6. Differentiating Trig
lim sin x 0 Area AOC Area Sector OAC
x 0
lim cos x 1
x 0
lim tan x 0
x 0
C
x A
O 1
7. Differentiating Trig
lim sin x 0
x 0
Area AOC Area Sector OAC Area AOB
lim cos x 1
x 0
lim tan x 0 B
x 0
C
tan x
x A
O 1
8. Differentiating Trig
lim sin x 0
x 0
Area AOC Area Sector OAC Area AOB
1 1 2 1
lim cos x 1
x 0
11 sin x 1 x 1 tan x
2 2 2
lim tan x 0 B
x 0
C
tan x
x A
O 1
9. Differentiating Trig
lim sin x 0
x 0
Area AOC Area Sector OAC Area AOB
1 1 2 1
lim cos x 1
x 0
11 sin x 1 x 1 tan x
2 2 2
lim tan x 0 B sin x x tan x
x 0
C
tan x
x A
O 1
10. Differentiating Trig
lim sin x 0
x 0
Area AOC Area Sector OAC Area AOB
1 1 2 1
lim cos x 1
x 0
11 sin x 1 x 1 tan x
2 2 2
lim tan x 0 B sin x x tan x
x 0
sin x x tan x
sin x sin x sin x
C
tan x
x A
O 1
11. Differentiating Trig
lim sin x 0
x 0
Area AOC Area Sector OAC Area AOB
1 1 2 1
lim cos x 1
x 0
11 sin x 1 x 1 tan x
2 2 2
lim tan x 0 B sin x x tan x
x 0
sin x x tan x
sin x sin x sin x
C
tan x
x 1
1
sin x cos x
x A
O 1
12. Differentiating Trig
lim sin x 0
x 0
Area AOC Area Sector OAC Area AOB
1 1 2 1
lim cos x 1
x 0
11 sin x 1 x 1 tan x
2 2 2
lim tan x 0 B sin x x tan x
x 0
sin x x tan x
sin x sin x sin x
C
tan x
x 1
1
sin x cos x
x A as x 0
O 1 x
1 1
sin x
13. Differentiating Trig
lim sin x 0
x 0
Area AOC Area Sector OAC Area AOB
1 1 2 1
lim cos x 1
x 0
11 sin x 1 x 1 tan x
2 2 2
lim tan x 0 B sin x x tan x
x 0
sin x x tan x
sin x sin x sin x
C
tan x
x 1
1
sin x cos x
x A as x 0
O 1 x
1 1
sin x
x
lim 1
x 0 sin x
16. 5x
e.g. i lim 1 ii lim
x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x
17. 5x
e.g. i lim 1 ii lim
x
lim
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
18. 5x
e.g. i lim 1 ii lim
x
lim
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
1
3
19. 5x
e.g. i lim 1 ii lim
x
lim
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y sin x 1
3
20. 5x
e.g. i lim 1 ii lim
x
lim
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y sin x 1
dy sin x h sin x 3
lim
dx x 0 h
21. 5x
e.g. i lim 1 ii lim
x
lim
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y sin x 1
dy sin x h sin x 3
lim
dx x 0 h
sin x cosh cos x sinh sin x
lim
x 0 h
22. 5x
e.g. i lim 1 ii lim
x
lim
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y sin x 1
dy sin x h sin x 3
lim
dx x 0 h
sin x cosh cos x sinh sin x
lim
x 0 h
cosh 1
lim cos x
sinh
sin x
x 0 h h
23. 5x
e.g. i lim 1 ii lim
x
lim
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y sin x 1
dy sin x h sin x 3
lim
dx x 0 h
sin x cosh cos x sinh sin x
lim
x 0 h
cosh 1
lim cos x
sinh
sin x
x 0 h h
h
2 cos 2 2
sinh 2
lim cos x sin x
x 0 h
h
24. 5x
e.g. i lim 1 ii lim
x
lim
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y sin x 1
dy sin x h sin x 3
lim
dx x 0 h
sin x cosh cos x sinh sin x
lim
x 0 h
cosh 1
lim cos x
sinh
sin x
x 0 h h
h
2 cos 2 2
sinh 2 cos 2 2 cos 2 1
lim cos x sin x
x 0 h
h
25. 5x
e.g. i lim 1 ii lim
x
lim
1 3x
x 0 sin 5 x x 0 sin 3 x x 0 3 sin 3 x
y sin x 1
dy sin x h sin x 3
lim
dx x 0 h
sin x cosh cos x sinh sin x
lim
x 0 h
cosh 1
lim cos x
sinh
sin x
x 0 h h
h
2 cos 2 2
sinh 2 cos 2 2 cos 2 1
lim cos x sin x
x 0 h
h
2 h
sinh 2 sin
lim cos x sin x 2
x 0 h h
26. 2 h
sin
lim cos x
sinh
sin x h 2
x 0 h
2
27. 2 h
sin
lim cos x
sinh
sin x h 2
x 0 h
2
h
sinh sin
h
lim cos x sin x h 2 sin
x 0 h
2
2
28. 2 h
sin
lim cos x
sinh
sin x h 2
x 0 h
2
h
sinh sin
h
lim cos x sin x h 2 sin
x 0 h
2
2
cos x 1 sin x 0
29. 2 h
sin
lim cos x
sinh
sin x h 2
x 0 h
2
h
sinh sin
h
lim cos x sin x h 2 sin
x 0 h
2
2
cos x 1 sin x 0
cos x
30. 2 h
sinh sin
2
lim cos x sin x h
x 0 h
2
h
sinh sin
h
2
lim cos x sin x h sin
x 0 h
2
2 y sin f x
cos x 1 sin x 0
cos x
31. 2 h
sin
lim cos x
sinh 2
sin x h
x 0 h
2
h
h
sin
sinh 2
lim cos x sin x h sin
x 0 h
2
2 y sin f x
cos x 1 sin x 0 dy
f x cos f x
dx
cos x
32. 2 h
sin
lim cos x
sinh 2
sin x h
x 0 h
2
h
h
sin
sinh 2
lim cos x sin x h sin
x 0 h
2
2 y sin f x
cos x 1 sin x 0 dy
f x cos f x
dx
cos x
y cos x
33. 2 h
sin
lim cos x
sinh 2
sin x h
x 0 h
2
h
h
sin
sinh 2
lim cos x sin x h sin
x 0 h
2
2 y sin f x
cos x 1 sin x 0 dy
f x cos f x
dx
cos x
y cos x
y sin x
2
34. 2 h
sin
lim cos x
sinh 2
sin x h
x 0 h
2
h
h
sin
sinh 2
lim cos x sin x h sin
x 0 h
2
2 y sin f x
cos x 1 sin x 0 dy
f x cos f x
dx
cos x
y cos x
y sin x
2
cos x
dy
dx 2
35. 2 h
sin
lim cos x
sinh 2
sin x h
x 0 h
2
h
h
sin
sinh 2
lim cos x sin x h sin
x 0 h
2
2 y sin f x
cos x 1 sin x 0 dy
f x cos f x
dx
cos x
y cos x
y sin x
2
cos x
dy
dx 2
sin x
36. 2 h
sin
lim cos x
sinh 2
sin x h
x 0 h
2
h
h
sin
sinh 2
lim cos x sin x h sin
x 0 h
2
2 y sin f x
cos x 1 sin x 0 dy
f x cos f x
dx
cos x
y cos x
y sin x
2 y cos f x
cos x
dy
dx 2
sin x
37. 2 h
sin
lim cos x
sinh 2
sin x h
x 0 h
2
h
h
sin
sinh 2
lim cos x sin x h sin
x 0 h
2
2 y sin f x
cos x 1 sin x 0 dy
f x cos f x
dx
cos x
y cos x
y sin x
2 y cos f x
cos x
dy
f x sin f x
dy
dx 2 dx
sin x
40. y tan x
sin x
y
cos x
dy cos x cos x sin x sin x
dx cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
cos 2 x
41. y tan x
sin x
y
cos x
dy cos x cos x sin x sin x
dx cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
cos 2 x
1
cos 2 x
sec 2 x
42. y tan x
sin x
y
cos x
dy cos x cos x sin x sin x
dx cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
cos 2 x
1
cos 2 x
sec 2 x
y tan f x
43. y tan x
sin x
y
cos x
dy cos x cos x sin x sin x
dx cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
cos 2 x
1
cos 2 x
sec 2 x
y tan f x
dy
f x sec 2 f x
dx
44. y tan x e.g. i y sin x 3
sin x
y
cos x
dy cos x cos x sin x sin x
dx cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
cos 2 x
1
cos 2 x
sec 2 x
y tan f x
dy
f x sec 2 f x
dx
45. y tan x e.g. i y sin x 3
dy
sin x 3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x sin x sin x
dx cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
cos 2 x
1
cos 2 x
sec 2 x
y tan f x
dy
f x sec 2 f x
dx
46. y tan x e.g. i y sin x 3
dy
sin x 3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x sin x sin x 1
ii y tan
dx cos 2 x x
cos 2 x sin 2 x
cos 2 x
1
cos 2 x
sec 2 x
y tan f x
dy
f x sec 2 f x
dx
47. y tan x e.g. i y sin x 3
dy
sin x 3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x sin x sin x 1
ii y tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos 2 x sin 2 x 2 sec 2
dx x x
cos 2 x
1
cos 2 x
sec 2 x
y tan f x
dy
f x sec 2 f x
dx
48. y tan x e.g. i y sin x 3
dy
sin x 3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x sin x sin x 1
ii y tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x sin x
2 2
2 sec 2
2 dx x x
cos x
1 iii y log cos x
cos 2 x
sec 2 x
y tan f x
dy
f x sec 2 f x
dx
49. y tan x e.g. i y sin x 3
dy
sin x 3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x sin x sin x 1
ii y tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x sin x
2 2
2 sec 2
2 dx x x
cos x
1 iii y log cos x
cos 2 x dy sin x
sec x
2
dx cos x
y tan f x
dy
f x sec 2 f x
dx
50. y tan x e.g. i y sin x 3
dy
sin x 3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x sin x sin x 1
ii y tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x sin x
2 2
2 sec 2
2 dx x x
cos x
1 iii y log cos x
cos 2 x dy sin x
sec x
2
dx cos x
tan x
y tan f x
dy
f x sec 2 f x
dx
51. y tan x e.g. i y sin x 3
dy
sin x 3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x sin x sin x 1
ii y tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x sin x
2 2
2 sec 2
2 dx x x
cos x
1 iii y log cos x iv y tan 5 x
cos 2 x dy sin x
sec x
2
dx cos x
tan x
y tan f x
dy
f x sec 2 f x
dx
52. y tan x e.g. i y sin x 3
dy
sin x 3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x sin x sin x 1
ii y tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x sin x
2 2
2 sec 2
2 dx x x
cos x
1 iii y log cos x iv y tan 5 x
cos 2 x dy sin x dy
5 tan 4 x sec 2 x
sec 2 x dx cos x dx
tan x
y tan f x
dy
f x sec 2 f x
dx
53. y tan x e.g. i y sin x 3
dy
sin x 3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x sin x sin x 1
ii y tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x sin x
2 2
2 sec 2
2 dx x x
cos x
1 iii y log cos x iv y tan 5 x
cos 2 x dy sin x dy
5 tan 4 x sec 2 x
sec 2 x dx cos x dx
tan x
y tan f x v y cos e x
dy
f x sec 2 f x
dx
54. y tan x e.g. i y sin x 3
dy
sin x 3 x 2 cos x 3
y dx
cos x
dy cos x cos x sin x sin x 1
ii y tan
dx cos 2 x x
dy 1 1
cos x sin x
2 2
2 sec 2
2 dx x x
cos x
1 iii y log cos x iv y tan 5 x
cos 2 x dy sin x dy
5 tan 4 x sec 2 x
sec 2 x dx cos x dx
tan x
y tan f x v y cos e x
dy
f x sec 2 f x dy
dx e x sin e x
dx