Dibujo técnico

1. Sistema Diédrico: Angulos JSQ, 2000
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SISTEMA DIÉDRICO: ANGULOS
q Angulo entre dos rectas y bisectriz del ángulo
q Sean dos rectas r y s que se cortan en el punto M. El ángulo que forman dichas rectas en el
espacio se obtiene determinando en primer lugar el plano α que definen ambas rectas,
localizando sus trazas a partir de las trazas de las rectas. A continuación, se abate dicho
plano sobre uno de los de proyección, localizando la verdadera magnitud del ángulo. El
cálculo de la bisectriz se realiza sobre el propio abatimiento. Se pueden obtener las
proyecciones b’-b’’ de la bisectriz mediante la afinidad .
Angulo entre dos rectas r y s
q Angulo entre recta y plano
q El ángulo que forma una recta con un plano es el mismo que forma dicha recta con su
proyección sobre ese plano. Existen dos métodos para localizar dicho ángulo
q Método I: Según la figura tridimensional, podemos trazar desde un punto P de la recta la
perpendicular al plano. El ángulo γ que forman estas dos rectas es el complementario del
ángulo & que buscamos. El problema queda reducido al caso visto con anterioridad. Este
método permite conocer el ángulo en verdadera magnitud pero NO en posición.

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Angulo entre recta y plano (método I)
q Método II: Podemos determinar el ángulo real si buscamos la intersección de la recta con el
plano (punto I) y la intersección del plano con la perpendicular trazada por P (punto Q). La
recta dada r forma el ángulo & buscado con la recta s (recta IQ). Finalmente, el problema
también queda reducido al caso anterior de ángulo entre dos rectas (en este caso, las IP e
IQ). Este método obtiene el ángulo en posición y en verdadera magnitud.
Angulo entre recta y plano (método II)
q Angulo formado por una recta con los planos de proyección
q El ángulo que forma una recta con el plano horizontal es el que forman dicha recta r y su
proyección horizontal r’. Para su cálculo se considera el triángulo rectángulo de la figura, con
vértices en R1’, R2’ y R2’’, que se encuentra incluido en el plano proyectante horizontal de la
recta r dada. Para conocer el ángulo α en verdadera magnitud realizamos el abatimiento de
dos formas distintas:

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q Sobre el plano horizontal: Empleamos como charnela la proyección horizontal r’ de la
recta. En realidad supone abatir el plano proyectante horizontal de la recta.
q Sobre el plano vertical: Empleamos como charnela la recta que une R2’ y R2’’.
q En ambos casos obtenemos la recta abatida y el ángulo α en verdadera magnitud.
Angulo que forma una recta con el PH
q Para hallar el ángulo que forma la recta s con el plano vertical, se procede de la misma
manera, sólo que en este caso el triángulo rectángulo a considerar tiene por vértices S1’,S1’’
y S2’’, estando incluido en el plano proyectante vertical de la recta. El abatimiento se realiza
utilizando las siguientes charnelas:
q Sobre el plano horizontal: Empleamos como charnela la recta que une S1’ y S1’’
q Sobre el plano vertical: Empleamos como charnela la proyección vertical s’’.
Angulo que forma una recta con el PV
q La suma de los ángulos α y β que forma una recta cualquiera con los planos de proyección
está comprendida entre 0º y 90º. Casos límite:
q Recta paralela a LT: Forma 0º con ambos planos (es paralela a los dos)
q Recta de punta: Forma 90º con uno y 0º con el otro.
q Problema inverso: Por un punto P dado, trazar rectas que formen ángulos α
α y β
β con
los planos de proyección H y V, respectivamente
q En la figura siguiente se observa que se puede trazar directamente el abatimiento de la recta
sobre el plano vertical formando un ángulo α con la LT. Fijamos en un punto cualquiera de la
misma la traza vertical R2’’ y por tanto su proyección R2’.
q Se observa que para ubicar el ángulo β en el abatimiento sobre el PV no existe
referencia, ya que no se tienen ni las proyecciones de la recta ni la línea de referencia de

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la traza horizontal (una vez fijada una, la otra no es aleatoria). Para ello, se obtiene de la
figura tridimensional una construcción que permita resolver el problema mediante el
trazado del triángulo rectángulo cuyos lados son la recta r, la recta R1’R1” y la proyección
r” sobre el plano vertical.
q Tomando el abatimiento r0 ya dibujado como hipotenusa, se inscribe el triángulo
rectángulo de ángulo β en una semicirca. Se dispone el ángulo β a partir del abatimiento
r0 hasta que corte a la semicirca en el punto Q. El cateto QR2” coincide con la
proyección vertical r’’, según el dibujo, por lo que mediante un giro se obtiene su posición
correcta. Al mismo tiempo, se obtiene la línea de referencia de la traza horizontal R1, lo
que permite dibujar r’. Por el punto dado P trazamos la recta paralela a la obtenida.
Rectas que forman ángulos dados con el PH y el PV pasando por un punto P
q Angulo entre dos planos y planos bisectores
q Existen dos métodos para calcularlo:
q Método I: Elegimos un punto intermedio a ambos planos, como el M, y desde él trazamos las
rectas perpendiculares a los planos α y β cuyo ángulo queremos determinar. El ángulo que
forman dichas rectas es el suplementario del buscado. El problema se reduce por tanto al
caso inicial de obtención del ángulo que forman dos rectas.
q Consideración:: Mediante este método, no podemos trazar los planos bisectores.
Angulo entre dos planos (método I)

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q Método II: Localizamos la recta de intersección i de ambos planos. Elegimos un punto de la
misma (punto Z) y por él trazamos el plano γ perpendicular a esta recta. Dicho plano define
dos rectas de intersección con los planos dato, r y s, que se cortarán en el punto elegido Z.
El ángulo A que forman las rectas r y s es el ángulo buscado.
q Consideración: Los planos bisectores quedarán definidos por la recta de intersección i y
las rectas bisectrices de los ángulos definidos por r y por s.
Angulo entre dos planos (método II)
q Método III: El ángulo entre dos planos se obtendrá en verdadera magnitud si logramos
transformar los planos en proyectantes de la misma orientación, ya que dicho ángulo se
mediría directamente sobre las trazas que resulten oblicuas. Esto puede conseguirse
mediante giros o cambios de plano, haciendo que la recta de intersección pase a ser una
recta de punta (perpendicular a alguno de los planos de proyección). Los planos, arrastrados
por los cambios, se convertirán en proyectantes.
q Consideración: Mediante este método, podemos trazar directamente los planos
bisectores, cuyas trazas obtendremos después de deshacer los cambios efectuados.
q Angulo formado por un plano con los planos de proyección
q Método I: Para hallar el ángulo δ que un plano α forma con el plano horizontal, nos valemos
de un plano proyectante horizontal β que sea perpendicular a la traza horizontal de α. La
recta r de intersección de estos dos planos da lugar a una línea de máxima pendiente (lmp)
del plano dado, y por tanto el problema se reduce a hallar el ángulo que forma dicha recta
con el plano horizontal. El abatimiento para localizar la verdadera magnitud del ángulo, como
se ha visto en el epígrafe anterior, puede realizarse bien sobre el PV, tomando como
charnela la línea de referencia de la traza vertical de la recta o sobre PH, tomando la
proyección horizontal de la lmp como charnela del abatimiento.
q Las mismas consideraciones para el caso de localizar el ángulo con el plano vertical. En este
caso abatiremos la línea de máxima inclinación (lmi).
q La suma de ambos ángulos está comprendida entre 90º y 180º. Casos límite:
q Plano paralelo a uno de los de proyección: 90º con uno, 0º con el otro.
q Plano de perfil: 90º con cada uno de ellos.
q Se recomienda FOTOCOPIAR la hoja resumen de ángulos dejada en la fotocopiadora
de la EUITI.

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Angulo δ que forma un plano con el PH (método I)
q Método II: La recta perpendicular al plano por un punto cualquiera del mismo forma con los
planos PH o PV un ángulo complementario del que crea el plano con los de proyección.
q Resolución: En la figura elegimos un punto A del plano. Por ese punto trazamos la recta
r perpendicular al plano. El ángulo α que forma dicha recta r con el PH es
complementario del ángulo β real que forma el plano con el PH
q Consideración: Lo mismo cabe decir para el caso del plano vertical de proyección.
Angulo α que forma un plano con el PH (método II)
q Ejemplo: Problema inverso: Trazar los planos que formen α con el PH y β con el PV
q Resolución: Método I. Los planos que buscamos serán tangentes a dos conos de
revolución, cuyos ejes son perpendiculares a cada uno de los planos de proyección y
cuyas generatrices forman con esos planos los ángulos que se piden en el enunciado.
Además, esos conos han de ser tales que tengan una esfera inscrita común
q Resolución: Método II: Basándonos en el 2º método anterior, basta con trazar una recta
que forme con los de proyección ángulos complementarios de los dados. Por un punto
de esa recta se traza el plano perpendicular a ella.

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Plano que forma ángulos dados con los planos de proyección
q Se recomienda FOTOCOPIAR la hoja resumen de ángulos dejada en la fotocopiadora
de la EUITI.
q Trazado de rectas y planos que forman ángulos dados con rectas o planos dados
q Todas las generatrices de un cono de revolución forman el mismo ángulo con el eje del
cono. La generatriz g forma 90-α con el eje.
q Todas las generatrices forman el mismo ángulo con los planos perpendiculares al eje.
q Un plano tangente a un cono lo es a lo largo de toda la generatriz, y la traza de ese plano es
tangente a la directriz. La generatriz es, por tanto, la lmp del plano tangente. Por lo tanto, la
condición “formar un ángulo α con un plano” se traduce por “ser tangente a un cono de
revolución cuyas generatrices forman 90-α en el vértice del cono”

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Caso general de ángulo entre rectas y planos