O documento apresenta 11 exercícios sobre probabilidade e estatística aplicada. Os exercícios envolvem distribuições como binomial, hipergeométrica, Poisson, normal e exponencial. As soluções calculam probabilidades de eventos como a ocorrência de um determinado número de resultados em uma amostragem aleatória.
1. CE075-Probabilidade e Estatística Aplicada
Lista de Exercicios 5
Aluno: Cleibson Aparecido de Almeida
1. Uma urna contém 16 bolas brancas e 14 pretas. Calcular a probabilidade de ao serem
retiradas 5 bolas, 3 serem brancas, quando a amostragem for feita:
a) com reposição
������
Solução: Aplicando a distribuição binomial com n=5 e p=8/15
P(X=x)= � � ������ � (1 − ������)���
������
5 8 8 ���
�
P(X=3)= � � �1 − � = 0,33
3 15 15
b) sem reposição
������ ������ − ������
Solução: Aplicando a distribuição hipergeométrica com N=30, n=5 e K=16
� �� �
������(������ = ������) = ������ ������ − ������
������
� �
������
16 30 − 16
� �� �
������(������ = 3) = 3 5 − 3 = 0,35
30
� �
5
2. A probabilidade de que um presumível cliente aleatoriamente escolhido faça uma compra
é 20%. Se um vendedor visita seis presumíveis clientes, qual a probabilidade de que ele faça
no mínimo quatro vendas?
������
Solução: Aplicando a distribuição binomial com n=6 e p=0,2
P(X=x)= � � ������ � (1 − ������)���
������
P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)
6 6 6
P(X≥4)= � � 0,2� (1 − 0,8)� + � � 0,2� (1 − 0,8)� + � � 0,2� (1 − 0,8)� = 0,01696
4 5 6
3. De 6 empregados, 3 estão na companhia há cinco anos ou mais. Se quatro empregados
são aleatoriamente escolhidos deste grupo de seis, qual a probabilidade de que dois estejam
na companhia há cinco ou mais anos?
2. ������ ������ − ������
Solução: Aplicando a distribuição Hipergeométrica
3 6−3
� �� � � �� �
������(������ = ������) = ������ ������ − ������ = ������(������ = 2) = 2 4 − 2 = 0,6
������ 6
� � � �
������ 4
4. Uma moeda é lançada sucessivamente, qual a probabilidade de que a face cara apareça 2
vezes na 3ª jogada?
Solução: Aplicando a distribuição Pascal com r=2 e p=0,5
������ − 1 �
P(X=x)= � � ������ (1 − ������)���
������ − 1
3−1
P(X=3)= � � 0,5� (1 − 0,5)��� = 0,25
2−1
5. Se a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa a injeção de determinado soro
é 0,1%. Determine a probabilidade de que, em 1000 indivíduos, exatamente 3 acusarem
reação.
Solução: Aplicando a distribuição Poisson, sendo n=1000 e p=0,001. Então ������ = ������������ = 1
������� ������ ��
������(������ = ������) =
������!
1� ������ ��
������(������ = 3) = = 0,061
3!
6. Numa central telefônica, o número médio de chamadas é de 8 por minuto. Determinar
qual a probabilidade de que num minuto se tenha:
Solução: Aplicando a distribuição Poisson com λ=8
������� ������ ��
������(������ = ������) =
������!
a)10 ou mais chamadas
������(������ ≥ 10) = 1 − ������(������ < 10)
= 1 − [������(������ = 9) + ������(������ = 8) + ������(������ = 7) + ������(������ = 6) + ������(������ = 5) + ������(������ = 4) + ������(������ = 3)
+ ������(������ = 2) + ������(������ = 1) + ������(������ = 0)] = 0,28412
b)Menos de 9 chamadas
3. ������(������ < 9) = ������(������ = 8) + ������(������ = 7) + ������(������ = 6) + ������(������ = 5) + ������(������ = 4) + ������(������ = 3)
+ ������(������ = 2) + ������(������ = 1) + ������(������ = 0) = 0,59188
c)Entre 7 (inclusive) e 9 (exclusive) chamadas
������(7 ≤ ������ < 9) = ������(������ = 8) + ������(������ = 7) = 0,2792
7. Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola ao acaso,
anota-se a cor, repondo-se em seguida a bola na caixa. Determine a probabilidade de que,
de 6 bolas assim escolhidas, 3 sejam vermelhas, 2 brancas e 1 azul.
Solução: Aplicando a distribuição multinomial com n=6, n1=3, n2=2, n3=1, p1=5/12, p2=4/12 e
������!
p3=3/12
������(������� = ������� , ������� = ������� , ������� = ������� ) = ������ ������ ������
������� ! ������� ! ������� ! � � �
6! 5 4 3
������(������� = 3, ������� = 2, ������� = 1) = = 0,1205
3! 2! 1! 12 12 12
8. Suponha que o conteúdo de bactérias de um tipo particular, presentes em um recipiente
de água de 1 milímetro, tenha distribuição aproximadamente normal, com média de 85
bactérias e desvio padrão de 9. Qual é a probabilidade de uma dada amostra de 1ml conter
mais de 100 bactérias?
������ − ������
Solução: Aplicando a distribuição normal com μ=85 e σ²=81
������(������ = ������) = ������(������ = )
������
100 − 85
������(������ > 100) = 1 − ������ ������� ≤ � = 1 − ������(������ ≤ 1,66) = 0,0485
9
9. Um novo modelo de rádio portátil foi desenvolvido com base no fato de que 50% de todos
os consumidores são mulheres. Se uma amostra de 400 compradores for selecionada
aleatoriamente, qual é a probabilidade de o número de mulheres dessa amostra ser maior
que 175?
Solução: Temos n=400, p=0,5 e q=0,5. Fazendo aproximação da binomial pela normal, temos
������ − ������
μ=np=200 e σ²=npq=100
������(������ = ������) = ������(������ = )
������
175 − 200
������(������ > 175) = 1 − ������ ������� ≤ � = 1 − ������(������ ≤ −2,5) = 0,9938
10
4. 10. Sabe-se que 30% de todas as chamadas destinadas a uma mesa telefônica são chamadas
DDD. Se 1200 chamadas chegarem a essa mesa, qual é a probabilidade de pelo menos 50
serem DDD?
Solução: Temos p=3/10, q=7/10 e n=1200. Fazendo aproximação da binomial pela normal,
������ − ������
temos μ=np=360 e σ²=npq=252
������(������ = ������) = ������(������ = )
������
50 − 360
������(������ > 50) = 1 − ������ ������� ≤ � = 1 − ������(������ ≤ −19,52) = 1
√252
11. Em média, um navio atraca em certo porto a cada dois dias. Qual a probabilidade de que,
a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo navio?
Solução: Aplicando a distribuição exponencial com λ=0,5
������(������ = ������) = ������ ���
�
������(������ > 4) = ������ ��� = ������ �� = 0,1353