1. Disuguaglianze
Due espressioni numeriche, di diverso valore, separate da
un segno di disuguaglianza, formano una disuguaglianza numerica
Esempi di disuguaglianze
3  25
17  2
−40
Simboli di disuguaglianza sono:


≥
≤
Maggiore
Minore
Maggiore od uguale
Minore od uguale

2. Definizione disequazione
Si definisce disequazione in una sola incognita una
disuguaglianza tra due espressioni, di cui una almeno
letterale, verificata
solo per particolari valori attribuiti
all’incognita
1)
Esempi
di
disequazioni
4x + 7  2x
2)
( x + 2)
3)
2 + x − 1  3x
4)
x+3
1
+2≤ x
x
4
2
− 3x ≥ x ⋅ ( 3 − x )

3. Soluzioni di una disequazione
Si dice SOLUZIONE di una disequazione ogni numero che sostituito
all’incognita rende vera la disuguaglianza
( x + 1) − x  7
Esempio: data la disequazione
x = 2 e x = 5 rappresentano delle soluzioni
2
VERIFICA
( x +1) 2
−x2  7
x =2
( 2 +1) 2 − 2 2
VERIFICA
2
( x +1) 2
verificare se
−x2  7
x =5
7
(5 +1) 2
−5 2  7
32 − 4  7
9 −4  7
6 2 − 25  7
36 − 25  7
57
11  7
FALSO
x= 2
NON E’ SOLUZIONE
VERO
x=5
E’ SOLUZIONE

4. Grado di una disequazione
Si definisce grado di una disequazione razionale intera il
massimo esponente con cui compare l’incognita
Esempi
1)
x+25
2)
3x − 2 x ≤ 0
3)
2 x − 3x  4
Disequazione di primo grado
2
5
2
Disequazione di secondo grado
Disequazione di quinto grado
Le disequazioni 1° GRADO si dicono anche disequazioni LINEARI

5. Classificazione
delle disequazioni
TIPO disequazione
Intera
Disequazione con
Incognita solo al numeratore
ESEMPI
2 x − 1 ≤ 3x + 4
Fratta
Incognita almeno al
denominatore
Numerica
Letterale
Coefficienti numerici
x2 + 3
 x−5
x −1
2x 2 − x + 5  0
Coefficienti letterali
ax 3 − bx ≥ c
Determinata
Indeterminat
a
Impossibile
Soluzioni sottoinsieme di
Soluzioni coincidenti con
Non ha soluzioni
R
R
x7
( x − 3) ≥ 0
2
( x − 3)  0
2

6. Disequazioni EQUIVALENTI
Due
disequazioni
EQUIVALENTI
si
dicono
se possiedono le stesse
soluzioni
Esempio:
1) 3x − 2  4
soluzioni
2) 4 x + 1  9
soluzioni
x
x2
x2
Pertanto, qualsiasi numero
più grande di 2 soddisfa sia la
prima che la seconda disequazione perciò esse si dicono
equivalenti

7. Utilità
dei principi di equivalenza
I principi di equivalenza,
applicati
alle
disequazioni,
consentono di trasformare una
disequazione
in un’altra più
semplice
avente
le
stesse
soluzioni

8. Primo Principio
di equivalenza
•
ADDIZIONANDO o SOTTRAENDO ai due membri di una
disequazione la stessa espressione si ottiene una disequazione
EQUIVALENTE a quella data
Addizione
2x − 3  x
2x − 3 + 5  x + 5
Sottrazione
Disequazioni
equivalenti
7x  2x + 1
7x − x  2x + 1 − x

9. Conseguenze del
Conseguenze del
PRIMO PRINCIPIO
Primo Principio
1)
Regola del trasporto
Si può trasportare un termine da un membro
all’altro di una disequazione purché gli venga
cambiato il segno
(Tale regola viene impiegata per trasportare le incognite al
primo membro ed i numeri al secondo membro)
Esempio
4 x −1 ≤ 3 x + 2
4 x −3 x ≤ 2 +1
x ≤3

10. Conseguenze del
Primo Principio
2) Regola della cancellazione
a) se uno stesso termine figura in entrambi i membri può essere
cancellato
Esempio
2x − 5 + x  5 + x
2x − 5  5
b) se due termini opposti si trovano nello stesso membro essi
possono essere cancellati
Esempio
4x − 7 + 7  5 + x
4x  5 + x

11. Secondo Principio
di equivalenza
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno
stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente alla data
Esempio:
a)
b)
3x − 2  x + 5
Disequazioni
equivalenti
4 ⋅ 3x o dividendo due membri di una disequazione per uno
Moltiplicando − 4 ⋅ 2  4 ⋅i x + 4 ⋅ 5
stesso numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente a
quella data solo se si inverte il verso della disuguaglianza
Esempio:
maggiore
Disequazioni
equivalenti
VERSO
INVERTITO
3x − 2  x + 5
minore
(− 4)⋅ 3x −(− 4)⋅ 2 p (− 4)⋅ x + (−4)⋅ 5

12. Conseguenze del
Secondo Principio
1)
Eliminazione di denominatori numerici
E’ possibile eliminare i denominatori numerici di
disequazione moltiplicando tutti i termini per il loro m.c.m.
Esempio
Disequazione con
denominatore
Disequazione senza
denominatore
1
3
x +2 p x −
3
2
3
2 1
3
6⋅ x +6⋅2 p 6⋅ x −6⋅
3
2
2 x + 12 p 6 x − 9
una
m.c.m = 6

13. Conseguenze del
Conseguenze del
SECONDO Principio
Secondo PRINCIPIO
2)
Eliminazione del coefficiente dell’incognita
E’ possibile liberare l’incognita dal suo coefficiente dividendo
primo e secondo membro della disequazione per tale
coefficiente
Esempio
Coefficiente
dell’incognita
5⋅ x ≥ 2
5
2
x≥
5
5
2
x≥
5

14. Conseguenze del
Secondo Principio
3) Regola del cambiamento del segno
Il segno di un termine di una disequazione si può cambiare solo
quando si cambiano i segni dei restanti termini e si inverte il verso
della disequazione
Esempio
MAGGIORE
− 4x + 2  x − 5
4x − 2  −x + 5
MINORE

15. Risoluzione guidata di disequazioni
•
Esempio 1
( x + 1)
2
+ 3 ≥ x ⋅ ( x − 1) + 16
Operazioni indicate (potenza,prodotto)
1° principio (cancellazione)
x 2 + 2 x + 1 + 3 ≥ x 2 − x + 16
1° principio (Trasporto)
2 x + 4 ≥ − x + 16
Operazioni indicate (somma e differenza)
2 x + x ≥ 16 − 4
3 x ≥ 12
2° principio (Eliminazione coefficiente dell’incognita)
3
12
Operazioni indicate (divisioni)
x≥
3
3
x≥4
Soluzioni della disequazione