 7 ) 3 س + 5(‬
‫حلل كل تجمع بإخراج )ع.م.أ(‬
‫= ) 3 س + 5( ) 3 س – 7 (‬
‫3س + 5 عامل مشترك‬

26. ‫تحقق من فهمك:‬
‫2ب( 2س2 – 23‬
‫2)س-4()س+4(‬

28. ‫حل معادلت تتضمن عوامل متكررة‬
‫3‬
‫حل المعادلة: 9س2 – 84س = - 46 .‬
‫9س2 – 84س = - 46‬
‫المعادلة اللصلية‬
‫9س2 – 84س + 46 = 0‬
‫أضف 46 إلى الطرفين‬
‫)3س( 2 – 2 )3س( )8( + )8( 2 = 0‬
‫تحقق إن كانت يثليثية الحدود 9س2 –‬
‫ً‬
‫84س + 46 تمثل مربعا كامل‬
‫ً‬

29. ‫)3س – 8( 2 = 0‬
‫حلل يثليثية الحدود على لصورة مربع كامل‬
‫)3س – 8( )3س – 8( = 0‬
‫اكتب )3س – 8( 2 كحالصل ضرب عاملين‬
‫3س – 8 = 0‬
‫ضع أحد العوامل المتكررة = 0‬
‫3س = 8‬
‫س=8‬
‫3‬
‫أضف 8 إلى كل الطرفين‬
‫اقسم كل الطرفين على 3‬

30. ‫تحقق من فهمك:‬
‫حل كل من المعادلتين التيتين، وتحقق من‬
‫ً‬
‫لصحة الحل:‬
‫3أ( أ2 + 21أ + 63 = 0‬
‫أ=-6‬

31. ‫قراءة الرياضيات‬
‫الجذر التربيعي‬
‫يقرأ ± 61 موجب أو سالب‬
‫الجذر التربيعي لـ 61.‬

32. ‫سبق أن حللت معادلت مثل س2 – 61 = 0 بالتحليل إلى‬
‫العوامل، ويمكنك أيضا استعمال الجذر التربيعي لحل المعادلة .‬
‫ً‬
‫س2 – 61 = 0‬
‫س2 = 61‬
‫س = ± 61‬
‫اكتب المعادلة‬
‫أضف 61 إلى كل الطرفين‬
‫خالصية الجذر التربيعي‬
‫تذكر أنه يوجد جذران تربيعيان ل 61، هما 4، -4. لذا فإن‬
‫مجموعة الحل هي }-4، 4{. ويمكنك التعبير عن ذلك ب }±4{ .‬

33. ‫مفهوم أساسي: خالصية الجذر التربيعي‬
‫التعبير اللفظي: لحل المعادلة التربيعية على الصورة‬
‫س2 = ن، خذ الجذر التربيعي لكل طرف .‬
‫ذُ‬
‫الرموز: ل ي عدد حقيقي ن = 0، إذا كان س2 =‬
‫ن، س = ± ن .‬

34. ‫مثال: س2 = 52‬
‫س=±‬
‫52 = ± 5 .‬
‫ً‬
‫إذا كانت ن في المعادلة س2 = ن ليست مربعا‬
‫كامل، فتحتاج إلى تقريب الجذر التربيعي، لذا‬
‫ً‬
‫ً ل‬
‫استعمل اللة الحاسبة. أما إذا كانت ن مربعا كام ً‬
‫فستحصل على إجابة دقيقة .‬

35. ‫استعمال خالصية الجذر التربيعي‬
‫4‬
‫حل كل من المعادلت التية، وتحقق من لصحة الحل:‬
‫ً‬
‫أ( )ص – 6( 2 = 18‬
‫المعادلة اللصلية‬
‫)ص – 6( 2 = 18‬
‫خالصية الجذر التربيعي‬
‫ص – 6 = ± 18‬
‫18 = 9×9‬
‫ص–6=±9‬
‫أضف 6 إلى كل الطرفين‬
‫ص=6±9‬
‫ص = 6 + 9 أو ص = 6 – 9‬
‫افصل المعادلة إلى معادلتين‬

36. ‫= 51 = -3‬
‫بسط‬
‫الجذران هما 51، -3 .‬
‫تحقق بالتعويض في المعادلة اللصلية‬

37. ‫)س + 6( 2 = 21‬
‫س+6=±‬
‫21‬
‫س = -6 ± جذر 21‬
‫المعادلة اللصلية‬
‫خالصية الجذر التربيعي‬
‫اطرح 6 من كل طرف‬
‫الجذران هما -6 + جذر 21، -6 – جذر 21 .‬
‫باستعمال اللة الحاسبة، -6 + جذر 21 = -45,2،‬
‫-6 + جذر 21 = -64,9 .‬

38. ‫تحقق من فهمك:‬
‫4أ( )أ – 01( 2 = 121‬
‫أ=12، -1‬

39. ‫من واقع الحياة: حل المعادلة‬
‫5‬
‫فيزياء: أقسقطت كرة من ارتفاع 86 مترا . إذا كانت المعادلة‬
‫.ً‬
‫سُ‬
‫ل = -5ن2 + ل تتستعمل ليجاد عدد الثواني ن التي تحتاج‬
‫سُ‬
‫إليها الكرة للوصول إلى الرتفاع )ل( من الرتفاع التبتدائي‬
‫ل0 تبالمتر، فأوجد الزمن الذي تتستغرقه الكرة للوصول إلى‬
‫الرض .‬
‫عند متستوى الرض، ل = 0 والرتفاع التبتدائي 86‬
‫إذن، ل0 = 86 .‬

40. ‫ل = -5ن2 + ل‬
‫0‬
‫0 = -5ن2 + 86‬
‫-86 = -5ن‬
‫2‬
‫6,31 = ن‬
‫2‬
‫± 7,3 = ن‬
‫المعادلة اللصلية‬
‫عوض عن ل ب لصفر، وعن ل0ب 86‬
‫طرح 86 من كل الطرفين‬
‫اقسم على -5‬
‫خالصية الجذر التربيعي‬
‫بما أن العدد السالب هنا ليس منطقيا، لذا تستغرق الكرة‬
‫،ً‬
‫7,3 ثوان تقريبا للولصول إلى الرض .‬
‫،ً‬

41. ‫تاريخ الرياضيات‬
‫جاليليو جاليلى ) 4651- 2461(‬
‫كان جاليليو أول من أثبت أن الجسام المختلفة‬
‫الوزان تسقط بالسرعة نفسها، وذلك باسقاط‬
‫جسمين مختلفي الوزن من قمة برج بيزا‬
‫المائل في إيطاليا عام 9851 ميلدية.‬

42. ‫تحقق من فهمك:‬
‫5( أوجد الزمن الذي تستغرقه الكرة للولصول‬
‫إلى الرض إذا أسقطت من سطح مبنى ارتفاعه‬
‫سُ‬
‫نصف الرتفاع المذكور أعل ه .‬
‫6.2 ثوان تقريبا‬

43. ‫نعم، )5س+6(‬
‫2‬

44. ‫6( 4س2 = 63‬
‫س=±3‬

45. ‫91( و4– و‬
‫2‬
‫و2)و-1()و+1(‬

46. ‫82( )ص – 4( 2 = 7‬
‫ص=4±7‬

47. ‫انتهى الدرس‬