3. fungsi komposisi

MODUL AJAR MATEMATIKA
Kode Modul : MA33FK
Pokok Bahasan : Fungsi Komposisi
Penyusun : Nur Muchamad
Website : matematika.mdl2.com
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
2014

http://matematika.mdl2.com/ |MODUL AJAR “FUNGSI KOMPOSISI” 1
FUNGSI KOMPOSISI
A. Konsep dan Aturan Fungsi Komposisi
a. Konsep Fungsi Komposisi
Contoh 1:
Di dalam pembuatan kertas kita tidak bisa mengolah kayu langsung menjadi kertas tetapi mula-mula kayu diolah menjadi pulp oleh suatu mesin tertentu dan baru kemudian pulp diolah lagi menjadi kertas menggunakan mesin lain.
Misalkan mesin A adalah mesin pengolah kayu menjadi pulp(proses I), sedangkan mesin B adalah pengolah pulp menjadi kertas (proses II). Jika diilustrasikan dengan bagan, tampak seperti berikut ini.
Misalkan mesin C adalah mesin yang mampu mengolah kayu langsung menjadi kertas (tentu di dalam mesin C terjadi proses I dan proses II).
Jadi pada mesin C terjadi komposisi antara proses I dan proses II.
Contoh 2:
CV. Abadi Sejahtera menerapkan sistem yang unik dalam menggaji karyawannya. Dalam satu bulan masa kerja, seorang karyawan akan mendapatkan gaji pokok dan dua macam bonus yang ditetapkan dengan aturan tertentu. Distribusi gaji dan bonus karyawan CV. Abadi Sejahtera diperlihatkan dalam tabel berikut ini.
No. Gaji Pokok Bonus 1 Bonus 2
1.
Rp 1.000.000,00
Rp 100.000,00
Rp 50.000,00
2.
Rp 1.500.000,00
Rp 150.000,00
Rp 75.000,00
3.
Rp 2.000.000,00
Rp 200.000,00
Rp 100.000,00
4.
Rp 2.500.000,00
Rp 250.000,00
Rp 125.000,00
5.
Rp 3.000.000,00
Rp 300.000,00
Rp 150.000,00
…
…
…
…
Jika diperhatikan dengan seksama, kita bisa mengetahui aturan penetapan dua macam bonus yang diberikan kepada karyawan tersebut. Bonus 1 ditetapkan dengan aturan bahwa besarnya adalah 10% atau 1/10 gaji pokok (aturan I), sementara bonus 2 ditetapkan dengan aturan bahwa besarnya adalah 50% atau ½ dari bonus 1 (aturan II).Kita juga dapat mengetahui aturan penetapan bonus 2 berdasarkan gaji pokok karyawan, yaitu:

Bonus 2=12×Bonus 1=12× 110×Gaji Pokok =120×Gaji Pokok.
Diketahui bahwa aturan penetapan bonus 2 berdasarkan gaji pokoknya adalah bahwa besarnya bonus 2 adalah 1/20 atau 5% dari gaji pokok.
Jadi, aturan penetapan bonus 2 (aturan III) berdasarkan besarnya gaji pokok ini ditentukan dengan mengkomposisikan aturan I dan aturan II.
b. Pengertian dan Aturan Fungsi Komposisi
Dari dua fungsi 푓(푥) dan 푔(푥) dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan operasi komposisi. Operasi komposisi dilambangkan dengan ∘ (dibaca: dot atau bundaran atau komposisi). Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan operasi komposisi itu adalah:
1. 푓∘푔 (푥), dibaca: 푓 komposisi 푔 푥 atau 푓 푔 푥.
2. 푔∘푓 (푥), dibaca: 푔 komposisi 푓 푥 atau 푔 푓 푥.
Diketahui푓 adalah sebuah fungsi dari himpunan 퐴 ke himpunan 퐵, sedangkan 푔 adalah fungsi dari himpunan 퐵 ke himpunan 퐶.Fungsi dari himpunan 퐴 ke himpunan 퐵, kemudian dilanjutkan fungsi dari himpunan 퐵 ke himpunan 퐶, dinamakan fungsi komposisi yang dilambangkan dengan (푔∘푓).
Fungsi (푓∘푔) adalah komposisi fungsi 푓 dan 푔 yang pengerjaannya dilakukan pada fungsi 푔 terlebih dahulu kemudian dilanjutkan fungsi 푓.
Definisi:
Misalkan fungsi:
푔:퐴→퐵 ditentukan dengan aturan 푦=푔 푥

푓:퐵→퐶 ditentukan dengan aturan 푦=푓 푥
Fungsi komposisi 푓 dan 푔 ditentukan dengan aturan 푕 푥 = 푓∘푔 푥 =푓 푔 푥 .
Definisi:
Misalkan fungsi:
푓:퐴→퐵 ditentukan dengan aturan 푦=푓 푥
푔:퐵→퐶 ditentukan dengan aturan 푦=푔 푥
Fungsi komposisi 푔 dan 푓 ditentukan dengan aturan 푕 푥 = 푔∘푓 푥 =푔 푓 푥 .
Catatan:Fungsi komposisi 푓∘푓 푥 =푓 푓 푥 atau 푔∘푔 푥 =푔 푔 푥 disebut fungsi komposisi diri, yaitu fungsi komposisi yang dibentuk dari dua buah fungsi yang sama.
Contoh 1:
Misalkan fungsi 푓:푅→푅 dan 푔:푅→푅 ditentukan dengan aturan 푓 푥 =3푥−1 dan 푔 푥 =2푥. Tentukanlah:
1. 푓∘푔 푥
2. 푔∘푓 푥
3. 푓∘푓 푥
4. 푔∘푔 푥
Penyelesaian:
1. Dengan menggunakan rumus, didapat:
푓∘푔 푥 =푓 푔 푥 =푓 2푥 =3 2푥 −1=6푥−1
Jadi, 푓∘푔 푥 =6푥−1.
푔∘푓 푥 =푔 푓 푥 =푔 3푥−1 =2 3푥−1 =6푥−2
Jadi, 푔∘푓 푥 =6푥−2.
푓∘푓 푥 =푓 푓 푥 =푓 3푥−1 =3 3푥−1 −1=9푥−3−1=9푥−4
Jadi, 푓∘푓 푥 =9푥−4.
푔∘푔 푥 =푔 푔 푥 =푔 2푥 =2 2푥 =4푥
Jadi, 푔∘푔 푥 =4푥.

Contoh 2:
Misalkan fungsi 푓:푅→푅 dan 푔:푅→푅 ditentukan dengan aturan 푓 푥 =4푥−1 dan 푔 푥 =푥2+2. Tentukanlah:
1. 푓∘푔 푥
2. 푔∘푓 푥
3. 푓∘푓 푥
4. 푔∘푔 푥
Penyelesaian:
1. 푓∘푔 푥 =푓 푔 푥 =푓 푥2+2 =4 푥2+2 −1=4푥2+7
Jadi, 푓∘푔 푥 =4푥2+7.
2. 푔∘푓 푥 =푔 푓 푥 =푔 4푥−1 = 4푥−1 2+2=16푥2−8푥+3
Jadi, 푔∘푓 푥 =16푥2−8푥+3.
3. 푓∘푓 푥 =푓 푓 푥 =푓 4푥−1 =4 4푥−1 −1=16푥−5
Jadi, 푓∘푓 푥 =16푥−5.
4. 푔∘푔 푥 =푔 푔 푥 =푔 푥2+2 = 푥2+2 2+2=푥4+4푥2+6
Jadi, 푔∘푔 푥 =푥4+4푥2+6.
Contoh 3:
Misalkan fungsi 푓 dan 푔 dinyatakan dengan pasangan terurut 푓= −1,4 , 1,6 , 2,3 , 8,5 푔= 3,8 , 4,1 , 5,−1 , 6,2
Tentukanlah (푓∘푔) dan (푔∘푓).
Penyelesaian:
Fungsi komposisi dari dua fungsi yang dinyatakan dengan pasangan terurut lebih mudah ditentukan dengan menggunakan diagram pemetaan (diagram panah).
1. Fungsi komposisi (푓∘푔), pemetaan pertama oleh fungsi 푔 dilanjutkan pemetaan kedua oleh fungsi 푓. Diagram pemetaan fungsi komposisi (푓∘푔) diperlihatkan pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:
푓∘푔 ={ 3,5 , 4,6 , 5,4 , 6,3 }
2. Fungsi komposisi (푔∘푓), pemetaan pertama oleh fungsi 푓 dilanjutkan pemetaan kedua oleh fungsi 푔. Diagram pemetaan fungsi komposisi (푔∘푓) diperlihatkan pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:
푔∘푓 ={ −1,1 , 1,2 , 2,8 , 8,−1 }
Gambar diagram panah:

Contoh 4:
Misalkan fungsi 푓 dan 푔 dinyatakan dengan pasangan terurut 푓= 0,1 , 2,4 , 3,−1 , 4,5 푔= 2,0 , 1,2 , 5,3 , 6,7
Tentukanlah (푓∘푔) dan (푔∘푓).
1. Fungsi komposisi (푓∘푔), pemetaan pertama oleh fungsi 푔 dilanjutkan pemetaan kedua oleh fungsi 푓. Diagram pemetaan fungsi komposisi (푓∘푔) diperlihatkan pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:
푓∘푔 ={ 2,1 , 1,4 , 5,−1 }
2. Fungsi komposisi (푔∘푓), pemetaan pertama oleh fungsi 푓 dilanjutkan pemetaan kedua oleh fungsi 푔. Diagram pemetaan fungsi komposisi (푔∘푓) diperlihatkan pada gambar di bawah. Dari gambar, tampak bahwa:
푔∘푓 ={ 0,2 , 4,3 }
Gambar diagram panah:
c. Syarat Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan
Tidak setiap dua fungsi dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi. Untuk mengetahui syarat agar komposisi dua buah fungsi merupakan sebuah fungsi komposisi, perhatikan gambar berikut ini.
Gambar di atas menunjukkan dua buah fungsi 푓:퐴→퐵 dan 푔:퐵→퐶. Berdasarkan gambar tersebut, dapat diketahui bahwa

푓 푎1 =푏 dan 푔 푏1 =푐1 sehingga 푔∘푓 (푎1)=푐1
Dengan demikian, disimpulkan bahwa 푔∘푓 :퐴→퐶 merupakan sebuah fungsi atau fungsi komposisi.
Dari gambar tersebut juga, terlihat bahwa 푔 adalah fungsi dengan domain (daerah asal) himpunan 퐵, sedangkan 푓 adalah fungsi dengan kodomain (daerah kawan) himpunan 퐵. Range fungsi 푓 adalah 푅푓= 푏1,푏3,푏4 , sehingga range 푓 merupakan himpunan bagian dari himpunan퐵. Dengan kata lain, range 푓 merupakan himpunan bagian dari domain 푔.
Sekarang perhatikan gambar berikut ini.
Pada gambar tersebut, fungsi 푓:퐴→퐵 dan fungsi 푔:퐷→퐶 dengan 퐷⊆퐵. Jika dibuat fungsi komposisi 푔∘푓, komposisi fungsi tersebut bukan merupakan sebuah fungsi karena 푓 푎3 =푏3 bukan anggota 푔, sehingga 푏3 tidak dipetakan oleh 푔. Jika kita perhatikan, ternyata domain 푔 merupakan himpunan bagian dari range 푓. Oleh karena itu, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
Fungsi 푔 dapat dikomposisikan dengan fungsi 푓, sehingga komposisi 푔∘푓 merupakan sebuah fungsi apabila range 푓 merupakan himpunan bagian dari domain 푔, atau dapat ditulis 푅푓⊂퐷푔.
d. Nilai dari Fungsi Komposisi
Untuk menjelaskan nilai dari suatu fungsi komposisi, dapat dilakukan dengan dua cara berikut ini.
1. Dengan menentukan rumus fungsi komposisinya dulu kemudian mensubstitusikan nilainya.
2. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari.

Contoh 1:
Diketahui dua buah fungsi aljabar berikut yang dinyatakan dengan rumus 푓 푥 =푥2 dan 푔 푥 =4푥+2. Tentukanlah nilai-nilai dari fungsi komposisi 푓∘푔 (−1) dan 푔∘푓 (2).
Penyelesaian:
Cara 1 푓∘푔 푥 =푓 푔 푥 푓∘푔 푥 =푓 4푥+2 푓∘푔 푥 = 4푥+2 2 푓∘푔 푥 =16푥2+16푥+4 푓∘푔 −1 =16. −1 2+16. −1 +4 푓∘푔 −1 =16−16+4=4
푔∘푓 푥 =푔 푓 푥 푔∘푓 푥 =푔 푥2 푔∘푓 푥 =4 푥2 +2 푔∘푓 푥 =4푥2+2 푔∘푓 2 =4. 2 2+2 푔∘푓 2 =4.4+2 푔∘푓 2 =16+2=18
Cara 2 푓∘푔 −1 =푓 푔 −1 푓∘푔 −1 =푓 4. −1 +2 푓∘푔 −1 =푓 −2 푓∘푔 −1 = −2 2=4
푔∘푓 2 =푔 푓 2 푔∘푓 2 =푔 22 푔∘푓 2 =푔 4 푔∘푓 2 =4.2+2 푔∘푓 2 =8+2=10
Contoh 2:
Diketahui fungsi 푓:푅→푅 ditentukan dengan rumus berikut ini. 푓 푥 = 1 푥+1−1jikajikajika 푥≤00<푥<2 푥≥2
1. Hitunglah 푓(−2), 푓(1), dan 푓(2)
2. Hitunglah 푓∘푓 (−2), 푓∘푓 (1), dan 푓∘푓 (2)

Penyelesaian:
1. Nilai dari fungsi 푓(푥) berbeda-beda tergantung pada interval nilai푥-nya.
푓 −2 =1 푓 1 =1+1=2 푓 2 =−1
2. 푓∘푓 −2 =푓 푓 −2
푓∘푓 −2 =푓 1 푓∘푓 −2 =1+1=2
푓∘푓 1 =푓 푓 1 푓∘푓 1 =푓 1+1 푓∘푓 1 =푓 2 푓∘푓 1 =−1
푓∘푓 2 =푓 푓 2 푓∘푓 2 =푓 −1 푓∘푓 2 =1
B. Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Sifat-sifat operasi komposisi pada fungsi-fungsi adalah sebagai berikut.
a. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya tidak komutatif.
푓∘푔 푥 ≠ 푔∘푓 (푥)
b. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif.
푓∘ 푔∘푕 푥 = 푓∘푔 ∘푕 푥
c. Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat sebuah unsur identitas, yaitu fungsi identitas 퐼 푥 =푥.
푓∘퐼 푥 = 퐼∘푓 푥 =푓(푥)
C. Fungsi Komposisi dari Beberapa Fungsi
Suatu fungsi komposisi dapat tersusun dari dua fungsi atau lebih. Jika komposisi fungsi terdiri dari tiga fungsi atau lebih, pengerjaannya harus dilakukan berurutan atau tidak boleh terbalik (kita bisa menggunakan sifat komutatif tetapi bisa memanfaatkan sifat asosiatif untuk menyelesaikan persoalan sejenis ini).
Contoh:
Diketahui tiga buah fungsi 푓, 푔, dan 푕 pada bilangan real yang ditentukan dengan rumus 푓 푥 =푥2, 푔 푥 =5푥+3, dan 푕 푥 = 푥+1. Tentukan komposisi fungsi berikut ini.
1. 푓∘푔 푥
2. 푔∘푓∘푕 푥

Penyelesaian:
1. 푓∘푔 푥 =푓 푔 푥
푓∘푔 푥 =푓 5푥+3 푓∘푔 푥 = 5푥+3 2 푓∘푔 푥 =25푥2+30푥+9
2. Karena operasi komposisi berlaku sifat asosiatif, maka kita bisa memilih untuk mengerjakan komposisi (푔∘푓) atau (푓∘푕) terlebih dahulu.
푔∘푓∘푕 푥 = 푔∘ 푓∘푕 푥 푔∘푓∘푕 푥 =푔∘ 푓∘푕 푥 푔∘푓∘푕 푥 =푔∘푓 푕 푥 푔∘푓∘푕 푥 =푔∘푓 푥+1 푔∘푓∘푕 푥 =푔 푓 푥+1 푔∘푓∘푕 푥 =푔 푥+1 2 푔∘푓∘푕 푥 =푔 푥+1 푔∘푓∘푕 푥 =5. 푥+1 +3 푔∘푓∘푕 푥 =5푥+5+3=5푥+8
D. Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi 푓 dan fungsi komposisi (푓∘푔) atau (푔∘푓) sudah diketahui, maka fungsi 푔 dapat ditentukan. Begitu pula kalau fungsi 푔 dan fungsi komposisi (푓∘푔) atau (푔∘푓) diketahui maka fungsi 푓 dapat ditentukan. Cara untuk mentukan fungsi jika rumus fungsi komposisi dan fungsi lainnya telah diketahui dapat dipelajari dari beberapa contoh berikut ini.
Contoh 1:
Misalkan fungsi komposisi 푓∘푔 푥 =−2푥+3 dan 푓 푥 =4푥−1.
Carilah fungsi 푔(푥).
Penyelesaian:
Dalam contoh ini fungsi komposisi 푓∘푔 (푥) dan fungsi 푓(푥) diketahui, yang akan ditentukan adalah fungsi 푔(푥). 푓∘푔 푥 =−2푥+3 ⇔푓 푔 푥 =−2푥+3 ⇔4.푔 푥 −1=−2푥+3 ⇔4.푔(푥)=−2푥+3+1 ⇔4.푔(푥)=−2푥+4 ⇔푔 푥 = −2푥+44=− 12 푥+1
Jadi, fungsi 푔 푥 =−12 푥+1

Contoh 2:
Misalkan fungsi komposisi 푓∘푔 푥 =4−2푥 dan fungsi 푔 푥 =6푥+1.
Carilah fungsi 푓(푥).
Penyelesaian:
Dalam contoh ini fungsi komposisi 푓∘푔 (푥) dan fungsi 푔(푥) diketahui, yang akan ditentukan adalah fungsi 푓(푥). 푓∘푔 푥 =4−2푥 ⟺푓 푔 푥 =4−2푥 ⟺푓 6푥+1 =4−2푥 ⟺푓 6푥+1 =4+ − 13. 6푥+1 + 13 ⟺푓 6푥+1 =4− 13. 6푥+1 + 13 ⟺푓 6푥+1 =4+ 13− 13. 6푥+1 ⟺푓 6푥+1 =413− 13. 6푥+1
Oleh karena 푓 6푥+1 =413−13. 6푥+1 maka 푓 푥 =413−13 푥.
Jadi, fungsi 푓 푥 =413−13 푥.

DAFTAR PUSTAKA
Lestari, Sri dan Diah Ayu K. 2009. Matematika 2 untuk SMA/MA Program Studi IPS Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 2: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XI SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Wirodikromo, Sartono. 2003. Matematika 2000 untuk SMU Jilid 3 Kelas 2 Semester 1. Jakarta: Erlangga.

3. fungsi komposisi

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à 3. fungsi komposisi

Similaire à 3. fungsi komposisi (20)

Dernier

Dernier (20)

3. fungsi komposisi